微分方程总结

第十章：微分方程总结姓名：刘桥

学号：40905237

班级：工商49班

小组：第八小组

组长：刘洪材

一、 微分方程的基本概念 1. 微分方程及其阶的定义

微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 分类1：常微分方程（未知函数为一元函数的微分方程）

()()

,dy

axy a dx

dy p x y Q x dx

=+=为常数 偏微分方程（未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程）

()

22,2224

2

u u

f x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂

微分方程的阶.：微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数. 分类2：一阶微分方程

(,,)0,(,);F x y y y f x y ''==

高阶(n )微分方程

()(,,,,)0,n F x y y y '=

()(1)(,,,

,).n n y f x y y y -'=

分类3：线性与非线性微分方程.

()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+=

分类4：单个微分方程与微分方程组.

32,2,dy

y z dx

dz y z dx

⎧=-⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩ 2. 微风方程的解

微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.

微分方程解的分类：通解（微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与

微分方程的阶数相同.）

,y y '=例;x y ce =通解

0,y y ''+=12sin cos ;y c x c x =+通解

特解（ 确定了通解中任意常数以后的解.）

初始条件：用来确定任意常数的条件.

初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.

积分曲线：微分方程的任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积分曲线

二、 一阶微分方程 1. 可分离变量的方程

可分离变量的微分方程：形如： ()()g y dy f x dx =的一阶微分方程. 例题回味：求方程()290y

dy

x dy ye ++

=的通解 分离变量得，21

9

y ye dy dx x =

+ 两边同时积分得， 2

1

9y ye dy dx x =-

+⎰⎰ 于是得到通解为，()11arctan 33

y x

y e c -=+

2. 齐次方程

如果一阶微分方程可化为()dy y

f dx x

=形如的方程，那么久称之为齐次方程. 解法：作变量代换,y

u x

=

,y xu =或 两边分求微分得， ,dy udx xdu =+ 代入原式得，(),du u x

f u dx +=().du x f u u dx

=-即 ()0,f u u -≠若则对上式分离变量得，

()du dx

f u u x

=-.

两边分别积分得，

()du dx

f u u x

=-⎰

⎰

求出积分后，将y

u x

=

代入，就求得了原微分方程的通解. 例题回味：求解微分方程(cos )cos 0.y y

x y dx x dy x x

-+=

解，y

u x =令，dy xdu udx =+则，

(c o s )c o s ()x u x u d x x u u d x

x d u -+

+=

cos ,dx

udu x

=-

sin ln ,u x C =-+ 微分方程的解为sin ln .y

x C x

=-+

3. 一阶线性微分方程

形如

()()dy

p x y q x dx

+=的方程称为一阶线性微分方程 ()0,Q x ≠当称方程式为非齐次线性微分方程 ()0,Q x =当称方程

()()dy

p x y q x dx

+=为齐次线性微分方程 解法：1. 线性齐次方程（分离变量法） 2. 线性非齐次方程

例题回味：1sin .x

y y x x '+=

求方程的通解 解1(),P x x = sin (),x

Q x x

=

11sin dx dx x x

x y e e dx C x -

⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭

⎰

l n l n

s i n x x x e e dx C x -⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭⎰

(

)

1

s i n x d x

C x

=

+⎰ ()1

cos .x C x

=-+ 4. 伯努利方程

形如

()()n dy

P x y Q x y dx

+=（n 为常数）的方程称为伯努利方程. 三、 高阶微分方程

1. n 阶线性微分方程解的结构

n 阶线性微分方程的一般形式：()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=

()0f x ≠当时，

称方程式为非齐次线性方程， ()0f x =当时，

称方程式为齐次线性方程。