线性代数教案(正式打印版)
线性代数试讲教案
线性代数试讲教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法，能够运用线性代数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过试讲，培养学生的逻辑思维能力、表达能力和合作能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对线性代数的兴趣，提高学生对数学学科的认识和尊重。
二、教学内容1. 第一章：矩阵及其运算1.1 矩阵的概念与性质1.2 矩阵的运算规则1.3 矩阵的逆2. 第二章：线性方程组2.1 线性方程组的定义2.2 高斯消元法解线性方程组2.3 克莱姆法则3. 第三章：向量空间与线性变换3.1 向量空间的概念与性质3.2 线性变换的概念与性质3.3 线性变换的矩阵表示4. 第四章：特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义4.2 特征值与特征向量的求解方法4.3 矩阵的对角化5. 第五章：二次型5.1 二次型的概念与性质5.2 二次型的标准形5.3 二次型的判定定理三、教学方法1. 采用试讲的形式，让学生自主学习、合作探讨，教师进行指导与点评。
2. 通过举例、解决问题，引导学生理解和掌握线性代数的基本概念和方法。
3. 利用数学软件或板书，展示线性代数运算过程，提高学生的直观理解能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在试讲过程中的表达、思考和合作能力。
2. 作业与练习：检查学生对线性代数概念、方法和应用的掌握程度。
3. 阶段性测试：评估学生在一段时间内对线性代数的总体掌握情况。
五、教学资源1. 教材：线性代数教材，如《线性代数及其应用》等。
2. 课件：制作与教学内容相关的课件，辅助学生理解和记忆。
3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等，用于展示线性代数运算过程。
4. 板书：用于在课堂上展示线性代数运算步骤和关键公式。
六、第六章：线性空间与线性映射6.1 线性空间的概念与性质6.2 线性映射的概念与性质6.3 线性映射的例子与性质七、第七章：内积与正交性7.1 内积的概念与性质7.2 正交性的概念与性质7.3 施密特正交化与格拉姆-施密特正交化八、第八章：特征值与特征向量的应用8.1 特征值与特征向量的应用概述8.2 矩阵的对角化与应用8.3 二次型与应用九、第九章：线性代数在工程与科学中的应用9.1 线性代数在工程中的应用9.2 线性代数在科学研究中的应用9.3 线性代数在其他领域的应用10.2 线性代数在实际问题中的应用案例分析10.3 线性代数的进一步学习与研究建议六、教学方法1. 采用试讲的形式，让学生自主学习、合作探讨，教师进行指导与点评。
(完整版)线性代数教案(正式打印版)
特征值与特征向量的求解方法
注意事项
在求解过程中，需要注意特征多项式f(λ)的根可能为重根，此时需要验证 是否满足定义中的条件。
在求解特征向量时，需要注意齐次线性方程组的基础解系的求法。
特征值与特征向量的应用举例
01
应用一
判断矩阵是否可对角化。若矩阵A有n个线性无关的特征向 量，则A可对角化。
02
图像处理
在图像处理中，经常需要对图像进行旋转、缩放等操作，这些操作可以通过矩阵对角化来实现。例如，将一个图像矩 阵与一个旋转矩阵相乘，就可以实现图像的旋转。
数据分析
在数据分析中，经常需要对数据进行降维处理，以提取数据的主要特征。通过对数据的协方差矩阵进行对角化，可以 得到数据的主成分，从而实现数据的降维。
REPORTING
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个重要分支，主 要研究向量空间、线性变换及其性质 。
本课程将系统介绍线性代数的基本概 念、理论和方法，包括向量空间、矩 阵、线性方程组、特征值与特征向量 、线性变换等内容。
它是现代数学、物理、工程等领域的 基础课程，对于培养学生的抽象思维 、逻辑推理和问题解决能力具有重要 作用。
工具。
2023
PART 04
线性方程组与高斯消元法
REPORTING
线性方程组概念及解法
线性方程组定义
由n个未知数和m个线性方程组成的方程组，形如Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数 列向量，b为常数列向量。
解的存在性与唯一性
当系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，且等于未知数个数n时，方程组有唯一解；当 秩小于n时，方程组有无穷多解；当秩大于n时，方程组无解。
要作用。
向量空间与子空间
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、引言1. 课程目标：使学生理解线性代数的基本概念，掌握线性方程组的求解方法，了解矩阵和行列式的基本性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组的求解方法、矩阵和行列式的基本性质。
3. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
二、线性方程组1. 教学目标：使学生理解线性方程组的含义，掌握线性方程组的求解方法，能够运用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容：（1）线性方程组的概念及其解的含义；（2）线性方程组的求解方法（高斯消元法、矩阵法等）；（3）线性方程组在实际问题中的应用。
3. 教学方法：通过具体案例分析，引导学生理解线性方程组的概念，运用高斯消元法和矩阵法求解线性方程组，并讨论线性方程组在实际问题中的应用。
三、矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，了解矩阵在数学和实际中的应用。
2. 教学内容：（1）矩阵的概念及其表示方法；（2）矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；（3）矩阵的其他相关概念（逆矩阵、转置矩阵等）；（4）矩阵在数学和实际中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，探讨矩阵在其他相关概念中的应用，并了解矩阵在数学和实际中的重要作用。
四、行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，了解行列式在线性方程组求解中的应用。
2. 教学内容：（1）行列式的概念及其表示方法；（2）行列式的计算方法（按行（列）展开、性质的应用等）；（3）行列式在线性方程组求解中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，并了解行列式在线性方程组求解中的应用。
五、线性空间与线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间的概念，掌握线性变换的定义和性质，了解线性变换在数学和实际中的应用。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
线性代数电子教案
3.三阶行列式定义:式的左边称为三阶行列式（3-th determinant ），通常也记为∆.在∆中,横的称为行（row ），纵的称为列（column ），其中a ij （i ，j =1，2，3）是数，称它为此行列式的第i 行第j 列的元素.式的右边称为三阶行列式的展开式.利用二阶行列式可以把展开式写成:323122211333312321123332232211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 若记 3332232211a a a a M =, 3331232112a a a a M =, 3231222113a a a a M =, 111111)1(M A +-=, 122112)1(M A +-=, 133113)1(M A +-=则有 131312121111333231232221131211A a A a A a a a a a a a a a a ++==∆ 其中 j A 1称为元素j a 1的代数余子式(algebraic complement minor)(3,2,1=j ),j M 1称为元素j a 1的余子式(complement minor),它是∆中划去元素j a 1所在的行、列后所余下的元素按原位置组成的二阶行列式.4.三元线性方程组的解法:引进了三阶行列式, 对于三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的解就可写成: ∆∆=11x ∆∆=22x ∆∆=33x .称也为方程组（1—4）的系数行列式,它是由未知数的所有系数组成的行列式, j ∆(j =1,2,3)是将∆的第j 列换成常数列而得到的三阶行列式。
5.三阶行列式对角线法则计算法则:如图1—1.例1 计算三阶行列式312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=。
大学线性代数教案
教案：大学线性代数课程名称：大学线性代数课程性质：专业基础课程授课对象：管理类专业学生教学目标：1. 掌握线性代数的基本概念、理论和方法。
2. 能够运用线性代数知识解决实际问题。
3. 提高逻辑思维能力和数学素养。
教学内容：1. 线性方程组2. 矩阵及其运算3. 线性空间与线性变换4. 特征值与特征向量5. 二次型教学安排：共48课时，每课时45分钟。
第一章：线性方程组（8课时）1.1 线性方程组的定义及其解法1.2 矩阵的概念及其运算1.3 高斯消元法1.4 克莱姆法则第二章：矩阵及其运算（10课时）2.1 矩阵的概念2.2 矩阵的运算2.3 逆矩阵2.4 矩阵的行列式第三章：线性空间与线性变换（10课时）3.1 线性空间的概念3.2 线性变换的概念3.3 线性变换的性质3.4 线性变换的矩阵表示第四章：特征值与特征向量（8课时）4.1 特征值与特征向量的概念4.2 特征值与特征向量的求解4.3 矩阵的对角化4.4 二次型第五章：二次型（12课时）5.1 二次型的概念5.2 二次型的标准形5.3 二次型的判定定理5.4 二次型的最小值教学方法：1. 讲授法：通过讲解基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基本知识。
2. 案例教学法：通过分析实际问题，引导学生运用线性代数知识解决问题。
3. 讨论法：组织学生分组讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
4. 练习法：布置课后习题，巩固所学知识，提高解题能力。
教学评价：1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业和课堂表现。
2. 期中考试：检查学生对线性代数知识的掌握程度。
3. 期末考试：全面考察学生的线性代数理论知识和应用能力。
教学资源：1. 教材：选用权威、实用的线性代数教材。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助教学。
3. 习题集：提供丰富的习题，帮助学生巩固知识。
4. 网络资源：利用网络平台，提供在线学习资料和交流平台。
课程总结：通过本课程的学习，使学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法，能够运用线性代数知识解决实际问题，提高逻辑思维能力和数学素养。
线性代数教案(正式打印版)
第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式 243122421----=D .(-14)例3. 求解方程094321112=x x （32==x x 或）例4. 解线性方程组 .55730422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-z y x z y x z y x解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-=第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容：行列式按行（列）展开；2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ij a的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaDΛΛMMMΛΛMMMΛΛ11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaDΛMMMΛΛ212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211Λ按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211Λ证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaDΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiiiΛΛ=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=OOOOnD解:21122112----=OOOOnD2112211121---=+++OOOOΛn rr1+=nDn.从而解得1+=nDn.例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=nnnnnnnxxxxxxxxxDΛΛΛΛΛΛΛΛ()1i jn i jx x≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证用归纳法因为=-==1221211xxxxD()21i ji jx x≥>≥-∏所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n时成立，要证对n时也成立.为此，设法把nD降阶；从第n行开始，后行减去前行的1x倍，有()()()()()()21311221331122222133111111nn nnn n nn nx x x x x xx x x x x x x x xDx x x x x x x x x---------=---LLLL L L LL（按第一列展开，并提出因子1xxi-）第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛ212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAΛΛΛΛΛΛΛ212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
(完整版)线性代数课程教案
重点
难点
教学重点：使学生掌握线性代数的基本概念、基本理论及基本方法，使学生初步掌握处理线性数量关系的基本思想和方法,培养学生运用线性代数方法分析问题和解决实际问题的能力。
教学难点：向量的线性相关性的性质的证明、线性方程组解的结构、二次型。
教材和参考书
1、中国人民大学出版社 赵树嫄主编《线性代数》（第三版）
克莱姆法则
教授思路，采用的教学方法和 辅助手段,板ห้องสมุดไป่ตู้设计,重点如何突出,难点如何解决，师生互动等
讲解法,详见课时教案。
本章思考题和习题
详见课时教案.
主要
参考资料
见参考书有关章节。
章节
§1.1行列式的概念
讲授主要内容
二、三阶行列式、n阶行列式的定义
重点
难点
二、三阶行列式
特殊行列式的值
要求掌握知识点和分析方法
二、三阶行列式、n阶行列式的定义、解二、三元线性方程组
教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出,难点如何解决，师生互动等
1、先由解二元一次方程组引入二阶行列式、再由解三元一次方程组引入三阶行列式。
2、分析三阶行列式的项与符号规律，引入排列及其逆序数，给出n阶行列式的定义。
3、本节重点是分析分析三阶行列式的项与符号规律以便引入n阶行列式，要把主要精力花在这一部分，利用对角线法则计算二阶三阶行列式不要太花时间、应强调对角线法则对于高阶行列式不适用。
4、在适当时候提出问题让学生思考，来解决师生互动问题。
作业布置
见作业册P6
章节
§1.2行列式的展开
§1.3行列式的性质
讲授主要内容
行列式的展开、余子式、代数余子式、行列式的性质
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等；（2）掌握线性方程组的求解方法，如高斯消元法、矩阵的逆等；（3）熟悉线性代数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例讲解，培养学生的空间想象能力；（2）运用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；（3）引导学生运用线性代数的知识，分析、解决身边的数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识；（3）引导学生树立正确的数学观念，克服对数学的恐惧心理。
二、教学内容1. 第一章：向量（1）向量的概念及几何表示；（2）向量的线性运算；（3）向量的数量积与向量垂直；（4）向量的坐标表示与运算。
2. 第二章：矩阵（1）矩阵的概念与运算；（2）矩阵的行列式；（3）矩阵的逆；（4）矩阵的应用。
3. 第三章：线性方程组（1）线性方程组的解法；（2）高斯消元法；（3）矩阵的逆与线性方程组的解；（4）线性方程组的应用。
4. 第四章：矩阵的特征值与特征向量（1）特征值与特征向量的概念；（2）矩阵的特征值与特征向量的求解；（3）矩阵的对角化；（4）矩阵的特征值与特征向量的应用。
5. 第五章：二次型（1）二次型的概念；（2）二次型的标准形；（3）二次型的判定；（4）二次型的应用。
三、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索、思考；2. 结合实例讲解，培养学生的空间想象能力；3. 利用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；4. 组织课堂讨论，促进学生交流与合作；5. 注重练习与反馈，巩固所学知识。
四、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业、小测验等；2. 期中考试：检测学生对线性代数知识的掌握程度；3. 期末考试：全面考察学生的线性代数知识、技能及应用能力。
五、教学资源1. 教材：《线性代数》；2. 辅助教材：《线性代数学习指导》；3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等；4. 网络资源：相关在线课程、教学视频、练习题等。
(完整word版)线性代数行列式教案-
教案教学教案设计(续页）第一 章 行列式 §1。
1 n 阶行列式定义教学目的：使学生了解和掌握n 级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算教学重点:n 阶行列式定义及计算 教学难点:n 阶行列式定义一、导入 线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。
二、新授(一) 二阶、三阶行列式对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1.1） 采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a 22与第二个方程乘以a 12相减得(a 11a 22－a 21a 12）x 1= b 1a 22- b 2a 12第二个方程乘以a 11与第一个方程乘以a 21相减得（a 11a 22－a 21a 12)x 2=a 11b 2—a 21b 1若a 11a 22－a 21a 12≠0,方程组的解为122122111122211a a a a a b a b x --=122122*********a a a a b a b a x --= （1。
2）容易验证(1.2）式是方程组(1.1）的解.称a 11a 22－a 21a 12为二阶行列式,它称为方程组（1.1）的系数行列式，记为D 。
我们若记 2221211a b a b D =2211112b a b a D =方程组的解（1.2)式可写成 D D x 11=DDx 22=对三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1.3） 与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解： D D x 11=D Dx 22= DD x 33= 111213212223313233112233122331132132112332122133132231a a a Da a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a （1。
线性代数教案
第一章行列式§1.1 n阶行列式§1.2 n阶行列式的性质教学目的：使学生了解和掌握n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算，了解和掌握n阶行列式的基本性质教学重点：n阶行列式定义及计算义，n阶行列式的基本性质教学难点：n阶行列式定义、基本性质及利用行列式的性质计算行列式教学时数：4学时教学方法：课堂讲授教学内容与过程：1．课堂考勤2．讲授新课§1.1 n 阶行列式定义一、导言线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。
二、新授(一) n级排列及其奇偶性1.定义：由n个数1，2，3，……，组成的一个有序数组称为一个n级排列。
例1 4321是一个4级排列，35241是一个5级排列．123…n是一个n级排列，它是唯一一个按着由小到大的次序组成的n级排列,称它为n级标准排列．2.定义：在一个排列中的两个数，如果排在前面的数大于排在后面的数，则称这两个数构成一个逆序。
在一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列 j1j2…j n的逆序数记为τ(j1 j2… j n)。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例3 在4级排列中，τ(3412)=2+2=4，故4级排列3412为一个偶排列。
τ(2341)=1+1+1=3，故4级排列2341为一个奇排列。
定理1.1：一个排列中的任何两个元素对换，排列改变奇偶性 （二） 二阶、三阶行列式对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1.1） 采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a 22与第二个方程乘以a 12相减得（a 11a 22－a 21a 12）x 1= b 1a 22- b 2a 12第二个方程乘以a 11与第一个方程乘以a 21相减得（a 11a 22－a 21a 12）x 2=a 11b 2-a 21b 1若a 11a 22－a 21a 12≠0，方程组的解为122122111122211a a a a a b a b x --=122122*********a a a a b a b a x --= （1.2）容易验证（1.2）式是方程组(1.1)的解。
(完整word版)线性代数教案
教案（2013-2014学年第2学期）课程名称：线性代数任课教师:教师职称：所在院系：教学教案设计（首页）教学教案设计（续页）第一 章 行列式 §1.1 n 阶行列式定义教学目的:使学生了解和掌握n 级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算教学重点:n 阶行列式定义及计算 教学难点：n 阶行列式定义一、导入 线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。
二、新授（一) 二阶、三阶行列式对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1.1） 采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a 22与第二个方程乘以a 12相减得（a 11a 22－a 21a 12）x 1= b 1a 22— b 2a 12第二个方程乘以a 11与第一个方程乘以a 21相减得（a 11a 22－a 21a 12)x 2=a 11b 2-a 21b 1若a 11a 22－a 21a 12≠0，方程组的解为122122111122211a a a a a b a b x --=122122*********a a a a b a b a x --= （1.2）容易验证（1.2）式是方程组（1。
1)的解。
称a 11a 22－a 21a 12为二阶行列式，它称为方程组（1。
1）的系数行列式，记为D .我们若记 2221211a b a b D =2211112b a b a D =方程组的解（1。
2）式可写成 D D x 11=DDx 22=对三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (1。
3) 与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解： D D x 11=D Dx 22= DD x 33= 111213212223313233112233122331132132112332122133132231a a a Da a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a （1。
2024版年度线性代数教案正式打印版
线性代数教案正式打印版•线性代数概述•矩阵与行列式•线性方程组•特征值与特征向量目•线性空间与线性变换•线性代数的应用案例录01线性代数概述线性代数的定义与特点定义线性代数是研究线性方程组、矩阵、线性空间及其变换等问题的一门数学分支。
特点线性代数以向量和矩阵为基本工具，通过线性变换来研究数学对象之间的关系和性质，具有高度的抽象性和广泛的应用性。
早期发展线性代数的起源可以追溯到古代中国的《九章算术》和西方欧几里得的《几何原本》等著作，但现代线性代数主要是在19世纪和20世纪发展起来的。
矩阵理论的建立19世纪中叶，英国数学家凯莱和德国数学家西尔维斯特等人开始系统地研究矩阵理论，为线性代数的发展奠定了基础。
线性空间理论的提出20世纪初，德国数学家格拉斯曼和法国数学家若尔当等人提出了线性空间的概念，进一步推动了线性代数的发展。
工程与技术自然科学社会科学计算机科学线性代数在工程和技术领域有着广泛的应用，如电路分析、信号处理、计算机图形学等。
线性代数在社会科学领域也有一定的应用，如经济学中的投入产出分析、社会学中的社会网络分析等。
在物理学、化学、生物学等自然科学领域，线性代数也被广泛应用于描述和解决实际问题。
在计算机科学领域，线性代数被广泛应用于机器学习、数据挖掘、图像处理等方面。
02矩阵与行列式由数字组成的矩形阵列，用于表示线性方程组、线性变换等。
矩阵定义矩阵性质矩阵种类包括矩阵的加法、数乘、转置、乘法等基本性质，以及矩阵的秩、逆矩阵等特殊性质。
包括方阵、行矩阵、列矩阵、对角矩阵、单位矩阵等。
030201矩阵的定义与性质一个方阵各元素按照特定规则组成的数值，用于表示线性方程组解的情况。
行列式定义包括行列式的性质、计算法则、按行按列展开等。
行列式性质用于判断线性方程组解的情况、计算矩阵的逆矩阵等。
行列式应用行列式的定义与性质矩阵与行列式的关系矩阵与行列式的联系行列式是方阵的一个数值特征，与矩阵的逆矩阵、特征值等密切相关。
大学数学线性代数教案
大学数学线性代数教案一、教学目标1.了解线性代数的基本概念和方法；2.掌握线性方程组和矩阵的运算；3.理解向量空间和线性变换；4.熟悉矩阵的特征值和特征向量；5.学习线性代数在其他学科中的应用。
二、教学内容1. 线性代数基础1.1 向量和向量运算•向量的概念和表示•向量的线性运算•向量的模长和方向1.2 线性方程组•线性方程组的定义•线性方程组的解法•列向量和矩阵表示2. 矩阵和矩阵运算2.1 矩阵的定义和性质•矩阵的基本运算•矩阵的转置和逆矩阵2.2 矩阵的乘法和行列式•矩阵的乘法规则•行列式的计算和性质3. 向量空间和线性变换3.1 向量空间的定义和性质•向量空间的基本概念•向量空间的性质和运算规则3.2 线性变换和线性映射•线性变换的定义和表示•线性变换的特征和性质4. 特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义•特征值和特征向量的概念•特征值和特征向量的性质4.2 矩阵的对角化•对角化的条件和方法•矩阵的相似和可逆性5. 线性代数的应用5.1 物理学中的向量和矩阵•向量在力学中的应用•线性方程组在电路分析中的应用5.2 计算机图形学中的线性代数•矩阵在图形变换中的应用•线性变换在图像处理中的应用三、教学方法1.理论讲授：通过讲解概念、定义和定理，引导学生掌握基本知识；2.示例分析：通过具体的例子，演示和分析线性代数的应用过程；3.答疑讨论：充分利用课堂时间，解答学生的疑问和困惑；4.实践操作：设计实验和习题，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
四、教学评价1.思考题：出示一些思考题目，要求学生用线性代数的知识解决实际问题；2.课堂练习：在课堂上布置一些练习题，检测学生对知识点的掌握情况；3.实验报告：要求学生进行实验操作，并撰写实验报告，评估其实践能力和表达能力；4.期末考试：综合考察学生对整个课程的掌握情况，包括理论知识和应用能力。
五、教学资源1.课本教材：《线性代数》，郑欣蘅著，清华大学出版社；2.课件和讲义：准备相应的电子课件和讲义，供学生预习和复习使用；3.实验设备和材料：针对实验操作的实验设备和材料。
《线性代数》教案
1、理解矩阵的定义，知道零矩阵、单位阵、对角阵、行阶梯形阵、行最简阶梯阵、对称矩阵等特殊矩阵，知道两矩阵相等的概念；
2、掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其它运算规律；
3、知道矩阵的分块方法和在矩阵运算中的作用。
《线性代数》教案
1、理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组解的结构，并能熟练的求出它们的通解；
2、熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法；
《线性代数》教案
1、知道向量的内积与正交，了解正交矩阵的概念及性质。
2、理解方阵的特征值和特征向量的概念，掌握其求法。
1、了解相似矩阵的概念及其性质，知道矩阵对角化的充分必要条件。
会求实对称矩阵的相似对角矩阵；
2、掌握线性无关的向量组的Schmidt正交规范化的方法；
1、掌握二次型及其矩阵的表示，了解二次型秩的概念；
2、会用正交变换和配方法把二次型化为标准形的方法；
3、知道惯性定理，掌握正定二次型的判定。
线性代数教案
线性代数教案课程名称：线性代数课程目标：1. 掌握线性代数的基本概念和基本运算规则；2. 理解向量空间和矩阵的性质；3. 学会解线性方程组和矩阵的运算；4. 掌握线性变换和特征值、特征向量的概念与性质。
教学内容：第一课：向量及其运算1. 向量的概念和表示方法；2. 向量的线性组合、线性相关、线性无关的概念；3. 向量的加法和数乘运算规则；4. 向量空间的定义和基本性质；5. 向量空间的子空间和余子空间。
第二课：矩阵及其运算1. 矩阵的概念和表示方法；2. 矩阵的加法和数乘运算规则；3. 矩阵乘法和矩阵的转置；4. 矩阵的逆和矩阵的行列式；5. 线性方程组的矩阵表示和增广矩阵。
第三课：线性方程组与矩阵的解法1. 线性方程组的概念和表示方法；2. 线性方程组的解集和解的存在定理；3. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解法；4. 矩阵的秩和线性方程组的解的关系；5. 矩阵的初等行变换及其应用。
第四课：特征值与特征向量1. 线性变换的概念和矩阵表示；2. 特征值和特征向量的定义与性质；3. 特征值和特征向量的计算方法；4. 对称矩阵和正交矩阵的特征值和特征向量；5. 线性变换的对角化和相似矩阵的概念。
教学方法：1. 理论讲解，通过示例引导学生理解概念和性质；2. 计算题练习，巩固和应用所学的基本运算规则；3. 探究式学习，鼓励学生自主思考和发现问题的解决方法；4. 课堂讨论，促进学生思维的活跃和合作交流。
教学评价：1. 课堂参与度，包括学生是否积极参与讨论和问题解答；2. 作业完成情况，检查学生对概念和运算规则的掌握程度；3. 期中和期末考试，考查学生综合应用所学知识解决问题的能力；4. 课堂小测验，定期检查学生对重要概念和定理的理解程度。
教学资源：1. 教科书和参考书籍：《线性代数及其应用》、《线性代数教程》等；2. 多媒体教学工具：投影仪、电脑等；3. 练习题集和习题课辅导材料；4. 在线学习资源：相关概念的视频、练习题和解析等。
线性代数电子教案
线性代数电子教案电子教案：线性代数一、教学目标：1.理解线性代数的基本概念、基本理论和基本方法。
2.掌握线性代数的基本运算和常用计算方法。
3.能够应用线性代数解决实际问题。
二、教学重点：1.线性方程组的解法。
2.矩阵及其运算。
3.向量及其运算。
三、教学难点：1.线性方程组的解法。
2.矩阵的逆与转置。
3.向量的线性相关性。
四、教学过程：1.引入（10分钟）通过实例引入线性代数的概念和应用。
如何利用线性代数解决实际问题？2.线性方程组（30分钟）2.1概念介绍：什么是线性方程组？何为解集？有唯一解、无解和无穷多解三种情况。
2.2解法：高斯消元法和矩阵法。
2.3实例演练：通过实例演示线性方程组的解法。
3.矩阵与矩阵运算（40分钟）3.1概念介绍：什么是矩阵？矩阵的行、列、元素、转置和逆。
3.2矩阵的加法和数乘。
3.3矩阵的乘法及其性质。
3.4实例演练：通过实例演示矩阵的运算。
4.向量与向量运算（40分钟）4.1概念介绍：什么是向量？向量的线性组合、线性相关和线性无关。
4.2向量的加法和数乘。
4.3内积与外积。
4.4实例演练：通过实例演示向量的运算。
5.应用与拓展（20分钟）5.1线性代数在计算机科学中的应用：图像处理、机器学习等。
5.2线性代数进一步拓展：矩阵的特征值与特征向量、二次型等。
6.总结与小结（10分钟）对本节课的内容进行总结和小结，检查学生的学习效果。
五、教学资源与评估：1.教学资源：投影仪、电子教案、线性代数教材。
2.教学评估：通过课堂练习和作业检查。
六、教学建议：1.利用多媒体技术，结合具体实例进行教学，增强学生的学习兴趣。
2.注重理论与实践的结合，引导学生进行实际问题的求解。
七、教学后记：本节课主要介绍了线性方程组、矩阵和向量的基本概念、基本运算和基本方法。
通过实例演练，学生对线性代数有了初步的了解和应用能力。
在教学过程中，学生积极参与讨论和互动，课堂气氛活跃。
但有部分学生对深入的理论和拓展知识还存在一定的困惑，需要增加相应的练习和辅导。
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第（1）次课授课时间（）基本内容 备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221a b a b -,这就是公式（2）中1x 的表达式的分子。
同理将D 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b 1,b 2 ,可得到另一个行列式,用字母2D 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211b a b a -,这就是公式（2）中2x 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D 例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表 333231232221131211a a a a a a a a a记333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式 243122421----=D .(-14)例3. 求解方程094321112=x x （32==x x 或）例4. 解线性方程组 .55730422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-z y x z y x z y x解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-=第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义 在n 阶行列式中，把元素ij a 所处的第i 行、第j 列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n 阶行列式，称为ij a 的余子式，记为ij M ；而ij j i ij M A +-=)1(称为ij a 的代数余子式.引理 如果n 阶行列式中的第i 行除ij a 外其余元素均为零，即：nnnjn ijn j a a a a a a a D1111100=.则：ij ij A a D =.证 先证简单情形： nnn n n a a a a a a a D212222111=再证一般情形：定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行： ()j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211 按列： ()j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 ：3351110243152113------=D .解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应数余子(i ≠=0第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容 备注第一节 矩阵一、矩阵的定义 称m 行、n 列的数表mnm m n n a a a a a a a a a212222111211为n m ⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211或简记为n m ij a A ⨯=)(,或)(ij a A =或n m A ⨯；其中ij a 表示A 中第i 行，第j 列的元素。
其中行列式mnm m nna a a a a a a a a212222111211D =为按行列式的运算规则所得到的一个数；而n m ⨯矩阵是 n m ⨯个数的整体,不对这些数作运算。
例如，公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。
设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(都是n m ⨯ 矩阵，当则称矩阵A 与B 相等,记成B A =。
二、特殊形式n 阶方阵： n n ⨯ 矩阵行矩阵 ：n ⨯1矩阵（以后又可叫做行向量），记为),,,(,21n a a a A =列矩阵 ：1⨯m 矩阵（以后又可叫做列向量），记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b B 21零矩阵 ：所有元素为0的矩阵,记为O对角阵 ：对角线元素为n λλλ,...,,21,其余元素为D 的方阵，记为单位阵 ：对角线元素为1，其余元素为0的方阵，记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 E三、线性变换的系数矩阵线性变换的定义：设变量m y y y ,...,,21能用变量n x x x ,...,,21线性表示，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=nmn m m m n n nn x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111 这里ij a ()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==为常数。
这种从变量n x x x ,...,,21到变量m y y y ,...,,21的变换称为线性变换。
线性变换由m 个n 元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。
上式的系数可构成一个n m ⨯矩阵()()ij n m ij mn m m n n a a a a a a a a a a a A ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯ 212222111211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称之为线性变换的系数矩阵。
线性变换和系数矩阵是一一对应的。
如,直角坐标系的旋转变换（变量),(y x 到变量),(y x ''的变换）⎩⎨⎧+-=+=y x y yx x θθθθcos sin 'sin cos ' 的系数矩阵为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . 恒等变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===mmx y x y x y 2211 的系数矩阵为例. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111E 同样，齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 与系数矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，也是一一对应的.非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********与增广矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A21212222111211也是一一对应的。
第二节 矩阵的运算一、加法设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(,都是n m ⨯矩阵,则加法定义为第（6）次课授课时间（）。