线性规划的Matlab求解
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种强大的数值计算和科学计算软件，可以用于求解各种数学问题，包括线性规划和整数规划问题。
本文将详细介绍如何使用Matlab来求解线性规划和整数规划问题。
一、线性规划问题的求解线性规划是一种优化问题，旨在找到一组变量的最佳值，以使线性目标函数在一组线性约束条件下最大或者最小化。
下面以一个简单的线性规划问题为例来说明如何使用Matlab求解。
假设有以下线性规划问题：最大化目标函数：Z = 3x + 5y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x, y ≥ 01. 创建线性规划模型在Matlab中，可以使用linprog函数来创建线性规划模型。
首先，定义目标函数的系数向量c和不等式约束条件的系数矩阵A以及不等式约束条件的右侧常数向量b。
c = [-3; -5];A = [2, 1; 1, 3];b = [10; 15];2. 求解线性规划问题然后，使用linprog函数求解线性规划问题。
该函数的输入参数为目标函数的系数向量c、不等式约束条件的系数矩阵A、不等式约束条件的右侧常数向量b以及变量的下界和上界。
lb = [0; 0];ub = [];[x, fval, exitflag] = linprog(c, A, b, [], [], lb, ub);其中，x是最优解向量，fval是最优解对应的目标函数值，exitflag是求解器的退出标志。
3. 结果分析最后，打印出最优解向量x和最优解对应的目标函数值fval。
disp('最优解向量x：');disp(x);disp('最优解对应的目标函数值fval：');disp(fval);二、整数规划问题的求解整数规划是一种优化问题，与线性规划类似，但是变量的取值限制为整数。
Matlab提供了intlinprog函数来求解整数规划问题。
下面以一个简单的整数规划问题为例来说明如何使用Matlab求解。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题线性规划是一种数学优化问题，通过线性函数的最大化或者最小化来实现目标函数的优化。
整数规划是线性规划的一种特殊情况，其中变量被限制为整数值。
在Matlab中，我们可以使用优化工具箱中的函数来求解线性规划和整数规划问题。
下面将详细介绍如何使用Matlab来求解这些问题。
1. 线性规划问题的求解首先，我们需要定义线性规划问题的目标函数、约束条件和变量范围。
然后，我们可以使用linprog函数来求解线性规划问题。
例如，考虑以下线性规划问题：目标函数：最大化 2x1 + 3x2约束条件：x1 + x2 <= 10x1 - x2 >= 2x1, x2 >= 0在Matlab中，可以按照以下步骤求解该线性规划问题：1. 定义目标函数的系数向量c和约束矩阵A，以及约束条件的右侧向量b。
c = [2; 3];A = [1, 1; -1, 1];b = [10; -2];2. 定义变量的上下界向量lb和ub。
lb = [0; 0];ub = [];3. 使用linprog函数求解线性规划问题。
[x, fval] = linprog(-c, A, b, [], [], lb, ub);运行以上代码后，可以得到最优解x和目标函数的最优值fval。
2. 整数规划问题的求解对于整数规划问题，我们可以使用intlinprog函数来求解。
与线性规划问题类似，我们需要定义整数规划问题的目标函数、约束条件和变量范围。
然后，使用intlinprog函数求解整数规划问题。
例如，考虑以下整数规划问题：目标函数：最小化 3x1 + 4x2约束条件：2x1 + 5x2 >= 10x1, x2为非负整数在Matlab中，可以按照以下步骤求解该整数规划问题：1. 定义目标函数的系数向量f和约束矩阵A，以及约束条件的右侧向量b。
f = [3; 4];A = [-2, -5];b = [-10];2. 定义变量的整数约束向量intcon。
线性规划模型及matlab程序求解
§1 线性规划模型一、线性规划课题：实例1：生产计划问题假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。
每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。
每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。
甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。
问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。
建立数学模型：设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。
f为该厂所获总润。
max f=70x1+120x2s.t 9x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1,x2≥0归结出规划问题：目标函数和约束条件都是变量x的线性函数。
形如： (1) min f T Xs.t A X≤bAeq X =beqlb≤X≤ub其中X为n维未知向量，f T=[f1,f2,…f n]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A为m×n矩阵，b为其右端m维列向量，Aeq为等式约束系数矩阵，beq为等式约束右端常数列向量。
lb,ub为自变量取值上界与下界约束的n维常数向量。
二．线性规划问题求最优解函数：调用格式： x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval]=linprog(…)[x, fval, exitflag]=linprog(…)[x, fval, exitflag, outpu t]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。
运用Matlab进行线性规划求解
线性规划线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。
8.2.1 基本数学原理线性规划问题的标准形式是：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j jj ,,2,1,0,,2,1,min 11ΛΛ写成矩阵形式为：⎪⎩⎪⎨⎧≥==O X b AX CX z min线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。
不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。
MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。
8.2.2 有关函数介绍在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。
linprog 函数的调用格式如下：●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。
若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。
若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。
该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。
MATLAB实验之线性规划问题求解
封面作者：PanHongliang仅供个人学习桂林电子科技大学数学与计算科学学院实验报告实验室：实验日期：年月日x附录Ⅱ综合性、设计性实验报告格式桂林电子科技大学数学与计算科学学院综合性、设计性实验报告版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理。
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Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种功能强大的数学软件，可以用于求解线性规划和整数规划问题。
在本文中，我将详细介绍如何使用Matlab来解决这些问题。
首先，让我们来了解一下线性规划和整数规划的概念。
线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的一组线性约束条件下，寻觅使目标函数最优化的变量取值。
整数规划是线性规划的一种扩展，要求变量的取值必须为整数。
在Matlab中，我们可以使用优化工具箱来求解线性规划和整数规划问题。
优化工具箱提供了一系列函数和工具，可以匡助我们定义问题、设置约束条件和求解最优解。
首先，我们需要定义目标函数和约束条件。
目标函数是我们希翼最小化或者最大化的函数，约束条件是对变量的限制条件。
在Matlab中，我们可以使用符号变量来定义目标函数和约束条件。
例如，假设我们有一个线性规划问题，目标函数为最小化函数f(x) = 2x1 + 3x2，约束条件为2x1 + x2 >= 10，x1 + 3x2 >= 15，x1 >= 0，x2 >= 0，其中x1和x2是变量。
在Matlab中，我们可以使用sym函数来定义符号变量。
代码示例如下：```matlabsyms x1 x2f = 2*x1 + 3*x2;constraint1 = 2*x1 + x2 >= 10;constraint2 = x1 + 3*x2 >= 15;```接下来，我们需要将目标函数和约束条件转换为优化工具箱可以理解的形式。
我们可以使用matlabFunction函数将目标函数和约束条件转换为Matlab函数。
代码示例如下：```matlabf = matlabFunction(f);constraint1 = matlabFunction(constraint1);constraint2 = matlabFunction(constraint2);```现在，我们可以使用优化工具箱中的linprog函数来求解线性规划问题。
matlab求解线性规划
matlab求解线性规划MATLAB是一个强大的工具，可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种最优化问题，目标是在满足一系列线性约束条件下，找到一个使目标函数取得最大或最小值的解。
在MATLAB中，可以使用线性规划工具箱来求解线性规划问题。
线性规划工具箱提供了一些函数，如linprog，intlinprog和quadprog，这些函数可以用于求解线性规划问题。
解线性规划问题的一般步骤如下：1. 定义目标函数。
目标函数是要优化的函数，可以是线性函数。
例如，如果我们要最小化一个函数f(x)=c1x1+c2x2+...+cnxn，则可以将目标函数表示为向量c=[c1,c2,...,cn]的内积与向量x=[x1,x2,...,xn]。
2. 定义约束条件。
约束条件是对决策变量的限制条件。
一般情况下，约束条件可以表示为Ax<=b，其中A是一个矩阵，x是决策变量向量，b是一个向量。
例如，如果我们有两个约束条件2x1+x2<=10和x1+3x2<=12，则可以将约束条件表示为矩阵A=[2,1;1,3]和向量b=[10;12]。
3. 调用线性规划函数。
在MATLAB中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。
linprog函数有几个输入参数，包括目标函数系数向量c，约束条件矩阵A和向量b，以及可选参数lb和ub。
参数lb和ub是可选参数，用于指定决策变量的下界和上界。
例如，要求解上述线性规划问题，可以调用linprog函数如下：x = linprog(c, A, b)函数linprog返回一个向量x，其中包含目标函数取得最小值时的决策变量的取值。
4. 分析结果。
一旦线性规划问题被求解，我们可以通过检查目标函数的值和决策变量的取值来分析结果。
例如，目标函数的值就是目标函数取得最小值时的值，其中决策变量的取值可以用x变量表示。
总结而言，MATLAB是一个功能强大的工具，可以用于求解线性规划问题。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种功能强大的数学软件，可以用于求解线性规划和整数规划问题。
在本文中，我将详细介绍如何使用Matlab来解决这些问题。
首先，让我们了解一下线性规划和整数规划的基本概念。
线性规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的一组约束条件下，最大化或者最小化线性目标函数。
整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中变量被限制为整数值。
为了使用Matlab求解线性规划和整数规划问题，我们需要使用Matlab中的优化工具箱。
请确保你已经安装了该工具箱，并准备好了你的问题的数学模型。
在Matlab中，我们可以使用"linprog"函数来求解线性规划问题。
该函数的基本语法如下：[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)其中，参数f是目标函数的系数向量，A和b是不等式约束的系数矩阵和右侧向量，Aeq和beq是等式约束的系数矩阵和右侧向量，lb和ub是变量的下界和上界。
函数的输出包括最优解x，最优目标函数值fval，退出标志exitflag以及输出信息output。
接下来，让我们通过一个具体的例子来演示如何使用Matlab求解线性规划问题。
假设我们有以下线性规划问题：最小化目标函数：f = [4, 3, 5]约束条件：A = [1, 1, 1; 2, 1, 3; 1, 2, 2]b = [6; 10; 8]变量的下界和上界：lb = [0; 0; 0]ub = []我们可以使用以下代码来求解这个问题：f = [4, 3, 5];A = [1, 1, 1; 2, 1, 3; 1, 2, 2];b = [6; 10; 8];lb = [0; 0; 0];ub = [];[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, [], [], lb, ub);最优解x将包含变量的最优值，最优目标函数值fval将给出最小化的结果。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题引言概述：Matlab是一种功能强大的数学软件，可以用于求解各种数学问题，包括线性规划和整数规划问题。
本文将介绍如何使用Matlab求解这两类问题，并分析其优点和适用范围。
正文内容：1. 线性规划问题1.1 线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，通过线性目标函数求解最优解的问题。
其数学模型可以表示为：max/min f(x) = c^T * xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
1.2 Matlab中的线性规划求解函数Matlab提供了linprog函数来求解线性规划问题。
该函数可以通过设定目标函数系数向量c、约束条件的系数矩阵A和右侧向量b，以及决策变量的上下界，来求解线性规划问题的最优解。
1.3 线性规划问题的应用线性规划问题在实际应用中非常广泛，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过Matlab求解线性规划问题，可以高效地得到最优解，为实际问题的决策提供科学依据。
2. 整数规划问题2.1 整数规划问题的定义整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，决策变量的取值限制为整数。
其数学模型可以表示为：max/min f(x) = c^T * xs.t. Ax <= bx >= 0x为整数其中，c、A、b的定义与线性规划问题相同，x为整数。
2.2 Matlab中的整数规划求解函数Matlab提供了intlinprog函数来求解整数规划问题。
该函数可以通过设定目标函数系数向量c、约束条件的系数矩阵A和右侧向量b，以及决策变量的上下界和整数约束条件，来求解整数规划问题的最优解。
2.3 整数规划问题的应用整数规划问题在实际应用中常见，例如生产调度、投资决策、路径规划等。
通过Matlab求解整数规划问题，可以考虑到决策变量的整数性质，得到更为实际可行的解决方案。
MATLAB求解线性规划(含整数规划和01规划)问题
MATLAB 求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约束的，变量范围为有理数的线性规划。
如：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。
但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。
最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。
但LINGO 软件并不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的线性规划完全可以不使用它。
一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ，它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。
我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题。
为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。
我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩阵形式：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∙≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥⎩于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。
求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个函数的使用。
打开MATLAB 帮助文档（PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8级），可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：min .Tx f x A X b s t Aeq X beq lb x ub ≤⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩公式中各符号的意义是自明的，在这里简单介绍下，首先MATLAB 中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A ，b 分别为不等式约束中的系数矩阵。
MATLAB求解线性规划问题
min
f 3x1 x 2 x3
2x1 x3 1
s.t.
x1 2x 2 x3 11 4x1 x 2 2x3 3
xi 0, i 1,2,3
然后建立M文件如下：
c=[-3;1;1];A=[1 -2 1;4 -1 -2];b=[11;-3]; aeq=[2 0 -1];beq=-1;vlb=[0;0;0]; [x,fval]=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb)
最后的结果为: - 6.2043e-016
【例 5】 求解约束非线性规划：
min (x1 1)2 (x2 2)2 (x3 3)2 (x4 4)2 x1 x2 x3 x4 5
s.t. 3x1 3x2 2x3 x4 10 xi 0
初值为[1;1;1;1]
解：首先建立一个m文件 fun705.m
【例 4】 求解约束非线性规划：
max ex1 x22 (3 ex1 x22 )
s.t. ex1 x22 3
(初值为[1;1])
首先将问题转化为matlab要求的格式;即求出 fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub
解:首先建立一个m文件fun7041.m function y=fun7041(x) y=-exp(x(1))*x(2)^2*(3-exp(x(1))-x(2)^2); 存储为fun7041.m
1、了解约束非线性规划问题的求解原理与方法； 2、会用Matlab软件求解约束非线性规划问题。
二、实验原理和方法
对于约束非线性规划，随着目标函数和约束条件的不同， 解法也不同，一般来说，有两类方法： （1）、将约束问题化为无约束问题的求解方法； （2）、用线性规划来逼近非线性规划；
三、实验内容与步骤
数学建模讲座之三-用MATLAB求解线性规划linprog函数
线性规划的求解方法
01
线性规划的求解方法有 多种，包括图解法、单 纯形法、对偶法等。
02
运输问题
总结词
运输问题是一个经典的线性规划应用案例，旨在通过合理安排运输路线和车辆配 置，降低运输成本并提高运输效率。
详细描述
在运输问题中，企业需要考虑货物的运输路线、车辆配置、运输时间等多个因素 ，以最小化运输成本并最大化运输效率。通过建立线性规划模型，可以找到最优 的运输方案，使得企业在满足客户需求的同时获得最大的利润。
02
fval
目标函数的最小值
03
04
exitflag
退出标志，表示求解是否成功 ，0表示成功，其他值表示失
败
output
输出信息，包括迭代次数、最 优解等信息
03
使用linprog函数求解线 性规划问题
建立线性规划问题
确定决策变量
首先需要确定问题的决策 变量，即需要优化的变量。
确定目标函数
根据问题需求，确定目标 函数，即需要最大化或最 小化的函数。
05
总结与展望
线性规划的重要性和应用领域
线性规划是一种优化技术，通 过合理分配有限资源达到最优 目标。它在生产计划、物流管 理、金融投资等领域有广泛应
用。
在生产计划中，线性规划可用 于确定最优的生产组合，以最
小化成本或最大化利润。
在物流管理中，线性规划可用 于货物运输和配送路线优化， 降低运输成本和提高效率。
如何在Matlab中进行线性规划问题求解
如何在Matlab中进行线性规划问题求解线性规划（Linear Programming，LP）是数学规划的一个重要分支，其能够高效地解决许多实际问题。
在工业、运输、金融等领域中，线性规划的应用十分广泛。
而Matlab作为一种功能强大的数学软件，也提供了许多工具和函数用于线性规划问题的求解。
本文将介绍在Matlab中进行线性规划问题求解的基本步骤和常用函数。
一、线性规划概述线性规划是一种寻找线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通常情况下，线性规划问题可以表示为：max/min z = c^T * xsubject to A * x <= bx >=0其中，c和x是n维向量，A是m×n的矩阵，b是m维向量。
目标是求解向量x的取值，使得目标函数c^T * x在满足约束条件A * x <= b和x >=0的前提下，取得最大（或最小）值z。
二、Matlab中线性规划求解函数Matlab中提供了多个函数用于线性规划问题的求解，其中最常用的是“linprog”函数。
linprog函数的基本语法如下所示：[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options)其中，参数f是目标函数的系数向量，A和b是不等式约束的矩阵和右侧向量，Aeq和beq是等式约束的矩阵和右侧向量，lb和ub分别是变量的下界和上界向量，options是优化选项。
三、解决实际问题的例子假设有一家电子公司，为了提高利润，决定如何分配生产资源。
公司生产三种产品A、B、C，每种产品所需的生产时间分别为5小时、10小时和15小时。
已知公司每周的生产时间为80小时，每单位产品的利润分别为5、8和10。
现在问题是如何分配生产时间，使得总利润最大化。
首先，我们需要确定目标函数和约束条件。
根据题意，我们可以将目标函数设置为z = 5*x(1) + 8*x(2) + 10*x(3)，其中x(1)、x(2)和x(3)分别表示产品A、B、C的生产数量。
第五讲 规划问题的matlab计算
但是，输入matlab计算时，应该输入成x1,x2,…,x25的 格式。本题有25个0-1变量且需要约束全部化为小于等 于形式。约束矩阵是20x25的矩阵（为什么？），应 该采用稀疏矩阵的输入方式。
>> clear >> c=[32 17 34 36 25 21 31 21 22 19 24 29 40 28 39 26 35 41 33 29 33 27 31 42 22]; >> A=zeor(20,25);
后者略优于前者bfgs是至今最好的拟牛顿法下面对两种算法作一个计算对比functionfgzuisu2xdfp拟牛顿法计算initialhesstypeidentity初始hesse矩阵用单位阵optionsoptimset?largescale??off??hessupdate??dfp??gradobj??on??maxfunevals?250?initialhesstype??identity??display??iter?
参数输入： Fun： x0： 目标函数，一般用M文件给出 优化的初始点
Options: 参数设置（后面说明）
函数输出：
X：最优点（或最后迭代值） Fval：最后迭代值的目标函数值 Exitflag：函数结束的信息 Oupput：函数基本信息，包括迭代次数，目标函数最 大计算次数，使用的算法名称，计算规模
x =
Ax b, s.t .Qx p , x 0
求解命令： x=linprog(c,A,b,Q,p)
若没有不等式，则令A=[ ]，b=[ ]。
例2
例2 求解线性规划
min z 13 x1 9 x2 10 x3 11x4 12 x5 8 x6 ; x1 x4 400, x x 600, 5 2 x3 x6 500, s.t. 0.4 x1 1.1x2 x3 800, 0.5 x4 1.2 x5 1.3 x6 900, x16 0
用MATLAB求解线性规划
模型 1 固定风险水平，优化收益
目标函数： 约束条件：
n 1
Q=MAX (ri pi )xi
i 1
qi xi ≤a
M
(1 p )x M ， ii
xi≥ 0
i=0，1，…n
b．若投资者希望总盈利至少达到水平 k 以上，在风险最小的 情况下寻找相应的投资组合。
模型 2 固定盈利水平，极小化风险
从 a=0 开始，以步长△a=0.001对下列组合投资模型求解, 并绘图表示 a 与目 标函数最优值 Q 的对应关系:
max s.t.
Q = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0,x1,x2,x3,x4) T
x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1
目标函数： R= min{max{ qixi}} 约束条件：
n
(r i
p )x
i
i
≥k，
i0
(1 pi )xi M ， xi≥ 0
i=0，1，…n
c．投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择 一个令自己满意的投资组合。
因此对风险、收益赋予权重 s（0＜s≤1)，s 称为投资偏好 系数.
2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即: 冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。
3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最 小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。
4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长
符号规定：
Si
10.应用MATLAB软件求解线性规划
1 1
x1, x2 0
min S x1 x2
(5)
s.t. x1x13xx22
2 1题
max
min
m
ai1xi ,
m
ai2 xi ,L
,
m
ain xi
i 1
i 1
i 1
s.t.
x1 xi
x2 0,
L xm i 1, 2,L
1 ,m
5.如果x(1)，x(2)， ，x(k)都是线性规划问题(LP)：
max S cx, Ax b, x o
的可行解，则它们的任意凸组合也是(LP)的可行解；如果x(1)，x(2)，
(2)
s.t
x1 2 x1
x2 2 x2
x3 x3
10 20
x1, x2 , x3 0
max S 14x1 13x2 6x3
2x1 4x2 x3 60
应用MATLAB软件求解 线性规划
• MATLAB（MATrix LABoratory）的基本含义是矩阵实验室 ，它是由美国MathWorks公司研制开发的一套高性能的集数 值计算、信息处理、图形显示等于一体的可视化数学工具软 件。它是建立在向量、数组和矩阵基础之上的，除了基本的 数值计算、数据处理、图形显示等功能之外，还包含功能强 大的多个“工具箱”，如优化工具箱（optimization toolbox） 、统计工具箱、样条函数工具箱和数据拟合工具箱等都是优 化计算的有力工具。在这里仅介绍用MATLAB6.5优化工具箱 求解线性规划问题。
烟酸(mg)
matlab解决线性规划最优解和最优值
2010/2011学年第一学期"MATLAB 程序设计"大作业一、题目用MATLAB 求解线性规划最优解和最优值的问题。
二、问题描述和分析2.1: 线性规划(简记LP)是合理利用、调配资源的一种应用数学的方法,它的基本思路就是在满足一定的约束条件下,使预定的目标达到最优；它的研究内容可归纳为两个方面:一是系统的任务已定,如何合理筹划,精细安排,用最少的资源去实现这个任务;二是资源的数量已定,如何利用、分配,使任务完成得最多. 前者是求极小,后者是求极大. 线性规划是在满足企业内、外部的条件下,实现管理目标和极值问题,就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出.2.2: 线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB7.0解决的线性规划问题的标准形式为：min n R x x f ∈'sub.to ：b x A ≤⋅beq x Aeq =⋅ub x lb ≤≤其中f 、x 、b 、beq 、lb 、ub 为向量，A 、Aeq 为矩阵2.3:函数 linprog格式 x = linprog(f,A,b) %求min f ' *x sub.to b x A ≤⋅线性规划的最优解。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式约束beq x Aeq =⋅，若没有不等式约束b x A ≤⋅，则A=[ ]，b=[ ]。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %指定x 的范围ub x lb ≤≤，若没有等式约束beq x Aeq =⋅ ，则Aeq=[ ]，beq=[ ]x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %设置初值x0x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options 为指定的优化参数[x,fval] = linprog(…) % 返回目标函数最优值，即fval= f ' *x 。
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» lambda.ineqlin
max Z 40 x1 30 x2 3 x1 2 x2 54 2 x 2 x 40 2 s.t. 1 x1 2 x2 35 x1 0 x2 0
» 实验将土地资源增加一个单位后的最优值！
工具箱GUI界面
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn b2
......
am1x1 + am2x2 + …. + amnxn bm aeq11x1 + aeq12x2 + …. + aeq1nxn = beq1 aeq21x1 + aeq22x2 + …. + aeq2nxn = beq2
......
lx1 u x1 lx 2 u lb , ub x 2 lxn u xn
Matlab使用linprog函数求解线性规划
•
• • • •
>> help linprog
x = linprog(c, A, b)
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn b2 (=或 )
......
am1x1 +am2x2 + ….+ amnxn bm (=或 ) x1, x2, …., xn 0
线性规划的Matlab标准形式
min Z = c1x1 + c2x2 + …. + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn b1 注意！！！ （1）最小化问题； （2）约束分成两组； （3）决策变量给出下界和上界；
输出参数说明（2）
.iterations：实际的迭代次数； .algorithm：所采用的算法； output 包含优化结果信息的结构 .cgiterations：0； （仅用于大型算法，为向后兼容而 设置的参数） .message：退出信息；
包含解x处的拉格朗日乘
子的结构 lambda
.ineqlin：线性不等式约束的拉格朗日乘子；
exitflag
描述退出条件
-2：没有找到可行解；
-3：问题无有限最优解；
-4：算法执行过程中遇到NaN值； -5：原问题和对偶问题均不可行；
例2’
» c=[-5; -1.5]; A=[0 5; 6 2; 1 1]; b=[15; 24; 5]; Aeq=[]; beq=[]; lb=[0; 0]; ub=[inf; inf]; x0=[]; options=optimset(‘LargeScale’, ‘off’, ‘Simplex’, ‘on’); [x, fval, exitflag, output] ... =linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options); fval, exitflag] = linprog(。。。)
•
•
[x, fval, exitflag, output] = linprog(。。。)
[x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(。。。)
例1
max Z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 x 2x 8 2 s.t. 1 4 x1 16 4 x2 12
2 c= 3 2 1 A= 4 0 lb 2 12 2 8 , b= , Aeq = 16 0 4 12
,
beq =
» c=[-2; -3]; A=[2 2; 1 2; 4 0; 0 4]; b=[12; 8; 16; 12]; x=linprog(c, A, b) » fval=c’*x
,
ub
例2
max Z 5 x1 1.5 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 2 s.t. 1 x1 x2 5 x1 0 x2 0
.eqlin：等式约束的拉格朗日乘子； .upper：上界约束的拉格朗日乘子； .lower：下界约束的拉格朗日乘子；
例4：求最优生产计划，使公司获利最大
• 设某公司生产另种产品：食物（x1）， 服装（x2）
• 生产单位食品获利40元，单位服装获利30元 • 需要投入三种资源：土地（H）、劳动（L)、资本（K) • 生产一个单位食品投入：3H • 生产一个单位服装投入：2H • 公司拥有：54H 40L 35K 2L 2L 1K 2K
x = linprog(c, A, b, Aeq, beq) x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub) x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0) x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)
5 c= 1.5 0 5 15 A= 6 2 , b= 24 , Aeq = , beq = 1 1 5 0 lb , ub 0
» c=[-5; -1.5]; A=[0 5; 6 2; 1 1]; b=[15; 24; 5]; Aeq=[]; beq=[]; lb=[0; 0]; ub=[]; % ub=[inf; inf] x=linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub)
» c=[-4; 2; -1]; A=[2 -1 1; 8 -2 2]; b=[12; -8]; 0 Aeq=[-2 0 1; 1 1 0]; lb 0 , ub 0 beq=[3; 7]; lb=[0; 0; 0]; ub=[]; x=linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub)
例3
max Z 4 x1 2 x2 x3 2 x1 x2 x3 12 8 x1 2 x 2 x 8 2 3 s.t. 2 x1 x3 3 x1 x2 7 x1 0 x2 0 x3 0
4 c= 2 1 2 A= 8 1 1 12 , b= , 2 2 8 0 1 1 3 , beq = 0 7
2 Aeq = 1
输入参数说明
c A b Aeq beq 目标函数中的系数向量 不等式约束 对应的矩阵和常数列 等式约束 对应的矩阵和常数列 行、列形式均可
若没有不等式约束，则 A = [ ]; b = [ ]
若没有等式约束，则 Aeq = [ ]; beq = [ ] 若所有变量上界或下界无限制，
线性规划求解
Matlab的优化工具箱：Optimization Toolbox
线性规划的一般形式
max Z = c1x1 + c2x2 + …. + cnxn （或min） s.t. a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn b1 (=或 )
max Z cT X AX b s.t. X 0
• options = optimset(‘param1’, value1, ‘param2’, value2, …);
• 示例： • options = optimset(‘LargeScale’, ‘off’, ‘Simplex’, ‘on’);
– 表示不采用大规模算法，采用单纯形发求解；
• options = optimset(‘Display’,‘iter’,‘TolFun’,1e-8);
aeqh1x1 + aeqh2x2 + …. + aeqhnxn = beqh lx1 x1 ux1, lx2 x2 ux2, …., lxn xn uxn
线性规划的Matlab标准形式的矩阵表示
min Z C T X AX b s.t. Aeq X beq lb X ub
函数计算终止的误差限 大型规模算法：默认1e-8；单纯形算法：默认1e-6；
输出参数说明（1）
x 由优化函数求得的值 若exitflag>0，则x为解； 否则，x只是迭代终止时的值。
fval
解x处的目标函数值 1：目标函数收敛于解x处； 0：已经达到最大的迭代次数限制ptions.MaxIter;
– 表示给出每一步迭代结果，计算误差限位1e-8；
>> help linprog
options用于指定优化的控制参数
参数名称 参数设置 on 或off（默认值） 设置是否显示优化中的诊断信息，特别是计算终止的原因；
>> help optimset
Diagnostics
off（默认值）：不显示任何输出信息；
• Start按钮 toolboxesoptimization optimization tool
其中： c1 x1 c2 , X = x2 , c= cn xn a11 a A= 21 am1 a12 a22 am 2 a1n b1 a2 n b , b= 2 amn bm
其中： c1 x1 c2 x2 , c= , X= cn xn a11 a A= 21 am1 a12 a22 am 2
eq a11 a1n b1 eq a2 n b2 a , b= , Aeq = 21 a eq amn bm h1 eq b1eq a12 a1eq n eq a eq a eq b 22 2n , beq = 2 eq eq b eq ah 2 ahn h