极坐标参数方程中的距离问题学案
高中数学_极坐标与参数方程综合应用问题教学设计学情分析教材分析课后反思
⾼中数学_极坐标与参数⽅程综合应⽤问题教学设计学情分析教材分析课后反思极坐标与参数⽅程综合应⽤问题教学设计⼀．⾼考分析：1.考纲要求：（1）了解极坐标的基本概念，能进⾏极坐标和直⾓坐标的互化．（2）了解参数⽅程,了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数⽅程．2.命题趋势：预计2018年仍将由给出的参数⽅程、极坐标⽅程相整合设问，以求曲线交点、化普通⽅程或直⾓坐标⽅程、求弦长或最值、求参数等形式命题.3.展现2014年到2017年的⾼考题，极坐标与参数⽅程综合应⽤问题呈现出较强规律性，每年的题⽬位置均在选修的位置和分值是10分。
第⼀问均是⽅程间的转化，⼤题考察的是与极点有关的距离问题、直线的点与基点有关的距离问题、椭圆或者圆上的动点的最值问题、交点问题等题型。
⼆．教学⽬标：1.了解参数⽅程,了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数⽅程；2.掌握四种题型的解题基本思路、题型结构、注意事项；3.能解决与极点有关的距离问题、直线的点与基点有关的距离问题、椭圆或者圆上的动点的最值问题、交点问题，并获得、积累新的数学基本活动经验。
三．教学重点：1.与学⽣⼀起探究例题的基本解法，通过变式并总结归纳出四种题型；2．直线的点与基点有关的距离问题中注意参数⽅程是否标准、基点更换问题、判断符号问题。
四．教学难点：1、四种题型的归纳；2、直线的点与基点有关的距离问题中对注意事项的灵活运⽤。
五．教学过程：（⼀）⾼考分析：课件展⽰考纲要求、命题趋势、全国卷近4年极坐标与参数⽅程的综合应⽤问题的考题位置及其形式，让学⽣对这部分在⾼考中的地位有所了解，（⼆）思考：1.直线的参数⽅程是什么？其中t的⼏何意义是什么？2．极坐标⽅程下ρ的⼏何意义是什么？3.在直⾓坐标系下的普通⽅程的弦长公式是什么？在参数⽅程下的弦长公式是什么？在极坐标系下的弦长公式是什么？（前提：弦所在的直线过极点）强调弦长公式都包含三类形式，在解题时，要注意公式的选择与前提条件。
极坐标参数方程导学案(一)
极坐标参数方程复习学案（一）【高考要求】：（1）坐标系①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。
理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义(2)参数方程①了解参数方程，了解参数的意义②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程【教学目标】：1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。
}2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。
3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实践能力。
【自主探究】已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程；（2）化圆的方程为普通方程；（3）求直线l 被圆截得的弦长．)【巩固练习】1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。
,、2、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C 2的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合. )（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (II)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1， C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积..【课堂小结】【课后作业】已知极点与原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的极坐标方程为：2sin ρ=θ，曲线2C的参数方程为：x 2cos y =θ⎧⎪⎨θ⎪⎩（θ为参数），曲线1C 与2C 交于M ，N 两点，求M ，N 两点间的距离．。
极坐标参数方程中的距离问题教案
极坐标参数方程中的距离问题三维目标：一、知识与技能：1、掌握几种方程之间互化的基本技能；2、能根据题意选择适当的方程、方法解题。
二、过程与方法：1、通过分析近三年高考题引导学生归纳题型；2、通过例题及变式引导学生归纳小结解题方法；3、掌握转化与划归思想方法。
三、态度情感价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
重点：1、几种方程的转化；2、掌握不同题型的解题方法。
难点：根据题意判断正确的题型，选择正确的解题方法。
教学过程：一、高考真题分析1、【2016高考新课标1】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．2、【2016高考新课标2】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．3、【2015高考新课标1】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.4、【2015高考新课标2】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:23cos C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．5、【2014高考新课标1】已知曲线19422=+y x C ：，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）（I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．6、【2014高考新课标2】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.题型归纳小结：1、近三年国卷高考第一问形式单一，都是方程之间的转化，题型简单。
极坐标与参数方程教案
极坐标与参数方程【教学目标】1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程（2）掌握参数方程与一般方程的转化2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．【教学重点】1、极坐标的与一般坐标的转化2、参数方程和一般方程的转化3、几何证明的整体思路【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．【基本要点】一、极坐标和参数方程：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为θ．有序数对),(θ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点．极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.3．极坐标与直角坐标的互化：4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =；5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.rsin b y ,rcos a x 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=.椭圆1b y a x 2222=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.bsin y ,acos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==.抛物线2px y 2=的参数方程可表示为)t (.2pt y ,2pt x 2为参数⎩⎨⎧==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.tsin y y ,tcos x x o o αα（t 为参数）．【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用 例1、（1）点M 的极坐标)32,5(π化为直角坐标为（ ）B A ．)235,25(--B ．)235,25(- C ．)235,25(- D ．)235,25( （2）点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ）B A ．)65,2(π B ．)67,2(π C ．)611,2(πD ．)6,2(π 评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．变式1：（1）点()22-，的极坐标为 ． （2）在极坐标系中，圆心在)4A(1,π，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．例2、（1）曲线的极坐标方程θρsin 4=化 成直角坐标方程为（ ）A.x 2+(y+2)2=4B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4【解析】将ρ=22y x +，sin θ=22yx y+代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.（2）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. ①把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； ②求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.【解析】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.（1）x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.所以x 2+y 2=4x.即x 2+y 2-4x=0为⊙O 1的直角坐标方程.同理x 2+y 2+4y=0为⊙O 2的直角坐标方程.（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==,0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点（0，0）和（2，-2）. 过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.变式1：极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.抛物线 D .圆【解析】原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)⇒22ρ=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.变式2：在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-【解析】A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切．例3、在极坐标系中，已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度；变式1、在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．变式2、在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ．例4、极坐标方程分别为θρcos 2=和θρsin =的两个圆的圆心距为____________；变式1、把极坐标方程cos()16πρθ-=化为直角坐标方程是 ．变式2、在极坐标系中，圆心在)π且过极点的圆的方程为_ .变式3、在极坐标系中，若过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则=||AB _________ _．题型二：参数方程的互化和应用例1、若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = .变式1、设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______变式2、已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。
极坐标与参数方程教案
、教学过程设计一、复习、检查函数与方程重点知识二、梳理本节课重要知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一、教学过程设计 一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程点M 直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠极径为, r为, r,为的直线○θ○θ点,垂点,平。
高中数学坐标系与参数方程学案
基础知识极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .说明：①极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. ②若0<ρ,0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
③如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
极坐标与直角坐标的互化：θρθρsin cos ==y x ；⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=2tan πθθx y ；222y x +=ρ. 常用极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；在极坐标系中，)0(≥=ραθ为以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ为过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
极坐标参数方程中的距离问题课件
若C1与C2交于A，C1与C3交于B，
y
求| AB|的最大值。
A
x
O1
B
解：设A, B两点对应的参数分别为 t1,t2,
把C1
:
x y
t cos t sin
1代入C2：(x -1)2
(y -1)2
1中得，
t 2 2t sin 0
t 0, t1 2sin
把C1
x
:
y
t cos t sin
极坐标参数方程中的 距离问题
高考真题分析
高考真题分析
高考真题分析
高考真题分析
高考真题分析
高考真题分析
题型归纳小结：
1、近三年国卷高考第一问形式单一，都是
方程之间的转化，题型简单。而该类题第一
问通常还考轨迹方程，以及交点坐标。
2、第二问主要是距离问题：
（1）定点间的距离问题
定点所在直线过原点 定点所在直线不过原点
为
(1, ), (2, ),
则
AB
|
1
2
|
• 2、用直线标准参数方程中参数t的几何意义 解题，即直线上A、B两点对应的参数分别
为t1,t2，则 AB | t1 t2 |
二、定点间的距离问题——定点所在直线不过原点
例2：
若
过点P
(0，1)直线C1
x
1 2
t
y
1
（t为参数）,
3t 2
A
y
P
B
（2）设A, B两点对应的参数分别为 t1,t2,
把C1
:
x
y
t cos t sin
代入C2中得，
t2
2t
极坐标与参数方程学案
极坐标与参数方程专题复习一、教学目标1、理解坐标系的作用。
了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2、会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。
4、了解参数方程,了解参数的意义；5、能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程;6、掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题。
二、重点难点1、教学重点：能进行极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化；2、教学难点:能进行极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化；三、教学策略与方法师生互动法、自主学习法、小组讨论探究、一帮一导师制四、教学过程（二）、课前自主导学：1、要点梳理：(1)点的极坐标与直角坐标的相互转化公式，当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合,两种坐标系中取相同的长度单位时,点的极坐标与直角坐标的相互转化公式为：错误!错误!（2）柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式： ①柱坐标化为直角坐标公式：错误!②球坐标化为直角坐标公式：⎩⎨⎧ x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，，z ＝r cos φ（3）参数方程：①参数方程的定义:在取定的坐标系中。
如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数（tT) （1）这里T 是的公共定义域。
并且对于t 的每一个允许值.由方程（1）所确定的点。
都在这条曲线上;那么(1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。
②过点倾斜角为的直线的参数方程（I)（t 为参数）（i ）通常称(I ）为直线的参数方程的标准形式.其中t 表示到上一点的有向线段的数量。
t>0时，p 在上方或右方；t<0时，p 在下方或左方,t=0时，p 与重合.（ii)直线的参数方程的一般形式是：（t 为参数）这里直线的倾斜角的正切（时例外）。
极坐标与参数方程教案
、教学过程设计一、复习、检查函数与方程重点知识二、梳理本节课重要知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一、教学过程设计 一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程点M 直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠极径为, r为, r,为的直线○θ○θ点,垂点,平＜0；当点。
浅谈极坐标与参数方程中的距离问题
120浅谈极坐标与参数方程中的距离问题蓝荣升1 通过极径r 的几何意义去解决和距离相关的问题。
我们都知道，在极坐标系中，r 为极径，它表示曲线上一点到极点O 的距离，因此利用极坐标系中极径r 的几何意义可以解决跟原点有关的面积、距离等问题。
例1、已知在平面直角坐标系XOY 中，圆C 的参数方程为：1{x cos y sin f f=+=（其中参数为f ）。
以 X 轴的正半轴作为极轴,坐标原点O 作为极点建立极坐标系。
（1）求圆C 的极坐标方程；（2）已知一条直线l的极坐标方程为2sin 3p r q æö+=ç÷èø()00y x -=³与圆C 及直线l 交点分别为O,P，Q，求出线段PQ 的长度。
分析：（1）曲线的参数方程和极坐标方程是不能直接转换的，它必须在转换为普通方程后，才能转换为极坐标方程。
（2）P、Q 两点的极坐标可以通过联立方程求出，先用极径表示OQOP ,，然后通过数形结合可得OQ OP PQ -=。
解析：(1)因为1{x cos y sin f f=+=，消参得：()2211x y -+=，把cos ,sin x y r q r q ==代入得()()22cos 1sin 1r q r q -+=，所以圆C 的极坐标方程为2cos rq=；(2)射线()00y x -=³的极坐标方程是3p q =，设点()11,Pr q ，则有：1112{3cos r q p q ==，解得111{3r p q ==， 设点()22,Qr q，则有：22223{3sin p r q p q æö+=ç÷èø=223{3r p q ==，由于12q q =，所以122PQ r r =-=，所以线段PQ 的长为2。
者求点的极坐标，从而转换为线段的长度或取值范围等问题。
高考复习极坐标与参数方程导学案(教师版)
故点 P 到直线 l 的距离 d
学习必备
2s2 4 2s 8 2 s
12
2
2
欢迎下载
2
24 ,当s
5
2 时 , dmin
45
,
5
因此当 P 的坐标为 4,4 时 , 曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离取得最小值 4 5 . 5
③ 直角坐标系中，直线参数方程的参数 t 几何意义的应用
真题示例 题 1 【2018 全国二卷 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
(2) 设点 A 的极坐标为 2, , 点 B 在曲线 C2 上 , 求 OAB 面积的最大值 . 3
【解析】 (1) 设 M 0, 0 , P , , 则 OM
0 , OP
, 依题意 0 16 , 0 cos 0 4 ,
0,
解得
4cos , 化为直角坐标系方程为
x
2
2
x 4 , 设 P x, y , M 4,t , 则 tx 4 y 且 x2 y 2 t 2 16 16 ,
【解析】 (1) a
1时 , 直线 l 的方程为 x 4 y 3 0 , 曲线 C 的标准方程是 x2 y 2 1, 9
联立方程
x 4y 3 0
x
x3
x2 9
y2
1
, 解得
y
或
0 y
21 25 , 则 C 与 l 交点坐标是 24 25
3,0 和
21 24 ,
.
25 25
(2) 直线 l 一般式方程是 x 4 y 4 a 0 , 设曲线 C 上点 P 3cos ,sin ,
题 1 在极坐标系中， (4,
13
参数方程、极坐标含教案
参数方程、极坐标一、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数) ② 2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图) 极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式 ⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 二、知识点(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化 例 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （ ）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)例 在方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化 例 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( )A.x 2+(y+2)2=4B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4例 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆三、能力训练 (一)选择题1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线 B.一条垂直于x 轴的直线 C.一个圆 D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心 3.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( ) BA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线 4.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) C A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1, -3π),r=25.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A.3π B.32πC.3π或32π D. 3π或35π6．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π7．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 8．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πD ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π9．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ10、)0(4≤=ρπθ表示的图形是A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆 11、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直D 、与有关，不确定(二)填空题12.直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为 ；13.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .14、曲线的θθρcos 3sin -=直角坐标方程为_ 15、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。
极坐标与参数方程学案
(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.
3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为
和 (t为参数)，
求曲线C1与C2的交点坐标.
考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用
【例3】(新课标高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1： (t为参数，t≠0)，其中0≤α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2 cosθ.
(1)写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
(2)试判断直线l与圆C的位置关系．
考点4极坐标方程与参数方程的综合问题
【例4】(新课标高考全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
【答题模板】
第一步：消去参数，将曲线C1的参数方程化为普通方程；
第二步：将曲线C1的普通方程化为极坐标方程；
第三步：将曲线C2的极坐标方程化为普通方程；
第四步：将曲线C1与曲线C2的普通方程联立，求得交点的直角坐标；
第五步：把交点的直角坐标化为极坐标．
(t为参数)
圆心在点M0(x0，y0)，半径为R的圆
(θ为参数)
圆心在原点，半径为R的圆
(θ为参数)
椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)
4．直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参பைடு நூலகம்方程是 (t是参数)
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极坐标参数方程中的距离问题学案
类型一：定点间的距离问题——定点所在直线过原点
例1（2015课标1改编）在直角坐标系xoy 中，直线 C 1:y=x ，圆：1)2()1(:222=-+-y x C ,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程；
（Ⅱ）设C 1与C 2的交点为M,N, ,求MN C 2∆的面积.
题后小结：
类型二、定点间的距离问题——定点所在直线过原点
的值。
求的值；
求两点，交于与直线，：若过点例|BP ||AP |)2(||)1(,14:,23121)10(22221⋅=+⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==AB B A y x C t y t x C P
的值；两点，求交于与：若直线变式||||,14:,3112
221PB AP B A y x C t
y t x C ⋅=+⎩⎨⎧+==
题后小结：
类型三、动点间的距离问题——动点在过定点直线上
的最大值。
，求交于与，交于与）若（的普通方程；
与）求（曲线曲线中，
的为极点以为参数，曲线中在直角坐标系改编课标例|AB |C C A C C 21．
c 32:C ，2sin :C 极坐标系，正半轴正半轴O , 轴的其中0x 0),t (t s t y cos t x :C ，xoy )22015(3312132321B C C os in θρθρπααα==<≤≠⎩
⎨⎧⋅=⋅=
的最大值。
，求交于与，
交于与，若曲线曲线为参数，曲线中：在直角坐标系变式|AB |B , in s t y cos t x :31212232221C C A C C 1y 2)-(x :C 1，1)-(y 1)-(x :C 0其中
0),t (t 1C ，xoy 2=+=+<≤≠⎩⎨⎧⋅=+⋅=παα
α
题后小结：
类型四、动点间的距离问题——动点在曲线上
的最大值与最小值。
，求与点的直线，交夹角为作与）过点（的距离的最大值；到直线）求点（上的一个动点。
是曲线，，直线：已知曲线改编年课标：例|PA |A l l P l P C P y x l y x C ο3021062:19
4)12014(42
2=-+=+
题后小结：
的最小值
|AB |上任意一点，求C 为曲线B 上任意一点，C 为曲线A 若,41)1(:)(,
sin 3,cos 23212221=-+⎩⎨⎧==y x C y x C ，曲线为参数：：已知曲线变式θθθ
题后小结：
三、课堂小结:你学到了什么？
四、作业：
1、回顾本节课的内容，整理归纳。
2、完成下列练习：
.
|||21,cos 2sin ,45)2,1(12PB PA |l B A C l C x l P xoy o ⋅=-）求（的参数方程；
）求直线（。
、的交点为和曲线直线的极坐标方程为极坐标系，曲线轴正半轴为极坐标建立以坐标原点为极点，的倾斜角为的直线中，过点）、在直角坐标系θθρ
.21)2
3()422()(,
sin 3,cos 22面积的最小值上任意一点，求是曲线）若（方程；
在直角坐标系中的普通和直线）写出曲线（。
，和，的两点过极坐标系内极坐标系，直线轴正半轴为极坐标建立以坐标原点为极点，，
为参数的参数方程为中，已知曲线）、在直角坐标系ABP C P l C B A l x y x C xoy ∆⎩⎨⎧==ππθθθ
周长的最小值。
轴，求矩形的一边垂直于为对角线的矩形以上的一个动点，是曲线，若，点：）、已知曲线PERS x PERS PR C P R y x C )4,4(19
432
2=+。