最佳线性滤波器
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FIR：h(n), n [0, N -1]; ; 因果IIR：h(n), n [0, ） 非因果IIR：h(n), n (-, )。
LTI 滤波器的类型：
由信号正交性理解最优设计准则： ˆ(n)+e(n（ s (n)=s ) 正交分解定理） ˆ( n ) e( n ) s ˆ(n)= h(i) x(n i )，故 而s
最佳线性滤波器结构
x ( n)
LTI(h(n))
ˆ(n) y(n) s
d (n) s(n)
+
ˆ(n) e(n) d (n) y(n) s(n) s
s (n)为源信号，是获取的对象； 输入序列：x(n) s (n) v(n)—— 2 v ( n ) ~ N (0, v )为加性噪声。
最佳线性滤波概述
最优估计： 在许多实际问题中，需要研究随时间变化的随机变量或随机
矢量的估计问题，即：按照某种最优准则对随时间变化的随
机变量或随机矢量作出估计。 ——在信息与通信工程领域常称为“波形估计”；
——在控制科学与工程领域常称为“状态估计”。
最佳滤波： 信号s(n)在传输时引入加性噪声v(n)，接收信号x(n) s(n) v(n)， ˆ(n)恢复s(n)。 希望经最佳滤波器滤波后的输出y(n) s
E[s (n) x (n)] R -1 x(n) E[ s(n) x (n)] E[ x(n) x (n)]1 x(n)
ˆ(n)是s(n)在信号空间X (n) {x(n), x(n -1)， x( N 1)}上的正交投影。 s
Rs (m) 0.8|m| , m 0, 1, 例：设信号s(n)的自相关序列为： x(n) s(n) v(n) ，试中v(n) 是方差为0.45的零 观测信号为： 均值白噪声，它与s(n）统计独立。设计一个长为N=3的FIR 滤波器来处理x(n)，使得其输出与s(n)的差的均方值最小。
ˆ(n) h(n) x(n) 输出序列：y(n) s x(n) h(n) h(i) x(n i )
i
设计目的：获得系统的单位脉冲响应h(n)，或传输函数H ( z)。
设计准则：最小均方误差准则，即 ˆ(n))2 ] Min (n) E[e2 (n)] E[(s(n) s
i i i
Rxs (m) h(i ) Rx (m i ) 0 m ——Wiener Hopf 方程
i
Rxs (m)—输入x (n )与信号s (n)的互相关函数； Rx (m)—输入x (n)的自相关函数。
Wiener Hopf 方程的求解： 求解的目的是得到最优的单位脉冲响应hopt (n)或系统传输函数H opt ( z ) hopt (n)
, h( N 1)
T
输入时间序列（与h(n)等长）： x(n) x(n), x(n 1),
, x(n N 1)
T
x(n)与s(n)的互相关函数（P为列矢量）： P E x(n)s (n) Rxs (0), Rxs (1),
输入数据时间序列x(n)的自相关矩阵： R E x ( n) x ( n)
, Rxs ( N 1)
T
T
Toeplitz 对称阵
Rx ( N 1) Rx ( N 2) Rx ( N 3) Rx (0) N N
Rx (1) Rx (2) Rx (0) R (1) Rx (0) Rx (1) x Rx (2) Rx (1) Rx (0) Rx ( N 1) Rx ( N 2) Rx ( N 3)
Wiener Hopf 方程的矩阵形式： P h R 或 P RT h Rh
T T
滤波器单位脉冲响应的最优解： hopt R -1 P
滤波器输出： ˆ( n ) h y (n) s
T opt T
x(n) P (R -1 )T x(n)
T T T
解：
x(n) [ x(n) x(n wk.baidu.com1) x(n 2)]T
i
e(n) x(n i ) i， 或 E[e(n) x(n i)] 0 i （正交方程）
第三章 最佳线性滤波器
最佳线性滤波概述
Wiener-Hopf方程及其求解
Wiener滤波的性能 互补Wiener滤波器设计 卡尔曼滤波器的递推算法 卡尔曼滤波器的应用
由正交方程 Wiener Hopf 方程： E[e( n) x( n m)] 0 m E[( s( n) h(i) x( n i)) x( n m)] E[ s( n) x( n m)] h(i) E[ x(n i ) x(n m)] Rsx (m) h(i) Rx (m i ) 0
最优准则：
包括最大后验准则、最大似然准则、均方准则、线性均方准 则等。最佳线性滤波器采用线性均方准则，通常称为“最小 均方误差（LMS）”和“最小二乘（LS）”准则。统计均 方意义下的准则，要求输入为随机过程（序列），通常假定 “平稳”和“各态历经”。
最佳线性滤波器的主要应用场景： 10 . 过滤：用n时刻及以前的输入数据估计n时刻的信号值， 对应为因果IIR； 20 . 平滑：用过去、n时刻及未来的全部输入数据估计 n时刻的信号值，对应为非因果IIR； 30 . 预测：用n时刻及以前的共p个输入数据预测未来某时刻 的信号值，对应为FIR；
Z Z 1
H opt ( z )
10. FIR型Wiener滤波器
x ( n)
z
1
x(n 1)
z
h1
1
x(n N 2)
… … …
z
1
x(n N 1)
h0
hN 2
hN 1
+
+
+
+
e(n)
ˆ(n) y(n) s
s ( n)
有限单位脉冲响应序列：h＝ h(0), h(1),
LTI 滤波器的类型：
由信号正交性理解最优设计准则： ˆ(n)+e(n（ s (n)=s ) 正交分解定理） ˆ( n ) e( n ) s ˆ(n)= h(i) x(n i )，故 而s
最佳线性滤波器结构
x ( n)
LTI(h(n))
ˆ(n) y(n) s
d (n) s(n)
+
ˆ(n) e(n) d (n) y(n) s(n) s
s (n)为源信号，是获取的对象； 输入序列：x(n) s (n) v(n)—— 2 v ( n ) ~ N (0, v )为加性噪声。
最佳线性滤波概述
最优估计： 在许多实际问题中，需要研究随时间变化的随机变量或随机
矢量的估计问题，即：按照某种最优准则对随时间变化的随
机变量或随机矢量作出估计。 ——在信息与通信工程领域常称为“波形估计”；
——在控制科学与工程领域常称为“状态估计”。
最佳滤波： 信号s(n)在传输时引入加性噪声v(n)，接收信号x(n) s(n) v(n)， ˆ(n)恢复s(n)。 希望经最佳滤波器滤波后的输出y(n) s
E[s (n) x (n)] R -1 x(n) E[ s(n) x (n)] E[ x(n) x (n)]1 x(n)
ˆ(n)是s(n)在信号空间X (n) {x(n), x(n -1)， x( N 1)}上的正交投影。 s
Rs (m) 0.8|m| , m 0, 1, 例：设信号s(n)的自相关序列为： x(n) s(n) v(n) ，试中v(n) 是方差为0.45的零 观测信号为： 均值白噪声，它与s(n）统计独立。设计一个长为N=3的FIR 滤波器来处理x(n)，使得其输出与s(n)的差的均方值最小。
ˆ(n) h(n) x(n) 输出序列：y(n) s x(n) h(n) h(i) x(n i )
i
设计目的：获得系统的单位脉冲响应h(n)，或传输函数H ( z)。
设计准则：最小均方误差准则，即 ˆ(n))2 ] Min (n) E[e2 (n)] E[(s(n) s
i i i
Rxs (m) h(i ) Rx (m i ) 0 m ——Wiener Hopf 方程
i
Rxs (m)—输入x (n )与信号s (n)的互相关函数； Rx (m)—输入x (n)的自相关函数。
Wiener Hopf 方程的求解： 求解的目的是得到最优的单位脉冲响应hopt (n)或系统传输函数H opt ( z ) hopt (n)
, h( N 1)
T
输入时间序列（与h(n)等长）： x(n) x(n), x(n 1),
, x(n N 1)
T
x(n)与s(n)的互相关函数（P为列矢量）： P E x(n)s (n) Rxs (0), Rxs (1),
输入数据时间序列x(n)的自相关矩阵： R E x ( n) x ( n)
, Rxs ( N 1)
T
T
Toeplitz 对称阵
Rx ( N 1) Rx ( N 2) Rx ( N 3) Rx (0) N N
Rx (1) Rx (2) Rx (0) R (1) Rx (0) Rx (1) x Rx (2) Rx (1) Rx (0) Rx ( N 1) Rx ( N 2) Rx ( N 3)
Wiener Hopf 方程的矩阵形式： P h R 或 P RT h Rh
T T
滤波器单位脉冲响应的最优解： hopt R -1 P
滤波器输出： ˆ( n ) h y (n) s
T opt T
x(n) P (R -1 )T x(n)
T T T
解：
x(n) [ x(n) x(n wk.baidu.com1) x(n 2)]T
i
e(n) x(n i ) i， 或 E[e(n) x(n i)] 0 i （正交方程）
第三章 最佳线性滤波器
最佳线性滤波概述
Wiener-Hopf方程及其求解
Wiener滤波的性能 互补Wiener滤波器设计 卡尔曼滤波器的递推算法 卡尔曼滤波器的应用
由正交方程 Wiener Hopf 方程： E[e( n) x( n m)] 0 m E[( s( n) h(i) x( n i)) x( n m)] E[ s( n) x( n m)] h(i) E[ x(n i ) x(n m)] Rsx (m) h(i) Rx (m i ) 0
最优准则：
包括最大后验准则、最大似然准则、均方准则、线性均方准 则等。最佳线性滤波器采用线性均方准则，通常称为“最小 均方误差（LMS）”和“最小二乘（LS）”准则。统计均 方意义下的准则，要求输入为随机过程（序列），通常假定 “平稳”和“各态历经”。
最佳线性滤波器的主要应用场景： 10 . 过滤：用n时刻及以前的输入数据估计n时刻的信号值， 对应为因果IIR； 20 . 平滑：用过去、n时刻及未来的全部输入数据估计 n时刻的信号值，对应为非因果IIR； 30 . 预测：用n时刻及以前的共p个输入数据预测未来某时刻 的信号值，对应为FIR；
Z Z 1
H opt ( z )
10. FIR型Wiener滤波器
x ( n)
z
1
x(n 1)
z
h1
1
x(n N 2)
… … …
z
1
x(n N 1)
h0
hN 2
hN 1
+
+
+
+
e(n)
ˆ(n) y(n) s
s ( n)
有限单位脉冲响应序列：h＝ h(0), h(1),