吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(三)(三模)理科数学试题 含答案
2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(理)试题(解析版)
【答案】C
【解析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径.
【详解】
两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为 ，
又圆 的圆心为 ，半径为1，
故 ，解得 .故所求圆心为 .
直线 截得 所成弦长 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 截得所求圆的弦长 ，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用 之间的关系，即可容易求得 ，则 得解，再用并项求和法即可求得结果.
【详解】
由 得 ，作差可得：
，又 得 ，
则 所以 ，
…，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用 的关系求数列的通项公式，涉及等差数列前 项和的求解，属综合中档题.
12．设椭圆 的左右焦点为 ，焦距为 ，过点 的直线与椭圆 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（）
【详解】
因为 ，又 与向量 共线
故可得 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查向量共线的坐标公式，涉及向量的坐标运算，属基础题.
4．已知函数 的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点（）
A．向左平移 个单位B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位D．向右平移 个单位
【答案】A
【解析】利用辅助角公式化简 ，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，求得 ，结合余弦定理，即可求得 的齐次式，据此即可求得结果.
【详解】
根据题意，作图如下：
由 得 ， ，
由
即 ，
整理得 ，
2020年吉林省示范高中高考数学三模试卷 (含答案解析)
2020年吉林省示范高中高考数学三模试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x =5−2n,n ∈N}，B ={x|x >1}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {3}C. {3,5}D. {1,3，5} 2. 复数z 1=3+i ，z 2=−1−i ，则z 1−z 2等于( )A. 2B. 2+2iC. 4+2iD. 4−2i3. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为4，离心率为√3，则其虚轴长为( )A. 8√2B. 4√2C. 2√2D. 4√634. 已知函数f(x)={log 2x −1(x >0)f(2−x)(x ≤0)，则f(0)=( )A. −1B. 0C. 1D. 35. 由变量x 与y 相对应的一组数据(3,y 1)，(5,y 2)，(7,y 3)，(12,y 4)，(13,y 5)得到的线性回归方程为y ̂=12x +20，则∑y i 5i=1=( ) A. 25B. 125C. 120D. 24 6. 4名同学甲、乙、丙、丁按任意次序站成一排，甲或乙站在边上的概率为( )A. 12B. 56C. 23D. 167. 已知函数f(x)=2 1+x 2−11+x 2，则使得f(2x)>f(x −3)成立的x 的取值范围是( )A. (−∞,−3)B. (1,+∞)C. (−3,−1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)8. 函数f(x)=x −√2sinx 在区间[0,π]上的最大、最小值分别为( )A. π，0B. π2−√2 ,0C. π ,π4−1D. 0 , π4−19. 阅读如图所示的程序框图，则输出的S =( )A. 3B. 15C. 21D. 3510. 在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若sinA:sinB =2:3，则a:b =( )A. 3:2B. 4:9C. 9:4D. 2:311. 已知F 1，F 2是椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点，直线l 过点F 2与椭圆交于A 、B 两点，且|AB|=7，则△ABF 1的周长为( )A. 10B. 12C. 16D. 312. 如图，平面四边形ABCD 中，E ，F 是AD ，BD 中点，AB =AD =CD =2，BD =2√2，∠BDC =90°，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A′BD ，使平面A′BD ⊥平面BCD ，则四面体A′BCD 中，下列结论不正确的是( )A. EF//平面A′BCB. 异面直线CD 与A′B 所成的角为90°C. 异面直线EF 与A′C 所成的角为60°D. 直线A′C 与平面BCD 所成的角为30°二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−m,−(3+m))，若A 、B 、C 三点共线，则实数m 的值为______ ．14. 若α=20∘，β=25∘，则(1+tanα)(1+tanβ)=________．15. 《九章算术》卷五——商功中提出如下问题：“今有委菽依垣，下周三丈，高七尺，问积几何⋅”意思是：“今靠墙壁堆放大豆，大豆下周长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积为多少⋅”己知大豆靠墙时堆放的形状可大致认为是半圆锥形，则基于上述事实，可以求得这堆大豆的体积为______________立方尺．注：1丈=10尺，取π=316. 已知函数f(x)=x(e x −1e x )，则使f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 81 88 67 101 103 57 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 (Ⅰ)完成下面的频率分布表；(Ⅱ)完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a 的值；(Ⅲ)在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内的概率．分组频数频率[41,51)22 30[51,61)33 30[61,71)44 30[71,81)66 30[81,91) [91,101)[101,111)22 3018.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S6=21．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和T n．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，M为线段CC1上的一点，且AC=1，BC=CC1=2．(Ⅰ)求证：AC⊥B1M；(Ⅱ)若N为AB的中点，若CN//平面AB1M，求三棱锥M−ACB1的体积．20.已知抛物线C:x2=2y，过点(−2,4)且斜率为k的直线l与抛物线C相交于M，N两点．(1)若k=2，求|MN|的值;(2)记直线l1:x−y=0与直线l2:x+y−4=0的交点为A，求K AM·K AN的值．21.已知函数f(x)=xe x+x2+ax+b，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为4x−2y−3=0．(1)求a,b的值；(2)证明：f(x)>lnx．22.已知圆C：ρ=2cosθ，直线l：ρcosθ−ρsinθ=4，求过点C且与直线l垂直的直线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x−1|−3(a≠0)的一个零点为2．(Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若直线y=kx−2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查交集的求法，是基础题．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x=5−2n,n∈N}，={5,3，1，−1，−3……}，B={x|x>1}，∴A∩B={3,5}．故选：C．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数的减法运算，属于基础题．【解答】解：因为复数z1=3+i，z2=−1−i，则z1−z2=4+2i．故选C．3.答案：B解析：【分析】根据题意，由双曲线的实轴长可得a的值，进而由离心率公式可得c的值，计算可得b的值，由双曲线的虚轴长为2b，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的实轴长为2a．【解答】解：根据题意，若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=√3，则有e =ca =√3，则c =√3a =2√3， 则b =√c 2−a 2=2√2， 则该双曲线的虚轴长2b =4√2； 故选：B ．4.答案：B解析： 【分析】本题考查分段函数求值，为基础题． 将自变量代入相应解析式求值，可得结果． 【解答】解：f (0)=f (2−0)=f (2)=log 22−1=0． 故选B ．5.答案：C解析： 【分析】利用已知求得x ，将样本中心点(x,y)代入线性回归方程y ̂=12x +20求得y ，再由y =15∑y i 5i=1即可求得∑y i 5i=1的值．本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程必过样本中心点(x,y)，考查计算能力，属于基础题． 【解答】 解：由x =3+5+7+12+135=8，∵线性回归方程必过样本中心点(x,y)， ∴y =12x +20，解得y =24，即y =15∑y i 5i=1=24， ∴∑y i 5i=1=120， 故选C ．6.答案：B解析：解：甲、乙、丙、丁四人并排站成一排一共有A 44=24种甲和乙站在中间的情况有A 22⋅A 22=4种∴甲或乙站在边上的情况有20种甲或乙站在边上的概率为2024=56，故选：B．先求出甲、乙、丙、丁四人并排站成一排的事件种数，然后求出甲和乙站在中间的情况，从而求出甲或乙站在边上的情况，最后利用古典概型的概率公式进行求解即可．本题求的是概率实际上本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．7.答案：D解析：解：函数f(x)=2 1+x2−11+x，有f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数，当x>0时，可得y=2 1+x2递增，y=−11+x2递增．则f(x)在(0,+∞)递增，且有f(|x|)=f(x)，则f(2x)>f(x−3)即为f(|2x|)>f(|x−3|)，即|2x|>|x−3|，则|2x|2>|x−3|2，即为(x+3)(3x−3)>0，解得x>1或x<−3．故选：D．判断函数f(x)为偶函数，讨论x>0时，f(x)为增函数，再由偶函数的性质：f(|x|)=f(x)，以及单调性，可得|2x|>|x−3|，解不等式即可得到所求解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意运用复合函数的单调性和偶函数的性质，考查运算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：函数f(x)=x−√2sinx，∴f′(x)=1−√2cosx；令f′(x)=0，解得cosx=√22，又x∈[0,π]，∴x=π4；∴x∈[0,π4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(π4,π]时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴f(x)min=f(π4)=π4−√2sinπ4=π4−1，f(0)=0，f(π)=π；∴函数f(x)在区间[0,π]上的最大、最小值分别为π和π4−1．故选C．对函数f(x)求导数，利用导数判断f(x)的单调性，并求f(x)在区间[0,π]上的最大、最小值．本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．9.答案：A解析：解：第一次循环得到的结果为T=1，S=1，i=2，不满足i≥3，执行“否”；第二次循环得到的结果为T=3，S=3，i=3，满足i≥3，执行“是”，输出S=3．故选：A．模拟程序框图的运行过程，判断循环的结果是否满足判断框中的条件，直到满足判断框中的条件执行输出结果即可．本题考查了循环结构，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环得到结果，从中找规律．10.答案：D解析：【分析】本题考查正弦定理，属于基础题目．直接利用正弦定理得出即可．【解答】解：∵sinA:sinB=2:3，∴由正弦定理可得a:b=sinA:sinB=2:3．故选D．11.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的定义．椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．【解答】解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16．故选：C．12.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化思想和运算能力，属于中档题．运用线面平行的判定定理可判断A；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C；由线面角的求法，可判断D．【解答】解：A：因为E，F分别为A′D和BD两边中点，所以EF//A′B，即EF//平面A′BC，EF⊄平面A′BC，A正确；B：因为平面A′BD⊥平面BCD，交线为BD，且CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，A′B⊂平面A′BD，即CD⊥A′B，故B正确；C：取CD边中点M，连接EM，FM，则EM//A′C，所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角，又EF=1，EM=12A′C=√2，FM=12BC=√3，即∠FEM=90°，故C错误；D：连接A′F，可得A′F⊥BD，由面面垂直的性质定理可得A′F⊥平面BCD，连接CF，可得∠A′CF为A′C与平面BCD所成角，由sin∠A′CF=A′FA′C =√22√2=12，则直线A′C与平面BCD所成的角为30°，故D正确．故选：C．13.答案：12解析：m =12；解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−m,−(3+m))，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m,1−m)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∴3(1−m)=2−m解得m =12故答案为：12．利用三点共线，通过坐标运算求出m 的值．本题考查三点共线，向量的坐标运算，考查计算能力． 14.答案：2解析：【分析】本题主要考查两角和的正切公式，属于容易题．根据两角和的正切公式即可求解．【解答】解：因为α=20°，β=25°，所以tan (α+β)=tan45°=1，所以(1+tanα)(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+tan (α+β)(1−tanαtanβ)+tanαtanβ=1+1−tanαtanβ+tanαtanβ=2．故答案为2．15.答案：350解析：【分析】本题考查圆锥的体积，属于基础题．熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键．【解答】解：由下周长(半圆周长)为30尺，得πR =30，R =30π，∴所求体积立方尺．故答案为350．16.答案：(13,1)解析：解：根据题意，f(x)=x(e x−1e x)，则f(−x)=(−x)(e−x−e x)=x(e x−e−x)=f(x)，为偶函数；又由f′(x)=(e x−e−x)+x(e x+e−x)，当x≥0时，f′(x)>0，则函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(x)>f(2x−1)⇔f(|x|)>f(|2x−1|)⇒|x|>|2x−1|，即x2>4x2−4x+1，解可得：13<x<1，即x的取值范围为(13,1)；故答案为：(13,1)根据题意，分析可得函数f(x)为偶函数与，利用导数与函数单调性的关系，分析可得函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，进而可以将f(x)>f(2x−1)转化为|x|>|2x−1|，即x2>4x2−4x+1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，涉及函数的导数与单调性的判断方法，属于综合题．17.答案：解：(Ⅰ)如下图所示．…(4分)(Ⅱ)如下图所示．…(6分)由己知，空气质量指数在区间[71,81)的频率为630，所以a=0.02.…(8分)分组频数频率………[81,91)1010 30[91,101)33 30………(Ⅲ)设A表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”，由己知，质量指数在区间[91,101)内的有3天，记这三天分别为a ，b ，c ，质量指数在区间[101,111)内的有2天，记这两天分别为d ，e ，则选取的所有可能结果为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)．基本事件数为10.…(10分)事件“至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”的可能结果为：(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)．基本事件数为7，…(12分)所以P(A)=710.…(13分)解析：(I)先将数据从小到大排序，然后进行分组，找出频数，求出频率，立出表格即可． (II)先建立直角坐标系，按频率分布表求出频率/组距，得到纵坐标，画出直方图即可；利用空气质量指数在区间[71,81)的频率，即可求出a 值．(III)样本中空气质量质量指数在区间[91,101)内的有3天，记这三天分别为a ，b ，c ，质量指数在区间[101,111)内的有2天，记这两天分别为d ，e ，列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率等等．18.答案：解：(1)设公差为d ，由已知可得：{a 1+2d =36a 1+6×52d =21，解得a 1=1，d =1． ∴a n =1+(n −1)=n ．(2)b n =a n +2n =n +2n ．∴数列{b n }的前n 项和T n =(1+2+⋯+n)+(2+22+⋯+2n )=n(n +1)2+2(2n −1)2−1=n 2+n 2+2n+1−2．解析：(1)设公差为d ，由已知可得：{a 1+2d =36a 1+6×52d =21，解得a 1，d.即可得出． (2)b n =a n +2n =n +2n .利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∵AC⊥CC1，AC⊥BC，CC1∩BC=C．∴AC⊥平面BB1C1C，∵B1M⊂平面BB1C1C，∴AC⊥B1M；(Ⅱ)解：当M为CC1中点时，CN//平面AB1M.理由如下：∵CM=12CC1，CM//BB1，CM=12BB1，取AB1中点E，连接NE，ME，∵N、E分别为AB、AB1中点，∴NE//BB1，NE=12BB1，∴CM//NE，CM=NE，则四边形CMEN为平行四边形，∴CN//ME，又CN⊄平面AMB1，ME⊂平面AMB1，∴CN//平面AMB1，∵S△B1MC =12CM·BC=1，∴V M−ACB1=V A−CMB1=13S△B1MC·AC=13．解析：本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．(Ⅰ)由直三棱柱ABC−A1B1C1，可得AC⊥CC1，AC⊥BC，则AC⊥平面BB1C1C，从而得到AC⊥B1M；(Ⅱ)证明当M为CC1中点时，CN//平面AB1M，然后利用等积法求三棱锥M−ACB1的体积．20.答案：解：(1)依题意，直线l：y=2x+8，联立抛物线C：x2=2y，可得x2−4x−16=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=4，x1x2=−16，故|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+4⋅√16+4×16=20；(2)联立{x −y =0x +y −4=0，解得x =y =2，故A (2,2)， 设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，可得x 2−2kx −4k −8=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4k −8，则k AM =y 1−2x 1−2=k(x 1+2)+2x 1−2，k AN =y 2−2x 2−2=k(x 2+2)+2x 2−2，k AM ⋅k AN =[k(x 1+2)+2][k(x 2+2)+2](x 1−2)(x 2−2)=k 2[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]+2k(x 1+x 2+4)+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2(−4k−8+4k+4)+2k(2k+4)+4−4k−8−4k+4=−1．解析：(1)求得直线l 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值：(2)求得交点A(2,2)，设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，运用韦达定理和斜率公式，化简整理即可得到所求值．本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.答案：(1)解：f ′(x)=(x +1)e x +2x +a 依题意有{f ′(0)=1+a =2f(0)=b =−32解得a =1,b =−32.(2)证明：由(Ⅰ)知，f(x)=xe x +x 2+x −32．设， 依题意只需证明ℎ(x)>32 .ℎ′(x)=(x +1)e x +2x +1−1x =(x +1)(e x +2−1x )(x >0) 设g(x)=e x +2−1x ，g ′(x)=e x +1x 2>0，所以g(x)在上单调递增． 又g(14)=e 14+2−4<0,g(13)=e 13+2−3>0，所以 使得g(x 0)=e x 0+2−1x 0=0， 当x ∈(0,x 0) 时g(x)<0，当时g(x)>0，所以当x ∈(0,x 0) 时ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当时ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．，且e x 0+2−1x 0=0，所以， 设，φ′(x)=2x −1−1x =(2x+1)(x−1)x ,x ∈(14,13)， 当x ∈(14,13)时,φ′(x )<0 ，故φ(x)单调递减，所以所以ℎ(x)>32证毕．解析：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．(1)求出导数f′(x)，根据题意有{f ′(0)=1+a =2f(0)=b =−32，解出即可； (2)证明：由(Ⅰ)知，f(x)=xe x +x 2+x −32.设，依题意只需证明ℎ(x)>32 . 利用导数求证ℎ(x)min >32即可． 22.答案：解：由题意可得圆C 的直角坐标方程是x 2+y 2−2x =0，化为标准方程可得(x −1)2+y 2=1，圆心C(1,0)，直线l 的直角坐标方程为x −y −4=0，∴过C 与l 垂直的直线方程为y −0=−(x −1)化简可得x +y −1=0．化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ−1=0，即ρcos(θ−π4)=√22．解析：本题考查曲线的极坐标方程，属基础题．由题意可得圆和直线的直角坐标方程，可得直线的直角坐标方程，化为极坐标方程即可． 23.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=|x −a|+|x −1|−3(a ≠0)的一个零点为2，∴f(2)=|2−a|+1−3=0，由a ≠0，得a =4，∴f(x)=|x −4|+|x −1|−3，由f(x)≤2，得{x ≤12−2x ≤2或{1<x <40≤2或{x ≥42x −8≤2, 解得0≤x ≤5，故不等式f(x)≤2的解集为[0,5]．(Ⅱ)f(x)=|x−4|+|x−1|−3={2−2x,x≤1 0,1<x<4 2x−8,x≥4,作出函数f(x)的图象，如图所示，直线y=kx−2过定点C(0,−2)，当此直线经过点B(4,0)时，k=12；当此直线与直线AD平行时，k=−2．故由图可知，k∈(−∞,−2)∪[12,+∞)．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)先得出a的值，通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(Ⅱ)求出f(x)的分段函数的性质，结合函数的图象求出k的范围即可．。
吉林省实验中学2020届高三年级第三次模拟理科数学试题及答案
吉林省实验中学2020届高三第三次模拟考试数学学科（理）试题考试时间：120分钟 满分：150分命题 审题 高三数学（理科）备课组 2019年11月9日一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知α是第三象限角，且sin α＝－1213，则tan α＝（A ）－513 （B ）513 （C ）－125 （D ）125（2）设函数()f x =()(),ln 1M g x x =-的定义域为N ，则MN =（A ）{}21x x -<< （B ）{}12x x <<（C ）{}2x x <- （D ）{}2x x >（3）1+2sin （π＋1）cos （π－1）＝( )（A ）sin 1－cos 1 （B ）sin 1+cos1 （C ）±(sin 1－cos 1) （D ）cos1－sin 1（4） 设θ∈R ，则“|θ－π12|<π12”是“sin θ<12”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则()512f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（A ）2- （B ）2 （C ）12 （D ）12- (6) 设231tan 30,sin ,ln 22a b xdx c ππ=︒==⎰，则（A ）a <b <c （B ）a < c < b （C ）b < a <c （D ）c < b <a(7) 函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为 （A ）3，－1 （B ）3，－2 （C ）2，－2 （D ）2，－1(8) 函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >, 0ω>,2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()g x 解析式可以为（ ）（A ）()sin 3g x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭（B ）()sin 43x x g π=+⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）()sin 6x x g π=+⎛⎫⎪⎝⎭（D ）()sin 46g x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭(9) 设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6+sin2x ,则f (x )的一个单调递增区间是 （A ）71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （D ）566ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，(10) 将函数()sin 6f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，()g x 在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，91104848g g ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω=（A ）12（B ）2 （C ）3 （D ）4(11) 若函数3()3f x x x =-在区间()212,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（A ）(- （B ）(1,4)- （C ）(]1,2- （D ）()1,2-(12) 设函数7()sin 2,0,66f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若方程()()f x t t R =∈恰好有三个根，分别为1,x 2,x 3123()x x x x <<，则1233+5+2x x x 的值为（A ）9π （B ）5π （C ）73π （D ）113π二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） (13) 已知log 2,log 3a a m n ==，则m n a -＝(14) 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝ .(15) 函数f (x )＝3sin π2x –2log x 的零点的个数是 个.(16) 若[,)x e ∀∈+∞，满足32l n 0mxx x m e -≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）(17)(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为312x y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，1(3)P ，为直线l 上一点，求11PAPB+.(18) (本小题满分12分)已知点(4,3)P -为角α终边上一点． （Ⅰ）求tan 2α的值；cos 2424απαπ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．(19) (本小题满分12分) 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (Ⅰ)求f (x )的单调区间；(Ⅱ)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.(20) (本小题满分12分) 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长均相等．D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(Ⅰ)求证：EF ∥平面A 1CD ； (Ⅱ)若三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．(21) (本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，(0,2)D 为椭圆C 短轴的一个端点，F 为椭圆C 的右焦点，线段DF 的延长线与椭圆C 相交于点E ，且3DF EF =.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 与OB 的斜率之积为32-，求OA OB ⋅的取值范围.(22) (本小题满分12分)设函数()sin (0)f x x a x a =->．(Ⅰ)若函数()y f x =是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b R b ==++∈≠，，，()g x '是()g x 的导函数． ①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在00x >使0()0g x <； ②若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．数学学科（理）试题答案一、选择题：DABAB DCABD CD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）(13)23(14) 60° .(15) 3 .(16) _____(,2]e -∞_____． 三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）(17)(本小题满分10分)解:(1)直线l 的普通方程为2y x =-曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -++=.(2)将直线l的参数方程化为3+21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) 代入曲线C 的方程22(2)(2)8x y -++=，得20+2t =∴12t t +=-122t t =∴1212+11t t PA PB t t +==(18) (本小题满分12分) （Ⅰ）由已知，得3sin 5α=，∴242225sin sin cos ααα==-．2722125cos cos αα=-=，得2427tan α=-，（Ⅱcos 2424απαπ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==25α（1+sin ）． (19) (本小题满分12分)解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34(20) (本小题满分12分)解：(1)证明：连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ，DE ＝12AC .又F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝12A 1C 1，又因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以A 1F ∥DE ，A 1F ＝DE ，因此四边形A 1FED 为平行四边形， 所以EF ∥A 1D ，又EF ⊄平面A 1CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ， 所以EF ∥平面A 1CD .(2)设A 1B 1的中点为O ，连接OC 1，OD ，因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以OD ⊥平面A 1B 1C 1，所以OD ⊥OC 1，OD ⊥OA 1. 又△A 1B 1C 1为等边三角形， 所以OC 1⊥A 1B 1.以O 为坐标原点，OA 1―→，OD ―→，OC 1―→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .设三棱柱的棱长为a ，则B ⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫0，a ，32a ，A 1⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，D (0，a,0)．所以BC ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，32a ，A 1D ―→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0， DC ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32a .设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·A 1D ―→＝0， n·DC ―→＝0，即⎩⎨⎧－a2x ＋ay ＝0，32az ＝0.令x ＝2，解得n ＝(2,1,0)．设直线BC 与平面A 1CD 所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC ―→〉＝|n ·BC ―→||n |·|BC ―→|＝a 5·a 2＝55. 所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.(21) (本小题满分12分)（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点(),0F c ，因为()0,2D 为椭圆短轴的一个端点，则2b =.因为3DF EF =，则点42,33c E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 因为点E 在椭圆上，则22161199c a +=，即222a c =. 又224c a =-，则()2224a a =-，得28a =，所以椭圆C 的标准方程是22184x y +=.（2）解法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 代入椭圆方程，得()2228x kx m ++=，即()222214280k x kmx m +++-=.设点()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k +=-+，21222821m x x k -=+. 因为32OA OBk k ⋅=-，则121232y y x x ⋅=-，即1212320x x y y +=，即()()1212320x x kx m kx m +++=，即()()22121223220k x x km x x m ++++=，所以()222222228823202121m k m k m k k -+⋅-+=++， 即()()()2222222344210k m k m mk+--++=，化简得2223m k =+.所以12121212OA OB x x y y x x ⋅=+=- 2222242121212121m k k k k --=-=-=-+++.因为()()22221642128k m k m ∆=-+- ()()2228848610k m k=+-=+>，20k ≥，则220221k <≤+，所以11OA OB -<⋅≤.又120x x ≠，则24m ≠，即212k ≠，则22121k ≠+，所以0OA OB ⋅≠. 当直线l 的斜率不存在时，点A ，B 关于x 轴对称，则OA OB k k =-. 因为32OA OBk k =-，不妨设0OA k >，则OA k =.联立y x =与22184x y +=，得点A，B，或点(A，(B ，此时1OA OB ⋅=-.综上分析，OA OB ⋅的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. 解法二：因为302OA OB k k ⋅=-<，设0OA k k =≠，则32OB k k=-. 设点()11,A x y ，()22,B x y ，则121232y y x x ⋅=-，即121232y y x x =-，所以12121212OA OB x x y y x x ⋅=+=-. 由22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22228x k x +=，即()22218k x +=，所以212821x k =+.同理，22222816293212k x k k ==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.所以()()222212422281681642092129k k x x k k k k ⨯⨯==++++ 228169420k k⨯=++.因为229412k k +≥=，当且仅当2294k k =，即k =221204x x <≤.即1222x x -≤≤，且120x x ≠，所以OA OB ⋅的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. (22) (本小题满分12分) （1）由题意，()1cos f x a x =-'， 若()0f x '≤恒成立，得1cos x a≥恒成立，又0a >，x ∈R ，显然不成立； 若()0f x '≥∵0a >∴1cos x a≥对x ∈R 恒成立， ∵()max cos 1x =∴11a ≥，从而01a <≤． 的 （2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，则()11cos 2bg x x x'=-+． 若0b <，则存在02b ->，使11cos 0222b b g ⎛⎫⎛⎫-=---'< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意.∴0b >．取2ebx -=，则001x <<．此时()2000000111sin ln 11sin ln 1sin 0222b g x x x b x x b e x -=-++<-++=-<．∴存在00x >，使()00g x <．②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >．由（1）知函数sin y x x =-单调递增，则2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-． ∵()()12g x g x =∴11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++ ∴()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-．∴212120ln ln x x b x x -->>-．下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t->，只要证明()ln 0*t <．设())ln 1h t t t =->，则()210h t '-=<在()1+∞，恒成立． ∴()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证． ∴2b ->，即2124x x b <．。
2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(理)试题(解析版)
长春市2020届高三质量监测（三）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2{|4}A x Z x =∈…，{|42}B x x =-<< ，则A B =I （ ）A.{|22}x x -<≤ B. {|42}x x -<≤C.{2,1,0,1,2}--D.{2,1,0,1}--【答案】D 【分析】根据集合的交运算，即可容易求得结果. 【详解】{|22}{2,1,0,1,2}A x Z x =∈-=--≤≤故可得{}2,1,0,1A B ⋂=--故选：D .【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题. 2.已知复数()(12) ()z a i i a R =+-∈的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A.1-B.-iC. 1D. i【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算化简复数z ，由其实部即可求得参数a . 【详解】()(12)2(12)za i i a a i =+-=++-，231a a +=∴=∴121a -=-. 故选：A .【点睛】本题考查复数的乘法运算，实部和虚部的辨识，属基础题.3.已知向量(1,2)=-r a ，(3,3)b =-r ，(1,)c t r =，若向量a r 与向量b c +r r共线，则实数t =（ ）A.5B. 5-C. 1D.1-【答案】B 【分析】根据向量的加法运算，求得b c +r r的坐标，由向量共线的坐标公式，即可容易求得结果.【详解】因为b c +r r ()4,3t =-，又a r 与向量b c +r r共线故可得38t -=-，解得5t =-.故选：B .【点睛】本题考查向量共线的坐标公式，涉及向量的坐标运算，属基础题. 4.已知函数()cos 3sin 22x xf x =-的图象为C ，为了得到关于原点对称的图象，只要把C 上所有的点（ ）A. 向左平移3π个单位B. 向左平移23π个单位C. 向右平移3π个单位D. 向右平移23π个单位【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简()f x ，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.【详解】由()cos 3sin 2cos()()2cos()2223223x x x x f x f x πϕπϕ=-=+⇒+=++为奇函数，得+=+=+22323k k Z k ϕππππϕπ∈∴，当0k =时，3πϕ=.故为得到关于原点对称的图像，只要把C 向左平移3π个单位即可. 故选：A【点睛】本题考查辅助角公式，函数图像的平移，以及余弦型函数的奇偶性，属综合中档题.5.函数3()x xx f x e e-=-的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】B 【分析】根据解析式求得函数奇偶性，以及()1f 即可容易求得结果.【详解】因为()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()3x xx f x f x e e--==-，故()f x 为偶函数， 排除C ，D ，验算特值11(1)=0f e e-<-，排除A, 故选：B【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题. 6.在521()x x+的展开式中，一定含有（ ） A. 常数项 B. x 项C. 1x -项D. 3x 项【答案】C 【分析】利用二项式的通项公式，即可容易求得结果. 【详解】由通项公式5521()r rr C xx-535r rC x -=代入0,1,2,3r =验证， 当0r =时，可得其含有5x 项；当1r =，可得其含有2x 项；当2r =时，可得其含有1x -项； 故选：C . 【点睛】本题考查二项式的通项公式，属基础题.7.已知直线,m n 和平面,,αβγ，有如下四个命题：①若,//m m αβ⊥，则αβ⊥；②若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥；③若,,n n m αβα⊥⊥⊥，则m β⊥；④若,m m n α⊥⊥，则//n α.其中真命题的个数是（ ）A. 1B.2C.3D.4【答案】C 【分析】根据面面垂直，线面垂直以及线面平行的判定，即可容易判断. 【详解】①若,//m m αβ⊥，则一定有αβ⊥，故①正确；②若,//,m m n n αβ⊥⊂，则n α⊥，又因为n β⊂，故可得αβ⊥，故②正确； ③若,n n αβ⊥⊥，故可得α//β，又因为m α⊥，故可得m β⊥，故③正确； ④若,m m n α⊥⊥，则//n α或n α⊂，故④错误； 综上所述，正确的有①②③. 故选：C【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定以及线面平行的判定，属综合基础题.8.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方形、正六边形和正八边形.下图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，若011223340.5m B B B B B B B B ====，008m A B =，则五层正六边形的周长和为（ ）A. 35mB.45mC.210m D. 270m【答案】C 【分析】根据题意，构造等差数列，即可由等差数列的前n 项和进行求解. 【详解】根据题意，设正六边形的中心为O ，容易知4433221100,,,,OA B OA B OA B OA B OA B n n n n n 均为等边三角形， 故4433221100,,,,A B A B A B A B A B 长度构成依次为6,6.5,7,7.5,8的等差数列 ∴周长总和为(68)562102+⋅⋅=， 故选：C【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求解，属基础题.9.已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为30x -=，则圆E 的方程为（ ）A .22(3)2x y+-= B. 22(3)2x y ++= C. 22(3)3x y +-= D. 22(3)3x y ++=【答案】C 【分析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径. 【详解】两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为()0,a ，又圆2220x y x +-=的圆心为()1,0，半径为1，故113a ⨯=--，解得3a =.故所求圆心为()0,3. 直线30x y -=截得2220x y x +-=所成弦长212134-=， 圆心()0,3到直线30x y -=的距离为32， 所以直线30x y -=截得所求圆的弦长223232r ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 解得3r =.故圆心坐标为(0,3)，半径为3， 故选：C .【点睛】本题考查圆方程的求解，涉及两圆位置关系，属综合基础题.10.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数（如下表），下图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）A. 除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图象几何” 在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B. 所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4% .C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多.D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长. 【答案】D 【分析】根据统计图表，结合每个选项即可容易求得结果. 【详解】结合统计图表可知，除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加， 尤其“图象几何” 在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍，故A 正确； 所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%， 综合实践最少，约占4% ，故B 正确；第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多，故C 正确； 对D 中，显然“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长， 而其百分比却一直在减少；而“图形几何”条目数， 百分比随着学段数先减后增，故D 错误； 故选：D【点睛】本题考查统计图表的辨识和应用，属基础题.11.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足2*42 ()n n n S a a n N =+∈，设1(1)nn n n b a a +=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则20T =（ ）A. 110B. 220C.440 D. 880【答案】D 【分析】利用,n n a S 之间的关系，即可容易求得n a ，则n b 得解，再用并项求和法即可求得结果.【详解】由242 n n n S a a =+得211142 (2)n n n S a a n ---=+…，作差可得： 1 2n n a a --=，又1=2 a 得2n a n =，则(1)22(1)4(1)(1)nnn b n n n n =-⋅⋅+=-⋅+所以12+b b =4[(1)1223]82-⋅⋅+⋅=⋅，34+4[(1)3445]84,b b =-⋅⋅+⋅=⋅56+4[(1)5667]86,b b =-⋅⋅+⋅=⋅…，1920+4[(1)19202021]820,b b =-⋅⋅+⋅=⋅所以20(220)1088802T +⋅=⋅=.故选：D .【点睛】本题考查利用,n n a S 的关系求数列的通项公式，涉及等差数列前n 项和的求解，属综合中档题. 12.设椭圆C 的左右焦点为12,F F ，焦距为2c ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点,P Q ，若2||2PF c =，且114||||3PF QF =，则椭圆C 的离心率为（ ） A.12B.34C.57D.23【答案】C 【分析】根据题意，求得112,,PF F Q F Q ，结合余弦定理，即可求得,a c 的齐次式，据此即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下：由2||2PF c =得1||22PF a c =-，13377||,||=22a c a c QF PQ --=，23||2a cQF +=由221cos cos F PQ F PF ∠=∠即22222222211222122PF PQ F QPF PF F F PF PQPF PF +-+-=，整理得2271250c ac a -+=， 则()()570a c a c --=，得57e =故选：C .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆的定义，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________ 【答案】0.88 【分析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可． 【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂， 所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-⨯=， 故答案为0.88．【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用． 14.等差数列{}n a 中，11a =，公差2[]1,d ∈，且391515a a a λ++=，则实数λ的最大值为_________.【答案】13- 【分析】根据等差数列的基本量，用d 表示出λ，分离参数求得函数的值域，即可容易求得结果. 【详解】由391515a a a λ++=得()()121811415d d d λ+++++=，整理得()181316d d λ+=-，又2[]1,d ∈，故1316151912[,]1818173d d d λ-==-+∈--++.故实数λ的最大值为13-.故答案为：13-.【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，涉及分式函数值域的求解，属综合中档题. 15.若12,x x 是函数2()74ln f x x x x =-+的两个极值点，则12x x =____，12()()f x f x +=____.【答案】 (1). 2 (2). 654ln 24-【分析】根据极值点的定义，即可由方程的根与系数之间的关系，即可求得12x x 以及12x x +，再结合对数运算即可容易求得结果. 【详解】2121247()2702740,22f x x x x x x x x x '=-+=⇒-+=⇒+==，2212111222()()74ln 74ln f x f x x x x x x x +=-++-+21212121265()27()4ln()4ln 24x x x x x x x x =+--++=-. 故答案为：2；654ln 24-. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，涉及对数运算，属综合基础题.16.现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形，2AB =，侧面PAD 为等边三角形，线段BC 的中点为E ，若1PE =.则所需球体原材料的最小体积为___________. 【答案】82π 【分析】根据题意，讨论球体体积最小时的状态，求得此时的球半径，则问题得解.【详解】根据题意，取AD 中点为F ，连接EF ，取EF 中点为O ，连接PO ，如下所示：因为PAD n为边长为2的等边三角形，故可得3PF =又因为1,2PE EF ==，满足勾股定理， 故可得PE PF ⊥，则EPF n 为直角三角形，则111222PO EF BD ==<=若要满足题意，只需满足ABCD 在球大圆上时，点P 在球内部即可， 此时球半径最小为282π故答案为：823π. 【点睛】本题考查棱锥外接球问题，涉及棱锥体积的求解，属综合中档题.三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”.笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀（每刀100张），公司按照某种质量标准值X给宣纸确定质量等级，如下表所示：公式在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.（1）估计该公式生产宣纸的年利润（单位：万元）；（2）该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值X的频率，如下表所示：其中X为改进工艺前质量标准值X的平均值，改进工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由.【答案】（1）400万元；（2）应该购买，理由见解析【分析】（1）由频率分布直方图求得100张宣纸中各类宣纸的数量，结合每种宣纸的盈亏即可容易求得结果；（2）由频率分布直方图求得X，即可求得各区间的频率分布，据此即可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知，一刀（100张）宣纸中有正牌宣纸100×0.1×4=40张，有副牌宣纸100×0.05×4×2=40张，有废品100×0.025×4×2=20张，所以该公司一刀宣纸的年利润为40×10+40×5+20×（-10）=400元，所以估计该公式生产宣纸的年利润为400万元;(2) 由频率分布直方图可得4(420.025460.05500.1540.05580.025)50X =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=这种机器生产的宣纸质量指标X 的频率如下表所示：(48,52](44,56]0.68260.9544X频率则一刀宣纸中正牌的张数为100×0.6826=68.26张， 副牌的张数约为100×（0.9544－0.6826）=27.18张，废品的张数约为100×（1－0.9544）=4.56张，估计一刀宣纸的利润为：68.26×（10－2）+27.18×（5－2）+4.56×9（－10）=582.02， 因此改进工艺后生产宣纸的利润为582.02－100=482.02元，因为482.02>400，所以该公式应该购买这种设备.【点睛】本题考查由频率分布直方图计算概率以及平均数，涉及由样本估计总体，属综合基础题.18.在△ABC 中， 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4cos a c B = .（1）求证：sin cos 3sin cos B C C B =；（2）求B C -的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）6π 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合()sin sinA B C =+，即可容易求得；（2）根据（1）中所求得到,tanB tanC 之间的关系，再将()tanB C -转化为关于tanC 的函数，利用均值不等式求得函数的最值，则B C -的最值得解.【详解】(1)在ABC ∆中，由4cos a c B =及正弦定理，得sin 4sin cos sin()4sin cos A C B B C C B =⇒+=则4sinBcosC cosBsinC sinCcosB +=，sin cos 3sin cos B C C B ⇒=.（2）由（1）知sin cos 3sin cos tan 3tan B C C B B C =⇒=，2tan tan 2tan 2tan()=11+tan tan 1+3tan+3tan tan B C C B C B C C C C--== 又因为3tanB tanC =，故可得0tanC >，由均值不等式可得2313+3tan tan C C ≤，当且仅当3tan =3C 时等号成立 因此23tan()=123+3tan tan B C C C-=… ， 即B C -的最大值为6π . 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，涉及均值不等式求和的最小值，以及正切的差角公式，属综合中档题. 19.四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，F 为AD 上一点，//PA 平面BEF .（1）求证：平面BEF ⊥平面PAD ；（2）若PC 与底面ABCD 所成的角为60︒，求二面角E BF A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）77-【分析】（1）通过线面平行，推证出点F 的位置，再结合面面垂直，推证出BF⊥平面PAD ，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）以F 点为坐标原点建立空间直角坐标系，由线面角求得PF 长度，进而再由向量法求得二面角的大小即可.【详解】（1）连AC 交BF 于G ，连EG ，如下图所示：因为//PA 平面BEF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面BEFEG =， 所以//PA EG ，又E 为PC 中点，所以G 为AC 中点，由AFG ∆≌BCG ∆， ∴112AF BC AD === ∴F 为AD 中点，∵//BC FD ，且BC FD =，则DCBF 为平行四边形，∵AD DC ⊥∴BF AD ⊥，又BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =， 故BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD .即证.（2）连接PF ，∵PA PD =，F 为AD 的中点，∴PFAD ⊥， 又PF⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =， ∴PF ⊥底面ABCD ，又PF AD ⊥，以,,FA FB FC 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.设(0,0,),(1,1,0)P t C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n =u r ，又(1,1,)PC t =--u u u r，(0,1,0)B ∴1213sin ||632||||2n PC t n PC t π⋅=⇒=⇒=⋅+u r uu u r u r uu u r ∴6)P ，116(,22E - 设平面EBF 的法向量2(,,)n x y z =u u r 所以2200n FE n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r 即可得11602220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩令21,6,(6,0,1)z x n =∴==u u r设二面角--E BF A 的平面角为θ ∴1212||||7|cos |7||||n n n n θ⋅==⋅u r u u r u r u u r ，又θ为钝角 ∴7cos 7θ=- ， 所以二面角E BF A --的余弦值为7. 【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，由线面角求线段长，以及用向量法求二面角的大小，属综合中档题. 20.已知点(0,1)A ，点B 在y 轴负半轴上，以AB 为边做菱形ABCD ，且菱形ABCD 对角线的交点在x 轴上，设点D 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点(,0)M m ，其中14m <<，作曲线E 的切线，设切点为N ，求AMN V 面积的取值范围.【答案】（1）24(0)xy x =≠；（2）(1,34) 【分析】（1）根据题意，求得菱形中心的坐标，进而由中心为,B D 中点，求得D 点坐标的参数形式，即可消参求得点D 的轨迹方程；（2）利用导数几何意义求得N 点处的切线方程，从而求得M 点坐标，据此求得,m a 之间的关系，再结合1MN AM k k ⋅=-，即可表示出面积，将其转化为关于a 的函数，利用函数单调性求函数值域即可.【详解】（1）设(0,)B t -，菱形ABCD 的中心设为Q 点，且x 在轴上，由题意可得2||||||OQ OA OB =则Q 又Q 为,B D 的中点，因此点)D t ，即点D 的轨迹为x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数且0t ≠） 化为标准方程为24(0)x y x =≠.（2）设点2(,)4a N a ，则点N 的切线方程为2()422a a a y x -=-. 可得(,0)2a M 因此2a m =由14m <<，可得28a << 又2,2MN AM a k k a ==-则1MN AM k k ⋅=- 即MN AM ⊥因此21(4)|||216a a S MN AM +=⋅= 令34y a a =+，则2340y a '=+>，故34y a a =+为单调增函数，故可知当(2,8)a ∈时，S 为关于a 的增函数，又当2a =时，1S =；当8a =时，34S =.因此S 的取值范围是(1,34).【点睛】本题考查抛物线轨迹方程的求解，以及抛物线中三角形面积的范围问题，涉及导数的几何意义，以及利用导数判断函数的单调性，属综合中档题.21.已知函数1()ln , () (0)x f x m x g x x x-==>. （1）讨论函数()()()F x f x g x =-在(0,+)∞上的单调性；（2）是否存在正实数m ，使()y f x =与g()y x =的图象有唯一一条公切线，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）当0m ≤时，()F x 区间()0,+∞上单调递减；当0m >时，()F x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）存在，1m = 【分析】（1）对函数进行求导，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数的单调性；（2）利用导数的几何意义求得()(),f x g x 在任意一点处的切线方程，求得方程组，根据方程有唯一解，利用导数根据函数单调性，即可求得.【详解】(1)22111()()()ln ,()x m mx F x f x g x m x F x x x x x --'=-=-=-=， 当0m …时，()0F x '<，所以，函数()F x 在(0,)+∞上单调递减；当0m >时，由()0F x '<得10x m <<，由()0F x '>得1x m >， 所以，函数()F x 在1(0,)m 上单调递减；函数()F x 在1(,)m +∞上单调递增.(2)函数()=ln f x m x 在点(,ln )a m a 处的切线方程为ln ()m y m a x a a -=-，即ln m y x m a m a=+-； 函数1()x g x x -=在点1(,1)b b-处的切线方程为 211(1)()y x b b b --=-，即2121y x b b =-+ 由()y f x =与()y g x =的图象有唯一一条公切线，∴21 2ln 1?m a b m a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②，由①得2a m b =代入②消去m ， 整理得22ln 0b b a a a --+= ③则此关于(0)b b >的方程③有唯一解，令22()2ln (1)ln 1g b b b a a a b a a a =--+=--+-，令()ln 1h a a a a =-+-，()ln h a a '=-由()0'>h a 得01a <<；由()0h a '<得1a >所以，函数()h a 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则()(1)0h a h =≤，（i ）当()0h a <时，二次函数2()(1)ln 1g b b a a a =--+-在(1,)b ∈+∞上显然有一个零点，(0,1)b ∈时，由方程2ln 1m a m b-=-可得 2(ln 1)0b m a b--=< 而0m >所以ln 10a -<则(0)ln (ln 1)0g a a a a a =-+=-->所以二次函数2()(1)ln 1g b b a a a =--+-在(0,1)b ∈上也有一个零点，不合题意.综上，1m =.所以存在正实数1m =，使()y f x =与()y g x =的图象有唯一一条公切线.【点睛】本题考查利用导数对含参函数单调性进行讨论，利用导数由方程根个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属压轴题.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，直线l的参数方程为23x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（2）设点过P 为曲线C 上的动点，点M 和点N 为直线l 上的点，且满足PMN V 为等边三角形，求PMN V 边长的取值范围.【答案】（1）C：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数，02πα≤≤），l ：280x y +-=；（2）1515⎡⎢⎣⎦ 【分析】（1）利用公式即可容易化简曲线C 的方程为直角坐标方程，再写出其参数方程即可；利用消参即可容易求得直线的普通方程；（2）设出P 的坐标的参数形式，将问题转化为求点P 到直线距离的范围问题，利用三角函数的值域求解即可容易求得结果.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭， 故可得2223sin 12ρρθ+=，则()222312x y y ++=，整理得223412x y +=，也即22143x y +=， 由0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可得0,0x y ≥≥，故其参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数，02πα≤≤）；又直线的参数方程为235x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故可得其普通方程为280x y +-=.（2）不妨设点P的坐标为()2cos αα， 则点P 到直线280x y +-=的距离d ==0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 容易知4sin 86y πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[]6,4--，故可得55d ⎡∈⎢⎣⎦.则三角形PMN 的边长为3d ，故其范围为⎣⎦. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用参数求点到直线的距离的范围，属综合中档题.23.已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，() 3g x x =+．（Ⅰ）当x ∈R 时，有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围． （Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求+a b 的最小值． 【答案】（Ⅰ）(],5m ∈-∞（Ⅱ）()min 7a b +=【分析】 (I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可； (II)由不等式()0f x ≥的解集为[]1,3可求出m 的值，代入231ab a b m --=-并用a 表示b ，再把b 代入a b +利用基本不等式求出最小值.【详解】解：（Ⅰ）由题意得：()()f x g x ≤Q 在x R ∈上恒成立，23m x x ∴--≤+在x R ∈上恒成立．()min 32m x x ∴≤++-， 又()()32235x x x x ++-≥--+=Q ，当且仅当()()230x x -+≤，即[]3,2x ∈-时等号成立．5m ∴≤，即(],5m ∈-∞．（Ⅱ）令()0f x ≥，2x m ∴-≤，若0m ≤时，∴解集为∅，不合题意；若0m >时，2m x m ∴-≤-≤，[]2,2x m m ∴∈-+，又[]1,3x ∈Q ，1m ∴=，∴综上所述：1m =，22ab a b ∴--=，221a b a +∴=-00a b >⎧⎨>⎩Q ，∴解得1a >，2241311a a b a a a a +∴+=+=-++--，37a b ∴+≥=，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立， 此时2241a b a +==-．∴当3a =，4b =时，()min 7a b +=． 【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.。
2020年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)(附答案详解)
2020年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）1.已知集合A={x∈Z|x2≤4}，B={x|−4<x<2}，则A∩B=()A. B={x|−2≤x<2}B. B={x|−4<x≤2}C. {−2,−1,0,1,2}D. {−2,−1,0,1}2.已知复数z=(a+i)(1−2i)(a∈R)的实部为3，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为()A. −1B. −iC. 1D. i3.已知向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,−3)，c⃗=(1,t)，若向量a⃗与向量b⃗ +c⃗共线，则实数t=()A. 5B. −5C. 1D. −14.已知函数f(x)=cos x2−√3sin x2的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点()A. 向左平移π3个单位 B. 向左平移2π3个单位C. 向右平移π3个单位 D. 向右平移2π3个单位5.函数f(x)=x3e−x−e x的图象大致为()A. B.C. D.6.在(x+1x2)5的展开式中，一定含有()A. 常数项B. x项C. x−1项D. x3项7.已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m//β，则α⊥β；②若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n//α．其中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 48.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方形、正六边形和正八边形．右下图是风雨桥中塔的俯视图．该塔共5层，若B0B1=B1B2=B2B3=B3B4=0.5m，A0B0=8m.这五层正六边形的周长总和为()A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m9.已知圆E的圆心在y轴上，且与圆C：x2+y2−2x=0的公共弦所在直线的方程为x−√3y=0，则圆E的方程为()A. x2+(y−√3)2=2B. x2+(y+√3)2=2C. x2+(y−√3)2=3D. x2+(y+√3)2=310.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数(如表)，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是()学段主题第一学段(1−3年级)第二阶段(4−6年级)第三学段(7−9年级)合计数与代数21284998图形几何182587130统计概率381122综合实践34310合计4565150260A. 除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍B. 所有主题中，三个学段的总和“图形与几何”条目数最多，占50%，综合与实践最少，约占4%C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形与几何”条目数最多D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长．11.已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和S n满足4S n=a n2+2a n，(n∈N∗)，设b n=(−1)n⋅a n a n+1，T n为数列{b n}的前n项和，则T20=()A. 110B. 220C. 440D. 88012.设椭圆的左右焦点为F1，F2，焦距为2c，过点F1的直线与椭圆C交于点P，Q，若|PF2|=2c，且|PF1|=43|QF1|，则椭圆C的离心率为()A. 12B. 34C. 57D. 2313.一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为______14.等差数列{a n}中，a1=1，公差d∈[1,2]，且a3+λa9+a15=15，则实数λ的最大值为______．15.若x1，x2是函数f(x)=x2−7x+4lnx的两个极值点，则x1x2=；f(x1)+f(x2)=．16.现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD为正方形，AB=2，侧面△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE=1.则所需球体原材料的最小体积为______．17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”.笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌(优等品和合格品)，某公司年产宣纸10000刀(每刀100张)，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x(48,52](44,48]∪(52，56](0,44]∪(56，100]质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀(100张)进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．(Ⅰ)估计该公司生产宣纸的年利润(单位：万元)；(Ⅱ)该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值x的频率，如表所示：X(x−−2,x−+2](x−−6,x−+6]频率0.68260.9544其中x−为改进工艺前质量标准值x的平均值，改进工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4ccosB．(Ⅰ)求证：sinBcosC=3sinCcosB；(Ⅱ)求B−C的最大值．19.四棱锥P−ABCD中，ABCD为直角梯形，BC//AD，AD⊥DC，BC=CD=1，AD=2，PA=PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA//平面BEF．(Ⅰ)求证：平面BEF⊥平面PAD；(Ⅱ)若PC与底面ABCD所成的角为60°.求二面角E−BF−A的余弦值．20.已知点A(0,1)，点B在y轴负半轴上，以AB为边做菱形ABCD，且菱形ABCD对角线的交点在x轴上，设点D的轨迹为曲线E．(Ⅰ)求曲线E的方程；(Ⅱ)过点M(m,0)，其中1<m<4，作曲线E的切线，设切点为N，求△AMN面积的取值范围．21.已知函数f(x)=mlnx,g(x)=x−1x(x>0)．(Ⅰ)讨论函数F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上的单调性；(Ⅱ)是否存在正实数m，使y=f(x)与y=g(x)的图象有唯一一条公切线，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．22.以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=123+sin2θ(θ∈[0,π2])，直线1的参数方程为{x=2−2√55ty=3+√55t(t为参数)．(Ⅰ)求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；(Ⅱ)设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足△PMN为等边三角形，求△PMN边长的取值范围．23.已知函数f(x)=m−|x−2|，m∈R，g(x)=|x+3|．(Ⅰ)当x∈R时，有f(x)≤g(x)，求实数m的取值范围．(Ⅱ)若不等式f(x)≥0的解集为[1,3]，正数a，b满足ab−2a−b=3m−1，求a+b 的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x∈Z|x2≤4}={−2,−1,0,1,2}，∴A∩B={−2,−1,0,1}，故选：D．先求出集合A，再利用集合交集的运算即可算出结果．本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：因为复数z=(a+i)(1−2i)=(a+2)+(1−2a)i；∴a+2=3⇒a=1；∴z的虚部为：1−2a=−1．故选：A．利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】因为向量a⃗与向量b⃗ +c⃗共线，即两向量平行，根据两向量平行的坐标表示求解即可．本题主要考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．【解答】解：由题，a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,−3)，c⃗=(1,t)，∴b⃗ +c⃗=(4,t−3)，∵向量a⃗与向量b⃗ +c⃗共线，即a⃗//(b⃗ +c⃗ )，则1×(t−3)=−2×4，解得t=−5．故选：B．4.【答案】A【解析】解：函数f(x)=cos x2−√3sin x2=2cos(x2+π3)的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点向左平移π3个单位，可得y=2cos(x2+π6+π3)=sin x2的图象，显然，y=sin x2的图象关于原点对称，故选：A．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=(−x)3e x−e−x =x3e−x−e x=f(x)，即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又f(1)=1e−1−e<0，可排除A；故选：B．先判断函数f(x)的奇偶性，可排除选项CD，再由f(1)<0，可排除选项A，进而得出正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：在(x+1x2)5的展开式中，通项公式为T r+1=C5r⋅x5−3r，r=0，1，2，3，4，5，故5−3r不会等于0，不会等于1，不会等于3，故排除A、B、D，令5−3r=−1，可得r=2，故它的展开式中一定含有x−1项，故选：C．)5的通项公式，得出结论．由题意根据(x+1x2本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及空间思维能力，属于基础题型．直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果．【解答】解：已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m//β，则在β内，作n//m，所以n⊥α，由于n⊂α，则α⊥β，故正确；②若m⊥α，m//n，所以n⊥α，由于n⊂β，则α⊥β；故正确．③若n⊥α，n⊥β，所以α//β，由于m⊥α，则m⊥β；故正确．④若m⊥α，m⊥n，则n//α也可能n⊂α内，故错误．故选：C．8.【答案】C【解析】解：B0B1=B1B2=B2B3=B3B4=0.5m，A0B0=8m．利用等边三角形的性质可得：B1A1=7.5，B2A2=7，B3A3=6.5，B4A4=6．这五层正六边形的周长总和=6×(8+7.5+7+6.5+6)=210m．故选：C．利用正六边形与等边三角形的性质即可得出．本题考查了正六边形与等边三角形的性质、等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：∵圆E的圆心在y轴上，∴设圆心E的坐标为(0,b)，设半径为r，则圆E的方程为：x2+(y−b)2=r2，即x2+y2−2by+b2−r2=0，又∵圆C的方程为：x2+y2−2x=0，两圆方程相加得公共弦所在直线的方程为：x−by+b2−r22=0，又∵公共弦所在直线的方程为x−√3y=0，∴{b=√3b2−r22=0，解得{b=√3r=√3，∴圆E的方程为：x2+(y−√3)2=3，故选：C．设圆心E的坐标为(0,b)，设半径为r，则圆E的方程为：x2+(y−b)2=r2，两圆方程相加得公共弦所在直线的方程为：x−by+b2−r22=0，又公共弦所在直线的方程为x−√3y=0，从而求出b，r的值，得到圆E的方程．本题主要考查了圆的方程，以及两圆的公共弦所在直线的方程，是中档题．10.【答案】D【解析】解：由图可知图形与几何第一、二学段百分比依次为40%，38.5%，可知降低了，则D错，故选：D．根据表格和条形图分别判断选项，可判断．本题考查对表格，条形图的数据提取能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意，当n=1时，4a1=4S1=a12+2a1，整理，得a12−2a1=0，解得a1=0，或a1=2，∵a n>0，n∈N∗，∴a1=2，当n≥2时，由4S n=a n2+2a n，可得：4S n−1=a n−12+2a n−1，两式相减，可得4a n=a n2+2a n−a n−12−2a n−1，整理，得(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，∵a n +a n−1>0，∴a n −a n−1−2=0，即a n −a n−1=2， ∴数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴a n =2+2(n −1)=2n ，n ∈N ∗， ∴b n =(−1)n ⋅a n a n+1=(−1)n ⋅4n(n +1)， 则T 20=b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 19+b 20=−4×1×2+4×2×3−4×3×4+4×4×5−⋯−4×19×20+4×20×21 =(−4×1×2+4×2×3)+(−4×3×4+4×4×5)+⋯+(−4×19×20+4×20×21)=4×2×(3−1)+4×4×(5−3)+⋯+4×20×(21−19) =4×2×2+4×4×2+⋯+4×20×2 =16×(1+2+⋯+10) =16×55 =880． 故选：D ．本题先根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2并结合题干进行计算可判别出数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列{a n }的通项公式，进一步计算出数列{b n }的通项公式，然后运用分组求和可计算出T 20的值．本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和求前n 项和问题．考查了转化与化归思想，分类讨论法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．12.【答案】C【解析】解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， ∵|PF 2|=2c ，则|PF 1|=2a −2c ． ∵|PF 1|=43|QF 1|，∴|QF 1|=34(2a −2c)=32(a −c)， 则|QF 2|=2a −32(a −c)⋅a 2+32， 在等腰△PF 1F 2中，可得cos∠PF 1F 2=12|PF 1||F 1F 2|a−c2c．在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠QF 1F 2=94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)，由cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0，得a−c2c +94(a−c)2+4c2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)=0，整理得：5a−7c6c=0，∴5a=7c，∴e=ca =57．故选：C．由题意画出图形，由|PF2|=2c，|PF1|=43|QF1|，利用椭圆的定义可得：|PF1|=2a−2c，进一步求出|QF1|，|QF2|，在等腰△PF1F2中，求得得cos∠PF1F2.在△QF1F2中，由余弦定理可得cos∠QF1F2，利用cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0，化简求得5a=7c，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查三角形中余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】0.88【解析】解：一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，至少有一个公司不需要维护的概率为：P=1−0.4×0.3=0.88．故答案为：0.88．利用相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】−13【解析】解：∵a3+λa9+a15=15=(2+λ)a9=(2+λ)(1+8d)，∴λ=151+8d−2，又∵公差d∈[1,2]，∴λmax=151+8−2=−13．故填：−13．由a 3+λa 9+a 15=15得出λ与d 之间的关系式，然后求λ的最大值．本题主要考查等差数列的性质和通项公式及衍生出的最值问题，属于基础题．15.【答案】24ln2−654【解析】 【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是中档题．先求出导函数f′(x)，由题意可得x 1，x 2是方程2x 2−7x +4=0 的两个根，可得x 1+x 2=72，x 1x 2=2，代入f(x 1)+f(x 2)即可求得结果．【解答】解：∵函数f(x)=x 2−7x +4lnx ，x ∈(0,+∞)， ∴f′(x)=2x −7+4x =2x 2−7x+4x，令f′(x)=0得：2x 2−7x +4=0， ∴x 1，x 2是方程2x 2−7x +4=0 的两个根， ∴x 1+x 2=72，x 1x 2=2，∴f(x 1)+f(x 2)=x 12−7x 1+4lnx 1+x 22−7x 2+4lnx 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2−7(x 1+x 2)+4ln(x 1 x 2) =(72)2−2×2−7×72+4ln2=4ln2−654，故答案为：2，4ln2−654．16.【答案】28√2127π【解析】解：所需原材料体积最小的球体即为四棱锥P −ABCD 的外接球，如图，设F 为AD 中点，G 为正方形ABCD 中心，∵△PAD为边长为2的等边三角形，∴PF=√3，又PE=1，EF=2，∴∠PEF=60°∵PE=EB=EC=1，∴E是△PBC的外心，过E作面PBC的垂线与过G与面ABCD的垂线交于O，则O为四棱锥P−ABCD外接球的球心．∵∠OEG=∠OEP−∠FEP=90°−60°=30°，又GE=2，∴在直角三角形OGE中求出OG=√33，又直角△OAG中，AG=√2，∴OA=√213，即球半径R=√213，∴V球=43πR3=28√2127π.故答案为：28√2127π首先判断原材料体积最小的球体即为四棱锥P−ABCD的外接球，∵E是直角△PBC的外心，∴过E作面PBC的垂线与过正方形ABCD的中心G与面ABCD的垂线交于O，则O为四棱锥P−ABCD外接球的球心．再利用题中所给长度大小关系，可求球半径，求球体积．本题考查四棱锥的外接球问题，通过找球心，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图得：一刀(100张)宣纸中有正牌宣纸100×0.1×4=40张，有副牌宣纸100×0.05×4×2=40张，有废品100×0.025×4×2=20张，∴该公司一刀宣纸的利润为：40×10+40×5+20×(−10)=400元，∴估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元．(Ⅱ)由频率分布直方图得：x−=4×(42×0.025+46×0.05+50×0.1+54×0.05+58×0.025)=50，这种机器生产的宣纸质量指标x的频率如下表所示：则一刀(100张)宣纸中正牌的张数约为100×0.6826=68.26张，副牌的张数约为100×(0.9544−0.6826)=27.18张，废品的张数约为100×(1−0.9544)=4.56张，估计一刀宣纸(100张)的利润为：68.26×(10−2)+27.18×(5−2)+4.56×(−10)=582.02元．∴改进工艺后生产宣纸的利润为582.02−100=482.02元，∴482.2>400，∴该公司应生产这种设备．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图求出一刀(100张)宣纸中有正牌宣纸40张，有副牌宣纸40张，有废品20张，由此能求出该公司一刀宣纸的利润为400元，由此能求出估计该公司生产宣纸的年利润．(Ⅱ)由频率分布直方图得x−=4×(42×0.025+46×0.05+50×0.1+54×0.05+58×0.025)=50，求出这种机器生产的宣纸质量指标x的频率，则一刀(100张)宣纸中正牌的张数约为100×0.6826=68.26张，副牌的张数约为100×(0.9544−0.6826)= 27.18张，废品的张数约为100×(1−0.9544)=4.56张，估计一刀宣纸(100张)的利润为582.02元．从而改进工艺后生产宣纸的利润为582.02−100=482.02元，由此该公司应生产这种设备．本题考查利润的求法及应用，考查平均数、频率分布直方图的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题．18.【答案】证明：(Ⅰ)a=4ccosB，∴sinA=4sinCcosB，∴sin(B+C)=4sinCcosB，∴sinBcosC+sinCcosB=4sinCcosB，∴sinBcosC=3sinCcosB；解：(Ⅱ)由(Ⅰ)可知sinBcosC=3sinCcosB，则tanB=3tanC，∴tan(B−C)=tanB−tanC1+tanBtanC =3tanC−tanC1+3tan2C=2tanC1+3tan2C=21tanC+3tanC≤2√1tanC⋅3tanC=√33，当且仅当1tanC =3tanC，即tanC=√33时取等号，∴B−C≤π6，即B−C的最大值为π6．【解析】(Ⅰ利用正弦定理将边化为角即可证明，(Ⅱ)由(Ⅰ)化简得出tanB和tanC的关系，再代入两角差的正切公式，利用基本不等式求出最大值．本题考查了三角函数的恒等变换和正弦定理的应用问题，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：连接AC 交BE 与G ，连接EG ，∵PA//平面BEF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面BEF =EG ，∴PA//EG ，又E 为PC 的中点，∴G 为AC 的中点，则△AFG≌△BCG ， 得AF =BC =12AD =1． ∴F 为AD 的中点，∵BC//FD ，且BC =FD ，∴四边形DCBF 为平行四边形，∵AD ⊥DC ，∴BF ⊥AD ，又BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD ；(Ⅱ)解：连接PF ，∵PA =PD ，F 为AD 的中点，∴PF ⊥AD ，又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设P(0,0,t)，C(−1,1,0)，取平面ABCD 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−t)，B(0,1,0)， ∴sin60°=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ |n1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PC⃗⃗⃗⃗⃗ |，即t√t 2+2=√32，解得t =√6．设平面EBF 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y +√62z =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0，令z =1，得n 2⃗⃗⃗⃗ =(√6,0,1)．设二面角E −BF −A 的平面角为θ，则|cosθ|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√77， 又θ为钝角，∴cosθ=−√77．即二面角E −BF −A 的余弦值为−√77．【解析】(Ⅰ)连接AC 交BE 与G ，连接EG ，由已知结合线面平行的性质可得PA//EG ，再由E 为PC 的中点，得G 为AC 的中点，则△AFG≌△BCG ，得到AF =BC =12AD =1，即F 为AD 的中点，可得四边形DCBF 为平行四边形，再由AD ⊥DC ，得BF ⊥AD ，可得BF ⊥平面PAD ，进一步得到平面BEF ⊥平面PAD ；(Ⅱ)连接PF ，证明PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设P(0,0,t)，由PC 与底面ABCD 所成的角为60°求解t ，然后分别求出平面ABF 与EBF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E −BF −A 的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设B(0,−t)(t >0)，菱形ABCD 的中心在x 轴上，设为Q 点．由题意可知，∣OQ ∣2=∣OA ∣∣OB ∣，则Q(√t,0)，又Q 为BD 的中点，因此点D(2√t,t) 即点D 的轨迹为{x =2√ty =t (t 为参数且t ≠0)， 化为标准方程x 2=4y(x ≠0)．(Ⅱ)设点N(a,a 24)，过点N 的切线方程为：y −a 24=a2(x −a)，点M(m,0)在该切线方程上，∴M(a2,0)， 即m =a2，由1<m <4，可得2<a <8，又k MN =a2,k AM =−2a ,则k MN k AM =−1，即NM ⊥AM ， ∴S =12∣MN ∣∣AM ∣=12√(a2)2+(a 24)2⋅√1+(a2)2=a(4+a 2)16，可知当2<a <8时，S 为关于a 的增函数，因此S 的取值范围是(1,34)．【解析】(Ⅰ)设B(0,−t)(t >0)，因为菱形ABCD 对角线的交点Q 在x 轴上，根据射影定理，得∣OQ ∣2=∣OA ∣∣OB ∣，求得Q 点坐标，进而求得D 点坐标，去掉参数，求得D 的轨迹曲线E ；(Ⅱ)设点N(a,a 24)，可列出该点处的切线方程，将M 点代入，由1<m <4，求得a 的取值范围，易推得NM ⊥AM ，则S =12∣MN ∣∣AM ∣用a 表示出△AMN 面积，根据a 的取值范围进而求得△AMN 面积的取值范围．本题考查了曲线与方程，考查了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了两直线垂直斜率乘积为−1，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)F(x)=f(x)−g(x)=mlnx −x−1x,F′(x)=m x−1x 2=mx−1x 2，当m ≤0时，F′(x)<0，则F(x)在(0,+∞)上单调递减；当m >0时，由F′(x)<0得0<x <1m ，由F′(x)>0得x >1m ， ∴函数F(x)在(0,1m )上单调递减，在(1m ,+∞)上单调递增； (Ⅱ)函数f(x)=mlnx 在点(a,mlna)处的切线方程为y −mlna =m a(x −a)，即y =m ax +mlna −m ， 函数g(x)=x−1x在点(b,1−1b )处的切线方程为y −(1−1b )=1b 2(x −b)，即y =1b 2x −2b +1，又y =f(x)与y =g(x)的图象有唯一一条公切线，故{ma =1b 2①mlna −m =1−2b ②， 由①得，m =ab 2代入②消去m ，整理得b 2−2b −alna +a =0③，则此关于b(b >0)的方程③有唯一解，令g(b)=b 2−2b −alna +a =(b −1)2−alna +a −1，令ℎ(a)=−alna +a −1，ℎ′(a)=−lna ，由ℎ′(a)>0得0<a <1，由ℎ′(a)<0得a >1，∴函数ℎ(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则ℎ(a)≤ℎ(1)=0， (i)当ℎ(a)=0时，方程③有唯一解b =1，由ℎ(a)=−alna +a −1=0得a =1，此时m =a b 2=1；(ii)当ℎ(a)<0时，二次函数g(b)=(b −1)2−alna +a −1在b ∈(1,+∞)上显然有一个零点，b ∈(0,1)时，由方程②mlna −m =1−2b ，可得m(lna −1)=b−2b<0，而m >0，则lna −1<0，则g(0)=−alna +a =−a(lna −1)>0，∴二次函数g(b)=(b −1)2−alna +a −1在b ∈(0,1)上也有一个零点，不合题意； 综上，m =1．【解析】(Ⅰ)求得F(x)，并求导，然后分m ≤0及m >0讨论即可得出单调性情况；(Ⅱ)根据题意，由导数的几何意义可得{ma =1b 2①mlna −m =1−2b ②，进而得到b 2−2b −alna +a =0③，则此关于b(b >0)的方程③有唯一解，令g(b)=b 2−2b −alna +a =(b −1)2−alna +a −1，ℎ(a)=−alna +a −1，ℎ′(a)=−lna ，则易知ℎ(a)≤ℎ(1)=0，然后分ℎ(a)=1及ℎ(a)<0讨论即可得出结论．本题考查函数与导数的综合运用，考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，二次函数的零点等知识点，考查分类讨论思想，运算求解能力，属于较难题目．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ(θ∈[0,π2])，转换为直角坐标方程为x 24+y 23=1(0≤x ≤2,0≤y ≤√3)，转换为参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数，θ∈[0,π2])．直线1的参数方程为{x =2−2√55ty =3+√55t(t 为参数).转换为直角坐标方程为x +2y −8=0． (Ⅱ)设P(2cosθ,√3sinθ)，θ∈[0,π2]， 所以点P 到直线l 的距离d =√3sinθ−8|√5=4√55|sin(θ+π6)−2|，由于θ∈[0,π2]，所以12≤sin(θ+π6)≤1， 所以4√55≤d ≤6√55， 故等边三角形的边长的取值范围：8√1515≤x ≤12√1515．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.【答案】解：(1)由题意得：∵f(x)≤g(x)在x ∈R 上恒成立，∴m ≤|x +3|+|x −2|恒成立， 即m ≤(|x +3|+|x −2|)min又∵|x +3|+|x −2|≥|(x +3)−(x −2)|=5 ∴m ≤5，即m ∈(−∞,5] (2)令f(x)≥0，∴m ≥|x −2| 若m ≤0，则解集为⌀，不合题意；若m>0，则有−m≤x−2≤m，即x∈[2−m,2+m]又∵解集为x∈[1,3]，∴m=1∴ab−2a−b=2∴b=2a+2 a−1∵{a>0b>0，解得a>1∴a+b=a+2a+2a−1=a−1+4a−1+3∴a+b≥2√(a−1)(4a−1)+3=7当且仅当a−1=4a−1，即a=3时，等号成立，此时b=4∴a=3，b=4时a+b的最小值为7【解析】(1)利用绝对值三角不等式性质(2)利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题第21页，共21页。
吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(三)理综(PDF版)
⑤1.1´10-3 F～1.5 ´10-3 F（3 分）
24．（14
分）【答案】（1）（8
分） a1
=
25 m 6
s2
»
4.17 m
s2
，
a2
=
25 m 2
s2
= 12.5m
s2
，
x = 4m
（2）（6 分）F1=270N ， F2=730N
【解析】（1）设加速运动与减速运动的时间分别是 t1、 t2 ，位移分别是 x1、 x2 ,加速度大小分别为 a1、 a2 ,
分
x2
=
vm 2
t2
----------------------------------------------1
分
x = x1 + x2 ----------------------------------------1 分
解得： x = 4m ----------------------------------------------1 分
U ab
= - Blv 3
（2）（6 分）
Q
=
1 6
mv02
（3）（7 分） =
+
【解析】（1）当金属棒 gh 以速度大小为 v 运动时产生的电动势：
E = Blv --------------------------------------------------------1 分
内电阻为 R，外电路电阻为 --------------------1 分
33 题～第 38 题为选考题，考生根据要求做答。 d
22．（5 分）（1）t （2 分） （2）C（2 分） （3）天平（1 分） 23．（10 分）（1）100（2 分）；
长春市三模理科数学答案
平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ，故 BF ⊥ 平面 PAD ，又 BF ⊂ 平面 BEF ，
所以平面 BEF ⊥ 平面 PAD . （6 分） （Ⅱ）(法一) 连 PF ∵ PA = PD ， F 为 AD 中点，∴ PF ⊥ AD 又 PF ⊂ 平面 PAD ，
平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ，
【题号】21
【参考答案与评分细则】（Ⅰ） F(x) = f (x) − g(x) = m ln x − x −1 ， x
F′(x) = m − 1 = mx −1 ，
x x2
x2
当 m ≤ 0 时， F′(x) < 0 ，所以，函数 F(x) 在 (0, +∞) 上单调递减；
当 m > 0 时，由 F′(x) < 0 得： 0<x < 1 ；由 F′(x) > 0 得： x > 1
m
m
所以，函数 F(x) 在 (0, 1 ) 上单调递减，函数 F(x) 在 ( 1 , +∞) 上单调递增. （4 分）
m
m
（Ⅱ）函数 f (x) = mln x 在点 (a, m ln a) 处的切线方程为 y − m ln a = m (x − a) ， a
即 y = m x + m ln a − m ， a
函数 g(x) = x −1 在点 (b,1− 1) 处的切线方程为 y − (1− 1) = 1 (x − b) ，
x
b
b b2
即
y
=
1 b2
x−
2 b
+1.
y = f (x) 与 y = g(x) 的图象有唯一一条公切线.
吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(三)(三模)理科综合试题含答案
由闭合电路欧姆定律：
-------------------1 分
由部分电路欧姆定律，ab 棒两端电压： =
-------------------1 分
根据楞次定律：
=− U =−
----------------------1 分
3
21
（2）由金属棒棒 gh 和“工”型架恰能保持静止可知，金属棒棒 gh 和“工”型架所受重力沿斜面
⑤1.110-3 F～1.5 10-3 F（3 分）
24．（14 分）【答案】（1）（8 分） a1
25 m 6
s2
4.17 m
s2
，
a2
25 m 2
s2
12.5 m
s2
，
x 4m
（2）（6 分）F1=270N ， F2=730N
【解析】（1）设加速运动与减速运动的时间分别是 t1、 t2 ， 位移分别是 x1、 x2 ,加速度大小分别为 a1、 a2 ,
33 题～第 38 题为选考题，考生根据要求做答。 22．（5 分）（1）d （2 分） （2）C（2 分） （3）天平（1 分）
t 23．（10 分）（1）100（2 分）；
图1
图2
（2）①电路图如图 1 所示（满分 3 分，全部正确得 3 分，每错一条线扣 1 分，最低得分 0 分）
④图像如图 2 所示（满分 2 分，画成折线不得分）
（2）对加速过程与减速过程分别列牛顿第二定律有：
− = m （2 分）
= 270N （1 分）
+ = m （2 分）
= 730N
（1 分）
注：本步用其他方法得到正确结果，可酌情按步骤给分。
注：本题用其他方法得到正确结果，可酌情按步骤给分。
2020届吉林省吉林市普通高中高三毕业班第三次调研测试(三模)数学(理)试题及答案
- 1 -绝密★启用前吉林省吉林市普通高中2020届高三毕业班第三次调研测试(三模)数学(理)试题本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-,则A B =IA. {2}B. {1,0}-C. {1}-D. {1,0,1}-2. 已知复数z 满足i z11=-,则z =A.i 1122+ B. i 1122-C. i 1122-+D. i 1122--3.已知向量a b (==r r ,则向量b r 在向量a r方向上的投影为A.B.C. 1-D. 1- 2 -4. 已知m n ,为两条不重合直线,,αβ为两个不重合平面,下列条件中,αβ⊥的充分条件是A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B.m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C. m n m ,⊥∥n ,α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A.103 B. 3C. 83D.736. 函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为A.x 56π=-B.x 3π=-C. x 6π=D. x 3π=7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数,且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时,f x x 2()2=, 则f (3)=A. 18-B. 18C. 2-D. 28. 已知数列n a {}为等比数列,若a a a 76826++=,且a a 5936⋅=,则a a a 768111++=A. 1318B. 1318或1936C. 139D. 136 9. 椭圆x y 22192+=的焦点为F F 12,,点P 在椭圆上,若PF 2||2=,则F PF 12∠的大小为A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒10. 已知b a b c a 0.2121()2,log 0.2,===,则a b c ,,的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时, 介绍了“勾股圆方图”,又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三 角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图（1））,类比“赵爽弦图”,可类似地构造如 图（2）所示的图形,它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正 六边形,设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点,则此点取自小正六边形的概率为ABCD E FA B CD E F图1图2正视图俯视图侧视图。
吉林省长春市普通高中高三质量监测(三)数学(理)试题
长春市202X 届高三质量监测(三)理科数学本试卷共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
考前须知：I.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘2. 选赤题，荡1扁用2B 铅楚鬲涂：非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不折叠，不弄破、弄皱，不使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中， 只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设集合 A = {XE Z| 亍 W4}, B = {X \-4<X <2}9 那么 A(}B =A. {x|-2Wxv2}B. {x|T<x 〈2}C. {-2,-1,0.1,2}D. {-2,-1,0,1}2. Ll 知复数z = (〃 + i)(l-2i) (“cR )的实部为3,其中i 为虚数单位，那么复数z 的虚部为A. -1 3.己知向星。
=(1,一2),力=(3, - 3), c = (lj)，假设向量。
与向量b , c 共线，那么实数，=4.己知函数/(x) = cos ；-J5sin ；的图象为C,为了得到关于原点对称的图象，只要 把C 上所有的点5.函数f(x) = 的图象大致为C. D.A.向左平移:个单位 C,向右平移：个单位B.向左平移一厂个单位 D.向右平移号个单位6. 7. 在（X+A-）5的展开式中，一定含有JTA.常数项B.X 项C. X"1项 己知直线〃7,〃和平面a ，D ，y ,有如下四个命题：① 假设 m la . mH §,那么 a ±/7 ；② 假设 m ±a. mH n .③ 假设n La . 〃 J/?,④ 假设〃】-L a , m ± n , 其中真命题的个数是A. 1B.2〃u/?，那么al/?；mla 9 那么m±flz那么nil a.C.3D.48. 9. 10. 风雨桥是佃族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亨组成，其塔俯视图通常是正 方形、正六边形利正八边形.右下列图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，假设Bq =以月=任用=坎/^ = 0.5〃?，4A = 8〃?，那么 /X /\这五层正六边形的周K 总和为——A. 35mB. 45mC. 210mD. 270mA.己知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆C ： r + y 2-2x = o 的公共弦所在直线的方程为 x->/3y = 0， A. /+（,、/5）2 =2 C.工2+（）,一后）2=3某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的 条目数（如下表），下右图始将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高 条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中 错误的选项是那么圆£的方程为 B ・，/+(y + x/5)2=2 D ・ x 2+(y + V3)2=3段笫一学段 （1-3年坂） 第二学段 （4 6年欲） 第三学段 （7-9年级）合计 致勺代敷 21 28 49 98 图形凡何 18 25 87 130统计级率 3 8 11 22综合实践 3 4 3 10 合计45 65 150260第一学段第二学段第三学段匚■好凡何 匚二♦计（=□»*** A. 除了 “综合与实践”外，其它三个领域的条H 数都随着学段的升高而增加，尤其 “图形与几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B. 所有主题中，三个学段的总和“图形与儿何”条目数最多，占50%,综合与实践 最少，约占4%.C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形与几何”条目数最多.D. “数与代数”条目数虽然随假设学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图 形与几何”条目数 ，百分比都随学段的增长而增长.II.己知数列｛《,｝的各项均为正数，其前〃项和S 〃满足4S,；2q,,设如=（-1）"・时职,7；为数列｛勿｝的前〃项和，那么乌=A. 110B. 220C. 440D. 88012 •设椭圆的左右焦点为％，&，焦距为2c,过点A ；的直线与椭圆C 交于点P,Q,假设（长舂三切\PF 21= 2c,且那么椭圆C 的离心率为1 3 5 A. —B. —C.—247二、 填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.一名信息员维护甲、乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别为0.4和0.3.那么至少有一个公司不需要维护的概率为 __________ ・等差数列中，％=1,公差dc[l,2],旦《+如+弓5=15,那么实数人的最大 值为 .假设玉，冯是函数/（x ） = x 2-7x+4lnx 的两个极值点，那么x ｝x 2 =___________ , /（^） + /（^2）= _____________ ・（此题第一空2分，第二空3分）现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形，48 = 2,侧面△ PAD^等边三角形，线段BC 的中点为E,假设 PE = 1.那么所需球体原材料的最小体积为 ______________ ・ 三、 解答题：共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （-）必考题：共60分.17. （12 分）笔、墨、纸、砚足中国独有的文书工具，即“文房四宝” O 笔、墨、纸、砚之名， 起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始丁•唐代，产于泾县”，而唐代 泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌 （优等品和合格品），某公司年产宣纸10（）00刀（每刀100张），公司按照某种质量标 准值X 给宣纸确定质量等级，如下表所示：X (48,521(44,482(5256](0,44|U(56J(X)|质房等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀 （l （X ）张）进行检验，得到频率分布直方图如 图所示，己知每张正牌纸的利润是10元，副 牌纸的利润是5元，废品亏损10元.（I ） 估计该公司生产宣纸的年利润（单 位：万元）：（II ） 该公司预备购置一种售价为100万 元的机器改良生产工艺，这种机器的使用寿命7D.二 313. 14. 15. 16.是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值A•的频率，如下表所示：(x-2,x + 2]其中三为改良工艺前质量标准值A•的平均值，改良工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都卜降2元，请判断该公司是否应该购置这种机器，并说明理由.18. (12 分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。
【数学】吉林省普通高中2020学年高三毕业第三次调研测试试卷理科数学版含答案
【关键字】数学吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第三次调研测试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集集合，集合若，则应该满足的条件是A．B．≥C．D．≤2．已知复数，其中为虚数单位.则A．B．C．D．3．已知向量，若∥，则A．4 B．C．12 D．204．已知点是双曲线的一个焦点，则此双曲线的离心率为A．B．C．D．5．的展开式中，各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，若，则A．5 B．C．7 D．86．给出下列几个命题：① 命题任意，都有，则存在，使得．② 命题“若且，则且”的逆命题为假命题．③ 空间任意一点和三点，则是三点共线的充分不必要条件．④ 线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点中的一个．其中不正确的个数为A. B. C. D.7．若直角坐标平面内的两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称。
则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”)．已知函数，则此函数的“友好点对”有A. 3对B. 2对C. 1对D. 0对8．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值为A．B．C．D．9．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出的值为A．3B．4C．5D．610．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则9117用算筹可表示为A. B．C．D．11．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，11231,,n n n n na a a a a ++⎧⎪=⎨⎪-⎩若310S =，则180S = A ． 600或900B ． 900或560C ． 900D ． 60012．定义在区间D 上的函数()f x 和()g x ，如果对任意x D ∈，都有|()()|1f x g x -≤ 成立，则称()f x 在区间D 上可被()g x 替代，D 称为“替代区间”．给出以下问题： ①2()1f x x =+在区间(,)-∞+∞上可被21()2g x x =+替代； ②如果()ln f x x =在区间[1,]e 可被()g x x b =-替代，则22b -≤≤；③设212()lg()(),()sin ()f x ax x x D g x x x D =+∈=∈，则存在实数(0)a a ≠及区 间12,D D , 使得()f x 在区间12D D 上被()g x 替代。
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吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测（三）（三模）
理科数学试题
一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2{|4}A x x =∈≤Z ,B={x|-4<x<2},则A∩B= A.{x|-2≤x<2}
B.{x|-4<x≤2}
.{2,1,0,1,2}C -- .{2,1,0,1}D --
2.已知复数z=(a+i)(1-2i)(a ∈R )的实部为3,其中i 为虚数单位,则复数z 的虚部为 A.-1
B.-i
C.1
D.i
3.已知向量a r =(1,-2),b r =(3,-3),c r =(1,t),若向量a r
与向量b c +r r 共线,则实数t=
A.5
B.-5
C.1
D.-1
4.已知函数()cos
3sin 22
x x
f x =-的图象为C,为了得到关于原点对称的图象,只要把C 上所有的点 A.向左平移
3π
个单位
B.向左平移
23π
个单位 C.向右平移3
π
个单位
D.向右平移
23
π
个单位 5.函数3
()x x
x f x e e -=-的图象大致为
6.在5
2
1()x x +
的展开式中,一定含有 A.常数项
B.x 项
1.C x - 项
3.D x 项
7.已知直线m,n 和平面,,,αβγ有如下四个命题: ①若m ⊥α,m//β,则α⊥β; ②若m ⊥α,m//n,n ⊂β,则α⊥β;
③若n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α,则m ⊥β; ④若m ⊥α,m ⊥n,则n//α. 其中真命题的个数是 A.1
B.2
C.3
D.4
8.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一,风雨桥由桥､塔､亭组成,其塔俯视图通常是正方形､正六边形和正八边形.右下图是风雨桥中塔的俯视图｡该塔共5层,若01122334000.5,8.B B B B B B B B m A B m =====这五层正六边形
的周长总和为
A.35m
B.45m
C.210m
D.270m
9.已知圆E 的圆心在y 轴上,且与圆C:2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为30,x y -=则圆E 的方程为
22.(3)2A x y +-= 22.(3)2B x y ++= 22.(3)3C x y +-=
22.(3)3D x y ++=
10.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中,列出各个学段每个主题所包含的条目数(如下表),下右图是将统计表的条目数转化为百分比,按各学段绘制的等高条形图,由图表分析得出以下四个结论,其中错误的是
A.除了“综合与实践”外,其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加,尤其“图形与几何”在第三学段增加较多,约是第二学段的3.5倍｡
B.所有主题中,三个学段的总和“图形与几何”条目数最多,占50%,综合与实践最少,约占4%
C.第一､二学段“数与代数”条目数最多,第三学段“图形与几何”条目数最多.
D.“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长,而其百分比却一直在减少.“图形与几何”条目数,百分比都随学段的增长而增长.
11.已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和n S 满足2
*42,()n n
n S a a n =+∈N ,设1(1),n n n n b a a +=-⋅T n 为数列{}n b 的前n 项和,则20T =
A.110
B.220
C.440
D.880
12.设椭圆的左右焦点为12,,F F 焦距为2c,过点1F 的直线与椭圆C 交于点P,Q,若2||2,PF c =且114
||||3
PF QF =,则椭圆C 的离心率为
1.
2
A 3.
4
B 5.
7
C 2.
3
D 二､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡
13.一名信息员维护甲､乙两公司的5G 网络,一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别为0.4和0.3,则至少有一个公司不需要维护的概率为___.
14.等差数列{}n a 中,11,a =公差d ∈[1,2],且391515,a a a λ++=则实数λ的最大值为___.
15.若12,x x 是函数2()74f x x x lnx =-+的两个极值点,则12x x =__；12()()f x f x +=___.(本题第一空2分,第二空3分)
16.现有一批大小不同的球体原材料,某工厂要加工出一个四棱锥零件,要求零件底面ABCD 为正方形,AB=2,侧面△PAD 为等边三角形,线段BC 的中点为E,若PE=1.则所需球体原材料的最小体积为____.
三､解答题:共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答｡第22~23题为选考题,考生根据要求作答｡
(一)必考题:共60分｡ 17.(12分)
笔､墨､纸､砚是中国独有的文书工具,即“文房四宝”.笔､墨､纸､砚之名,起源于南北朝时期,其中的“纸”指的是宣纸,宣纸“始于唐代,产于泾县”,而唐代泾县隶属于宣州府管辖,故因地而得名“宣纸”,宣纸按质量等级,可分为正牌
和副牌(优等品和合格品),某公司年产宣纸10000刀(每刀100张),公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级,如下表所示:
x (48,52] (44,48]∪(52,56] (0,44]∪(56,100]
质量等级正牌副牌废品
利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.
(1)估计该公司生产宣纸的年利润(单位:万元);
(II)该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺,这种机器的使用寿命是一年,只能提高宣纸的质量,不影响产量,这种机器生产的宣纸的质量标准值x的频率,如下表所示:
其中x为改进工艺前质量标准值x的平均值,改进工艺后,每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元,请判断该公司是否应该购买这种机器,并说明理由.
18.(12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4ccosB.
(1)求证:sinBcosC=3sinCcosB;
(II)求B-C的最大值.
19.(12分)
四棱锥P-ABCD中,ABCD为直角梯形,BC//AD,AD⊥DC,BC=CD=1,AD=2,PA=PD,E为PC中点,平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点,PA//平面BEF.
(1)求证:平面BEF⊥平面PAD;
(II)若PC与底面ABCD所成的角为60°.求二面角E-BF-A的余弦值.
20.(12分)
已知点A(0,1),点B在y轴负半轴上,以AB为边做菱形ABCD,且菱形ABCD对角线的交点在x轴上,设点D 的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(II)过点M(m,0),其中1<m<4,作曲线E的切线,设切点为N,求△AMN面积的取值范围.
21.(12分)
已知函数1
()ln ,()(0)x f x m x g x x x
-==
>. (1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上的单调性;
(II)是否存在正实数m,使y=f(x)与y=g(x)的图象有唯一一条公切线,若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由.
(二)选考题:共10分,请考生在22-23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4坐标系与参数方程](10分)
以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为
2
212([0,])23sin πρθθ=∈+,直线1
的参数方程为23x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
(t 为参数). (1)求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程;
(II)设点P 为曲线C 上的动点,点M 和点N 为直线l 上的点,且满足△PMN 为等边三角形,求△PMN 边长的取值范围.
23.[选修4-5不等式选讲](10分)
已知函数()()2, , 3f x m x m g x x =--∈=+R . (1)当x ∈R 时,有f(x)≤g(x),求实数m 的取值范围;
(II)若不等式f(x)≥0的解集为[1,3],正数a,b 满足ab-2a-b=3m-1,求a+b 的最小值.。