【学霸优课】高考数学(理)一轮复习对点训练：4-4-2 解三角形及其综合应用(含答案解析)
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第4章 三角函数、解三角形 解答题专项二 三角函数与解三角形
令
1
− 2 cos
2x-
3
sin
4
2
π
+6
π
2x+6
∈
π
2
π
3
2 +
1
-2(cos
+
2x-1)=
3
sin
2
2
1
2x-2cos
2π
)
3
1-cos (2-
2x+1=-
2
1
-2cos
3
sin
4
−
1
cos
2
1
2x+2
1
2x+2
1
2x-4cos
2x+1
+1.
3π
2π, 2
+ 2π ,k∈Z,则 x∈
解答题
专项二
三角函数与解三角形
考情分析:高考对三角函数与解三角形的考查有较强的规律性,三角解答题
与数列解答题交替考查.只考小题的试卷有三道题目,共15分;考解答题时
有一大一小两个题目,共17分.在三个小题中,分别考查三角函数的图象与
性质、三角变换、解三角形;在一个小题和一个大题中,小题要么考查三角
π
6
+1,
,
1
≥-2,
结合正弦函数的图象与性质可知
π
−2
1
+1=- sin
2
π
2x-6
∈
7π
5π
− 6 ,− 6
∪
π 5π
−6, 6
,
,
即所求实数 x 的取值集合为 ∣
π
−
2
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：解三角形及其应用举例
§4.9解三角形及其应用举例考试要求1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.3.通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养．知识梳理测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i ＝hl＝tan θ思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)东南方向与南偏东45°方向相同．(√)(2)若△ABC 为锐角三角形且A ＝π3，则角B ×)(3)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2.(×)教材改编题1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的()A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案B解析由题可知∠ABC ＝50°，A ，B ，C 位置关系如图，则灯塔A 在灯塔B 的北偏西10°.2.如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60m ，则树的高度为()A ．(303＋30)mB ．(153＋30)mC ．(303＋15)mD ．(153＋15)m答案A解析在△ABP 中，∠APB ＝45°－30°，所以sin ∠APB ＝sin(45°－30°)＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB ＝AB sin 30°sin ∠APB ＝60×126－24＝30(6＋2)，所以该树的高度为30(6＋2)sin 45°＝303＋30(m)．3．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为________海里．答案66解析如图，设点A 代表甲驱逐舰，点B 代表乙护卫舰，点C 代表航母，则A ＝75°，B ＝45°，设甲乙距离x 海里，即AB ＝x ，在△ABC 中由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，即12sin 45°＝xsin 60°，解得x ＝6 6.题型一解三角形的应用举例命题点1测量距离问题例1(1)(2023·重庆模拟)一个骑行爱好者从A 地出发，向西骑行了2km 到达B 地，然后再由B 地向北偏西60°骑行23km 到达C 地，再从C 地向南偏西30°骑行了5km 到达D 地，则A 地到D 地的直线距离是()A ．8kmB ．37kmC ．33kmD ．5km答案B解析如图，在△ABC 中，∠ABC ＝150°，AB ＝2，BC ＝23，依题意，∠BCD ＝90°，在△ABC 中，由余弦定理得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝4＋12＋83×32＝27，由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB sin ∠ABC AC＝714，在△ACD 中，cos ∠ACD ＝cos(90°＋∠ACB )＝－sin ∠ACB ＝－714，由余弦定理得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD ＝28＋25＋2×27×5×714＝37，所以A 地到D 地的直线距离是37km.(2)(2022·东北师大附中模拟)为加快推进“5G ＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D .已知基站C ，D 建在某江的南岸，距离为103km ；基站A ，B 在江的北岸，测得∠ACB ＝75°，∠ACD ＝120°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则基站A ，B 的距离为()A ．106kmB ．30(3－1)kmC ．30(2－1)kmD ．105km答案D解析在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACB ＝75°，∠ACD ＝120°，所以∠BCD ＝45°，∠CAD ＝30°，∠ADC ＝∠CAD ＝30°，所以AC ＝CD ＝103，在△BDC 中，∠CBD ＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，由正弦定理得BC ＝103sin 75°sin 60°＝52＋56，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(103)2＋(52＋56)2－2×103×(52＋56)cos 75°＝500，所以AB ＝105，即基站A ，B 之间的距离为105km.命题点2测量高度问题例2(1)(2023·青岛模拟)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A 距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD ，测得CD 的高度为h ，并从C 点测得A 点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD 之间的地面上的点E 处测得A 点，C 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，E ，D 三点共线)．该学习小组利用这些数据估算得AB 约为60米，则CD 的高h 约为()(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)A ．11米B ．20.8米C ．25.4米D ．31.8米答案C解析由题意可得∠AEB ＝75°，∠CED ＝30°，则∠AEC ＝75°，∠ACE ＝60°，∠CAE ＝45°，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 75°＝60sin 75°，在△ACE 中，由正弦定理得AE sin ∠ACE ＝CEsin ∠CAE，所以CE ＝206sin 75°，所以CD ＝12CE ＝106sin 75°，又sin 75°＝sin(45°＋30°)＝6＋24，所以CD ＝4066＋2＝60－203≈60－20×1.73＝25.4(米)．(2)大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望．吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB 的长度)．他在该雕塑塔的正东C 处沿着南偏西60°的方向前进72米后到达D 处(A ，C ，D 三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB 在东北方向，且测得点B 的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据：tan 71.565°≈3)()A ．19米B ．20米C ．21米D ．22米答案C解析在△ACD 中，∠CAD ＝135°，∠ACD ＝30°，CD ＝72，由正弦定理得AD sin ∠ACD ＝CDsin ∠CAD ，所以AD ＝CD ×sin ∠ACD sin ∠CAD＝7(米)，在Rt △ABD 中，∠BDA ＝71.565°，所以AB ＝AD ×tan 71.565°≈7×3＝21(米)．命题点3测量角度问题例3(1)(2023·南通模拟)图1是南北方向水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)的示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26′)，在某地利用一表高为2dm 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm ，则该地的纬度约为北纬(参考数据：tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.48)()A ．23°26′B ．32°34′C ．34°D ．56°答案B解析如图所示，由图3可得tan α＝22.98≈0.67，又tan 34°≈0.67，所以α≈34°，所以由图4知∠MAN ≈90°－34°＝56°，所以β≈56°－23°26′＝32°34′，该地的纬度约为北纬32°34′.(2)(2023·无锡模拟)《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km 的A ，B 两地各放置一个地动仪，B 在A 的东偏北60°方向，若A 地地动仪正东方向的铜丸落下，B 地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A 地正东________km.答案100(3＋1)解析如图，设震源在C 处，则AB ＝200km ，由题意可得A ＝60°，B ＝75°，C ＝45°，根据正弦定理可得200sin 45°＝ACsin 75°，又sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，所以AC ＝200sin 75°sin 45°＝200×6＋2422＝100(3＋1)，所以震源在A 地正东100(3＋1)km 处．思维升华解三角形的应用问题的要点(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素．(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．跟踪训练1(1)(多选)某货轮在A 处测得灯塔B 在北偏东75°，距离为126n mile ，测得灯塔C 在北偏西30°，距离为83n mile.货轮由A 处向正北航行到D 处时，测得灯塔B 在南偏东60°，则下列说法正确的是()A ．A 处与D 处之间的距离是24n mileB ．灯塔C 与D 处之间的距离是16n mile C ．灯塔C 在D 处的西偏南60°D ．D 在灯塔B 的北偏西30°答案AC解析由题意可知∠ADB ＝60°，∠BAD ＝75°，∠CAD ＝30°，所以B ＝180°－60°－75°＝45°，AB ＝126，AC ＝83，在△ABD 中，由正弦定理得ADsin B ＝AB sin ∠ADB，所以AD ＝126×2232＝24(n mile)，故A 正确；在△ACD 中，由余弦定理得CD ＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即CD ＝(83)2＋242－2×83×24×32＝83(n mile)，故B 错误；由B 项解析知CD ＝AC ，所以∠CDA ＝∠CAD ＝30°，所以灯塔C 在D 处的西偏南60°，故C 正确；由∠ADB ＝60°，得D 在灯塔B 的北偏西60°，故D 错误．(2)落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且AB ＝BC ＝75米，则滕王阁的高度OP ＝________米．答案1515解析设OP ＝h ，则OA ＝OP tan 30°＝3h ，OB ＝OP tan 60°＝33h ，OC ＝OPtan 45°＝h .方法一(两角互补，余弦值互为相反数)由∠OBC ＋∠OBA ＝π得cos ∠OBC ＝－cos ∠OBA ，化简得h 2＝3375，易知h >0，所以h ＝1515，即OP 为1515米．方法二(同角的余弦值相等)在△OCB 中，cos ∠OCB 在△OCA 中，cos ∠OCB ＝h 2＋1502－(3h )22×150×h ，2×75×h ＝h 2＋1502－(3h )22×150×h ，化简得h 2＝3375，易知h >0，所以h ＝1515，即OP 为1515米．(3)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A ，B，C 三点进行测量．已知AB ＝60m ，BC ＝120m ，于A 处测得水深AD ＝120m ，于B 处测得水深BE ＝200m ，于C 处测得水深CF ＝150m ，则cos ∠DEF ＝________.答案－1665解析如图，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，则DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1802＝33300，DE ＝DN 2＋EN 2＝602＋802＝100，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝502＋1202＝130，在△DEF 中，由余弦定理得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1002＋1302－333002×100×130＝－1665.题型二解三角形中的最值和范围问题例4(2023·九江模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3(a 2＋c 2－b 2)＝－2ab sin C .(1)求角B ；(2)若D 为AC 的中点，且BD ＝2，求△ABC 面积的最大值．解(1)∵3(a 2＋c 2－b 2)＝－2ab sin C ，∴3(a 2＋c 2－b 2)＝－2ac sin B ，即3(a 2＋c 2－b 2)2ac ＝－sin B ，由余弦定理，得3cos B ＝－sin B ，∵cos B ≠0，∴tan B ＝－3，∵0<B <π，∴B ＝2π3.(2)方法一∵BD →＝12(BA →＋BC →)，∴BD →2＝14BA →2＋12BA →·BC →＋14BC →2，∴14c 2＋12ac cos 2π3＋14a 2＝4，即a 2＋c 2－ac ＝16，∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤16，∴S △ABC ＝12ac sin 2π3≤12×16sin 2π3＝43，当且仅当a ＝4，c ＝4时取等号，故△ABC 面积的最大值为4 3.方法二在△ABD 中，由余弦定理得c 2＝22－2×2×12b cos ∠ADB ，即c 2＝4＋14b 2－2b cos ∠ADB ，①在△CBD 中，由余弦定理得a 2＝22－2×2×12b cos ∠CDB ，即a 2＝4＋14b 2－2b cos ∠CDB ，∵cos ∠CDB ＝cos(π－∠ADB )＝－cos ∠ADB ，∴a 2＝4＋14b 2＋2b cos ∠ADB ，②由①＋②得a 2＋c 2＝8＋12b 2，③在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，即b 2＝a 2＋c 2＋ac ，代入③中，整理得a 2＋c 2－ac ＝16，∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤16，∴S △ABC ＝12ac sin 2π3≤12×16sin 2π3＝43，当且仅当a ＝4，c ＝4时取等号，故△ABC 面积的最大值为4 3.方法三如图，过点C 作AB 的平行线交BD 的延长线于点E ，∵CE ∥AB ，D 为AC 的中点，∴DE ＝BD ＝2，CE ＝AB ＝c ，∠BCE ＝π3，BE ＝4，在△BCE 中，由余弦定理得BE 2＝BC 2＋EC 2－2BC ·EC cos ∠BCE ，即42＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理得a 2＋c 2－ac ＝16，∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤16，∴S △ABC ＝12ac sin 2π3≤12×16sin 2π3＝43，当且仅当a ＝4，c ＝4时取等号，故△ABC 面积的最大值为4 3.思维升华解三角形中最值(范围)问题的解题策略利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，利用函数的单调性或均值不等式等求最值(范围)．跟踪训练2(2023·南京模拟)在①b ＝3c cos B ；②2S △ABC ＝3BA →·BC →，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角B ；(2)在△ABC 中，b ＝23，求△ABC 周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)选择条件①：即b sin C ＝3c cos B ，由正弦定理可得sin B sin C ＝3sin C cos B ，在△ABC 中，B ，C ∈(0，π)，所以sin B ≠0，sin C ≠0，所以sin B ＝3cos B ，且cos B ≠0，即tan B ＝3，所以B ＝π3.选择条件②：即2×12ac sin B ＝3ca cos B ，即sin B ＝3cos B ，在△ABC 中，B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，则cos B ≠0，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由(1)知，B ＝π3，b ＝23，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3，所以12＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac 得(a ＋c )2－12＝3ac ≤，所以a ＋c ≤43，当且仅当a ＝c 时，等号成立，所以△ABC 周长的最大值为6 3.课时精练1．一艘游船从海岛A 出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B ，然后再从海岛B 出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C ，若游船从海岛A 出发沿直线到达海岛C ，则航行的路程为()A ．12海里B ．87海里C ．85－23海里D ．83海里答案D解析根据题意知，在△ABC 中，∠ABC ＝20°＋40°＝60°，AB ＝8海里，BC ＝16海里，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC ＝82＋162－2×8×16×12＝192，∴AC ＝83海里．2．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m ，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)()A ．7350mB ．2650mC ．3650mD ．4650m答案B解析如图，设飞机的初始位置为点A ，经过420s 后的位置为点B ，山顶为点C ，作CD ⊥AB于点D ，则∠BAC ＝15°，∠CBD ＝45°，所以∠ACB ＝30°，在△ABC 中，AB ＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，则BC ＝2100012×sin 15°＝10500(6－2)(m)，因为CD ⊥AB ，所以CD ＝BC sin 45°＝10500(6－2)×22＝10500(3－1)≈7350(m)，所以山顶的海拔高度大约为10000－7350＝2650(m)．3．(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P ，对地面B ，C 两受灾点的视角为∠BPC ，且tan ∠BPC ＝13.已知地面上三处受灾点B ，C ，D 共线，且∠ADB ＝90°，BC ＝CD ＝DA ＝1km ，则无人机P 到地面受灾点D 处的遥测距离PD 的长度是()A.2km B ．2km C.3km D ．4km答案B 解析方法一由题意得BD ⊥平面PAD ，∴BD ⊥PD .设PD ＝x ，记∠PBD ＝α，∠PCD ＝β，∴tan α＝x2，tan β＝x ，∴tan ∠BPC ＝tan(β－α)＝x －x 21＋x ·x 2＝x x 2＋2＝13，解得x ＝1或x ＝2，又在Rt △PDA 中有x >1，∴x ＝2.方法二由题意知BD ⊥平面PAD ，∴BD ⊥PD .设PA ＝x ，则PB 2＝x 2＋5，PC 2＝x 2＋2.由tan ∠BPC ＝13，可得cos ∠BPC ＝31010，在△PBC 中，由余弦定理得x 2＋5＋x 2＋2－1＝2x 2＋5·x 2＋2·31010，解得x 2＝3，进而PD ＝x 2＋1＝2.4．(2022·洛阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则A 的最大值为()A.2π3B.π6C.π2D.π3答案D解析因为sin B ＋sin C ＝2sin A ，则由正弦定理得b ＋c ＝2a .因为b 2＋c 2≥(b ＋c )22＝2a 2，bc＝a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥a 22bc ≥12，当且仅当b ＝c 时，等号成立，所以A 的最大值为π3.5．(2023·德阳模拟)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且b ＝2a sin B,则cos B ＋sin C 的取值范围为()A ．(0，3]B ．(1，3]答案C解析依题意b ＝2a sin B ，由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以sin A ＝12，由于△ABC 是锐角三角形，所以A ＝π6，cos A ＝32，＋B >π2，B <π2⇒π3<B <π2.所以cos B ＋sin C ＝cos B ＋＝cos B ＋12cos B ＋32sin B ＝32cos B ＋32sin B＝3sin 由于2π3<B ＋π3<5π6，所以3sin6．(多选)(2022·重庆模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3(a cos C ＋c cos A )＝2b sin B ，且∠CAB ＝π3，若点D 是△ABC 外一点，DC ＝1，DA ＝3，则下列结论正确的是()A ．△ABC 的内角B ＝π3B ．△ABC 的内角C ＝π3C ．△ACD 的面积为334D ．四边形ABCD 面积的最大值为532＋3答案ABD解析∵3(a cos C ＋c cos A )＝2b sin B ，由正弦定理得3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝2sin B ·sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝π3.故A 正确；又∵∠CAB ＝π3，∴∠ACB ＝π3，故B 正确；由于S △ACD ＝12×1×3sin D ＝32sin D ，由于角D 无法确定，故C 不一定正确；在等边△ABC 中，设AC ＝x ，x >0，在△ACD 中，由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ，由于DA ＝3，DC ＝1，代入上式可得x 2＝10－6cos D ，∴四边形ABCD 的面积S ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12x ·x sin π3＋12×1×3sin D ＝34x 2＋32sin D ＝34(10－6cos D )＋32sin D ＝＋532，∴当D ＝5π6时，四边形ABCD 的面积取最大值，最大值为532＋3，故D 正确．7．(2022·南宁模拟)2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D 垂直下落于点C ，某时刻地面上点A ，B 观测点观测到点D 的仰角分别为45°，75°，若A ，B 间距离为10千米(其中向量CA →与CB →同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD 约为________千米(结果保留整数，参考数据：3≈1.732)．答案14解析在△ABD 中，A ＝45°，∠ABD ＝180°－75°＝105°，∠ADB ＝30°，由正弦定理得AB sin 30°＝ADsin 105°，AD ＝20×sin 105°＝20×sin(60°＋45°)＝20×(sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°)＝5(6＋2)，所以CD ＝AD ×22＝5(6＋2)×22＝53＋5≈14(千米)．8．(2022·六安模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，c cos B ＋(2a ＋b )cos C ＝0，若△ABC 的外接圆面积为π，则△ABC 周长的最大值是________．答案2＋3解析c cos B ＋(2a ＋b )cos C ＝0，由正弦定理得sin C cos B ＋(2sin A ＋sin B )cos C ＝0，即sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0，所以sin(B ＋C )＋2sin A cos C ＝0，即sin A (1＋2cos C )＝0，因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，所以cos C ＝－12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3，因为△ABC 的外接圆面积为π，所以△ABC 的外接圆半径为1，所以由正弦定理得csin C ＝c sin 2π3＝2，解得c ＝3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos2π3＝(a ＋b )2－ab ＝3，则ab ＝(a ＋b )2－3，由均值不等式得ab ≤(a ＋b )24，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以(a ＋b )2－3≤(a ＋b )24，解得a ＋b ≤2，所以△ABC 周长的最大值是2＋ 3.9．(2022·益阳模拟)在①sin A sin B ＋sin B sin A ＋1＝c 2ab ；②(a ＋2b )cos C ＋c cos A ＝0；③3a sin A ＋B 2＝c sin A ，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝4，求AB 的中线CD 长度的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)选择条件①：由sin A sin B ＋sin B sin A ＋1＝c 2ab 及正弦定理，得a b ＋b a ＋1＝c 2ab，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，因为0<C <π，所以C ＝2π3.选择条件②：由(a ＋2b )cos C ＋c cos A ＝0及正弦定理，得(sin A ＋2sin B )cos C ＋sin C cos A ＝0，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝－2sin B cos C .即sin(A ＋C )＝－2sin B cos C .在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，即sin B ＝－2cos C sin B ，因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以cos C ＝－12，因为0<C <π，所以C ＝2π3.选择条件③：由3a sin A ＋B2＝c sin A 及正弦定理，得3sin A sinA ＋B2＝sin C sin A ，因为0<A <π，所以sin A ≠0，所以3sin A ＋B2＝sin C .在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＋B 2＝cos C2，故3cos C 2＝2sin C 2cos C2.因为0<C <π，所以cos C 2≠0，则sin C 2＝32，故C ＝2π3.(2)因为∠ADC ＋∠BDC ＝π，所以4＋CD 2－b 22×2×CD ＋4＋CD 2－a 22×2×CD ＝0，整理得2CD 2＝a 2＋b 2－8，在△ABC 中，由余弦定理得42＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3＝a 2＋b 2＋ab .因为ab ≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以16＝a 2＋b 2＋ab ≤a 2＋b 2＋12(a 2＋b 2)＝32(a 2＋b 2)，即a 2＋b 2≥323，所以2CD 2＝a 2＋b 2－8≥323－8＝83，即CD ≥233，即CD 长度的最小值为233.10．(2022·西安模拟)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若sin A sin B sin C ＝32(sin 2A ＋sin 2B －sin 2C )．(1)求sin C ；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解(1)由sin A sin B sin C ＝32(sin 2A ＋sin 2B －sin 2C )及正弦定理，得ab sin C ＝32(a 2＋b 2－c 2)，又由余弦定理得ab sin C ＝3ab cos C .所以tan C ＝3，C 为锐角，则C ＝π3，所以sin C ＝32.(2)由2R ＝csin C ＝332得R ＝1.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B )＋3＝2(sin A ＋sin B )＋3＝2sin A ＋2sin B ＋3＝2sin A ＋＋3＝3sin A ＋3cos A ＋3＝23sin ＋3，因为A ，2π3－A所以A A ＋π6∈所以23sin＋3∈(3＋3，33]，即a ＋b ＋c ∈(3＋3，33]．所以△ABC 周长的取值范围为(3＋3，33]．11．(多选)(2023·宁波模拟)一艘轮船航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75°方向，距离126海里，灯塔C 在A 的北偏西30°方向，距离为123海里，该轮船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60°方向，下面结论正确的有()A ．AD ＝24B ．CD ＝12C ．∠CDA ＝60°或∠CDA ＝120°D ．∠CDA ＝60°答案ABD解析如图，在△ABD 中，B ＝45°，由正弦定理得AD sin 45°＝ABsin 60°，则AD ＝126×2232＝24，故A 正确；在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD ×cos 30°，因为AC ＝123，AD ＝24，所以CD ＝12，故B 正确；由正弦定理得CD sin 30°＝AC sin ∠CDA，所以sin ∠CDA ＝32，故∠CDA ＝60°或者∠CDA ＝120°，因为AD >AC ，故∠CDA 为锐角，所以∠CDA ＝60°，故C 不正确，D 正确．12．(2023·咸阳模拟)数学必修第二册介绍了海伦－秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即Sa ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．若1－3cos B 3sin B ＝1tan C ，b ＝2，则△ABC 面积S的最大值为()A.3 B.5C ．2D.2答案A 解析因为1－3cos B 3sin B ＝1tan C ，所以tan C ＝3sin B 1－3cos B，又tan C ＝sin Ccos C ，所以3sin B 1－3cos B ＝sin Ccos C，所以3sin B cos C ＝sin C (1－3cos B )，所以3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B ，所以sin C ＝3(sin B cos C ＋cos B sin C )＝3sin(B ＋C )＝3sin A ，由正弦定理得c ＝3a ，因为b ＝2，所以△ABC 的面积S ＝14[3a 4－(2a 2－2)2]＝14(－a 4＋8a 2－4)，将a 2看成整体并利用二次函数性质得，当a 2＝4即a ＝2时，△ABC 的面积S 有最大值，最大值为 3.13．(2022·烟台模拟)我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，AB 是窗户的高度，BC 是遮阳篷的安装高度，CD 是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为α，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为β，窗户高度AB ＝h .为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC ＝________.答案h tan αtan β－tan α解析依题意可得∠ADC ＝β，∠BDC ＝α，AB ＝h ，在Rt △ADC 中，ACCD ＝tan β，在Rt △BDC中，BCCD ＝tan α，又AC －BC ＝h ，所以BC ＋h tan β＝BC tan α，解得BC ＝h tan αtan β－tan α.14．(2023·遵义模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sinB ＋C2＝a sin B ，a ＝2，则△ABC 周长的最大值为________．答案32解析因为b sin B ＋C 2＝a sin B ，所以由正弦定理得sin B sin A sin B ，又sin B ≠0，故sin A ，即cos A 2＝sin A .由二倍角公式有cos A 2＝2sin A 2cos A 2，因为A 2∈故cos A 2≠0，所以sin A 2＝12，所以A 2＝π6，即A ＝π3.由余弦定理得(2)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3，结合均值不等式有2＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3，化简得14(b ＋c )2≤2，即(b ＋c )2≤8，故b ＋c ≤22，当且仅当b ＝c ＝2时取等号．故△ABC 周长的最大值为2＋22＝3 2.15．在平面内，四边形ABCD 的∠ABC 与∠ADC 互补，DC ＝1，BC ＝3，∠DAC ＝30°，则四边形ABCD 面积的最大值等于()A.3B.32＋1C.22＋1D ．2答案B解析因为∠ABC 与∠ADC 互补，则sin ∠ABC ＝sin ∠ADC ，且A ，B ，C ，D 四点共圆．所以∠CBD ＝∠DAC ＝30°，在△ADC 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝DC sin ∠DAC ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，所以BC sin ∠BAC ＝DC sin ∠DAC，得sin ∠BAC ＝32，所以∠BAC ＝60°或∠BAC ＝120°.设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，则DC sin ∠DAC ＝2R ，解得R ＝1.设AB ＝a ，AD ＝b .(1)如图1，当∠BAC ＝60°时，则∠BAD ＝90°，故∠BCD ＝90°，此时S △BCD ＝12×1×3＝32，且BD ＝2，在Rt △ABD 中，4＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤2，即S △ABD ＝12×ab ≤1.所以四边形ABCD 的面积S ＝S △BCD ＋S △ABD ≤32＋1，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故四边形ABCD 面积的最大值为32＋1.(2)如图2，当∠BAC ＝120°时，则∠BAD ＝150°，故∠BCD ＝30°，所以S △BCD ＝12×1×3×sin 30°＝34.因为BD sin ∠BAD ＝2R ，所以BD ＝1，则在△ABD 中，由余弦定理得1＝a 2＋b 2－2ab cos 150°，所以3ab ＝1－(a 2＋b 2)<1，即ab <33.所以S △ABD ＝12×ab sin 150°＝14ab <312，此时四边形ABCD 的面积S ＝S △BCD ＋S △ABD <33<32＋1.综上，四边形ABCD 面积的最大值等于32＋1.16.拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D ，E ，F ，若DF ＝23，则AB AD＝________，AB ＋AC 的最大值为________．答案343解析设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .如图，连接AF ，BD .由拿破仑定理知，△DEF 为等边三角形．因为D 为等边三角形的中心，所以在△DAB 中，∠ABD ＝∠BAD ＝30°，∠ADB ＝120°，设AD ＝BD ＝x ，由余弦定理得c 2＝x 2＋x 2－2x 2cos 120°，即c 2＝3x 2，解得c x ＝3，即AB AD ＝3，所以AD ＝c 3，同理AF ＝b 3，又∠BAC ＝60°，∠CAF ＝30°，所以∠DAF ＝∠BAD ＋∠BAC ＋∠CAF ＝120°，在△ADF 中，由余弦定理可得DF 2＝AD 2＋AF 2－2AD ·AF ·cos 120°，即12＝c 23＋b 23－2·bc 3·(b ＋c )2＝bc ＋36，由均值不等式得(b ＋c )2＋36，解得b ＋c ≤43(当且仅当b ＝c ＝23时取等号)，所以(AB ＋AC )max ＝43.。
2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形 第4练 二倍角公式及应用(解析版)
B． cos A cos B
C． sin 2A sin 2B
D． cos 2A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
D． 5 或
5
5
）
D． 24 25
7．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A． f x cos2 x sin x cos x
B． f x 1 cos 2 x
2sin x cos x
C．
f
x
cos
x
π 3
cos
x
π 3
D．
f
x
sin
D
不
正确，
故选：BC.
10．AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称
性、换元法逐一判断即可.
【详解】 f (x) sin x cos x 1 sin 2x, g(x) sin x cos x 2 sin(x π ) ，
2
4
当
x
0,
π 4
时，
3 5 8
2
5 1 5 1．
16
4
故选：D．
2．B 【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
sin
π 6
cos
3 sin 1 cos cos 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 3 ，
2018版高考数学理一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4-2 含解析 精品
1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．各角的终边与角α的终边的关系3.六组诱导公式【知识拓展】1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．( √ )1．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 答案 D解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.2．(教材改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )A ．±12B.12C.32D ．±32答案 D解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12.∴sin α＝－12，cos α＝±1－sin 2α＝±32.3．(2016·东营模拟)计算：sin 116π＋cos 103π等于( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D.12－32答案 A 解析 ∵sin 116π＝sin(π＋56π)＝－sin 5π6＝－12， cos103π＝cos(2π＋4π3)＝cos 4π3＝－12， ∴sin116π＋cos 103π＝－1. 4．(教材改编)若tan α＝2，则sin α＋4cos α5sin α－2cos α＝ .答案 34解析sin α＋4cos α5sin α－2cos α＝tan α＋45tan α－2＝2＋45×2－2＝34. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －18，x >2 000，则f (f (2 018))＝ .答案 －1解析 ∵f (f (2 018))＝f (2 018－18)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 23π＝－1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34(2)化简：(1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝ . 答案 (1)B (2)1 解析 (1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)(1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝(1＋sin 2αcos 2α)·cos 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝1. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( )A ．－1B ．－22C.22D ．1答案 A解析 由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)， ∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.题型二 诱导公式的应用例2 (1)(2016·长春模拟)已知f (x )＝sin (2π－x )·cos (32π＋x )cos (3π－x )·sin (112π－x )，则f (－21π4)＝ .(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 (1)－1 (2)C解析 (1)f (x )＝－sin x ·sin x－cos x ·(－cos x )＝－tan 2x ，f (－21π4)＝－tan 2(－21π4)＝－tan 234π＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}． 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin (α－3π2)cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝ .(2)已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos (π2＋α)·sin (－π－α)cos (11π2－α)·sin (9π2＋α)的值为 ．答案 (1)－1 (2)－34解析 (1)原式＝tan αcos αsin[－2π＋(α＋π2)]cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin (π2＋α)(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－34.题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，① tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3. 又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝31010.(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由－π<x <0，知sin x <0， 又sin x ＋cos x >0， ∴cos x >0，sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.引申探究本例(2)中若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值． 解 若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425，∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，故sin x －cos x ＝75.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( ) A.35 B ．－35C.45 D ．－45答案 D解析 由已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35， 得cos α＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝45，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.7．分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝ .(2)(2016·湛江模拟)已知k ∈Z ，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝ .思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k 是奇数或偶数进行讨论． 解析 (1)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角． tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综上①②知，原式＝52或－52.(2)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α) ＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1. 答案 (1)52或－52(2)－11．(2016·西安模拟)已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )A.43B.34 C ．－43D ．－34答案 B解析 ∵α∈(0，π)， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－(45)2＝35，由tan α＝sin αcos α，得tan α＝34. 2．已知tan(α－π)＝34，且α∈(π2，3π2)，则sin(α＋π2)等于( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35答案 B解析 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，∴α∈(π，3π2)，由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1及α∈(π，3π2)，得cos α＝－45，而sin(α＋π2)＝cos α＝－45.3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2 α＋2sin α1－cos 2 α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1答案 B解析 由角α的终边落在第三象限， 得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4．若sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α的值等于( )A ．－25B ．－15C.25或－25D.25答案 A解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 5．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3答案 D解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3.*6.(2016·揭阳模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5 D ．－1－ 5答案 B解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2， 解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝ . 答案 －74解析 因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74， 所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74. 8．若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)＝ .答案 －32解析 f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 9．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin (3π2＋θ)＋cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝ . 答案 2解析 由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 10．(2016·长春模拟)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝ . 答案 0解析 原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|， 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解 由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 12．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵(sin A ＋cos A )2＝125， ∴1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)∵sin A cos A <0，又0<A <π，∴cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．(3)(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝4925. 又sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75， ∴sin A ＝45，cos A ＝－35， 故tan A ＝－43. *13.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)．求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2， 得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34， 知⎩⎨⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12，cos θ＝32. 又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.。
数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理
4。
2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。
同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。
(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。
2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。
特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。
（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。
( ） （2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（ ）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。
( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（ ）2。
(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（ ）A 。
2B 。
32C.1D.123。
(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。
-12C 。
√32D.-√324。
函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。
2023年新高考数学一轮总复习核心考点分层训练 解三角形应用举例及综合问题带讲解
第29讲 解三角形应用举例及综合问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·福建福建·模拟预测）某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为3cm,4cm,6cm ，则（ ） A ．能作出二个锐角三角形 B ．能作出一个直角三角形 C ．能作出一个钝角三角形 D ．不能作出这样的三角形【答案】C【解析】因为三条高线的长度为3cm,4cm,6cm ，故三边之比为4:3:2， 设最大边所对的角为α，则49161cos 02234α+-==-<⨯⨯，而α为三角形内角，故α为钝角，故三角形为钝角三角形， 故选：C.2．（2022·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，ϕ为当地纬度值，那么这三个量满足90θϕδ=︒--．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（ϕ取正值），选择春分当日（0δ=︒）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（ ） A ．甲组 B ．乙组 C ．丙组 D ．丁组【答案】D【解析】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，ϕ为当地纬度值，那么这三个量满足90θϕδ=︒--，当0δ=︒且ϕ为正值，可得90θϕ=︒-，即90ϕθ=︒-， 设木杆的影长为m ，可得1tan mθ=，因为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82,0.80,0.83,0.85， 所以当0.85m =时，θ取得最小值，此时ϕ求得最大值， 所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组. 故选：D.3．（2022·北京·101中学模拟预测）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ︒∠=，45DBC ︒∠=，14AB =米，则岳阳楼的高度CD 约为(2 1.414≈，3 1.732≈)（ ）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米【答案】B【解析】Rt △ADC 中，30DAC ︒∠=，则AC =，Rt △BDC 中，45DBC ︒∠=，则BC CD =，由AC -BC =AB 141)19.124CD CD -=⇒==≈，CD 约为19米. 故选：B4．（2022·全国·高三专题练习）小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点1P ，2P ，且12PP a =，已经测得两个角12PPD α∠=，21P PD β∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的是（ ） △1DPC ∠和1DCP ∠；△12PP C ∠和12PCP∠；△1PDC ∠和1DCP ∠. A ．△和△ B ．△和△ C ．△和△ D ．△和△和△【答案】D【解析】根据题意，△12PP D 的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出， △中，111sin sin DP CD DPC DCP =∠∠，故111sin sin DP DPC CD DCP ∠=∠，故△可以求出CD ；△与△条件等价.△中，在△12PP C 中，1211212sin sin PP PC PCP PP C =∠∠，故12112sin sin a PP C PC PCP ∠=∠，在△1PCD 中，利用余弦定理求解CD 即可； 故选：D.5．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B 点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为11PQ ，22P Q ，…，55P Q ，且116BQ =米．为使距地面6米高的看台第一排A 点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则5BQ =（ ）A ．40.5米B ．54米C ．81米D ．121.5米【答案】C【解析】依题意121242,816Q Q Q Q ==，232342,12168Q Q Q Q ==+，343442,1816812Q Q Q Q ==++， 454542,271681218Q Q Q Q ==+++，所以516812182781BQ =++++=米. 故选：C6．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E 、H 、G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h ，EG 为测量标杆问的距离，记为d ，GC 、EH 分别记为,a b ，则该山体的高AB =（ ）A．hdh a b+- B ．hd h a b-- C ．hdda b +-D ．hdd a b-- 【答案】A【解析】连接FD ，并延长交AB 于M 点，如图，因为在Rt BMD △中tan h BDM b∠=， 所以||||||tan BM BM b MD BDM h ==∠；又因为在Rt BMF △中tan hBFM a ∠=，所以||||||tan BM BM a MF BFM h ==∠，所以||||||||BM a BM bMF MD d h h-=-=， 所以||hd BM a b =-，即||hdAB BM h h a b=+=+-， 故选：A ．7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四边形ABCD 中，AC =AD =CD =7，△ABC =120°，sin△BAC =5314且BD 为△ABC 的平分线，则BD =（ ）A ．6B ．9C ．D ．8【答案】D【解析】由正弦定理得5sin si n BC AC BC BAC ABC =⇒⇒=∠∠， 由7AC AD CD ===，可得60ADC ∠=︒，120ABC ∠=︒， 所以,,,A B C D 四点共圆，60DBC DAC ∠=∠=︒，由余弦定理222cos 82BD BC DC DBC BD BD BC+-∠=⇒=⋅．故选：D.8．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，9,12AB BC ==，点D 在边BC 上，且满足2,90BD DC BAC =∠=，则sin CAD ∠=（ ）A ．21313B ．31313C ．34343D ．64343【答案】D【解析】在ABC 中，90BAC ∠=， 9,12AB BC ==，则3cos sin 4AB B C BC ===， 因2BD DC =，则4,8BD CD ==，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅22394294434=+-⨯⨯⨯=，即AD =在ACD △中，由正弦定理sin sin CD AD CAD C =∠得：38sinCAD ⨯∠==in s CAD ∠=. 故选：D9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）为了测量B ，C 之间的距离，在河的南岸A ，C 处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（ ）A ．c 与αB ．c 与bC ．b ，c 与βD ．b ，α与γ 【答案】ABC【解析】因为A ，C 在河的同一侧，所以可以测量b ，α与γ，故选：ABC10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75︒，距离为；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30︒，距离为.货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60︒，则下列说法正确的是（ ） A ．A 处与D 处之间的距离是24nmile B ．灯塔C 与D处之间的距离是 C ．灯塔C 在D 处的西偏南60︒ D ．D 在灯塔B 的北偏西30︒【答案】ABC【解析】在ABD △中，由已知得60ADB ∠=，75DAB ∠=︒，则45B ∠=，126AB =．由正弦定理得sin 24sin AB BAD ADB∠===∠，所以A 处与D 处之间的距离为24n mile ，故A 正确； 在ADC 中，由余弦定理得， 2222cos30CD AD AC AD AC =+-⋅，又AC = 解得CD =所以灯塔C 与D 处之间的距离为n mile ，故B 正确， AC CD ==30CDA CAD ∴∠=∠=︒，∴灯塔C 在D 处的西偏南60︒，故C 正确；灯塔B 在D 的南偏东60︒，D ∴在灯塔B 的北偏西60︒，故D 错误；故选：ABC ．11．（多选）（2022·河北·石家庄二中高三阶段练习）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =.现有ABC ∆满足sin :sin :sin 2:A B C =ABC ∆的面积ABC S ∆=的是A ．ABC ∆周长为10+B ．ABC ∆三个内角A ，C ，B 成等差数列 C ．ABC ∆．ABC ∆中线CD的长为【答案】ABC【解析】由正弦定理可得：::2:a b c =设2a m =，3b m =，c =()0m >2S ∴==2m = ABC ∆∴的周长为4610a b c ++=++=+A 正确；由余弦定理得：2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯ 3C π∴= A B C π++= 23A B π∴+=，即2C A B =+ ,,A C B ∴成等差数列，B 正确；由正弦定理知外接圆直径为2sin sin 3c R C ===C 正确；由中线定理得：2222122a b c CD +=+，即2111636281922CD ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭CD ∴=D 错误. 故选：ABC12．（多选）（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60BAC ∠=，3BC =，D 是BC 上的点，2AD =，以下结论中正确的有（ ）A ．若AD BC ⊥，则ABC 的面积为3B ．当ABC 为等边三角形时，ABC 的面积最大 C ．若D 为BC 中点，则3AB AC ⋅=D ．若AD 平分BAC ∠，则ABC 【答案】AD【解析】解：设,,AB c AC b BC a ===，对于A 选项，因为3BC =，D 是BC 上的点，2AD =，AD BC ⊥，所以ABC 的面积为13332⨯⨯=，故A正确；对于B 选项，当AD BC ⊥时，ABC 的面积最大，故错误；对于C 选项，229b c bc +=+△，1cos602AB AC bc bc ︒⋅==，由于D 为BC 中点，则1()2AD AB AC =+，故222111||||||||2||2222AD AB AC AB AC AB AB AC AC =+=+=+⋅+=，所以22||2||16AB AB AC AC +⋅+=，即2216c bc b ++=△，所以2-②①得72bc =，所以1724AB AC bc ⋅==，故错误；对于D 选项，因为AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=，所以30BAD CAD ︒∠=∠=，1111111sin 30sin 3022()2222222ABC BAD CAD S S S AB AD AC AD c b b c ︒︒=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⨯+⋅⨯=+△△△由于22,9ABC S b c bc ∆=+-=△，故1()2b c +，即b c +=，所以2222()3)39b c bc b c bc bc +-=+-=-=，即2()4120bc bc --=，解得6bc =，所以6ABC S ===△D 正确. 故选：AD13．（2022·浙江·高三专题练习）公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在信江河畔便可望见由明正德皇帝御笔亲题的“象山书院”红色题刻．为测量题刻CD 的高度，在A 处测得仰角分别为45︒，30，前进40米后，又在B 处测得仰角分别为60︒，45︒，则题刻CD 的高度约为__________米．【答案】40【解析】因为在A 处看C 的仰角分别为45︒，在B 处看D 的仰角分别为45︒，//AC BD ∴，且,OAC OBD 均为等腰直角三角形，故40CD AB ==． 故答案为：40.14．（2022·全国·高三专题练习）汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径．如图中的BC 即是．已知某车在低速前进时，图中A 处的轮胎行进方向与AC 垂直，B 处的轮胎前进方向与BC 垂直，轴距AB 为2.92米，方向盘转到极限时，轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径BC 为_______米．【答案】5.84【解析】由题意可知，只需求BC 的长度即可.由30BCA ∠=，sin ABBCA BC∠=， 即2.925.841sin 2AB BC BCA===∠米， 故答案为：5.8415．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形ABCD 中，AD DC =，AC =BC =120ADC =∠︒，75BCD ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为________.【答案】103【解析】由题意，知：52sin 2ACAD DC ADC ===∠，且6DCA π∠=，4ACB π∠=，△1sin 2ADCSDC AC DCA =⋅⋅∠，1sin 2ACBS AC BC ACB =⋅⋅∠， △四边形ABCD 的面积1115222ADCACBS S+=⨯⨯+⨯=. 故答案为：16．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案：△测量A ∠、AC 、BC ； △测量A ∠、B 、BC ； △测量C ∠、AC 、BC ； △测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．【答案】△△【解析】对于△，由正弦定理可得sin sin AC BC B A=，则sin sin AC A B BC =，若AC BC >且A ∠为锐角，则sin sin sin AC AB A AB=>，此时B 有两解， 则C ∠也有两解，此时AB 也有两解；对于△，若已知A ∠、B ，则C ∠确定，由正弦定理sin sin BC ABA C=可知AB 唯一确定； 对于△，若已知C ∠、AC 、BC，由余弦定理可得AB 则AB 唯一确定；对于△，若已知A ∠、C ∠、B ，则AB 不确定. 故答案为：△△.17．（2022·湖南·模拟预测）如图，在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知cos sin 0c A c A b +-=． (1)求cos C 的值；(2)在BC 的延长线上有一点D ，使得,104DAC AD π∠==，求,AC CD ．【解】(1)在ABC中，由正弦定理得sin cos sin sin sin 0C A C A A B +-=， 又在ABC 中，sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，所以上式可化为sin sin cos sin 0C A A C A -=． 因为sin 0A >，所以sin cos C C -=， 又因为22sin cos 1,C C ABC +=是锐角三角形，cos 0C >．解得cos 5C =． (2)由（1）得：cos ACB ∠=，又ABC是锐角三角形，所以sin ACB ∠=所以sin sin cos )4ADC ACB ACB ACB π⎛⎫∠=∠-=∠-∠== ⎪⎝⎭⎝⎭ 在ACD △中，由正弦定理得：sin sin()sin CD AD ACDAC ACB ADCπ==∠-∠∠===，解得CD AC ==18．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30BCD ∠=︒，135BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AB ．【解】在BCD △中，1801803013515CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， △()sin sin15sin 4530CBD ∠=︒=︒-︒sin 45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒= 由正弦定理sin sin BC CDBDC CBD=∠∠得)sin 501sin CD BDC BC CBD ⋅∠==∠.在Rt ABC △中45ACB ∠=︒．△)501AB BC ==．所以塔高AB为)501米．19．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域A 处的巡逻船发现南偏东60方向，相距a 海里的B 处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线()0y x =≥（以B 点为坐标原点，正东，正北方向分别为x 轴，y 轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t 小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt .若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇. (1)求,a b 的值；(2)若巡逻船以/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.【解】(1)解：由题意，直线y x =的倾斜角为30， 若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C ， 如图所示，则AC x ∥轴，30AC =，且ABC 关于y 轴对称， 所以,120AB BC a ABC ==∠=︒，所以1515cos30a b ==︒==︒.(2)解：若巡逻船以/小时进行追击，设t 小时后两船相遇于点D ，如图所示，则120ABD ∠=︒，15cos30tBD ==︒，AD =，AB =，因为2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠可得2221))22⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭整理得23440t t --=，解得2t =或23t =-（舍去），所以能够拦截成功拦截时间为2小时.【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦"，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中//////AA PP OO BB ''''（O ，O '分别为半圆的圆心），线段PP '与半圆分别交于C ，C '，若280AA '=米，128BB '=米，105POB ∠=︒，75COB ∠=︒，120OBB ∠='︒1.732≈，则OP 的长约为（ ）A ．27米B ．28米C ．29米D ．30米【答案】B 【解析】//AA BB ''，120OBB ∠='︒，60A AB '∴∠=，又280AA '=，128BB '=，所以2801282cos60AB -=，则152AB =，则半圆半径为76， 105POB ∠=，75COB ∠=，1057530POC ∴∠=-=，又////AA PP OO '''，所以60,15DOB A AB PCO COD '∠=∠=∴∠=∠=，135OPC ∠=， ()62sin15sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304-=-=-=在PCO △中，由正弦定理可得sin sin OP OCPCO OPC=∠∠=，解得)()38138 1.732128OP =≈⨯-≈米.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）凸四边形就是没有角度数大于180的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，AC CD ⊥，AC CD =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为A ．3B ．4C 1D 【答案】C【解析】设ABC α∠=，ACB β∠=在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⨯∠ 所以222121AC α=+-⨯，即24AC α=-在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin AC ABαβ= ，则sin sin AB AC αβ==在BCD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD CB CD CB CD BCD =+-⨯∠ 而由条件可知，AC CD ⊥，AC CD =所以2222cos 2BD CB AC CB AC πβ⎛⎫=+-⨯+ ⎪⎝⎭即()2342cos 2BD παβ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭结合sinβ=274BD πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以当34πα=时，2BD 取得最大值为27BD =+此时BD 取得最大值为1BD = 所以选C3．（2022·全国·高三专题练习）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C D E ----为某区的一条健康步道，其中,,,AB CD DE AE 为线段，,,B C D 三点共线，BC 是以BC 为直径的半圆，AB BD ⊥，336km,cos ,,225AB CD BAD AE DE E BAD ∠∠∠=====.则该健康步道的长度为___________.【答案】()22.52πkm +【解析】连接,AD BC ，因为362AB CD ==，所以6,4AB CD ==，在ABD △中，3,cos 5AB BD BAD ∠⊥=，所以4tan 3BAD ∠=， 由直角三角形三角函数的定义知，4tan 683BD AB BAD ∠=⋅=⨯=， 所以844BC BD CD =-=-=， 所以半圆BC 的弧长为14π2π2⨯=.在Rt ABD △中，6,8AB BD ==，所以10AD =， 在ADE 中，设(0)AE DE t t ==>，由余弦定理可得，2222cos AD AE DE AE DE E =+-⋅，即()2501cos t E =-，因为2E BAD ∠∠=，所以97cos cos2212525E BAD ∠∠==⨯-=-， 所以2750125t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：254t =，所以健康步道的长度为()252642π22.52πkm 4⨯+++=+.故答案为：()22.52πkm +4．（2022·广东惠州·一模）如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处.设连杆AB 长200mm ，曲柄CB 长70mm ，则曲柄自CB 0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A 0A ）约为___________mm .（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8）【答案】36【解析】如图，在ABC 中，200AB =，70BC =，53.2ACB ∠=︒，4sin 5ACB ∠=， 由正弦定理，sin 7sin 25BC ACB BAC AB ∠∠==，△AB BC >，△ACB BAC ∠>∠，故BAC ∠为锐角，△24cos 25BAC ∠==，3cos 5ACB ∠=△()42437117sin sin 525525125ABC ACB BAC ∠=∠+∠=⨯+⨯=，所以sin 1175200234sin 1254AB ABC AC ACB ∠==⨯⨯=∠，故()()()00002007023436mm A A A B B C AC =+-=+-=.故曲柄0CB 按顺时针方向旋转532︒.时活塞移动的距离约为36mm. 故答案为：365．（2022·全国·高三专题练习）如图，游客从景点A 下山至C 有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C ．已知缆车从A 到B 要8分钟，AC 长为1260米，若12cos 13A =，63sin 65B =．为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度v （米/分钟）的取值范围是_____．【答案】12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】在△ABC 中解三角形，设,,BC a AC b AB c ===， 由题意可知，1260b =，12cos 13A =，63sin 65B =，则5sin 13A =， 由正弦定理可得：51260sin 1350063sin 65b A a B⨯===，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，则2221250012602126013c c =+-⨯⨯⨯， 解得：12167201040,13c c ==， 若1672013c =，则16720500126013+<，不能组成三角形，舍去， 所以1040c =.乙从B 出发时，甲已经走了()50281550m ⨯++=，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为/min vm ， 由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤, 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，范围内. 故答案为：12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 6．（2022·辽宁·一模）如图所示，在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB AE ==.(1)当332BC =时，求CD ；(2)当五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣时，求BC 的取值范围. 【解】(1)连接EB ，由五边形内角和得：120D C ∠=∠=︒， △//BE CD ，则四边形BCDE 为等腰梯形，则DEB CBE ∠=∠，又90B E ∠=∠=︒，120A ∠=︒，故30AEB ABE ∠=∠=︒，60DEB CBE ∠=∠=︒， 所以在ABE △中3AB AE ==，由余弦定理得2222cos12027BE AE AB AE AB =+-⋅︒=，△BE =过C 点作CM BE ⊥于M ，可得cos60BM BC =⋅︒=△2CD BE BM =-=(2)由193sin12024ABESAB AE =⋅⋅⋅︒=，又五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣，△BCDE S ∈⎣⎭，设BC x =，则()()1122BCDE S BE CD CM x x =⨯+⨯=⨯，整理得21527x ≤-<x ≤<x ≤又20DC BE BM x =-=>，即x <△BC 的取值范围是.。
【步步高】高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形两角和与差的正弦、余弦和正切公式文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式文1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ .答案2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 90°－50°cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ .答案 34解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tanα＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝12－131＋12×13＝17.4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ．答案17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin α＋π4＝ .(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 ． 答案 (1)－75 (2) 3解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ .(2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ．答案 (1)35(2)－1解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为 ． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ .答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)] ＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cosB ·cosC ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为 ．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为 ．答案 (1)π4(2)3解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3. 题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ．答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin (π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝ .答案539解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 ．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ .易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角． 解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin2A ＋B ＝－53， ∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin 30°－25°＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为 ． 答案 54π 解析 因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ . 答案 322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12 解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10°＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10°＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴c os α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)， 所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3 ＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos α－π4＝ . 答案 －255解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0， 所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23 ＝3－223－123－123＋1 ＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ± 3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝± 3. 15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域． 解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12， 所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π12， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 则f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8∈[－1，2]， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。
高考数学一轮复习专题五三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用综合篇课件新人教A版
2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D. 解法二:(同解法一)可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦、余弦定理,可得a2·b2 c2 a2 ·b=b2·a2 c2 b2 ·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a
(1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B> ;
2
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C; (6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.故选C.
答案 C
例 (2018北京朝阳二模,2)在△ABC中,AB=1,AC= 2,∠C= ,则∠B=
6
()
A. B. 或 C. 3 D. 或 3
4
42
4
44
解析
由正弦定理得 AB
sin C
= AC
sin B
,即
1 sin
= 2,
sin B
B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
2024年高考数学一轮复习专题二三角函数的综合应用课件
2.(2022 年镇江市期中)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别
为 a，b，c，已知 a sin 2B－2csin 2A＝a sin A cos C. (1)求角 B 的大小； (2)AC 边上有一点 D，满足 a(B→D·B→A)＝c(B→D·B→C)，且 BD＝1，
由正弦定理得 2cb cos A＝3a2，由余弦定理得 b2＋c2－a2＝3a2， 化简得 b2＋c2＝4a2，
∴b2＋a2 c2＝4.
(2)∵a＝2，由(1)知 b2＋c2＝4a2＝16， ∴由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b6c. 根据基本不等式知 b2＋c2≥2bc，即 8≥bc，当且仅当 b＝c 时
ac
cos
B＝
3 3 ac
sin
B，
得 tan B＝ 3，
因为 0＜B＜π，所以 B＝π3.
因为 a，b，c 成等差数列，b＝4，所以 a＋c＝2b＝8，
由余弦定理，得 16＝a2＋c2－2ac cos π3，
所以 16＝(a＋c)2－3ac，得 ac＝16，
所以 a＝c＝b＝4，所以△ABC 是等边三角形.
【反思感悟】三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定 理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围 对变形过程的影响.
【互动探究】 5.(2023 年安康市期中)已知函数 f(x)＝ 3sin x cos x－cos2x＋
32，x∈R. (1)求函数 f(x)的最大值； (2)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c＝ 3，
∵cos ∠ADC＝－cos ∠BDA， ∴a422＋×1a2×－b12＝－a422×＋a21×－1c2， 化简得 4＋a2－2(c2＋b2)＝0.② 由①②得 b2＋c2＝4－bc≥2bc，
2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形2同角三角函数基本关系式及诱导公式练习含解析
同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式公式一 二三四五 六 角2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－απ2－απ2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin αcos αcos α余弦 cos α －cos α cos α－cos α sin α －sin α正切 tan αtan α－tan α －tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(4)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝13，则cos α＝－13.( √ )教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝55，则cos α的值为． 答案 －255解析 ∵sin α＝55，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255.2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为．答案 －2316解析 由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.3．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题型一 同角三角函数基本关系例1 (1)已知cos α＝－513，则13sin α＋5tan α＝.答案 0解析 ∵cos α＝－513<0且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． ①若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125.此时13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝0. ②若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132 ＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，此时，13sin α＋5tan α＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋5×125＝0. 综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝12，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝；sin 2α＋sin αcos α＋2＝.答案 －53 135解析 已知tan α＝12，所以sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.(3)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝.答案 －125解析 由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60169，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1713，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin θ－cos θ＝1713，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513，所以tan θ＝－125.教师备选1．(2022·锦州联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin2α等于( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3答案 A解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α ＝35. 2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝23，则sin α－cos α的值为( ) A.23B ．－23C.43 D ．－43答案 C解析 由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝23， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝29，则2sin αcos α＝－79<0，因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以cos α<0，所以sin α－cos α>0， 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169，所以sin α－cos α＝43.思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ1＋sin2θsin θ＋cos θ等于( )A ．－65B ．－25C.25D.65答案 C解析 方法一 因为tan θ＝－2， 所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝25，cos θ＝－15或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－25，cos θ＝15，所以sin θ1＋sin2θsin θ＋cos θ＝sin θsin θ＋cos θ2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝45－25＝25. 方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2， 所以sin θ1＋sin2θsin θ＋cos θ＝sin θsin θ＋cos θ2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25. (2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 题型二 诱导公式例2 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( )A.223B ．－223C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 延伸探究 本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝.答案 34解析 ∵θ是第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45， ∴θ＋π4为第二象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－35， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝34.(2)tan π－αcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －α－πsin －π－α的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 原式＝－tan α·cos α·－cos αcos π＋α·[－sin π＋α]＝tan α·cos 2α－cos α·sin α ＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.教师备选1．已知函数f (x )＝ax －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－α等于( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 B解析 易知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P (2,3)，故tan α＝32，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin α＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－1tan α＝－23.2．若sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2等于( )A.310 B ．－310C.34 D ．－34答案 A解析 易知sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－3cos x ，所以tan x ＝－3，所以cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x cos x ＝－sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝－tan x tan 2x ＋1＝310. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数――――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数――――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数――――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数．跟踪训练2 (1)已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝.答案 0解析 因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°， (15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)] ＝cos(75°＋α)＝13.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0.(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则sin －3π＋α＋cos α－πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝. 答案 3解析 由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2， sin －3π＋α＋cos α－πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝sin π＋α＋cos π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3.题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值；(3)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α×cos α×－cos α－cos α×sin α＝－cos α. (2)若α＝－31π3，则f (α)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos π3＝－12. (3)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15， 可得sin α＝－15，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， 所以cos α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.教师备选设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)．(1)化简f (α)；(2)若α＝－23π6，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝－2sin α·－cos α－－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α2sin α＋1sin α2sin α＋1＝cos αsin α＝1tan α.(2)当α＝－23π6时，f (α)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6 ＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝133＝ 3. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3 (1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1， 化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)．(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin2x ＋2sin 2x1－tan x ＝.答案 －24175解析 由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0，∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.∴sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋sin x 1－sin xcos x＝2sin x cos x cos x ＋sin xcos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.课时精练1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3等于( ) A ．－32 B ．－12C.12 D.32答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3＝cos 19π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π＋π3＝cos π3＝12. 2．若cos165°＝a ，则tan195°等于( ) A.1－a 2B.1－a2aC ．－1－a2aD ．－a1－a2答案 C解析 若cos165°＝a ， 则cos15°＝cos(180°－165°) ＝－cos165°＝－a ， sin15°＝1－a 2，所以tan195°＝tan(180°＋15°) ＝tan15°＝sin15°cos15°＝－1－a2a.3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α等于( ) A ．－513B ．－1213C.1213D.513答案 D解析 因为7π10－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝π2， 所以7π10－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝513.4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于( ) A ．2B.12C ．－2D ．－12答案 A解析 由已知得1＋2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.5．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sinB ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝⎛⎭⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π， 则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确． sinB ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，B 正确．tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎪⎫C ≠π2，C 正确．cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，则( )A.π2<α<π B ．sin αcos α＝－1225C ．cos α－sin α＝75D ．cos α－sin α＝－75答案 ABD解析 ∵sin α＋cos α＝15，等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝125，解得sin αcos α＝－1225，故B 正确；∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－1225<0，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，故A 正确；cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝4925，解得cos α－sin α＝－75，故D 正确．7．cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°＝. 答案 0解析 因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos89°＋cos90°＋cos91°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°＝cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos89°＋cos90°－cos89°－…－cos3°－cos2°－cos1° ＝cos90°＝0.8．设f (θ)＝2cos 2θ＋sin 22π－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－32＋2cos 2π＋θ＋cos －θ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝. 答案 －512解析 ∵f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ ＝cos 2θ＋cos θ－22cos 2θ＋cos θ＋2， 又cos 17π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π3 ＝cosπ3＝12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝14＋12－212＋12＋2＝－512.9．(1)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值；(2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．解 (1)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，又α是第三象限角，所以cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(2)∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0， 把sin x ＋cos x ＝－713，两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169， 即2sin x cos x ＝－120169，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169，即sin x －cos x ＝1713，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝－713，sin x －cos x ＝1713，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213，∴cos x －2sin x ＝－2213.10．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)． (1)求sin α＋π＋cos α－πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值；(2)若α是第二象限角，求sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解 (1)∵m ≠0，∴cos α≠0， 即sin α＋π＋cos α－πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝－tan α－11＋2tan α.又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)， ∴tan α＝－6m3m ＝－2，故sin α＋π＋cos α－πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－tan α－11＋2tan α＝2－11＋2×－2＝－13.(2)∵α是第二象限角，∴m <0， 则sin α＝－6m 3m2＋－6m2＝－6m 35|m |＝255， cos α＝3m 3m 2＋－6m2＝3m 35|m |＝－55， ∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＋255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255＝－1＋255.11．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式sin α＋k πsin α＋cos α＋k πcos α(k ∈Z )的取值可能为( ) A ．－2 B ．－1或1 C ．2 D ．－2或2或0答案 AC解析 当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2.∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α等于( )A.35B.53C.45D.54 答案 B解析 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－1sin α＝53.13．曲线y ＝e x ＋x 2－23x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝.答案 45解析 由题意得y ′＝f ′(x )＝e x＋2x －23，所以f ′(0)＝e 0－23＝13，所以tan α＝13，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝310，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝cos2α＝2cos 2α－1＝2×910－1＝45. 14．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝. 答案 75解析 由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝12，所以3sin 2α＋2sin αcos α ＝3sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝3tan 2α＋2tan α1＋tan 2α ＝3×14＋2×121＋14＝75.15．(多选)已知f (α)＝2sin αcos α－2sin α＋cos α＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α≤π2，则下列说法正确的是( ) A ．f (α)的最小值为－ 2 B ．f (α)的最小值为－1 C ．f (α)的最大值为2－1 D ．f (α)的最大值为1－ 2 答案 BD解析 设t ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，由0≤α≤π2，得π4≤α＋π4≤3π4， 则1≤t ≤2，又由(sin α＋cos α)2＝t 2， 得2sin αcos α＝t 2－1，所以f (α)＝g (t )＝t 2－1－2t ＋1＝t －1－2t ＋1，又因为函数y ＝t －1和y ＝－2t ＋1在[1，2]上单调递增， 所以g (t )＝t －1－2t ＋1在[1，2]上单调递增， g (t )min ＝g (1)＝－1， g (t )max ＝g (2)＝1－ 2.16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ ＝sin θ＋cos θ. 由已知得sin θ＋cos θ＝3＋12， 所以sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知得sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，21 所以1＋m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12 或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.因为θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.。
2023届高考数学一轮复习讲义：第29讲 解三角形应用举例及综合问题
第29讲解三角形应用举例及综合问题1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.➢考点1 解三角形应用举例[名师点睛]1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.[典例]1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,C D两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的,A B两点，点B在点A的正东方向上，A B C D四点在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在且,,,它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15 方向上，点D在它的北偏西75方向上，则,C D之间的距离为______km.2.(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)() A.346 B.373 C.446 D.4733．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ.则tanθ=______________.[举一反三]1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h，EG为测量标杆问的距离，记为d，GC、EH分别记为,a b，则该山体的高AB=（）A．hdha b+-B．hdha b--C．hdda b+-D．hdda b--2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m 到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）A．20m B．10m C．103D 103m3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A和临秀亭()B两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A、B两地之间的距离，某同学任意选定了与A、B不共线的C处，构成ABC，以下是测量数据的不同方案：①测量A∠、AC、BC；②测量A∠、B、BC；③测量C∠、AC、BC；④测量A∠、C∠、B．其中一定能唯一确定A、B两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B 位于小岛A 北偏东75距离60海里处，小岛B 北偏东15距离30330-海里处有一个小岛 C .(1)求小岛A 到小岛C 的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A 出发到小岛 C ，求游船航行的方向.5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30BCD ∠=︒，135BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AB ．➢考点2 求解平面几何问题1. (2021·新高考八省联考)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BD ＝CD ＝1. (1)若AB ＝32，求BC ；(2)若AB ＝2BC ，求cos ∠BDC .2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D . (1)证明：AB DBAC DC=，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅； (2)若1AD =，23A π=，求DB DC ⋅的最小值.[举一反三]1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，M 为BC 上一点，2AB AC BC =≤，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且15sin 8B =．(1)若AM BM =，求ACAM的值； (2)若AM 为BAC ∠的平分线，且1AC =，求ACM △的面积．2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sinsin 2A Bb c B +=. (1)求角C ；(2)若AB 边上的高线长为23ABC 面积的最小值.3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.➢考点3 三角函数与解三角形的交汇问题（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π．(1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围．[举一反三]1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()sin(),0,0,02f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)在锐角ABC 中，若边1BC =，且3212A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ABC 周长的最大值．2.（2022·山东淄博·三模）已知函数21()3cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，其图像上相2π44+(1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a =，12bc =，()1f A =．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长第29讲解三角形应用举例及综合问题1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.➢考点1 解三角形应用举例[名师点睛]1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,C D两点之间的距离，A B C D四点如图，在东西方向上选取相距1km的,A B两点，点B在点A的正东方向上，且,,,在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15 方向上，点D在它的北偏西75方向上，则,C D之间的距离为______km.【答案】2【分析】由题意确定相应的各角的度数，在ABC中，由正弦定理求得BC,△，求得答案.同理再求出DB，解DBC【详解】由题意可知，904545,9045135,9015105CAB DAB CBA ∠=-=∠=+=∠=+=,157590,15CDB DBA ∠=+=∠= ,故在ABC 中，1804510530ACB ∠=--=， 故sin sin BD AB DAB ADB =∠∠ ，1sin 452sin 30BC ⨯==，在ABD △中，1801513530ADB ∠=--=， 故sin sin BC AB CAB ACB =∠∠ ，1sin1352sin 30BD ⨯==，所以在DBC △中，90CBD ∠=，则22222CD BC DB =+=+= ,故答案为：2 2. (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′，B ′，C ′满足∠A ′C ′B ′＝45°，∠A ′B ′C ′＝60°.由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′－CC ′约为(3≈1.732)( ) A.346 B.373C.446D.473答案 B解析 如图所示，根据题意过C 作CE ∥C ′B ′，交BB ′于E ，过B 作BD ∥A ′B ′，交AA ′于D ，则BE ＝100，C ′B ′＝CE ＝100tan 15°.在△A ′C ′B ′中，∠C ′A ′B ′＝180°－∠A ′C ′B ′－∠A ′B ′C ′＝75°， 则BD ＝A ′B ′＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°，所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝⎛⎭⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.3．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A 处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B 处，测得仰角为30°，再行走80米到点C 处，测得仰角为θ.则tan θ=______________. 【答案】37777【解析】首先得到60,603OA OB ==，然后由余弦定理得：2222cos OA AB OB AB OB ABO =+-⋅∠，2222cos OC BC OB BC OB OBC =+-⋅∠，然后求出OC 即可【详解】如图，O 为楼脚，OP 为楼高，则60OP =，易得：60,603OA OB ==. 由余弦定理得：2222cos OA AB OB AB OB ABO =+-⋅∠， 2222cos OC BC OB BC OB OBC =+-⋅∠，两式相加得：()22222230800OA OC AB OB OC +=+⇒=，则2077OC =，故60377tan 772077θ==.故答案为：37777 [举一反三]1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E 、H 、G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h ，EG 为测量标杆问的距离，记为d ，GC 、EH 分别记为,a b ，则该山体的高AB =（ ）A ．hdh a b+- B ．hdh a b-- C ．hdd a b+- D ．hdd a b-- 【答案】A 【分析】根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM ，即可得解. 【详解】连接FD ，并延长交AB 于M 点，如图，因为在Rt BMD △中tan h BDM b∠=， 所以||||||tan BM BM b MD BDM h ==∠；又因为在Rt BMF △中tan hBFM a ∠=，所以||||||tan BM BM a MF BFM h ==∠，所以||||||||BM a BM bMF MD d h h-=-=， 所以||hd BM a b =-，即||hdAB BM h h a b=+=+-，故选：A ． 2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB ，先在旗杆底端的正西方点C 处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进20m 到达点D 处，在D 处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ） A ．20m B ．10m C ．103D 103【答案】B 【分析】根据条件确定相关各角的度数，表示出AB ，,AD AC 等边的长度，然后在ACD △中用余弦定理即可解得答案. 【详解】如图示，AB 表示旗杆，由题意可知：45,0,630ACB ACD ADB ∠=∠=∠=︒︒︒， 所以设AB x = ，则3,AD x AC x ==，在ACD △ 中，2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⨯⨯⨯∠ ,即2221(3)()(20)2202x x x =+-⨯⨯⨯ ，解得10x = ，（20x =-舍去），故选：B.3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案：①测量A ∠、AC 、BC ； ②测量A ∠、B 、BC ； ③测量C ∠、AC 、BC ；④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________． 【答案】②③【分析】利用正弦定理可判断①②，利用余弦定理可判断③，根据已知条件可判断④不满足条件.【详解】对于①，由正弦定理可得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC A B BC =，若AC BC >且A ∠为锐角，则sin sin sin AC AB A AB=>，此时B 有两解， 则C ∠也有两解，此时AB 也有两解；对于②，若已知A ∠、B ，则C ∠确定，由正弦定理sin sin BC ABA C=可知AB 唯一确定； 对于③，若已知C ∠、AC 、BC ，由余弦定理可得222cos AB AC BC AC BC C +-⋅， 则AB 唯一确定；对于④，若已知A ∠、C ∠、B ，则AB 不确定.故答案为：②③.4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B 位于小岛A 北偏东75距离60海里处，小岛B 北偏东15距离30330海里处有一个小岛 C .(1)求小岛A 到小岛C 的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A 出发到小岛 C ，求游船航行的方向. 解：(1)在ABC 中，6030330，==AB BC 1807515120ABC ∠=-+=，根据余弦定理得：. 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2260(30330)260(30330)cos1205400=+-⨯⨯⋅=6=AC 所以小岛A 到小岛 C 的最短距离是6.(2)根据正弦定理得：sin sin AC ABABC ACB=∠∠30660120sin ACB=∠ 解得2sin ACB ∠=在ABC ∆中，,<BC AC ACB ∴∠为锐角45ACB ∴∠=1801204515CAB ∴∠=--=.由751560-=得游船应该沿北偏东60的方向航行答:小岛A 到小岛 C 的最短距离是6;游船应该沿北偏东60的方向航行.5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30BCD ∠=︒，135BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AB ．【解】在BCD △中，1801803013515CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∵()sin sin15sin 4530CBD ∠=︒=︒-︒sin 45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒624-=， 由正弦定理sin sin BC CDBDC CBD=∠∠得()sin 50sin1355031sin 624CD BDC BC CBD ⋅∠︒===+∠-.在Rt ABC △中45ACB ∠=︒．∴()5031AB BC ==+．所以塔高AB 为()5031+米．➢考点2 求解平面几何问题[名师点睛]平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. [典例]1. (2021·新高考八省联考)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BD ＝CD ＝1. (1)若AB ＝32，求BC ；(2)若AB ＝2BC ，求cos ∠BDC .解 (1)如图所示，在△ABD 中，由余弦定理可知，cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝⎝⎛⎭⎫322＋12－122×32×1＝34.∵AB ∥CD ，∴∠BDC ＝∠ABD ，即cos ∠BDC ＝cos ∠ABD ＝34.在△BCD 中，由余弦定理可得，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ＝12＋12－2×1×1×34，∴BC ＝22.(2)设BC ＝x ，则AB ＝2BC ＝2x .由余弦定理可知， cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝（2x ）2＋12－122×2x ×1＝x ，①cos ∠BDC ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝12＋12－x 22×1×1＝2－x 22.②∵AB ∥CD ，∴∠BDC ＝∠ABD ，即cos ∠BDC ＝cos ∠ABD .联立①②，可得2－x 22＝x ，整理得x 2＋2x －2＝0，解得x 1＝3－1，x 2＝－3－1(舍去).将x 1＝3－1代入②，解得cos ∠BDC ＝3－1.2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D . (1)证明：AB DBAC DC=，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅； (2)若1AD =，23A π=，求DB DC ⋅的最小值. 解：(1)在ABD △和BCD △中，可得BAD CAD ∠=∠，ADB ADC π∠+∠=， 所以sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠， 由正弦定理，得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，sin sin AC DC ADC CAD=∠∠，两式相除得AB DB AC DC =，可得ABBD BC AB AC=+，AC DC BC AB AC =+， 又由cos cos ABD ABC ∠=∠，根据余弦定理得22222222AB BD AD AB BC AC AB BD AB BC+-+-=⋅⋅ 所以()()22222222BD DC BDAD AB BD AB BC AC AB AC BD BC BD BC BC BC=+-+-=+-- 代入可得222AC ABAD AB AC BD DC AB AC AB AC=+-⋅++ABAC AB AC BD DC AB AC BD DC AB AC AB AC ⎛⎫=⋅+-⋅=⋅-⋅ ⎪++⎝⎭.(2)由1AD =，23A π=及ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc += 根据基本不等式得bc b c =+≥，解得4bc ≥，当且仅当2b c ==时等号成立， 又由1AD =，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅，可得13DB DC bc ⋅=-≥， 所以DB DC ⋅的最小值是3.[举一反三]1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，M 为BC 上一点，2AB AC BC =≤，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且15sin 8B =．(1)若AM BM =，求ACAM的值； (2)若AM 为BAC ∠的平分线，且1AC =，求ACM △的面积． 解：（1）因为15sin B =，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以27cos 1sin 8B B =-=，因为2AB AC =，所以由正弦定理知sin 2sin C ABB AC==，即sin 2sin C B =，因为AM BM =，所以2AMC B ∠=∠，sin sin 22sin cos AMC B B B ∠==，在AMC 中，sin 2sin cos 7cos sin 2sin 8AC AMC B B B AM C B ∠====． （2）由题意知22AB AC ==，设BC x =，由余弦定理得222217cos 48x B x +-==，解得2BC =或32BC =．因为2AC BC ≤，所以2BC =，因为AM 为BAC ∠的平分线，BAM CAM ∠=∠所以11sin 2211sin 22ABM ACMAB AM BAM BM hS SAC AM CAM CM h⋅∠⨯==⋅∠⨯（h 为底边BC 的高）所以2BM AB CM AC ==，故1233CM BC ==，而由（1）知15sin 2sin C B ==1121515sin 1223ACM S AC CM C =⋅⋅=⨯⨯=△ 2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sinsin 2A Bb c B +=. (1)求角C ；(2)若AB 边上的高线长为23ABC 面积的最小值. 解：(1)由已知A B C π++=，所以sin sin cos 222A B C Cb b b π+-==， 所以cossin 2C b c B =，由正弦定理得sin cos sin sin 2CB C B =，因为B 、()0,C π∈，则sin 0B >，022C π<<，cos 02C>，所以，cos sin 2C C =，则cos 2sin cos 222C C C =，所以1sin 22C =，所以26C π=，则3C π=.(2)由11sin 22ABCSc ab C =⋅=，得4ab c =， 由余弦定理222222cos 2c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-=， 即24c c ≥，因为0c >，则4c ≥，当且仅当4a b c ===取等号，此时ABC 面积的最小值为3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.解：(1)选①，由2sin cos sin b C B c B =+及正弦定理可得2sin sin cos sin sin B C C B C B +，所以，sin sin cos C B C B ，因为B 、()0,C π∈，所以，sin 0C >，则sin 0B B =>，所以，tan B =3B π∴=；选②，由cos cos 2B bC a c=-及正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-， 所以，()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=， A 、()0,B π∈，sin 0A ∴>，所以，1cos 2B =，则3B π=.(2)因为a c +=0a <<由已知AD DC =，即BD BA BC BD -=-，所以，2BD BA BC =+， 所以，()222242BD BA BCBA BC BA BC =+=++⋅，即())22222242cos33BD c a ac c a ac a c ac aa π=++=++=+-=-22993,344a a ⎛⎡⎫=+=+∈ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎭，所以，34BD ≤<➢考点3 三角函数与解三角形的交汇问题（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π．(1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围． 解：(1)211cos 21()cos sin 2222x f x x x x x ωωωωω-=-+=-+12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 显然()f x 的最大值为1，最小值为1-，则()()122f x f x -=时，12x x -的最小值等于2T，则22T π=，则22ππω=，1ω=；令2,6x k k ππ+=∈Z ，解得,122k x k ππ=-+∈Z ，则()f x 的对称中心为,0,122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；(2)()sin(2)16f A A π=+=-，22,62A k k πππ+=-+∈Z ，又()0,A π∈，则23A π=，由正弦定理得2sin sin sina b cA B C====，则2sin ,2sin b B c C ==， 则周长为2sin2sin 2sin 2sin 3a b c B CB B π⎛⎫++=+=+- ⎪⎝⎭sin 2sin()3B B B π==+，又03B π<<，则2333B πππ<+<，2sin()23B π+≤，故周长的取值范围为(.[举一反三]1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()sin(),0,0,02f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)在锐角ABC 中，若边1BC =，且3212A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ABC 周长的最大值． 解：(1)由图得2A =，32ππ3π43124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，又2πT ω=，所以2ω=， 将点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()2sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即π,6k k Z ϕπ=+∈， 考虑到π02ϕ<<，故π6ϕ=，即()f x 的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (2)由π3212A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3sin A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π3A =， 因为ABC 为锐角三角形，且π3A =，故ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由正弦定理，得sin sin sin 3a b c A B C ==所以2π1sin )1sin sin 333a b c B C B B ⎤⎛⎫++=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦ 31π12sin cos 12sin 26B B B ⎛⎫⎛⎫=++⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故π2sin (3,2]6B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ABC 周长的最大值为3. 2.（2022·山东淄博·三模）已知函数21()3cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，其图像上相2π44+ (1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a =，12bc =，()1f A =．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长．解：(1)因为()211cos cos 2cos 222f x x x x x x ωωωωω=-+=-πsin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设函数()f x 的周期为T ，由题意222444πT ⎛⎫+=⎪+ ⎝⎭，即2224ππω⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1ω=， 所以()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)由()1f A =得：sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22,Z 62A k k πππ-=+∈，解得,Z 3A k k ππ=+∈， 因为[0,]A π∈，所以π3A =，因为A 的平分线AD 交BC 于D ，所以ABC ABD ACD S S S =+，即111sin sin sin 232626bc c AD b AD πππ=⋅⋅+⋅⋅，可得AD = 由余弦定理得：，()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，而12bc =，得()252b c +=，因此AD =。
【复习指导】2020高考数学一轮复习第四章三角函数4.4.2解三角形及其综合应用对点训练理
π1 又因为 A＝ 4 ， 2bcsin A＝ 3，所以 bc＝ 6 2，故 b＝ 3.
11. △ ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c. 向量 m＝( a， 3 b) 与 n＝ (cos A，sin B) 平行．
(1) 求 A；
(2) 若 a＝ 7 ，b＝ 2，求△ ABC的面积．
解 (1) 因为 m∥n，所以 asin B－ 3bcos A＝0，
角为 30°，则此山的高度 CD＝ ________m.
答案 100 6
解析 依题意，∠ BAC＝30°，∠ ABC＝105°. 在△ ABC中，由∠ ABC＋∠ BAC＋∠ ACB＝
600
BC
180°，所以∠ ACB＝45°，因为 AB＝ 600 m，由正弦定理可得 sin45 ° ＝sin30 ° ，即 BC＝ 300 2
解析 由 A→B· A→C＝tan A，可得 | A→B|| →AC|cos A＝ tan A.
因为
A＝
π 6
，所以
|
A→B||
A→C| ·
3 2＝
3 3 ，即
|
A→B||
A→C|
＝
2 3.
所以
S ＝ △ABC
1 |
2
A→B||
A→C| ·sin
1211
A＝
2×
3×
2＝
. 6
4 6．已知 a， b， c 分别为△ ABC三个内角 A， B， C的对边，若 cos B＝5， a＝ 10，△ ABC
2
3π 4
－
C
＝ sin2 C＝ 2sin CcosC，
解得 tan C＝ 2.
25
5
(2) 由 tan C＝ 2， C∈ (0 ，π ) 得 sin C＝ 5 ， cos C＝ 5 .
近年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测(二十四)解三角形的实际应用(2021年整
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课时达标检测（二十四）解三角形的实际应用[练基础小题-—强化运算能力］1。
如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的南偏西________．解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°,又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°。
答案：80°2．如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC＝________m。
解析：∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝错误!＝2－错误!，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(错误!－1)(m）．答案:120（错误!－1)3.如图，某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第八节 解三角形的综合应用教案 理(含解析)
第八节解三角形的综合应用1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α.(如图(b))3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．[小题体验]1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为______ m.答案：5022．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________ n mile.答案：56易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．[小题纠偏]1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案：130°2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°.答案：北偏西15°考点一测量高度问题重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·昆山模拟)如图，为了测量河对岸的塔高AB，选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D，现测得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∠BCD＝60°，CD＝20 m，则塔高AB＝________m.解析：设塔高AB＝h，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝h，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，∴BD＝3h，在△BCD中，∠BCD＝60°，CD＝20，由余弦定理，得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cos 60°，即3h2＝400＋h2－20h，解得h＝10.答案：10[由题悟法]求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[即时应用]为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD ＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________m.解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，BC ＝CD ·sin∠BDC sin ∠CBD ＝40·sin 60°sin 45°＝20 6. 所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan∠AEF＝206×33＝202， 所以AB ＝AF ＋BF ＝(202＋1)m.答案：202＋1考点二 测量距离问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．[题点全练]角度一：两点都不可到达1．(2019·苏州调研)要测量河对岸两个建筑物A ，B 之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 之间的距离为________km.解析：在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3. 在△BCD 中，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝60°，∴由正弦定理，CDsin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ，解得BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝3＋8＋434－2×3×6＋22×6－24＝5，∴AB ＝ 5. 答案：5角度二：两点不相通的距离2．如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点的距离为________m.解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，所以AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.所以AB ＝200 7 (m)． 即A ，B 两点间的距离为200 7 m.答案：200 7角度三：两点间可视但有一点不可到达3．如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________m.解析：∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsin C ＝AC sin B ，所以AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.答案：206[通法在握]求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．[演练冲关]1．(2019·如东中学测试)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O 沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m.解析：连结OC(图略)，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507.答案：5072．(2018·常州调研)一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2. 答案：302考点三 测量角度问题 重点保分型考点——师生共研[典例引领]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇， 则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsi n 120°， 解得sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314. [由题悟法]解决测量角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．[即时应用]如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，解得BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向上．解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案：南偏西80°2．(2019·扬州调研)如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A，B之间的距离是100 m，则此山CD的高度为________m.解析：设山高CD为x，在Rt△BCD中有：BD＝CD＝x，＝3x.在Rt△ACD中有：AC＝2x，AD而AB＝AD－BD＝(3－1)x＝100.解得x＝1003－1＝50(3＋1)．答案：50(3＋1)3.(2019·南通模拟)2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行40 2 海里后到达海岛C.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C，则航行的路程为________海里．解析：根据题意画出图形，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40 2.根据余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝402＋(402)2－2×40×402×2－6 4＝400(8＋43)＝400(6＋2)2，∴AC＝20(6＋2)．故所求航行的路程为20(6＋2)海里．答案：20(6＋2)4．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km.解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km则由余弦定理知9＝x2＋4－4x cos 120°，因为x＞0，所以x＝6－1.答案：6－15.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：326．(2018·天一中学检测)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．解析：如图所示，设过x h 后两车距离为y ，则BD ＝200－80x ，BE ＝50x ，所以y 2＝(200－80x )2＋(50x )2－2×(200－80x )·50x ·cos 60°整理得y 2＝12 900x 2－42 000x ＋40 000(0≤x ≤2.5)，所以当x ＝7043时y 2最小． 答案：7043二保高考，全练题型做到高考达标1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里． 解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°， 解得BC ＝102(海里)．答案：1022．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为________km/h.解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：623．(2018·启东二模)如图所示，为了测量A ，B两处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿的距离为________海里．解析：由题意可知CD ＝40，∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝30°，∠ADC ＝105°，∴∠CAD ＝45°.在△ACD 中，由正弦定理，得AD sin 30°＝40sin 45°， ∴AD ＝202，在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝45°，∴BD ＝2CD ＝40 2.在△ABD 中，由余弦定理，得AB ＝ 800＋3 200－2×202×402×cos 60°＝20 6. 故A ，B 两处岛屿的距离为206海里．答案：2064．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m. 解析：设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.答案：505．(2018·镇江模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )＜sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为________．解析：由题意得sin 2A ＜sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2＜b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2＞0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0， 因为0＜A ＜π，所以0＜A ＜π2. 又a 为最大边，所以A ＞π3. 因此角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 6. (2019·通州中学高三测试)甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船间的距离是________km.解析：画出示意图如图所示，设行驶15 min 时，甲船到达M 点，乙船到达N 点，由题意知AM ＝8×14＝2(km)，BN ＝12×14＝3(km)，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1(km)，由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos 120°＝1＋9－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，所以MN ＝13(km)．答案：137．(2018·南京模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA ， 所以AC ＝CEsin ∠EAC·sin∠CEA ＝20 3 m. 所以在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin∠ACB ＝203×32＝30 m. 因为国歌时长为50 s ，所以升旗速度为3050＝0.6 m/s. 答案：0.68．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，沿山坡向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡的坡角为θ，则cos θ＝________.解析：在△ABC 中，由正弦定理可知BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°sin 45°－15°＝50(6－2)(m)． 在△BCD 中，由正弦定理可知sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBD CD＝506－2sin 45°50＝3－1. 由题图知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.答案：3－19．(2018·镇江期末)如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100.在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，所以B ＝π3. 在△BDE 中，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×12＝70 000， 所以DE ＝1007.答：甲、乙两人之间的距离为1007 m.(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ.在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos∠CEF ＝2y cos θ.在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DEsin ∠DBE， 即200－2y cos θsin θ＝y sin 60°， 所以y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2， 所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3. 答：甲、乙之间的最小距离为50 3 m.10．(2019·淮安模拟)如图，某军舰艇位于岛A的正西方C 处，且与岛A 相距12海里．经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时在B 处追上．(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝10×2＝20，AC ＝12，∠ACB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB＝202＋122－2×20×12cos 120°＝784，解得BC ＝28， 所以该军舰艇的速度为BC 2＝14海里/小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°， 即sin α＝AB sin 120°BC ＝20×3228＝5314. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，所以∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝AB sin ∠ACB ， 所以BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)． 因为CD ⊥AD ，所以CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350.故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．答案：2 6502．(2019·南京调研)某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两条观光路为l 1，l 2，公园管理中心位于点O 正南方2 km l 1上的A 处，现计划在l 2即点O 北偏东45°方向，观光路l 2路旁B 处修建一公园服务中心．(1)若为方便管理，使AB 两点之间的直线距离不大于2 5 km ，求OB 长度的取值范围；(2)为了方便市民活动，拟在l 1，l 2上分别选点M ，N ，修建一条小路MN .因环境需要，以O 为圆心，22km 为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定M ，N 的位置，使M ，N 之间的距离最短．解：(1)在△ABO 中，OA ＝2，OB ＝x ，∠AOB ＝135°， 根据余弦定理得，AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 135°， ∴22＋x2－2×x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22≤(25)2， 即x 2＋22x －16≤0，解得－42≤x ≤22， ∵x ≥0，∴0≤x ≤22，故OB 长度的取值范围为[0,2 2 ]．(2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连结OC ，则OC ⊥MN .设OM ＝a ，ON ＝b ，MN ＝c ，在△OMN 中，∵12MN ·OC ＝12·OM ·ON ·sin 135°，∴12·22c ＝12·22ab ，即c ＝ab ， 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 135°＝a 2＋b 2＋2ab ≥(2＋2)ab ＝(2＋2)c ，解得c ≥2＋2，当且仅当a ＝b ＝2＋2时，c 取得最小值2＋ 2.∴M ，N 与点O 的距离均为2＋ 2 km 时，M ，N 之间的距离最短，最短距离为(2＋2)km.命题点一 简单的三角恒等变换 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.答案：322．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17－－21＋17×－2＝3. 答案：33．(2017·江苏高考)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：754．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.答案：－125．(2018·全国卷Ⅲ改编)若sin α＝13，则cos 2α＝________.解析：∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案：796．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解：(1)因为cos B ＝45，0＜B ＜π，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 7．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝sin α cos α ＝43，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan α＋β1＋tan 2αtan α＋β＝－211.命题点二 解三角形1．(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD＝1，则4a ＋c 的最小值为________．解析：如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋12a ×1×sin 60°，∴ac ＝a ＋c .∴1a ＋1c＝1.∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝c a＋4ac ＋5≥2c a ·4ac＋5＝9， 当且仅当c a ＝4ac，即c ＝2a 时取等号．故4a ＋c 的最小值为9. 答案：92．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．答案：21733．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．解析：∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C ＞0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc＞0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案：2334．(2018·北京高考)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2＜∠B ＜π，所以0＜∠A ＜π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＋12×437＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.5．(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60° (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437.6．(2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝32cos B ＋12sin B ，所以tan B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27 .所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.7．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cosC ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BCsin A＝ACsin B，得BC ＝ACsin B×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．命题点三 三角综合问题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x ＜12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当cos x ＞12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.答案：－3322．(2016·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是 sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12 sin 2B ＝sin B cos B .因为 sin B ≠0，所以 sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.3．(2016·北京高考)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解：(1)由余弦定理及题设得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0＜∠B ＜π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.则2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4.因为0＜∠A ＜3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.。
2025版高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形阶段集训4课件
2π
2π
终边上有一点(sin ,cos )，则π
3
3
A.第一象限角
B.第二象限角
解：由题意，得点(
3
1
,− )，所以
2
2
∈ 为第三象限角.故选C.
− 为(
C.第三象限角
√
=
π
−
6
)
D.第四象限角
+ 2π ， ∈ ，所以π − =
7π
6
− 2π ，
3
3
5.（2021年全国乙卷）函数 = sin + cos 的最小正周期和最大值分别是 (
− = ln − sin − = −ln sin = − ，所以 为奇函数，排除B,D.
当0 < < 1时，ln < 0，sin > 0，可得 = ln ⋅ sin < 0，排除C.故选A.
7.已知sin +
A.−
√
π
4
=
3
4
2
，则sin
= π +
5π
，
6
D.
√
2π
3
B.
5π
6
C.
π
3
π
3
.因为 为偶函数，所以 − = π
5π
6
∈ .又 > 0，所以 的最小值为 .故选D.
π
+ ，
2
∈ ，即
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的
以−252∘ 16′角,467∘ 44′角,1 187∘ 44′角是终边相同的角，故D正确.故选D.
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1．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意知S △ABC ＝12AB·BC·sinB ，即12＝12×1×2sinB ，解得sinB ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1.此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C)＝sin(C －A －B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc(b ＋c)>8B ．ab(a ＋b)>16 2C ．6≤abc≤12D ．12≤abc≤24 答案 A解析 由sin2A ＋sin(A －B ＋C)＝sin(C －A －B)＋12得，sin2A ＋sin[A －(B －C)]＋sin[A＋(B －C)]＝12，所以sin2A ＋2sinAcos(B －C)＝12.所以2sinA[cosA ＋cos(B －C)]＝12，所以2sinA[cos(π－(B ＋C))＋cos(B －C)]＝12，所以2sinA[－cos(B ＋C)＋cos(B －C)]＝12，即得sinAsinBsinC ＝18.根据三角形面积公式S ＝12absinC ，①S ＝12acsinB ，②S ＝12bcsinA ，③因为1≤S≤2，所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3＝18a 2b 2c 2sinAsinBsinC≤8，即64≤a 2b 2c 2≤512，所以8≤abc≤162，故排除C ，D 选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b ＋c>a ，得bc(b ＋c)>8一定成立，而a ＋b>c ，ab(a ＋b)也大于8，而不一定大于162，故选A.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b ＝λ，若△ABC面积的最大值为93，则λ的值为( )A ．8B ．12C ．16D ．21答案 B解析 S △ABC ＝12absinC ＝34ab≤34·⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12.4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.答案 100 6解析 依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°.在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600 m ，由正弦定理可得600sin45°＝BCsin30°，即BC ＝300 2m ．在Rt △BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝300 2 m ，所以tan30°＝CD BC ＝CD3002，所以CD ＝100 6 m.5．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tanA ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析 由AB →·AC →＝tanA ，可得|AB →||AC →|cosA ＝tanA.因为A ＝π6，所以|AB →||AC →|·32＝33，即|AB →||AC →|＝23.所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|·sinA ＝12×23×12＝16.6．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cosB ＝45，a ＝10，△ABC的面积为42，则b ＋asinA的值等于________． 答案 16 2解析 依题意可得sinB ＝35，又S △ABC ＝12acsinB ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2accosB＝62，所以b ＋a sinA ＝b ＋bsinB＝16 2.7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．答案 30°解析 设两船在C 处相遇，则由题意∠ABC ＝180°－60°＝120°，且ACBC ＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin120°sin ∠BAC ＝3⇒sin ∠BAC ＝12. 又0°<∠BAC<60°，所以∠BAC ＝30°，60°－30°＝30°. 8．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cosA ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，AB sinC ＝BC sinA ，所以sinC ＝AB BC ·sinA ＝2sin60°7＝217.因为AB<BC ，所以C 为锐角，则cosC ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin2C ＝2sinC·cosC ＝2×217×277＝437. 9.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝btanA ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sinA ＋sinC 的取值范围．解 (1)证明：由a ＝btanA 及正弦定理，得sinA cosA ＝a b ＝sinAsinB ，所以sinB ＝cosA ，即sinB＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2. (2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B)＝π－⎝⎛⎭⎫2A ＋π2＝π2－2A>0，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 于是sinA ＋sinC ＝sinA ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－2A ＝sinA ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sinA ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sinA －142＋98. 因为0<A<π4，所以0<sinA<22，因此22<－2⎝⎛⎭⎫sinA －142＋98≤98. 由此可知sinA ＋sinC 的取值范围是⎝⎛⎦⎤22，98.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tanC 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos2B ＝sin 2C.又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫3π4－C ＝sin2C ＝2sinCcosC ， 解得tanC ＝2.(2)由tanC ＝2，C ∈(0，π)得sinC ＝255，cosC ＝55.又因为sinB ＝sin(A ＋C)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ，所以sinB ＝31010.由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bcsinA ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.11.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.向量m ＝(a ，3b)与n ＝(cosA ，sinB)平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)因为m ∥n ，所以asinB －3bcosA ＝0， 由正弦定理，得sinAsinB －3sinBcosA ＝0， 又sinB≠0，从而tanA ＝3， 由于0<A<π，所以A ＝π3.(2)解法一：由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ， 及a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bcsinA ＝332.解法二：由正弦定理，得7sin π3＝2sinB ， 从而sinB ＝217， 又由a>b ，知A>B ，所以cosB ＝277.故sinC ＝sin(A ＋B)＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝sinBcos π3＋cosBsin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为12absinC ＝332.12.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B)＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B. (1)求a 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值． 解 (1)因为A ＝2B ，所以sinA ＝sin2B ＝2sinBcosB. 由正弦定理、余弦定理得a ＝2b·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A<π，所以sinA ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sinAcos π4＋cosAsin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a>c.已知BA →·BC →＝2，cosB ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C)的值．解 (1)由BA →·BC →＝2，得c·acosB ＝2.又cosB ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2accosB. 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a>c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sinB ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，由正弦定理，得sinC ＝c b sinB ＝23×223＝429.因为a ＝b>c ，所以C 为锐角， 因此cosC ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C)＝cosBcosC ＋sinBsinC ＝13×79＋223×429＝2327.。