巧用二次函数图象的对称性解题解析

巧用二次函数图象的对称性解题解析

新盈中学王永升

2010-6-29

二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。

分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式

来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。

另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题

目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。因此

我们可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一

个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的

交点式来求解析式。设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。

本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。

例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。

我们也可以用二次函数的对称性来解题。由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数

y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。

相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。

我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。

下面仅以a>0时为例进行解答。当a<0时也是成立的。

由二次函数的对称性可知，x1+x2在第一个图中为点D的横坐标，在第二个图中为点F的横坐标，而求当x=x1+x2时的y值也就是求此两点的纵坐标，再由对称性可知，在第一个图中点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，在第二个图中点F的纵坐标与点D的纵坐标相同，均为二次函数与y轴交点的纵坐标。

所以，对于二次函数y= ax2+bx+c（a≠0），当x取x1、x2时，

y值相等（x1≠x2），则当x取－b

2a

时，y值为顶点纵坐标的值，即y=4ac-b2/4a，当x取x1+x2时，y值为二次函数与y轴交点的纵坐标，即y=c。