微分方程总结

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求微分方程的通解方法总结

求微分方程的通解方法总结微分方程是数学中的重要概念之一，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

解微分方程可以帮助我们理解和预测自然界中的现象变化。

本文将总结几种常见的求微分方程通解的方法，帮助读者更好地掌握这一重要的数学技巧。

一、分离变量法分离变量法是求解一阶微分方程最常用的方法之一。

当微分方程可以写成dy/dx = f(x)g(y) 的形式时，我们可以通过分离变量的方式将方程化简为两个变量的乘积形式。

然后将两边同时积分，得到通解。

二、常数变易法常数变易法适用于齐次线性微分方程，形如 dy/dx + P(x)y = 0。

通过猜测一个解y = Ce^(∫P(x)dx)（C为常数），然后求导得到dy/dx 和 P(x)y，将其代入原方程，如果两边相等，则得到通解。

三、齐次方程法齐次方程法适用于一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x) 和 Q(x) 都是已知函数。

首先解齐次方程 dy/dx + P(x)y = 0，得到通解y_h。

然后通过常数变易法，猜测一个特解y_p，将其代入原方程，得到Q(x) = y_p' + P(x)y_p。

最后通解为y = y_h + y_p。

四、二阶齐次线性微分方程法对于二阶齐次线性微分方程 d^2y/dx^2 + p(x)dy/dx + q(x)y = 0，可以通过特征方程 r^2 + p(x)r + q(x) = 0 求得特征根 r_1 和 r_2。

然后根据特征根的不同情况，得到通解y = C_1e^(r_1x) + C_2e^(r_2x)（C_1 和 C_2 为常数）。

五、常系数齐次线性微分方程法对于常系数齐次线性微分方程 d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = 0，可以通过特征方程 r^2 + ar + b = 0 求得特征根 r_1 和 r_2。

然后根据特征根的不同情况，得到通解 y = C_1e^(r_1x) + C_2e^(r_2x)（C_1 和 C_2 为常数）。

微分方程通解总结

微分方程通解总结一、引言微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、工程技术等领域中具有广泛的应用。

微分方程通解是对微分方程的一种全面、详细、完整且深入的研究和总结。

本文将通过多个层次和多个级别的标题，对微分方程通解展开讨论。

二、微分方程的基本概念2.1 微分方程的定义微分方程是含有未知函数及其导数的方程。

通常用字母和导数符号表示。

2.2 微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。

常微分方程中未知函数只有一个自变量，而偏微分方程中未知函数有多个自变量。

三、微分方程通解的基本理论3.1 齐次线性微分方程的通解齐次线性微分方程是形如f(x)y’’ + g(x)y’ + h(x)y = 0的方程，其中f(x)、g(x)、h(x)是已知的函数。

可以通过换元的方法得到齐次线性微分方程的通解。

3.2 非齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程是形如f(x)y’’ + g(x)y’ + h(x)y = r(x)的方程，其中r(x)是已知的函数。

可以通过常数变易法得到非齐次线性微分方程的通解。

3.3 二阶常系数线性微分方程的通解二阶常系数线性微分方程是形如a y’’ + by’ + cy = 0的方程，其中a、b、c是已知的常数。

可以通过特征根法得到二阶常系数线性微分方程的通解。

3.4 高阶线性微分方程的通解高阶线性微分方程是形如anyn + an-1yn-1 + … + a1y’ + a0y = 0的方程，其中a0、a1、…、an是已知的常数。

可以通过特征根法得到高阶线性微分方程的通解。

四、微分方程通解的应用4.1 物理学中的应用微分方程通解在物理学中有着广泛的应用。

例如，通过对运动物体的运动方程建立微分方程并求解通解，可以得到物体的运动规律。

4.2 工程技术中的应用微分方程通解在工程技术中也有着重要的应用。

例如，在电路分析中，可以通过建立电路的微分方程并求解通解，得到电路中电流和电压的变化规律。

高数微分方程总结

５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.
解（１）由题设可得：
2 p( x)2x 0,
2 x3
p( x)( 1 ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
f
(x)
3 x3
.
（２）原方程为 y 1 y 3 .
x
x3
显见 y1 1, y2 x2 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的特解，
又 y* 1 是原方程的一个特解， x
dt 2
即 x g x g , 99
x(0) 0, x(0) 0.
10m
o x
解此方程得
x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
2
整个链条滑过钉子 ,即 x 8,
代入上式得
t 3 ln(9 80). (秒) g
最好的，不一定是最合适的；最合适的，才是真正最好的。最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云快乐的人帮助别人，积极人的肯定自己。——王修强对于每一个不利条件，都会存在与之相对应的有利条件。人必须有自信，这是成功的秘密。人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。这世间最可依赖的不是别人，而是你自己。不要指望他人，一定要坚强自立。懂得感恩，感谢帮助你的每一个人。不要因为小小的争执，远离了你至亲的好友，也不要因为小小的怨恨，忘记了别人的大恩。

微分方程的通解公式总结

微分方程的通解公式总结首先，我们来看一阶微分方程的通解公式。

一阶微分方程的一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)为x和y的函数。

对于这种形式的微分方程，我们可以通过分离变量、齐次方程、恰当方程等方法求解，并得到通解公式y=F(x,C)，其中F(x,C)为x和常数C的函数。

这个通解公式中的C称为积分常数，它包含了微分方程的所有解。

在具体求解微分方程时，我们可以根据初值条件确定积分常数的值，从而得到微分方程的特解。

其次，我们来看高阶微分方程的通解公式。

高阶微分方程的一般形式为d^ny/dx^n=F(x)，其中F(x)为x的函数。

对于这种形式的微分方程，我们可以通过特征方程、常数变易法、待定系数法等方法求解，并得到通解公式y=y_0+y_h，其中y_0为特解，y_h为齐次方程的通解。

特解可以通过对非齐次方程进行积分得到，而齐次方程的通解可以通过求解对应的齐次方程得到。

最后，我们来看一些常见微分方程的通解公式。

常见的微分方程包括线性微分方程、非线性微分方程、常系数微分方程等。

对于这些常见的微分方程，我们可以通过不同的方法求解，并得到它们的通解公式。

例如，对于线性微分方程可以通过特征方程求解，对于非线性微分方程可以通过变量代换或者积分求解，对于常系数微分方程可以通过特征根的不同情况分类讨论。

通过总结这些微分方程的通解公式，我们可以更好地理解它们的特点和性质，为实际问题的求解提供指导。

总之，微分方程的通解公式总结是微分方程研究的重要内容，它对于理解微分方程的性质和特点，以及解决实际问题都具有重要意义。

通过对一阶微分方程、高阶微分方程以及常见微分方程的通解公式进行总结，我们可以更好地掌握微分方程的求解方法和技巧，为数学建模和实际问题的求解提供理论基础和数学工具。

希望本文的总结能够帮助读者更好地理解微分方程的通解公式，提高微分方程的解题能力。

高等数学微分方程总结ppt课件.pptx

y py qy 0,
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0

微分方程公式总结

微分方程公式总结一、什么是微分方程微分方程是包含未知函数及其导数的方程，它描述了函数与其导数之间的关系。

一般形式的微分方程可以表示为：\[ F(x, y, \frac{{dy}}{{dx}}, \frac{{d^2y}}{{dx^2}}, ... , \frac{{d^ny}}{{dx^n}}) = 0 \]其中，\(y\) 是未知函数，\(x\) 是自变量，\(\frac{{dy}}{{dx}}\) 是\(y\) 对 \(x\) 的导数，\(n\) 是一个正整数，\(F\) 是一个给定的函数。

二、微分方程的分类根据微分方程中包含的未知函数的阶数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两种。

1. 常微分方程：常微分方程是只包含未知函数的一阶或高阶导数的微分方程。

常微分方程的一般形式可以表示为：\[ F(x, y, \frac{{dy}}{{dx}}, \frac{{d^2y}}{{dx^2}}, ... , \frac{{d^ny}}{{dx^n}}) = 0 \]常微分方程的求解方法多种多样，其中常见的方法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。

2. 偏微分方程：偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的微分方程。

偏微分方程的一般形式可以表示为：\[ F(x, y_1, y_2, ..., \frac{{\partial y_1}}{{\partial x}}, \frac{{\partial y_2}}{{\partial x}}, ... , \frac{{\partial^2y_1}}{{\partial x^2}}, \frac{{\partial^2y_2}}{{\partial x^2}}, ... , \frac{{\partial^2y_1}}{{\partial x \partial y}}, \frac{{\partial^2y_2}}{{\partial x \partial y}}, ... ) = 0 \]偏微分方程的求解方法较为复杂，常用的方法包括分离变量法、特征线法、变量分离法等。

大一常微分方程一知识点总结

大一常微分方程一知识点总结本文档旨在总结大一常微分方程一课程中的主要知识点，帮助同学们复和回顾相关内容。

1. 什么是微分方程微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。

它通常用于描述自然现象中包含变化速率的问题，如物理、工程和经济等领域。

2. 常见的常微分方程类型常微分方程可以分为以下几类：- 一阶常微分方程：只涉及一阶导数的方程。

常见的一阶方程包括分离变量方程、线性方程和齐次方程等。

- 二阶常微分方程：涉及二阶导数的方程。

常见的二阶方程包括常系数二阶齐次方程和非齐次方程等。

3. 常微分方程的解法常微分方程的解法主要有以下几种：- 分离变量法：将方程的未知函数与其导数分开，将方程变为两个可积的方程，再进行求解。

- 变量替换法：通过合适的变量替换，将原方程转化为可以更容易求解的形式。

- 齐次方程的解法：通过适当的变量替换，使得方程变为可以分离变量的形式，然后利用分离变量法求解。

- 常系数二阶齐次方程的解法：通过对方程进行特征根分析，得到方程的通解。

- 非齐次方程的解法：通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。

4. 常微分方程的应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 物理学：常微分方程可以用于描述物理系统的运动规律，如牛顿运动定律、电路中的电流变化等。

- 工程学：常微分方程可以用于描述工程问题中的变化和变化率，如电路中的电压变化、机械系统的振动等。

- 经济学：常微分方程可以用于描述经济系统中的变化和变化率，如经济增长模型、人口增长模型等。

以上是对大一常微分方程一课程的主要知识点的简要总结，希望能够为同学们的学习提供一些帮助和参考。

微分方程解法总结

微分方程解法总结微分方程（DifferentialEquations）是数学中一类重要的运筹学问题，也是许多应用数学领域中最重要的数学工具之一。

微分方程可以应用在物理学、化学、工程学、生物学及经济学等学科中，在多学科领域中都发挥了重要作用。

一般来说，微分方程可以用一组方程来描述某种函数的变化，其中包括两个或更多的未知函数。

常用的微分方程解法包括，比如直接法、可积性法、积分变换法等。

1.接法直接法是指从微分方程的定义出发，直接寻找微分方程的解的方法。

一般来说，将定义域上的某个变量作为一个变量来代替原方程中的其它变量，从而将原方程变为一个关于这个变量的微分方程，再解此新的微分方程，最终得到需要的解。

2.积性法可积性法，即牛顿-拉夫逊定理，是指依据微分方程中的微分操作，运用积分学手段求出微分方程的解的方法。

牛顿-拉夫逊定理具有很强的通用性，几乎可以用于解决所有的不定积分问题，而且可以在多个变量之间进行推导。

3.分变换法积分变换法是一种特殊的可积性法，通过运用微积分中的奇偶变换，由傅里叶变换求出微分方程的解。

这种方法主要用于解决有限区间上的微分方程，既可以解决常规的微分方程，也可以解决非线性微分方程。

4.值方法数值方法是指用计算机从解析计算的角度进行微分方程的解法。

数值方法可分为两类，一类是有限差分的方法，另一类是可积性方法。

有限差分方法是在有限域上利用数值误差求解微分方程，它主要用于解决常微分方程组和椭圆型方程；可积性方法是指基于可积性定理，将微分方程转变为积分形式，再采用计算机数值解法，求出积分方程的解的方法。

总之，上述四类解法分别具有自己的优势和不足，因此要采取最适合的方式来解决某一类微分方程。

此外，在进行解微分方程的过程中，要进行精确的数学推导，以确保最终得到的解析解是准确可靠的。

通过上述分析，可以清楚地了解微分方程解法。

总结微分方程知识点

总结微分方程知识点一、微分方程的基本概念微分方程是一个涉及未知函数及其导数的方程。

一般来说，微分方程可以分为一阶微分方程和高阶微分方程两种。

其中，一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程，高阶微分方程则是指方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。

微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中，x是自变量，y是未知函数，y'是y对x的一阶导数，y''是y对x的二阶导数，y^(n)是y对x的n阶导数，F是关于x、y、y'、y''、...、y^(n)的函数。

二、微分方程的分类根据微分方程的性质和形式，微分方程可以分为很多种类。

其中，常见的微分方程包括：1. 隐式微分方程：形式是F(x,y,y')=0，其中y是未知函数；2. 显式微分方程：形式是y'=f(x,y)；3. 线性微分方程：形式是y^(n)+a(n-1)y^(n-1)+...+a1y'+ay=f(x)或y'=p(x)y+q(x)；4. 非线性微分方程：形式是y'=f(x,y)或F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0，且不满足线性微分方程的条件；5. 高阶微分方程：方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。

三、微分方程的解法解微分方程是求解微分方程的一个重要问题。

根据微分方程的类型和形式，可以采用不同的解法进行求解。

常见的解微分方程的方法包括：1. 可分离变量法：当微分方程可以变换为u(x)dy=v(y)dx的形式时，可以使用分离变量法求解微分方程；2. 线性微分方程的解法：对于一阶线性微分方程，可以使用积分因子法或者直接积分法求解。

而对于高阶线性微分方程，可以采用常系数线性齐次微分方程的特征方程法来求解；3. 变换微分方程：通过适当的变换，可以将微分方程化为更简单的形式，从而更容易求解；4. 特殊形式的微分方程的解法：例如可降阶的微分方程、恰当微分方程、齐次微分方程等，都有其特定的解法；5. 数值解法：对于一些难以解析求解的微分方程，可以采用数值解法来进行求解，常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。

常微分方程知识点总结

常微分方程知识点总结一、基本概念。

1. 常微分方程。

- 定义：含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。

例如：y' + 2y = 0，其中y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y 对x的一阶导数。

- 阶：方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。

如y''+3y' + 2y=sin x是二阶常微分方程。

2. 解与通解、特解。

- 解：如果函数y = φ(x)代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称y=φ(x)是该微分方程的解。

- 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。

例如y = C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y'' - y = 0的通解（C_1,C_2为任意常数）。

- 特解：在通解中确定了任意常数的解称为特解。

比如在y = C_1e^x+C_2e^-x 中，当C_1 = 1,C_2 = 0时，y = e^x就是y'' - y = 0的一个特解。

二、一阶常微分方程。

1. 可分离变量方程。

- 形式：g(y)dy = f(x)dx。

- 解法：对等式两边分别积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。

例如对于方程y'=(x)/(y)，可化为ydy = xdx，积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C，即y^2=x^2+C_1（C_1 = 2C）。

2. 齐次方程。

- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))。

- 解法：令u=(y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的解法求解。

例如对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u = (y)/(x)，得到x(du)/(dx)=tan u，再分离变量求解。

常微分方程第五章微分方程组总结

一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（）记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。

常微分方程终极总结

常微分方程终极总结作者：王清亮1、可分离变量的微分方程。

可变形为g(y)dy=f(x)dx,则两端同时积分,⎰⎰=dx x f dy y g )()(，即得解。

2、齐次方程。

)(xydx dy ϕ=，令x y =u ，则ux y =，方程化为)u (dx du x u ϕ=+，则x dxu )u (du =-ϕ，成为可分离变量的微分方程，解出后再以xy代替u 即得所给齐次方程的通解。

可化为齐次的方程：111c y b x a c by ax dx dy ++++=，令x=X+h ，y=Y+k ，则方程化为 YX 11b a bYaX dX dY ++=，并据此解出h 、k 的值，从而转化为齐次方程。

3、一阶线性微分方程。

⎩⎨⎧=+→≡⎩⎨⎧→⎰可分离变量；齐次，，非齐次，不恒为；代替的解，再以常数变易法：先求齐次。

同乘以积分因子法：方程两端,0)(0)(C )x (u )()()(P x Q x Q dx x P e x Q y x dx dy伯努利方程：）（1,0n y )()(P xy n≠=+x Q y x d d )()(P x y y n 1n x Q y x d d =+⇒-- 令n1yz -=，则xy y )n 1(x z n -d d d d -=，故伯努利方程可转化为线性方程)()1()()n 1(x zx Q n z x P d d -=-+，解出后再以n -1y 代z 即得伯努利方程通解。

4、全微分方程。

若du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,),(),,(y x Q yu y x P x u =∂∂=∂∂ 则P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0叫做全微分方程。

5、可降阶的高阶微分方程。

（1）)()(x f yn =型，接连积分n 次即可。

（2）),(y x f y '=''型，可令p y ='，则p dxdpy '==''，从而转化为一阶微分方程。

微分方程总结归纳

微分方程总结归纳微分方程是数学中重要的概念之一，它描述了自然界中许多现象的变化规律。

本文将以人类的视角，通过几个具体的实例来总结归纳微分方程的应用。

第一部分：生物学中的微分方程在生物学中，微分方程经常被用来描述生物体的生长、变化和适应过程。

比如，我们知道细胞的增长速度与其当前的大小有关。

假设细胞的大小为x，细胞的增长速率为dx/dt，那么可以用微分方程来表示细胞的增长规律：dx/dt = kx其中，k是一个常数，表示细胞的增长速率。

这个微分方程告诉我们，细胞的增长速率与其当前的大小成正比。

这个简单的微分方程可以帮助我们理解细胞的生长规律，为生物学研究提供重要的理论基础。

第二部分：物理学中的微分方程在物理学中，微分方程被广泛应用于描述物体的运动和力学性质。

比如，牛顿第二定律可以用微分方程的形式来表示：F = m(d^2x/dt^2)其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，x是物体的位移。

这个微分方程告诉我们，物体所受的力与其质量和加速度成正比。

通过求解这个微分方程，我们可以计算出物体的运动轨迹和速度变化，从而更好地理解物体的运动规律。

第三部分：经济学中的微分方程在经济学中，微分方程被用来描述经济系统中的变化和发展。

比如，我们知道市场需求和供给的变化会影响商品的价格。

假设商品的价格为p，需求量为x，供给量为y，那么可以用微分方程来描述价格的变化规律：dp/dt = k(x-y)其中，k是一个常数，表示价格的变化速率。

这个微分方程告诉我们，价格的变化速率与需求量和供给量的差异成正比。

通过求解这个微分方程，我们可以预测价格的走势，为经济决策提供重要参考。

结论微分方程是数学中重要的工具，它可以帮助我们理解和描述许多自然界和人类社会中的现象和规律。

本文通过生物学、物理学和经济学三个领域的实例，总结归纳了微分方程的应用。

希望读者通过本文的介绍，对微分方程有更深入的理解，并能在实际问题中灵活运用。

数学分析知识点总结（微分方程）

2.7．微分方程初步2.7.1 概说涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。

涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。

简单例子：（1）放射性物质，在每一时刻t ，衰变的速率d m d t-（由于是减少，因此0d m d t<，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。

标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。

d m km d t-=（2）质量为m 的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离()y y t =应该满足牛顿第二定律F m a =，即，即22d y m g mdt=（3）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足满足22dyd y m g kmdtdt-=（1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为O，钢球在t 时刻的坐标()x x t =满足微分方程满足微分方程()22d x kx mdt-=如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是方程是22dxd x kx h m dtdt--=总结：最简单的一阶微分方程是最简单的一阶微分方程是()d x f t d t=其中t 是自变量，上述方程的一般解应该是是自变量，上述方程的一般解应该是()x f t dt C =+ò最简单的n 阶方程阶方程()nnd xf t dt=它等价于说11n nn d x dt--是()f t 的原函数，即的原函数，即11()n n ndxf t dt C dt --=+ò则再次积分，一直积分下去得到则再次积分，一直积分下去得到111()(1)!n nn n t x f t dt dt C C t C n --=++++-òò2.7.2 一阶线性微分方程考察下面的方程考察下面的方程()()d x a t x b t d t+=方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分方程。

高中数学知识点总结微分方程的应用与求解技巧

高中数学知识点总结微分方程的应用与求解技巧高中数学知识点总结：微分方程的应用与求解技巧微分方程是数学中的重要分支，其在许多领域中都有广泛的应用。

本文将总结高中数学中微分方程的应用以及求解技巧，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。

一、微分方程的基本概念微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中包含了未知函数的导数。

通常表示为dy/dx=f(x)或者dy/dx=g(x,y)。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。

二、微分方程的应用领域1.物理学中的应用微分方程广泛应用于物理学中的运动学、电磁学、热力学等领域。

例如，在运动学中，利用微分方程可以描述物体的运动状态以及其变化规律。

2.生物学中的应用微分方程在生物学领域中有着重要的应用，可以描述生物体的生长、衰变、传播等现象。

通过建立适当的微分方程模型，可以研究动态系统的行为。

3.经济学中的应用微分方程在经济学中的应用较为常见，可以描述经济变量之间的关系，研究经济系统的演化过程。

例如，通过建立供需关系方程组，可以分析市场上物品供求的平衡情况。

三、微分方程的求解技巧1.分离变量法分离变量法是常用的微分方程求解方法之一，适用于可以将微分方程化为两个变量的乘积形式。

具体步骤为将方程两边分别积分，将两个变量分离开来。

2.齐次微分方程的求解对于形式为dy/dx=f(x,y)的齐次微分方程，可以通过引入新的变量进行求解。

将y=xu代入方程，化简后可得到一个容易求解的变量分离的方程。

3.常微分方程的特殊解常微分方程中可能存在特殊解，如平凡解和周期解。

平凡解是指对于某些特定的初始条件，方程的解为常数。

周期解是指解具有周期性，对于给定的初始条件，解在不同的时间点重复出现。

四、实例分析以一个简单的物理学问题为例，探讨微分方程的应用与求解技巧：问题描述：假设一个物体在无空气阻力的情况下自由下落，考虑重力对其产生的加速度。

求物体的位移随时间的变化关系。

解法分析：根据牛顿第二定律可以得到物体的运动微分方程为d²y/dt²=-g，其中y为位移，t为时间，g为重力加速度。

微分方程解法总结

微分方程解法总结微分方程（Differentialequations）是数学中的一个主要分支，它用来描述变量之间的关系，而解微分方程则是数学中的一个重要技术。

它通过描述随时间和空间的变化，来模拟机械运动、物理运动、热传导、电磁场的变化、生物学和社会科学中的变化，来获得物理解释和数学模型。

解微分方程不仅是学习级别最高的领域，也是一个极具挑战性的任务。

微分方程解法解微分方程的方法有很多，通常可以分为三类：一是直接解法，如求解线性微分方程；二是近似解法，如有限差分等；三是数值解法。

1.接解法直接解法是利用有关微分方程的性质，利用其可积性，求出两种类型的方程的解：（1）线性微分方程：主要有常系数线性微分方程、齐次线性微分方程、常数项线性微分方程，以及模拟方程。

它们具有特定的结构，可以用整体解法求解，具体求解方法有分类积分法、拉普拉斯变换法、Laplace分变换法，等。

（2）非线性微分方程：此类方程又分为一阶非线性方程和多阶非线性方程，已有的解法有解析解、变量变换等。

2.似解法近似解法主要有有限差分方法和有限元方法，它们的基本思想是将复杂的微分方程分解为一系列简单的子问题，从而求解结果。

具体而言，它们各自做法如下：（1）有限差分方法：是一种利用数值计算技术求解微分方程的方法，其核心思想是利用微分方程的连续性，将微分方程拆分为一系列子问题，然后利用格点数值来求解。

其优点是求解简单，可以应用于多维情况；缺点是容易出现误差，精度也不够高。

（2）有限元方法：是一种求解微分方程的方法，其基本思想是，将微分方程的解空间分解为一系列有限元，然后利用数值技术求解有限元的解，从而获得微分方程的解。

它的优点是可以求解多维复杂情况，精度也较高；缺点是求解较为复杂，程序也较为复杂。

3.值解法数值解法是利用数值技术求解微分方程的方法，又分为测试法（欧拉法、梯形法、龙格库塔法等）和迭代法（牛顿法、拉夫法等）两类。

试方法利用微分方程的性质，将微分方程拆分为一系列简单子问题，然后利用数值解决方案求解；迭代方法利用迭代法不断接近最终解，无需事先拆分之类的步骤，可以得到较准确的解。

常微分方程总结7页

（1）概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。

微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

如：一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y '=。

这里的()ny 是必须出现。

（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。

注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。

函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。

导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。

导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。

函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。

左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。

右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。

在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。

如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。

函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。

微分方程总结

微分方程总结一、基本概念微分方程、方程的阶、方程的解、通解、特解、初始条件、积分曲线、n 阶线性微分方程等.二、一阶微分方程1. 可分离变量的微分方程① 定义：形如+dx y g x f )()(110)()(22=dy y g x f 的方程.② 解法：分离变量，两边同除0)()(21≠x f y g ，得0)()()()(1221=+dy y g y g dx x f x f ，再积分可得通解为⎰⎰=+C dy y g y g dx x f x f )()()()(1221． 2. 齐次方程 ①定义：形如)(x yf y ='的方程. ②解法：令x y u =，则x u y ux y +='=,dx du ，于是，原方程化为)(u f dx du x u =+，整理为x dx u u f du =-)(，积分为⎰+=-C x uu f du ln )(，再将x y u =代回可得通解．注：齐次方程并非只此一种，比如)(y x f y +='也是齐次方程，只需将x y +用其他变量代换即可.3.一阶线性微分方程① 定义：形如)()(x Q y x P y =+'的方程.② 解法：常数变易法：方程通解=y ⎰+⎰⎰-])([)()(C dx e x Q e dx x P dx x P .③ 伯努利方程（i ）定义：形如)1,0()()(≠=+'n y x Q y x P y n 的方程.（ii ）解法：方程两侧同除n y 得)()(1x Q y x P y y n n =+'--，令1n z y -=，则(1)n d z d y n y dx dx -=-，代入方程化为(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx+-=-，是一阶线性微分方程，由常数变易法可得通解，再将1n z y -=代回即可.4.全微分方程①定义：对方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=，若存在(,)u x y 使得(,)(,)(,)du x y P x y dx Q x y dy =+，称(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=为全微分方程. 注：若为全微分方程，则P Q y x∂∂=∂∂. ②解法：(,)u x y C =为通解. (,)u x y 求法如下：（i ）线积分（或偏积分）法：000(,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰或 000(,)(,)(,)y xy x u x y Q x y dy P x y dx =+⎰⎰；（ii ）分项组合法（凑全微分法）：把本身已构成全微分的项分出来，其余的项凑成全微分.③ 含积分因子的微分方程（i ）定义：若P Q y x ∂∂≠∂∂，但存在(,)u x y 使得()()uP uQ y x∂∂=∂∂，即 (,)(,)(,)(,)0u x y P x y dx u x y Q x y dy +=为全微分方程，称(,)u x y为积分因子.（ii ）解法：只需求出积分因子构成全微分方程即可得通解.求积分因子方法：A. 观察法：常用全微分形式：()ydx xdy d xy +=； 2()ydx xdy x d y y-=； 2()ydx xdy y d x x -+=； (l n ||)y d x x d y x d x y y-=； 22()ydx xdy x d arctg x y y -=+； 221(ln ||)2ydx xdy x y d x y x y--=-+. B. 两个特殊的积分因子：a. 若()P Q y x x Qϕ∂∂-∂∂=仅与x 有关，则方程可有积分因子()()x dx u x e ϕ⎰=； b. 若()P Q y x y Pψ∂∂-∂∂=-仅与y 有关，则方程可有积分因子()()y dy u y e ψ⎰=. 5. 一阶微分方程的解题程序①审视方程，判断方程类型；②根据不同类型，确定解题方案.三、高阶微分方程1. 可降阶的高阶方程①)()(x f y n =型：积分n 次，可得通解.②),(y x f y '=''型：不显含y 的二阶方程，令p y ='，则p y '=''原方程化为 ),(p x f p ='，是一阶方程，设其解为),(1C x p ϕ=，即),(1C x y ϕ='，则原方程的通解为⎰+=21),(C dx C x y ϕ.③),(y y f y '=''型：不显含x 的二阶方程，令p y ='，把p 看作y 的函数，则dydp p dx dy dy dp dx dp y =∙==''把y '、y ''的表达式代入原方程，得 ),(1p y f pdx dp =，是一阶方程，设其解为),(1C y p ϕ=，即 ),(1C y dx dy ϕ=，则原方程的通解为⎰+=21),(C x C y dy ϕ. 2. 高阶线性微分方程① 定义：方程)()()()1(1)(x f y x a y x a y n n n =+++- ①称为非齐次线性微分方程；方程0)()()1(1)(=+++-y x a y x a y n n n ②称为相应于方程①的齐次线性微分方程．② 通解结构定理1 设n y y y ,,,21 是方程②的n 个线性无关解，则方程②的通解为n n y c y c y c y +++= 2211，其中n c c c ,,,21 为独立的任意常数．定理2 设)(0x y 是方程①的一个特解，n y y y ,,,21 是方程②的n 个线性无关解，则方程①的通解为n n y c y c y c y y ++++= 22110，其中n c c c ,,,21 是独立的任意常数．定理3 右端为p f f f +++ 21的线性非齐次方程①的特解等于具有同一左端，右端分别为p f f ,,1 的方程①的特解的和．3. 二阶常系数齐次线性微分方程① 定义：方程0=+'+''qy y p y ③称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中q p ,均为常数.②解法：特征方程：02=++q p λλ，（i ）当21,λλ为相异的特征根时，方程③通解为x x e C e C x y 2121)(λλ+=；（ii ）当21λλ=时，通解为x e x C C x y λ)()(21+=；（iii ）当βαλi ±=（复根）时，通解为)sin cos ()(21x C x C e x y ax ββ+=．4. 二阶常系数非齐次线性微分方程①定义：方程)(x f qy y p y =+'+''④称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中q p ,均为常数.② 解法：方程④所对应的齐次方程是方程③，通解是Y ，只需找到非齐次方程④的特解*y 与Y 相加即为④的通解.*y 求法如下：（i ）若x n e x p x f λ)()(=，其中)(x p n 为x 的n 次多项式，则*()k x n y x Q x e λ=，其中)(x Q n 是n 次多项式，012k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是特征根是特征单根是特征重根；（ii ）若]sin )(cos )([)(x x p x x p e x f l n x ωωλ+=，其中)(x p n 、)(x p l 分别为x 的n 、l 次多项式，则*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+，其中)()1(x R m 、)()2(x R m 是m 次多项式，max{,}m l n =，01i k i λωλω+⎧=⎨+⎩不是特征根是特征单根. 5. 欧拉方程① 定义：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同的方程，即形如)()1()1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++--- 的方程称为欧拉方程，其中),,2,1(n i p i =为常数．②解法：令 t e x =，即x t ln =，把y 看作t 的函数，则Dy dt dy y x =='， y D D dtdy dt yd y x )1(222-=-=''，……，y n D D D y x n n )1()1()(+--= ，于是欧拉方程化为)()2()1()1()1(1t n e f y p y n D D D p y n D D D =+++--++-- ，是常系数线性微分方程，解出)(t y y =；则)(ln x y y =就是欧拉方程的解．。