(优选)离散时间随机信号和随机过程

数
E. 语音信号 地震信号 广播信号 电视 信号
例1、下列变量中，不是随机变量的是（ ）
A．一射手射击一次的环数 是
B．水沸腾的温度点
不是
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和 是
D．某电话机在时间(0，T)内收到的呼叫次 数是
E. 语音信号 地震信号 广播信号 电视
信号 是
5.2 随机变量的描述
• 随机变量x
要完整地描述一个随机过程,需要知道它的所有随 机变量的概率密度函数和所有可能的联合概率密 度函数.
一般地,不同时刻的概率密度函数是不同的,二维随 机变量(xn,xm)与(xn+k,xm+k)的联合概率密度函数也是 不同的.
（3）狭义平稳随机过程
如果满足:
p
（X
xn
n，n）=p
（X
xm
m，m）=p（x X）
Ex y Ex Ey Eax aEx Exy ExEy
（ x与 y 线性独立）
意义：反映了离散型随机变量取值的平均水平.
（2）方差
2 x
E
x
mx
2
（3）均方值
E x2
x
2
px
x dx（连续随机变量）
E x2 x2 px x （离散随机变量）
xX
2 x
E x2
mx2
• 概率质量函数与概率分布函数的关系:
PX ( X ) px (x) x X
• 连续随机变量 x 的概率密度函数的性质:
px ( X ) 0;
px ( X )dX 1;
b
px ( X )dX Px (b) Px (a)
a
• 例5.1 投掷硬币
• 例5.2 均匀分布
• 例5.3 量化误差
mx
0
x
x
2
exp
x2
2 2
dx
2
2 x
百度文库
x
0
mx
2
x
2
exp
x2
2 2
dx
2-
2
2
练习 求正态分布的随机变量的均值和方差。
pxx
1
2
exp
x m2
2 2
mx
x
1
2
exp
x m2
2 2
dx
m
2 x
x m2
1
2
exp
x m2
2 2
Px ( X 0) Px ( X )
(4)
如果Px ( X )在X
X
处不连续，
i
则在这点的阶跃等于随机变量
在这点的概率。
• 连续随机变量的概率密度函数
px
(
X
)
Px ( X X
)
X
Px ( X ) px (x)dx
• 离散随机变量的概率质量函数(概率密度 函数不存在)
px ( X ) [x X ]的概率
概率分布函数定义(x不超过某个值X的 概率) Px ( X ) [x X ]的概率
• 分布函数的重要性质
(1)单调非减函数(X为实数)
若 X1 X2,则有
P（x X1）
P（x X
）
2
(2)
P（x ）=limPx (X ) 0
X-
P（x ）=limPx (X ) 1 X
(3) Px ( X )右连续
数字信号处理
（优选）离散时间随机信号和 随机过程
5.1概述
• 离散时间确定信号 可以用数学公式 数据表格 图形等形式唯一
和准确地表示出来。如单位取样序列 单 位阶跃序列 指数序列 三角序列。
• 离散时间随机信号
不可能用确定信号的表示方法表示，只能用 概率和统计的方法描述。
如投硬币，出现的正反面组成的序列。
意义： 反映了随机变量的波动与离散的程度.
（4）物理意义
设随机变量是电压或电流，则
均方值 E[x2 ] 是在单位电阻上消耗的总的平
均功率;
方差
2 x
是交流成分在单位电阻上消耗的
平均功率；
均值的平方是直流成分在单位电阻上消耗
的平均功率.
.
总平均功率等于交流成分的平均功率
与直流成分的平均功率之和
E
x2
信号
确定性
随机性
周期性 非周期性
平稳
非平稳
各态遍历 非各态遍历
R5 (n)
an R7 (n)
确定性信号
随机信号
水文资料
流量概率密度估计
例1、下列变量中，不是随机变量的是（ ）
A．一射手射击一次的环数 B．水沸腾的温度点 C．抛掷两枚骰子，所得点数之和 D．某电话机在时间(0，T)内收到的呼叫次
Pxn，x（m Xn，n，Xm，m）=[xn Xn同时xm Xm ]的概率 对连续随机变量：二维联合概率密度函数
p
（X xn，xm n，n，X
m，m）=
2Pxn，x（m Xn，n，X XnXm
m，m）
对离散随机变量：二维联合概率质量函数
p （X xn，xm n，n，Xm，m）=[xn Xn同时xm Xm ]的概率
dx
2
5.3 离散随机过程
（1）离散随机过程 由无限多个随机变量构成的一个时间序列
xn n
构成一个随机过程.
仅仅知道一个时刻的统计特性是不够的 还应该知道不同时刻随机变量之间的关 系,引入联合概率分布函数和联合概率密 度函数.
随机过程理论的应用：信道容量分析 •
53
随机变量xn，xm的联合概率分布函数， 描述了他们之间的互相依存关系：
p （X xn，xm n，n，Xm，m）=pxn+k，xm（k Xn+k，n+k，Xm+k，m+k）
变量的均值和方差。
p
x
x
1 b
0,
a
,
a xb 其它
mx
xpx xdx
ab
b
x
dx a
a
b 2
2 x
x
mx
2
px
xdx
abx a b
2 2
1 ba
dx 1 b a2
12
练习 已知随机变量为瑞利分布,求瑞利变
量的均值和方差。
px
x
x
2
exp
x2
2 2
,
x0
0,
其它
计算概率分布函数和概率质量 函数较麻烦,引入随机变量的数 字特征.(统计特性)
随机变量的数值特征
(1) 均值(统计平均或集合平均,期望值算子)
mx
Ex
x
px
xdx
(连续)
mx Ex xpx x (离散)
xX
如果随机变量是电压或电流，那么其均 值就是该电压或电流的直流分量。
均值的性质:
2 x
mx2
• x的n阶原点矩 mn
E xn xn px (x)dx mn
• x的n阶中心矩 n
E (x m1)n (x m1)n px (x)dx n
均值等于随机变量的一阶原点矩，均方值等于随 机变量的二阶原点矩，方差等于随机变量的二阶 中心矩。
练习 求在区间（ a, b ）均匀分布的随机
类似地,可以定义高阶联合概率分布/ 联合概率密度/联合概率质量函数
（2）统计独立随机过程
如果随机过程在不同时刻的随机变量互不 影响，则称诸随机变量是统计独立的。统计 独立的两随机变量的联合概率分布函数等于 它们各自的概率分布函数之积。
Pxn，x（m Xn，n，Xm，m）=Px（n Xn，n）Px（m Xm，m）