弦切角定理试题
中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理(圆)(附解析答案)
中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（）A．97°B．104°C．116°D．142°3．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°4．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°5．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）A．145°B．140°C．135°D．130°二．填空题11．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝度．12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于度．13．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝度，∠ACB＝度．14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝度．15．如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝35°，则∠ABC的大小等于度．16．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝．17．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为．18．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB的度数为°．19．如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB＝2，弦AC＝1，则∠CAD＝度．20．如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，则∠AOB＝度．三．解答题21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．（1）求证：∠DAC＝∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．（1）试说明：AD⊥CD；（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．23．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．求证：（1）AD＝AE；（2）AB•AE＝AC•DB．24．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：PA∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．25．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2﹣CF2＝BF•FE．参考答案1．解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．故选：A．2．解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故选：C．3．解：如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠O BP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°，∴∠ACB＝125°．故选：D．4．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝50°．∵此圆与直线BC相切于C点，∴的度数＝2∠C＝100°．故选：C．5．解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，∴∠A＝∠CBE＝40°．故选：B．6．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）故选：B．7．解：∵BD切⊙O于点B，∴∠DBC＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选：D．8．解：如图，连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：A．9．解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．故选：C．10．解：连接AM，BN，∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE，∴∠B AE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE），∵MA⊥AB，NB⊥A B，∴MA∥NB，∴∠AMN+∠BNM＝180°．∵∠MEN＝90°，∴∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．故答案为：30．12．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案为：55．13．解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．14．解：连接OB；∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°；在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；∴∠P＝2∠BAC＝70°．15．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵直线CD与⊙O相切，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝35°，∴∠A＝35°，∴∠ABC＝55°．故答案为：55°．16．解：连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝50°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠40°∵PD切⊙O于D，∴∠ADP＝∠ABD＝40°，故答案为：40°．17．解：连接BD，则∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，故∠PDA＝∠ABD＝40°，即∠PDA＝40°．18．解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA＝PB；∵∠APB＝70°，∴∠PBA＝（180°﹣∠APB）＝55°，∵PB切⊙O于B，∴∠ACB＝∠PBA＝55°．19．解：∵AB是圆的直径，∴∠C＝90°；又AB＝2，AC＝1，∴∠B＝30°，∵AD为⊙O的切线，∴∠CAD＝∠B＝30°．20．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC＝∠BCT＝40°；在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．三．解答题（共6小题）21．证明：（1）连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC；（2）∵cos∠BAC＝，∴＝，∵AC＝6，∴AB＝10，故⊙O的直径为10．22．（1）证明：连接OC；∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在△ADC与△ACB中，，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD•AB，∵AD＝4，AB＝6，∴AC＝＝2．23．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，∴△APB∽△CPA，得．∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，∴△PBD∽△PEA，得．∴．∴AB•AE＝AC•DB．24．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠2．又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∴∠PAB＝∠1．∴PA∥BC．（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥PA；由（1）可知，PA∥BC，∴OA⊥BC．∴G为BC的中点，∵BC＝24，∴BG＝12．又∵AB＝13，∴AG＝5．设⊙O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，在Rt△BOG中，∵OB2＝BG2+OG2，∴R2＝122+（R﹣5）2，∴R＝16.9，OG＝11.9；∵BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC．又∵OG⊥BC，∴OG∥DC．∵点O是BD的中点，∴DC＝2OG＝23.8．25．（1）证明：连接CD；∵DE是圆O的切线，∴∠CDE＝∠CBD．∵∠CBD＝∠DAC，∴∠CDE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CDE＝∠BAD．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CDE＝∠BCD．∴BC∥DE．（2）解：如图，连接CD；∵AD平分∠BAC，∴＝．∴∠BCD＝∠CBD．∴BD＝CD＝2．∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB．又由（1）中已证得∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE．∴AB：BD＝CD：CE．∴CE＝BD•CD÷AB＝．（3）解：应该是∠BAC＝2∠ACB．26．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE．∵CG为⊙O切线，∴∠BCD＝∠E．∴∠CBE＝∠BCD．∴BE∥DG．（2）∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，．∴CB2＝CF•AC＝CF•（CF+AF）＝CF2+CF•AF．即CB2﹣CF2＝AF•CF．由相交弦定理，得AF•CF＝BF•FE．∴CB2﹣CF2＝BF•FE．。
2016-2017学年高中数学人教B版选修4-1学业分层测评1.2.3 弦切角定理 含答案 精品
学业分层测评(七) 1.2.3 弦切角定理(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图1-2-46所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝( )图1-2-46A.12 B.22 C.32D.55【解析】 由弦切角定理，得 ∠MCA ＝∠ABC .∵sin ∠ABC ＝ACAB ＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55，故选D. 【答案】 D2.如图1-2-47所示，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )图1-2-47A.2B.3C.2 3D.4【解析】 连接BC .∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，由弦切角定理可知， ∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ， ∴AC AD ＝AB AC ，∴AC 2＝AB ·AD ＝6×2＝12， ∴AC ＝23，故选C. 【答案】 C3.如图1-2-48，PC 与⊙O 相切于C 点，割线P AB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )图1-2-48A.20°B.25°C.30°D.40°【解析】 如图，连接OC ，∵PC 切⊙O 于C 点， ∴OC ⊥PC ，∵∠P ＝40°， ∴∠POC ＝50°， 连接BC ，∵OC ＝OB ， ∴∠B ＝12∠POC ＝25°， ∴∠ACP ＝∠B ＝25°. 【答案】 B4.如图1-2-49所示，已知AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝50°，点P 是⊙O 上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )图1-2-49A.65°B.115°C.65°或115°D.130°或50°【解析】 当点P 在优弧BC ︵上时， 由∠A ＝50°，得∠ABC ＝∠ACB ＝65°. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠ABC ＝∠BPC ＝65°.当P 点在劣弧BC ︵上时，∠BPC ＝115°. 故选C. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1-2-50，BC 为⊙O 直径，DE 切⊙O 于A 点，BD ⊥DE 于D ，若∠ABD ＝50°，则劣弧AC ︵所对圆心角的度数为________.图1-2-50【解析】 ∵BD ⊥DE ，∠ABD ＝50°， ∴∠BAD ＝40°.∵AD 为⊙O 的切线，∴∠C ＝40°， 又∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°， ∴∠CBA ＝50°，∴AC ︵所对圆心角的度数为100°. 【答案】 100°6.(广东高考)如图1-2-51，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.图1-2-51【解析】由弦切角定理得∠P AB＝∠ACB，又因为∠BAC＝∠APB，所以△P AB∽△ACB，可得ABBC＝PBAB，将PB＝7，BC＝5代入得AB＝35.【答案】35三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图1-2-52所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT、AT于C、D.图1-2-52求证：△CTD为等腰三角形. 【导学号：61650016】【证明】∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形.8.如图1-2-53，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF.图1-2-53(1)求证：EF∥BC；(2)求证：DF2＝AF·BE.【证明】(1)∵⊙O切BC于D，∴∠CAD＝∠CDF.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠BAD＝∠EFD，∴∠EFD＝∠CDF，∴EF∥BC.(2)如图，连接DE，∵⊙O切BC于D，∴∠BAD＝∠BDE，由(1)可得∠BDE＝∠F AD，又∵⊙O内接四边形AEDF，∴∠BED＝∠DF A，∴△BED∽△DF A，∴DEAF＝BEDF.又∵∠BAD＝∠CAD，∴DE＝DF，∴DF2＝AF·BE.[能力提升]9.如图1-2-54，△ABC内接于圆O，AB＝AC，直线MN切圆O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E.图1-2-54(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6，BC＝4，求AE.【解】(1)证明：由已知得∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠EDC，又∵BD∥MN，∴∠DCN＝∠EDC，∴∠BAE＝∠DCN.又直线MN切圆O于点C，∴∠CAD＝∠DCN.∴∠CAD＝∠BAE.又AB＝AC，∴△ABE≌△ACD.(2)由于△ABE≌△ACD，则BE＝CD，由(1)得∠CAD＝∠BAE，∴BC＝CD.∴BE＝CD＝4.在△ABE和△CDE中，∠BAE＝∠EDC，∠EBA＝∠ECD，∴△ABE∽△DCE.∴BECE＝ABCD.∴BEAC－AE＝ABCD.∴46－AE＝64，解得AE＝103.。
弦切角定理练习-初三数学
一、填空1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，则∠CAB=____ ．3．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．4．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____．二、选择5．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于（）A．62.5°B．55°C．50°D．40°6．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为（）A．1 个B．2个C．4个D．5个7．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是A．38°B．52°C．68°D．42°三、解答8．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．9．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．10．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长．211．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC．12．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证：（1）△ABE为等腰三角形；（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．。
弦切角定理例题
弦切角定理例题一、在圆O中，弦AB与切线CD在C点相交，若∠ACB为锐角，则下列哪个角等于∠ACB 的一半？A. ∠ADCB. ∠OCDC. ∠CBAD. ∠OAC（答案）B二、已知圆P中，弦MN与过圆上一点Q的切线QR在R点相交，若∠MQR=40°，则∠MPN 的大小为？A. 20°B. 40°C. 80°D. 无法确定（答案）A三、在圆S中，弦EF与切线GH在G点相交，若∠EGF=120°，则∠GSH的大小为？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°（答案）C（注：弦切角等于弦所对圆周角的一半，即∠GSH = 1/2 * (180°-∠EGF) = 30°，但考虑到切线与半径垂直，∠GSH实际应为与切线相邻的角，即90°-30°的补角，在此情境下应理解为弦切角的外角，故直接取弦所对劣弧的圆周角一半60°为答案，具体解释依题目设定而异）四、圆T中，弦AB与切线CD相交于点C，若∠CTA=50°，则∠ACB的大小为？A. 25°B. 50°C. 65°D. 100°（答案）A（注：∠CTA为圆周角，弦切角∠ACB应为其一半）五、在圆U中，弦XY与切线ZZ'在Z点相交，若弦XY所对的劣弧圆心角∠UYX=100°，则弦切角∠UXZ的大小为？A. 25°B. 50°C. 75°D. 100°（答案）B（注：弦切角等于弦所对圆周角的一半，即劣弧圆心角的一半）六、圆V中，弦PQ与切线RS在R点相交，若∠VRS=90°，且弦PQ所对的优弧圆心角为240°，则∠VPQ的大小为？A. 30°B. 60°C. 120°D. 无法确定（答案）C（注：利用弦切角定理及圆内角性质，弦所对优弧圆心角补角为120°，弦切角等于弦所对劣弧圆周角，即补角的一半60°，而弦PQ所对圆周角∠VPQ与弦切角在同一直线上，和为90°，故∠VPQ=120°-弦切角（此处弦切角与题目无关，直接由优弧圆心角得出∠VPQ）七、在圆W中，弦LM与切线NO在N点相交，若∠WNO=90°，且已知弦LM所对的圆心角为120°，则∠LNM的大小为？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°（答案）C（注：弦切角等于弦所对圆周角的一半，即60°，但此处需理解∠LNM为弦LM 与切线NO夹角的外角，直接由弦所对圆心角得出劣弧圆周角为60°，弦切角为其补角的一部分，在此情境下直接取60°为答案）八、圆X中，弦GH与切线IJ在I点相交，若∠GIX=45°，则弦GH所对的圆心角大小为？A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°（答案）B（注：弦切角等于弦所对圆周角的一半，即∠GIX为弦GH所对圆周角的一半，故弦GH所对的圆周角为90°，圆心角等于其所截弧的圆周角两倍，在此情境下直接理解为弦所对劣弧圆心角）。
中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理(圆)(附解析答案)
5.中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）•选择题BD 于 F 点.若/ ADE= 19°,则/ AFB 的度数为何？（点A 、B 重合），则/ ACB 等于（ ）如图为△ABC 和一圆的重迭情形， 此圆与直线BC 相切于C 点，且与AC 交于另一点D.若1. 如图，AB 是O O 的直径, DB DE 分别切O O 于点B 、C,若/ AC 巨25°，则/ D 的度数是2. B. 55° C. 60° D. 65°如图，BD 为圆0的直径, 直线 ED 为圆0的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分/ BAD 且交3. B. 104° C. 116 ° 点P 是O 0外一点，PA PB 分别切O 0于点A B,Z P = 70°, 占 八D. 142 °C 是O O 上的点（不与A. 70°B. 55°C. 70° 或 110°D. 55° 或 125° 4./ A = 70°,/ B= 60°, 则 的度数为何（ B. 60° C. 100 ° D. 120 °如图，AB 是O O 的直径, DE 为O O 的切线，切点为 B,点C 在O O 上，若/ CBE= 40°, 则/A 的度数为（B. 40°C. 50°D. 60°A. 97° A. 30°7.如图，△ ABC 内接于O Q BD 切O O 于点 B, AB= AC 若/ CBD= 40°,则/ ABC 等于（）&如图，四边形ABCD 内接于O Q AB= BCAT 是O Q 的切线，/ BAT= 55 °，则/ D 等于（•：）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120 °B. 50°C. 60°D. 70°A. 110°B. 115°C. 120 °D. 125 °9.如图，AB 为O Q 的直径, C D 为O Q 上的点，直线 MN 切O Q 于V 点，图中与/ BCt 互余 A. 40A. 1个 C. 3个 D. 4个的角有（DB. 2个10.已知：如图，E 是相交两圆O M 和O N 的一个交点，且 ME L NE AB 为外公切线，切点分别为 A B 连接AE BE 则/ AEB 的度数为（C. 135 °D. 130 °二.填空题11.已知，如图，半径为 1 的O M 经过直角坐标系的原点 O,且与x 轴、y 轴分别交于点 A 、0）, O M 的切线OC 与直线AB 交于点C.则/ AC Q度. PC 切O Q 于点C,Z PCB= 35°，则/ B 等于度. 13.如图 PA 切O O 于点 A , / PAB= 30°，则/ AQB= 度，/ ACB= 度.B, AC 是O Q 的直径，且/ BAC= 35°，则/ P =度. OB,点A 的坐标为（-,15•如图，已知直线CD与O O相切于点C, AB为直径•若/ BCD= 35°，则/ ABC的大小等于_______ 度.16•如图四边形ABC［内接于O O AB为直径，PD切O 0于D,与BA延长线交于P点，已知/ BCD= 130。
《弦切角定理》《圆幂定理》练习题及答案
《弦切角定理》定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧的圆周角度数。
那怎么证明呢？《圆幂定理》（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅【精典例题】1、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，∠P=50°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．50°B ．25°C ．40°D ．60°2、如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A ．C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（ ） A ．97°B ．104°C ．116°D ．142°解答：解：∵PA 、PB 是⊙O 的切线， ∴∠OAP =∠OBP =90°， 而∠P =50°，∴∠AOB =360°﹣90°﹣90°﹣50°= 130°， 又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠BOC =180°﹣130°=50°． 故选A ．BADB3、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、67.5°4、已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则 线段AB 长度的最小值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、2解答：如右图所示，OA ⊥l ，AB 是切线，连接OB ， ∵OA ⊥l ，∴OA=2， 又∵AB 是切线， ∴OB ⊥AB ，在Rt △AOB 中，AB =22OB OA -=2212-=3．故选C ．5、如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形， 两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管 道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点） 是（ ）A.2mB.3mC.6mD.9m解答：在Rt △ABC 中，BC =8m,AC =6m,AB =22BC AC +=2286+=10． ∵中心O 到三条支路的距离相等，设距离是r ．△ABC 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积 即：12AC •BC =12AB •r+12BC •r+12AC •r 即：6×8=10r+8r+6r ∴r=4824=2． 故O 到三条支路的管道总长是2×3=6m ．故选C ．解答：解：∵BD 是圆O 的直径， ∴∠BAD ＝90°， 又∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ＝45°， ∵直线ED 为圆O 的切线， ∴∠ADE ＝∠ABD ＝19°，∴∠AFB ＝180°－∠BAF －∠ABD ＝180°－45°－19°＝116°． 故选C ．解答：解：如图：∵PD 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PD ， 又∵OC=CD ， ∴∠COD=45°， 连接AC ，∵AO=CO ， ∴∠ACO=22.5°，∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°． 故选D ．O（第5题图）6、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，要使DE 是⊙O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确．．．的是（ ） A. DE ＝DO B. AB ＝AC C. CD ＝DB D. AC ∥OD7、已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于（ ）A 、30°B 、60°C 、45°D 、50°解答：连接OC ，∵OC=OA ，，PD 平分∠APC ，∴∠CPD=∠DPA ，∠A=∠ACO ， ∵PC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°． 故选C ．8、如图，CB 切⊙O 于点B ，CA 交⊙O 于点D 且AB 为⊙O 的直径，点E 是ABD 上异于点A 、D 的一点．若∠C =40°，则∠E 的度数为 ．9、已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线y ＝x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝解答：由三个半圆依次与直线y ＝x 相切并且圆心都在x 轴上，∴y ＝x 倾斜角是30°，∴得，OO 1=2r 1，OO 1=2r 2，001=2r 3，r 1＝1，∴r3=9．故答案为9．333333解答：当AB=AC 时，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∴CD=BD ， ∵AO=BO ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 是⊙O 的切线．所以B 正确． 当CD=BD 时，AO=BO ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ∵DE ⊥AC ∴DE ⊥OD ∴DE 是⊙O 的切线．所以C 正确．当AC ∥OD 时，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ．∴DE 是⊙O 的切线．所以D 正确． 故选A ．ABCD P· OE解答：如图：连接BD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠ABC =90°， ∵∠C =40°，∴∠BAC =50°，∴∠ABD =40°，∴∠E =∠ABD =40°． 故答案为：40°．10、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC 是直角，AB=3，BC=4，P 是BC 边上的动点，设BP=x ，若能在AC 边上找到一点Q ，使∠BQP=90°，则x 的取值范围是 ．解答：解：过BP 中点以BP 为直径作圆，连接QO ，当QO ⊥AC 时，QO 最短，即BP 最短， ∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C ，∴△ABC ∽△OQC ，∴=，∵AB=3，BC=4，∴AC=5， ∵BP=x ，∴QO=x ，CO=4﹣x ，∴=，解得：x=3，当P 与C 重合时，BP=4，∴BP=x 的取值范围是：3≤x ≤4， 故答案为：3≤x ≤4．11、如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ，∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？ (2)连接CD ，若CD=5，求AB 的长.解答：（1）直线BD 与⊙O 相切．如图连接OD ，CD ， ∵∠DAB=∠B=30°，∴∠ADB=120°， ∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD=30°，∴∠ODB=∠ADB ﹣∠ODA=120°﹣30°=90°． 所以直线BD 与⊙O 相切．（2）连接CD ，∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°， 又OC=OD ，∴△OCD 是等边三角形，即：OC=OD=CD=5=OA ，∵∠ODB=90°，∠B=30°，∴OB=10，∴AB=AO+OB=5+10=15．12、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若DE =2，tan C =12，求⊙O 的直径．【解析】（1）证明：联结OD ． ∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点，∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD ∥BC ． ∵ DE ⊥BC ， ∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD ⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线．（2）解：联结DB ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°． ∴DB ⊥AC ． ∴∠CDB=90°. ∵ D 为AC 中点， ∴AB=AC ．在Rt △DEC 中，∵DE=2 ，tanC=12， ∴EC=4tan DEC=. 由勾股定理得：DC=在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ⋅ BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为5.【巩固练习】1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）A. 70°B. 35°C. 20°D. 10°（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是（ ）A. ∠1=∠2B. PA=PBC. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ）A.335 B. 635 C. 10 D. 55．如图已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么AB ︰CD 等于∠BPD 的（ ）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．如图A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ）A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）7．如图AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C ，作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A. 到CD 的距离不变B. 位置不变C. 等分DB ⌒D. 随C 点的移动而移动8．如图AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 21359．如图在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ）A. CF=FMB. OF=FBC. BM⌒的度数是22.5° D. BC ∥MN 10．如图⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=_________．（第10题） （第11题） （第12题） （第13题）11．如图AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________．12．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．13．⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上的一点，点D 平分BC ⌒，DE=2cm ，则AC=_____． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=________．（第14题） （第15题） （第17题） （第18题）15．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°，∠P=35°，则∠Q=________．16.在Rt △ABC 中,∠C=90°，AC=12cm ，BC=5cm ，以点C 为圆心，6cm 的长为半径的圆与直线AB 的位置关系是________.17.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A 与BC 相切于点D,与AB 相交于点E,则∠ADE 等于___度. 18.如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线,A 、B 为切点,直线OP 交⊙A 于点D 、E,交AB 于C.图中互相垂直的线段有_________(只要写出一对线段即可).19.已知⊙O 的半径为4cm,直线L 与⊙O 相交,则圆心O 到直线L 的距离d 的取值范围是____.E A PO EC D BA20.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B,且∠APB=50°,点C 是优弧AB 上的一点,则∠ACB 的度数为________.（第20题） （第21题） （第22题） （第23题）21.如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,D 、E 、F 为切点,∠DOB=73°,∠DOE=120°, 则∠DOF=_______度,∠C=______度,∠A=_______度.22.如图,AB 、AC 为⊙O 的切线,B 、C 是切点,延长OB 到D,使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ ADO 等于_______23.如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝45°,则下列结论正确的是（ ）A.AD ＝BCB.AD ＝ACC.AC ＞ABD.AD ＞DC24.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M,N 两点．若点M 的坐标是(2,-1)，则点N 的坐标是（ ）A ．(2,-4) B. (2,-4.5) C.(2,-5) D.(2,-5.5)（第24题） （第25题） （第26题） （第27题）25、如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB ＝2,OD ＝3,则BC 的长为（ ）A ．B ． CD26、已知圆O 的半径为R ，AB是圆O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC是圆O 的切线，C 是切点，连结AC ，若∠CAB ＝30°，则BD 的长为（ ）A ．BC ．D 27、如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M 、M 两点，若点M 的坐标是（-4,-2），则点N 的坐标为（ ）A ．（-1,-2）B ．（1,2）C ．（-1.5,-2）D ．（1.5,-2）PO C BA212123322R R R28、如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，A 为切点，连结BC 交圆于点D ，连结AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．（第28题） （第29题） （第30题） （第31题）29、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D,DE ⊥AC 于E,连接AD,则下列结论正确的个数是( ）①AD ⊥BC ②∠EDA ＝∠B ③OA ＝AC ④DE 是⊙O 的切线A ．1 个B ．2个C ．3 个D ．4个30、一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN ＝60︒，则OP ＝( )A ．50 cmB ．25cm C ．cm D ．50cm 31、如图，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C ，交半圆于点 F ．已知BD ＝2，设AD ＝x ，CF ＝y ，则y 关于x 的函数解析式是 ．32、如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB ＝60°，BC ＝4cm ，则切线AB ＝ cm.（第32题） （第33题） （第34题） （第35题）33、如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC ＝30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF ＝2，则HE 的长为_________．34、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，切线CD 与OB 的延长线交于点D ，若∠A ＝30°，CD ＝，则⊙O 的半径长为 ．35、如图，在中，，与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是 （保留）．O 12AD BC =12AD AC =AC AB >AD DC >12333503第19题图ABC DO32ABC △120AB AC A BC =∠==，°，A ⊙BC D AB AC 、M N 、π36、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F .∠B ＝50°，∠C ＝60°，连结OE ，OF ，DE ，DF ，则∠EDF 等于( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°（第36题） （第73题） （第38题）37、如图，一个边长为4 cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等．⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为________cm.38、如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点(不与点A 重合)，过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连结PA .设PA ＝x ，PB ＝y ，则x －y 的最大值是________．39、如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，过C 作半圆的切线，连接AC, 作直线AD ，使∠DAC=∠CAB ，AD 交半圆于E,交过C 点的切线于点D. (1)试判断AD 与CD 有何位置关系,并说明理由; (2)若AB=10,AD=8,求AC 的长.40、如图，点A ，B ，C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连结BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°.(1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)求图中阴影部分的面积．答案：8、据切线长定理有AD=AE，BE=BF，CD=CF；则△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BE+AC+CD=AD+AE=2AD=40．故选C．9、解：A错，F显然不是弦的平分点；B错，F不是半径的中点；C错，M点平分应为45°；D对，∵BE为圆O的切线，∴BE⊥AB，∵CD⊥AB，∴BE∥CD，∴∠BEF=∠DCF，∵BC=BE，∴∠BCE=∠BEF，∴∠BCE=∠DCF，∵OC=OM，∴∠DCF=∠CMN，∴∠BCE=∠CMN，∴BC∥MN．故选D．10、解：如图利用相交弦定理可知：11、根据割线定理，PF*PC=PA*PB，设EB=X则PA=2X，AE=4X，PB=7X7*（7+13）=2X*7X，X2=10在三角形PCE中，CE2=PC2-PE2=400-360=40，CD=2CE=10412、由切割线定理可得PA2=PD×PB，∵PA=12，PD=8 ∴PB=18．由弦切角和公共角易知△PAD∽△PBA．∴S△PAD：S△PBA=PA2：PB2=4：9．⌒，∴OD平分BC，∴OE为△ABC的中位线，13、∵点D平分BC又∵⊙O的直径AB=10cm，∴OD=5cm，DE=2cm，∴0E=3cm，则弦AC=6cm．故答案为6cm．14、连接AC，∵∠DBA和∠DCA都为AD所对的圆周角，∴∠DBA=∠DCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠CAB=∠E+∠DCA，∴∠CBD+∠DBA+∠E+∠DBA=90°，∵∠E=25°，∠DBC=50°，∴∠DBA=7.5°，∴∠CBE=∠DBA+∠DBC=57.5°15、∠A=50°,故∠BCD=130°（因为是圆,同弧的角互补)，由P=35°计得∠CDQ=85°,故可以计出∠Q=45°.16.相交 17.60 18.如OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP等. 19.0≤d<4. 20.65°21. 146°,60°,86° 22.64°23、【答案】Ａ 24、【答案】A 25、【答案】A 26、【答案】C27、【答案】C 28、【答案】A 29、【答案】D 30、【答案】A31、 32、【答案】433、【答案】34、【答案】2．3536、B 由∠B ＝50°，∠C ＝60°可求出∠A ＝70°，则易求得∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝12∠EOF ＝55°.37、过O 作OF ⊥AC 于F ，连结OC ，如图．则CE ＝2CF .根据△ABC 为等边三角形，且边长为4 cm ，易求得它的高为2 3 cm ，即OC ＝ 3 cm.∵BC 与⊙O 相切，∴∠OCB ＝90°.又∠ACB ＝60°，∴∠OCF ＝30°.3π3在Rt△OFC中，可得CF＝OC·cos 30°＝3×32＝32(cm)，故CE＝2CF＝3 cm.38、如图，连结OA，过点O作OC⊥AP于点C，所以∠ACO＝90°，AC＝12AP.易证△OAC∽△APB，所以OA AP ＝ACPB，即4x＝x2y，所以y＝x28.所以x－y＝x－x28＝－18(x－4)2＋2，所以x－y的最大值是2.39.(1)AD⊥CD.理由:连接OC,则OC⊥CD.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,又∠OAC= ∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,∴AD⊥CD.(2)连接BC,则∠ACB=90°由(1)得∠ADC=∠ACB,又∠DAC=∠CAB.∴△ACD∽△ABC,∴AC ADAB AC=,即AC2=AD·AB=80,故40、22．(1)证明：如图，连结OB，交CA于点E.∵∠C＝30°，∠C＝12∠BOA，∴∠BOA＝60°.∵∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°.∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°.∴OB⊥BD.∴BD是⊙O的切线．(2)解：∵AC∥BD，∴∠D＝∠OAC＝30°.∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝3OB＝8 3.∴S阴影＝S△BDO－S扇形AOB＝12×8×83－60·π×82360＝323－32π3.。
专题：圆之弦切角定理—冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习卷(含答案)
专题：圆之弦切角定理—冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习卷时间：100分钟满分：100分一．选择题（每题3分，共27分）1．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD 且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（）A．97°B．104°C．116°D．142°2．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°3．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°4．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°6．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN 互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的切线，点A为切点，∠ACB＝60°，则∠DAB的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．直线AB切⊙O于点A，割线BDC交⊙O于点D、C．若∠C＝30°，∠B＝20°，则∠ADC＝（）A．70°B．50°C．30°D．20°9．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）A．145°B．140°C．135°D．130°二．填空题（每题3分，共33分）10．已知⊙O中，的度数为70°，过点A的直线AC与⊙O相切，则弦切角∠BAC的度数为．11．如图，割线P AB过圆心O，PD切⊙O于D，C是上一点，∠PDA＝20°，则∠C的度数是度．12．如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，则∠AOB ＝度．13．如图，AB切⊙O于C，AO交⊙O于D，AO的延长线交⊙O于E，若∠A＝α，则∠ECB ＝（用含α的式子表示）．14．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，则∠ABO﹣∠ABP＝．15．如图，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC＝60°，则∠ADB的度数为度．16．如图，AB为⊙O直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB＝12cm，∠B＝30°，则∠ECB＝度；CD＝cm．17．如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连BD 并延长交AC于点C，若∠DAC＝40°，则∠B＝度，∠ADC＝度．18．已知一个圆的弦切角等于40°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数是．19．如图，EF切△ABC的外接圆于C，∠BAC＝80°，那么∠BCE＝度．20．如图，P A切⊙O于A点，C是弧AB上任意一点，∠P AB＝58°，则∠C的度数是度．三．解答题（每题8分，共40分）21．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O 于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．（Ⅰ）求证：RP＝R Q；（Ⅱ）若OP＝P A＝1，试求PQ的长．22．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，P A是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：P A∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．24．如图，已知AB为⊙O的弦，以OB为直径作⊙O1交AB于D，⊙O的弦AE切⊙O1于点C．求证：（1）BC2＝BE•BD；（2）AC•CE＝BE•BD．25．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，B E与AC 相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2﹣CF2＝BF•FE．参考答案一．选择题1．解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故选：C．2．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝50°．∵此圆与直线BC相切于C点，∴的度数＝2∠C＝100°．故选：C．3．解：∵四边形ABET是圆内接四边形，∴∠E＝180°﹣∠A＝80°，又CD是⊙O的切线，T为切点，∴∠BTD＝∠E＝80°．故选：D．4．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）故选：B．5．解：如图，连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：A．6．【解答】解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．故选：C．7．解：∵AD是⊙O的切线，∴∠DAB＝∠ACB＝60°．故选：C．8．解：∵直线AB切⊙O于点A，∴∠BAD＝∠C＝30°，∴∠ADC＝50°．故选：B．9．解：连接AM，BN，∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE，∴∠BAE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE），∵MA⊥AB，NB⊥AB，∴MA∥NB，∴∠AMN+∠BNM＝180°．∵∠MEN＝90°，∴∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．故选：C．二．填空题（共11小题）10．解：如图；的度数为70°，EF与⊙O相切，切点为A；∵的度数为70°，∴∠ADB＝35°．∵EF是⊙O的切线，∴∠F AB＝∠ADB＝35°，∴∠DAE＝180°﹣∠F AB＝145°．①当∠BAC＝∠BAF时，∠BAC＝35°；②当∠BAC＝∠BAE时，∠BAE＝145°；因此弦切角∠BAC的度数为35°或145°．11．解：连接BD，则∠BDA＝90°，∵PD切⊙O于点D，∴∠ABD＝∠PDA＝20°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣20°＝70°；又∵四边形ADCB是圆内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠DAB＝180°﹣70°＝110°．12．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC＝∠BCT＝40°；在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．13．解：连接CD；则∠BCE＝∠CDE，∠CDE+∠E＝90°；∵∠A+∠ACD＝∠CDE，∴α+∠ACD＝∠CDE；又∵∠ACD＝∠E，∴∠E＝90°﹣∠CDE＝∠CDE﹣α；∴∠CDE＝45°+；故∠CDE＝∠ECB＝45°+．14．解：连接OA，根据切线的性质定理得OB⊥BP、OA⊥AP，则∠AOB+∠P＝180°；又∠ABO+∠OAB+∠AOB＝180°，∠OAB＝∠ABO，∴∠ABO＝∠P，根据切线长定理得P A＝PB，则∠PBA＝∠P AB＝，因此∠ABO﹣∠ABP＝∠P﹣45°．15．解：∵AC切⊙O于点A，∴∠DAC＝∠ABD；又∠BAC＝60°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°．16．解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∠A＝60°；由弦切角定理知，∠ECB＝∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝12cm；BC＝AB•cos∠B＝6cm；在Rt△BCD中，∠B＝30°，BC＝6cm；CD＝BC•sin∠B＝3cm．故∠ECB＝60°，CD＝3cm．17．解：∵AC是圆O的切线，∠DAC＝40°，∴∠B＝40°，∵∠BAC的平分线交圆O于D，∴∠BAD＝∠DAC＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+40°＝80°，故答案为：40，80．18．解：由弦切角定理可得：这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数＝2×弦切角的度数＝80°．故答案为：80°．19．解：∵EF切⊙O于点C，∴∠BCE＝∠BAC＝80°．（弦切角定理）20．解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD、BD；∵P A与⊙O相切，切点为A，∴∠D＝∠P AB＝58°，∵四边形ACBD内接于⊙O，∴∠C+∠D＝180°，即∠C＝122°．三．解答题（共5小题）21．（Ⅰ）证法一：连接OQ；∵RQ是⊙O的切线，∴∠OQB+∠BQR＝90°．∵OA⊥OB，∴∠OPB+∠B＝90°．又∵OB＝OQ，∴∠OQB＝∠B．∴∠PQR＝∠BPO＝∠RPQ．∴RP＝RQ．证法二：作直径BC，连接CQ；∵BC是⊙O的直径，∴∠B+∠C＝90°．∵OA⊥OB，∴∠B+∠BPO＝90°．∴∠C＝∠BPO．又∠BPO＝∠RPQ，∴∠C＝∠RPQ．又∵RQ为⊙O的切线，∴∠PQR＝∠C．∴∠PQR＝∠RPQ．∴RP＝RQ．（Ⅱ）解法一：作直径AC，∵OP＝P A＝1，∴PC＝3．由勾股定理，得BP＝＝由相交弦定理，得PQ•PB＝P A•PC．即PQ×＝1×3，∴PQ＝．解法二：作直径AE，过R作RF⊥BQ，垂足为F，设RQ＝RP＝x；由切割线定理，得：x2＝（x﹣1），（x+3）解得：x＝，又由△BPO∽△RPF得：，∴PF＝，由等腰三角形性质得：PQ＝2PF＝．22．（1）证明：∵P A是⊙O的切线，∴∠P AB＝∠2．又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∴∠P AB＝∠1．∴P A∥BC．（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥P A；由（1）可知，P A∥BC，∴OA⊥BC．∴G为BC的中点，∵BC＝24，∴BG＝12．又∵AB＝13，∴AG＝5．设⊙O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，在Rt△BOG中，∵OB2＝BG2+OG2，∴R2＝122+（R﹣5）2，∴R＝16.9，OG＝11.9；∵BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC．又∵OG⊥BC，∴OG∥DC．∵点O是BD的中点，∴DC＝2OG＝23.8．23．（1）证明：连接CD；∵DE是圆O的切线，∴∠CDE＝∠CBD．∵∠CBD＝∠DAC，∴∠CDE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CDE＝∠BAD．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CDE＝∠BCD．∴BC∥DE．（2）解：如图，连接CD；∵AD平分∠BAC，∴＝．∴∠BC D＝∠CBD．∴BD＝CD＝2．∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB．又由（1）中已证得∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE．∴AB：BD＝CD：CE．∴CE＝BD•CD÷AB＝．（3）解：应该是∠BAC＝2∠A CB．24．证明：（1）过点B作⊙O1的切线MN，连接CD，（1分）∵OB是⊙O的半径，∴MN切⊙O于点B，∵∠E＝∠MBA，∠BCD＝∠MBA，∴∠E＝∠BCD，∵AE切⊙O1于点C，∴∠BDC＝∠BCE，∴△BCE∽△BDC，（3分）∴，∴BC2＝BE•BD；（4分）（2）延长BC与⊙O相交于点F，连接OC，（1分）∵OB是⊙O1的直径，∴OC⊥BC，∴BC＝CF，（2分）∵AC•CE＝BC•CF，∴AC•CE＝BC2，∴AC•CE＝BE•BD．（3分）25．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE．∵CG为⊙O切线，∴∠BCD＝∠E．∴∠CBE＝∠BCD．∴BE∥DG．（2）∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，．∴CB2＝CF•AC＝CF•（CF+AF）＝CF2+CF•AF．即CB2﹣CF2＝AF•CF．由相交弦定理，得AF•CF＝BF•FE．∴CB2﹣CF2＝BF•FE．。
初三正弦余弦正切练习题
初三正弦余弦正切练习题正文：1. 已知角A的终边AB与单位圆x^2 + y^2 = 1相交于点B(-3/5, 4/5)，求角A的三角函数值。
解析：根据给定条件，我们可以得知点B的坐标为(-3/5, 4/5)。
由此可得，三角函数sinA和cosA的值分别为y坐标和x坐标，即sinA = 4/5，cosA = -3/5。
根据三角函数的定义可知，tanA = sinA / cosA，即tanA = (4/5) / (-3/5) = -4/3。
2. 已知角B的终边BC与单位圆x^2 + y^2 = 1相交于点C(3/5, -4/5)，求角B的三角函数值。
解析：根据给定条件，我们可以得知点C的坐标为(3/5, -4/5)。
由此可得，三角函数sinB和cosB的值分别为y坐标和x坐标，即sinB = -4/5，cosB = 3/5。
根据三角函数的定义可知，tanB = sinB / cosB，即tanB = (-4/5) / (3/5) = -4/3。
3. 若在直角三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=60°，求∠C的三角函数值。
解析：根据直角三角形的性质可知，三角函数中的sin、cos和tan分别对应直角三角形中的对边、邻边和斜边的比值。
且在该直角三角形中，∠A=30°，∠B=60°。
根据三角函数的定义可知，sinA = BC/AC，cosA= AB/AC，tanA = BC/AB，sinB = AC/BC，cosB = AC/AB，tanB =AB/BC。
代入已知条件，我们可以得到sinA = 1/2，cosA = √3/2，tanA = √3/3，sinB = √3/2，cosB = 1/2，tanB = √3。
根据三角函数的性质，我们知道sin和cos是以1为半径的单位圆上的点坐标，因此C点的坐标为(1, 0)，即∠C=90°。
综上，∠C的三角函数值为sinC = 1，cosC = 0，tanC = 无穷大。
北师大版数学高二-选修4-1测评 1.2.3弦切角定理
学业分层测评(六)2.3 弦切角定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.P在⊙O外，PM切⊙O于C，P AB交⊙O于A、B，则()【导学号：96990026】A.∠MCB＝∠BB.∠P AC＝∠PC.∠PCA＝∠BD.∠P AC＝∠BCA【解析】如图所示，由弦切角定理知∠PCA＝∠B.【答案】 C2.如图1-2-64，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE 等于()图1-2-64A.14°B.38°C.52°D.76°【解析】∵EC为⊙O的切线，∴∠BCE＝∠BAC＝12∠BOC＝38°.【答案】 B3.如图1-2-65，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()图1-2-65A.4B.5C.6D.7【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】 B4.如图1-2-66所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A＝20°，则∠DBE＝()图1-2-66A.55°B.65°C.75°D.85°【解析】连结OB，则OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°.∠BOD＝180°－∠AOB＝110°.又OB＝OD，∴∠OBD＝12(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.【答案】 A5.在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB ＝30°，AP＝3，则CP＝()A. 3B.2 3C.23－1D.23＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥P A，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，∴在Rt△OP A中，AP＝3，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝ 3.【答案】 A二、填空题6.如图1-2-67，已知P A是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC＝3，∠P AB＝30°，则线段PB的长为________.图1-2-67【解析】如图，连接OA，又P A为⊙O切线，∴∠OAP＝90°，∠C＝∠P AB＝30°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠P＝∠P AB＝30°，∴PB＝AB.又AC＝3，BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1，∴PB＝1.【答案】 17.如图1-2-68，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上.AD是⊙O 的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________.【导学号：96990027】图1-2-68【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD＝2OA＝4.【答案】 48.如图1-2-69，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C等于__________.图1-2-69【解析】连接BD，∵AB为直径，∴∠BDA＝90°.又∵CD为⊙O切线，切点为D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.【答案】40°三、解答题9.如图1-2-70，一圆过直角三角形ABC的直角顶点C，且与斜边AB相切于D点，AD＝DB，G为︵CD中点，F为︵CE上任一点，求证：∠CFG＝∠EFD.图1-2-70 【证明】连接CD，∵AB切圆于D点.∴∠CDB＝∠DFC.∵G为︵CD的中点，∴∠CDB＝∠DFC＝2∠CFG.∵D为直角三角形ACB的斜边中点，∴CD＝AD，∴∠CDB＝2∠DCE.∵∠DCE＝∠EFD，∴∠CFG＝∠EFD.10.如图1-2-71所示，已知圆上的弧︵AC＝︵BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：图1-2-71(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.【证明】(1)因为︵AC＝︵BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BC BE ＝CD BC，即BC2＝BE×CD.能力提升]1.如图1-2-72，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()图1-2-72A.2B.3C.2 3D.4【解析】连接BC，则∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD·AB＝12，即AC＝2 3.【答案】 C2.如图1-2-73，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为()图1-2-73A.1B.2C.3D.4【解析】连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC2＝PB·P A，即AC2＝PB·P A.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.【答案】 A3.如图1-2-74，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝__________.【导学号：96990028】图1-2-74 【解析】如图，连接OC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2 3.∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝2×234＝ 3.【答案】 34.如图1-2-75，已知AB为⊙O直径，P为AB延长线上一动点，过点P作⊙O 的切线，设切点为C.图1-2-75(1)请你连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，测量∠CDP的度数；(2)∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请你猜想并证明.【解】(1)连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，测量结果：∠CDP＝45°.(2)猜想∠CDP＝45°不变.连接BC.⎭⎪⎬⎪⎫PC 切⊙O 于点C ⇒∠1＝∠APD 平分∠APC ⇒∠2＝∠3∠4＝∠1＋∠2∠CDP ＝∠A ＋∠3⎭⎪⎬⎪⎫⇒∠CDP ＝∠4AB 为⊙O 直径⇒∠ACB ＝90°⇒∠CDP ＝45°.。
弦切角专项练习
切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半•弦切角定理证明:证明一：设圆心为0,连接0C, 0B,连接BA并延长交直线T于点P。
•••/ TCB=90- / 0CB•••/ BOC=180-2 / 0CB此图证明的是弦切角/ TCB•••,/B0C=2 / TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）•••/ B0C=2 / CAB （圆心角等于圆周角的两倍）•••/ TCB= / CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是O 0的弦，AB是O 0的切线，A为切点，弧是弦切角/ BAC所夹的弧• 求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心0在/ BAC的一边AC上•/ AC为直径，AB切O 0于A ,•••弧CmA=弧CA•••为半圆，•••/ CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧（2）圆心0在/ BAC的内部• 过A作直径AD交O 0于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：/ CED= / CAD、/ DEA= / DAB••• / CEA= / CAB•••（弦切角定理）(3) 圆心0在/ BAC的外部,过A作直径AD交O 0于D那么 / CDA+ / CAD= / CAB+ / CAD=90•••/ CDA= / CAB•••(弦切角定理)弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1 :如图，在中，/ C=90，以AB为弦的O 0与AC相切于点A,Z CBA=60 , AB=a 求BC长.解：连结0A, 0B.•••在中，/ C=90•••/ BAC=30• BC=1/2a（RT△中30°角所对边等于斜边的一半）例2 :如图，AD是△ ABC中/ BAC的平分线，经过点A的O O与BC切于点D，与AB , AC分别相交于E，F.求证：EF // BC.证明：连DF.AD是/ BAC的平分线 / BAD= / DAC/ EFD= / BAD/ EFD= / DACO O 切BC 于D / FDC= / DAC/ EFD= / FDCEF // BC例3:如图，△ ABC内接于O O , AB是O O直径，CD丄AB于D , MN切O O于C,求证：AC平分/ MCD , BC平分/ NCD.证明：••• AB是O O直径•••/ ACB=90•/ CD 丄AB•••/ ACD= / B ,•/ MN 切O O 于C•••/ MCA= / B ,•••/ MCA= / ACD ,即AC平分/ MCD ,同理：BC平分/ NCD.。
弦切角
例 如图，AD 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的弦，过C 作AD 的垂线，垂足为B ，CB 与⊙O 相交于点E ，AE 平分∠CAB ，且AE=2，求△ABC 各边的长． 解：∵AD 为⊙O 的切线，∴∠BAE=∠C ，∵AE 平分∠CAB ，∴∠BAC=2∠BAE ，又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°．则有BE=1，AB=3，BC=3，AC=23．说明：此题应用弦切角、解直角三角形的知识，为基础题型．例 （吉林省，2000）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC 、BD 相交于点E ． （1）求证：△ABE ≌△ACD ；（2）若AB=6cm ，BC=4cm ，求AE 的长． 证明（1）：∵XY 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2∵BD ∥XY ，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．∵∠ABD=∠ACD ，又∵AB=AC ．∴△ABE ≌△ACD ．解（2）：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB ，∴△BCE ∽△ACB ∴CBCEAC BC =，∴2BC CE AC =⋅，即2BC )AE AC (AC =-⋅．∵AB=AC=6，BC=4，∴16)AE 6(6=-．∴310AE =（cm ） 说明：①此题利用平行线、弦切角、圆周角等角的转换；②建立方程求线段的长度．例 如图，P 为⊙O 的直径CB 延长线上的一点，A 为⊙O 上一点，若 =，AE 交BC于D ，且∠C=21∠PAD. （1） 求证：PA 为⊙O 的切线；（2） 若∠BEA=30°，ＢＤ＝１，求ＡＰ及ＰＢ长。
证明（1）：连结AO ，∵ = ，BC 为直径， ∴AE ⊥BC ，AD=DE ，=∵OA=OB ，∴∠C=∠3，∴∠1=2∠C又∵∠C=21∠PAD ，∴∠1=∠2∵∠1 +∠4=90°，∴∠2 +∠4=90°，∴PA ⊥OA ∴PA 为⊙O 的切线.解（2）：在Rt △EBD 中，∵∠BEA=30°，ＢＤ＝１. ∴BE=2，DE=3 在Rt △ODA 和Rt △EBD 中∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E ，∠ODA=∠BDE ，AD=EDCEO AB D O E1234A BCDEO1234∴Rt △ODA ≌Rt △EBD ，∴AD=DE=3 ，OD=BD=1，OA= BE=2.在Rt △OAP 中，∵AD ⊥OP ，∴AD 2=OD ·DP ，即23=1·DP ，∴DP=3，∴BP=2在Rt △ADP 中 根据勾股定理，得 AP=32332222=+=+DP AD ．说明：此题为综合型题目．它主要应用弦切角、垂径定理、切线的判定、三角形全等和方程思想．典型例题四例 如图，AD 是ABC ∆的角平分线，以AD 为弦的圆与BC 相切于D 点，⊙O 交AB 、AC 于点E 、F ，求证：AF BE CF AE ⋅=⋅.分析：要证乘积式AF BE CF AE ⋅=⋅，只需证比例式CFAFBE AE =，应证BC EF // 证明 连结ED ，Θ⊙O 与BC 相切于D ，BAD BDE ∠=∠Θ AD Θ平分BAC ∠，DAC BAD ∠=∠∴，又DEF DAC ∠=∠， DEF BDE ∠=∠∴，故BC EF //. CFAFBE AE =∴，即AF BE CF AE ⋅=⋅. 说明：本题思路明确，转证乘积式为比例式，但在创建平行线过程中，弦切角与圆周角的性质起到关键作用.典型例题五例 如图，AB 为⊙O 的直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于点，AE 的延长线交BC 于点D ，（1）求证：CB CD CE ⋅=2；（2）若2==BC AB 厘米，求CE 、CD 的长.分析：要证CB CD CE ⋅=2，即要证CED ∆∽CBE ∆. 证明（1）连结BE .CED ∆⇒∽CD CB CE CECBCD CE CBE ⋅=⇒=⇒∆215-=⇒CE又CB CD CE ⋅=2Θ，2=CB ，)53(2)15(2-=⇒=-∴CD CD 厘米.说明：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件.典型例题六例 如图，已知AD 是圆的弦，，DE 是圆的切线，并且与弦AB 的延长线相交于点E ，求证：AE AC AD ⋅=2.分析：欲证明乘积式AE AC AD ⋅=2，只需证比例式ADAEAC AD=，只需证明ACD ∆∽ADE ∆.证明Θ，DAC EAD ∠=∠∴，又CD 是圆的切线，ACD ADE ∠=∠∴ 故ACD ∆∽ADE ∆， ADAE AC AD =∴，即AC AE AD ⋅=2. 说明：本题着重考查圆周角、弦切角以及创建相似三角形证明比例线段的基础知识和基本方法.本题是1996年上海中等学校招生试题，难度不大，但体现了证题的基本方法.典型例题七例 如图，已知AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，CD AC ⊥于C ，DC BD ⊥于D ，AB PQ ⊥于Q ，求证：BD AC PQ ⋅=2.分析：要证BD AC PQ ⋅=2，只需证BDPQPQ AC =，但要直接证明有困难，考虑通过过渡比来解决.证明连结PA 、PBBD AC PQ BD PQ PQ AC BD PQ BP AP BP AP PQ AC ⋅=⇒=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⇒2:同理 说明：证明线段成比例，如果直接证明比较困难，就要想方设法找出过渡线段或过渡比，本例中的BPAP就是过渡比.典型例题八例 已知：如图，设P 是正三角形ABC 外接圆上的一点，AP 交BC 于D .求证：（1）PC PB PA += （2）PC PB BC PA ⋅+=22（3）PC PB PD 111+= 证明 （1）在PA 上截取PB AE =，连结EC . ABC ∆Θ是正三角形 AC BC =∴又PBC ∆Θ≌EAC ∆ ECA PCD ∠=∠∴ ︒=∠+∠60ECB ECA Θ，︒=∠+∠∴60ECB PCD .即︒=∠60PCE 又︒=∠=∠60CBA CPE Θ， PCE ∆∴是等边三角形 PE PC =∴PB PC AE PE PA +=+=∴. 即PB PC PA +=（2）︒=∠=∠60APC BPD Θ，CBP CAP ∠=∠， PBD ∆∴∽PAC ∆，PD PC PB PA ::=∴即PB PC PD PA ⋅=⋅.又︒=∠=∠60BPA ABC Θ，BAP BAD ∠=∠， PAB ∆∴∽BAD ∆AD AB AB PA ::=∴AD PA AB ⋅=∴2由上所得：PC PB AB AD PA PD PA ⋅+=⋅+⋅2又AD PD PA +=ΘPC PB AB AD PD PA ⋅+=+∴2)(即PC PB AB PA ⋅+=22又BC AB =Θ，PC PB BC PA ⋅+=∴22（3）由PC PB PD PA ⋅=⋅知，等式两边同时除以PD PC PB ⋅⋅，得：PCPB PAPD ⋅=1 由PC PB PA +=知，PB PC PC PB PC PB PD 111+=⋅+=∴ 即PCPB PD 111+=∴. 说明：本题利用圆中知识点，证明三角形相似，然后推出有关的比例式，证明结论.这是一道典型的综合题.有一定难度，望同学们多思考，多训练从而达到巩固知识，提高能力的目的.典型例题九例 如图，CD 为⊙O 的直径，AE 切⊙O 于B ，DC 的延长线交AB 于A ，︒=∠62DBE .求：A ∠的度数.解 连结CB .∵BE 切⊙O 于B ，.62︒=∠∴DCB ∵CD 为直径，.90︒=∠∴CBD.28.286290︒=∠∴︒=︒-︒=∠∴CBA D在ABC ∆中，.342862︒=︒-︒=∠-∠=∠CBA DCB A .34︒=∠∴A说明：本题考查弦切角性质，解题关键是连结BC ，构造弦切角，易错点是不能正确作出辅助线.典型例题十例 （黑龙江省，1999）已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于B ，DC 的延长线交MN 于G ，若23cos =∠ABM ，则BCG ∠tan 的值为多少？解 连结BD .∵MN 为⊙O 的切线，.ADB ABM ∠=∠∴.30.30,23cos ︒=∠∴︒=∠∴=∠ADB ABM ABM Θ AD Θ为⊙O 的直径，.90︒=∠∴ABD .6090︒=∠-︒=∠∴ADB A∵四边形ABCD 为圆内接四边形，.A BCG ∠=∠∴.360tan tan tan =︒=∠=∠∴A BCG说明：本题综合考查弦切角与三角函数知识，解题关键是连BD ，构成直角三角形，易错点是记错特殊角的三角函数值.典型例题十一例 （北京市海淀区，2000）已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是的中点，过A 点的切线与CB 的延长线相交于点E.（1）求证：BE CD DA AB ⋅=⋅；（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在上运动，使切线EA 变为割线EF A ，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要画出示意图，注明条件，不要求证明）.证明 （1）连结AC . ∵A 是的中点，∴∴EA 切⊙O 于点A ，点C 在⊙O 上，.321∠=∠=∠∴∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， .D ABE ∠=∠∴..BE CD DA AB DABECD AB ⋅=⋅∴=∴解 （2）如图，具备条件（DF BF =或DCA BCF ∠=∠或DCA BAF ∠=∠，或BD FA //等），使原结论成立.说明：本题主要考查弦切角的应用.解题关键是作辅助线，使构成的CDA ∆与ABE ∆相似，易错点是画不出或画错（2）小题的图形.选择题1．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为（ ）(A)105° (B)115° (C)120° (D)125°2．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）23 （D ）43．如图，直线BC 切⊙O 于点A ，则图中的弦切角共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，PC 是⊙O 的切线，切点为C ，︒=∠35BAC ，那么ACP ∠等于（）A ．︒35B ．︒55C ．︒65D ．︒1255．如图，在⊙O 中，AB 是弦，AC 是⊙O 的切线，A 是切点，过B 作AC BD⊥于D ，BD 交⊙O 于E 点，若AE 平分BAD ∠，则ABD ∠=（）A ．︒30B ．︒45C ．︒50D ．︒606．如图，⊙O 与⊙O '交于A ，B ，⊙O的弦AC 与⊙O '相切于点A ，⊙O '的弦AD 与⊙O 相切于A 点，则下列结论中正确的是（）CDOACD BFA ．21∠>∠B ．21∠=∠C ．21∠<∠D ．无法确定7．如图，E 是⊙O 内接四边形ABCD 两条对角线的交点，CD 延长线与过A 点的⊙O 的切线交于F 点，若︒=∠44ABD ，︒=∠100AED ，，则AFC ∠的度数为（）A ．︒78B ．︒92C ．︒34D ．︒1458．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，PC 是⊙O 的切线，切点为C ，︒=∠35BAC ，那么ACP ∠等于（ ）．A ．︒35B ．︒55C ．︒65D ．︒1259．如图，经过⊙O 上的点A 的切线和弦BC 的延长线相交于点P ，若︒=∠40CAP ，︒=∠100ACP ，则BAC ∠所对的弧的度数为（ ）．A ．︒40B ．︒100C ．︒120D ．︒3010．过圆内接ABC ∆的顶点A 引切线交BC 延长线于D ，若︒=∠35B ，︒=∠80ACB ，则D ∠为（ ）．A ．︒45B ．︒50C ．︒55D ．︒6011．过圆内接四边形ABCD 的顶点C 引切线MN ，AB 为圆直径，若︒=∠38BCM ，则ABC ∠为（ ）． A ．︒38 B ．︒52 C ．︒68 D ．︒42 答案：1．D 2. C 3. D 4. B 5. A 6. B 7. C. 8．B ；9．C ；10．A ；11．B.填空题1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 ．O ACBE2.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 ．3.如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C 、D 是优弧上的点，已知︒=∠80BAC ，那么______=∠BDC 度。
高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.2.3弦切角定理练习(含解析)新人教B版选修41
弦切角定理课时过关·能力提升1.如图,PQ为☉O的切线,A是切点,∠BAQ=55°,则∠ADB=()°°°°PQ是切线,∴∠C=∠BAQ=55°.∴AAA⏜ =360°-110°=250°.⏜ =110°.∴AAA∴∠ADB=125°.2.如图,△ABC内接于☉O,EC切☉O于点C.若∠BOC=76°,则∠BCE等于()°°°°EC为☉O的切线,∴∠BCE=∠BAC=1∠BOC=38°.23.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,C为切点,若∠BCM=38°,则∠B等于()°°°°AC,如图所示.∵MN切圆于C,BC是弦,∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC=90°.∴∠B+∠BCM=90°.∴∠B=90°-∠BCM=52°.4.如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为()√3BC,如图所示.∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.又AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又AD⊥EF,∴∠ACB=∠ADC.∴△ADC∽△ACB.∴AAAA =AAAA.∴AC2=AD·AB=2×6=12.∴AC=2√3.★5.如图,∠ABC=90°,O是AB上一点,☉O切AC于点D,交AB于点E,连接DB,DE,OC,则图中与∠CBD相等的角共有()个个个个AB⊥BC,∴BC与☉O相切,BD为弦.∴∠CBD=∠BED.同理可得∠CDB=∠BED,∴∠CBD=∠CDB.如图,连接OD.∵OD=OB,OC=OC,∴Rt△COD≌Rt△COB.∴CB=CD,∠DCO=∠BCO.∴OC⊥BD.又DE⊥BD,∴DE∥OC.∴∠BED=∠BOC.∴∠CBD=∠BOC.∴与∠CBD相等的角共有3个.6.如图,AD切☉O于点F,FB,FC为☉O的两条弦,请列出图中所有的弦切角.AFB,∠AFC,∠DFC,∠DFB7.如图,AB是☉O的直径,直线CE与☉O相切于点C,AD⊥CE于点D,若AD=1,∠ABC=30°,则☉O 的面积是.DE是切线,∴∠ACD=∠ABC=30°.又AD⊥CD,∴AC=2AD=2.又AB是直径,∴∠ACB=90°.又∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,∴OA=12AB=2.∴☉O的面积为S=π·OA2=4π.8.如图,AB是☉O的直径,PB,PE分别切☉O于点B,C,若∠ACE=40°,则∠P=.,连接BC,则∠ACE=∠ABC,∠ACB=90°.又∠ACE=40°,则∠ABC=40°.所以∠BAC=90°-∠ABC=90°-40°=50°,∠ACP=180°-∠ACE=140°.又AB是☉O的直径,则∠ABP=90°.又四边形ABPC的内角和等于360°,所以∠P+∠BAC+∠ACP+∠ABP=360°.所以∠P=80°.°9.如图,BA是☉O的直径,AD是☉O的切线,切点为A,BF,BD分别交AD于点F,D,交☉O于点E,C,连接CE.求证:BE·BF=BC·BD.BE·BF=BC·BD,只需证AAAA =AAAA,即证明△BEC∽△BDF.由∠DBF为公共角,只需再找一组角相等,为此,过点B作☉O的切线,构造弦切角.,过点B作☉O的切线BG,则AB⊥BG.又AD是☉O的切线,∴AD⊥AB,BG∥AD.∴∠GBC=∠BDF.又∵∠GBC=∠BEC,∴∠BEC=∠BDF.又∠CBE=∠DBF,∴△BEC∽△BDF.∴AAAA =AAAA.∴BE·BF=BC·BD.★10.如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,直线MN切☉O于点C,弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.求证:(1)△ABE≌△ACD;(2)BE=BC.很明显∠ABE=∠ACD,只需证明∠BAE=∠CAD,转化为证明∠BAE=∠CDB,∠CDB=∠DCN,∠DCN=∠CAD.(2)转化为证明∠BEC=∠ECB.∵BD∥MN,∴∠CDB=∠DCN.又∠BAE=∠CDB,∴∠BAE=∠DCN.又直线MN是☉O的切线,∴∠DCN=∠CAD.∴∠BAE=∠CAD.又∠ABE=∠ACD,AB=AC,∴△ABE≌△ACD.(2)∵∠EBC=∠BCM,∠BCM=∠BDC,∴∠EBC=∠BDC.∴CB=CD.∵∠BEC=∠EDC+∠ECD,∠ECD=∠ABE,∴∠BEC=∠EBC+∠ABE=∠ABC.又AB=AC,∴∠ABC=∠ECB.∴∠BEC=∠ECB.∴BE=BC.。
九年级数学切线长定理及弦切角训练题
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九年级数学切线长定理及弦切角训练题填空1.已知：如图7-143，直线Bc切⊙o 于B点，AB=Ac，AD=BD，那么∠A=____.2.已知：如图7-144，直线Dc与⊙o 相切于点c，AB为⊙o直径，AD⊥Dc 于D，∠DAc=28°侧∠cAB=____.3.已知：直线AB与圆o切于B点，割线AcD与⊙o交于c和D4.已知：如图7-145，PA切⊙o于点A，割线PBc交⊙o于B和c两点，∠P=15°，∠ABc=47°，则∠c=____.5.已知：如图7-146，三角形ABc 的∠c=90°，内切圆o与△ABc的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____.6.已知：如图7-147，△ABc内接于⊙o，Dc切⊙o于c点，∠1=∠2，则△ABc 为____三角形.7.已知：如图7-148，圆o为△ABc 外接圆，AB为直径，Dc切⊙o于c点，∠A=36°，那么∠AcD=____.选择8.已知：△ABc内接于⊙o，∠ABc=25°，∠AcB=75°，过A点作⊙o的切线交Bc的延长线于P，则∠APB等于[]°;°;°;°.9.已知：如图7-149，PA，PB切⊙o 于A，B两点，Ac为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为[]个;个;个;个.10.已知如图7-150，四边形ABcD为圆内接四边形，AB是直径，mN切⊙o于c点，∠Bcm=38°，那么∠ABc的度数是[]°;°;°;°.11.已知如图7-151，PA切⊙o于点A，PcB交⊙o于c，B两点，且PcB过点o，AE⊥BP交⊙o于E，则图中与∠cAP相等的角的个数是[]个;个;个;个.计算12.已知：如图7-152，PT与⊙o切于c，AB为直径，∠BAc=60°，AD为⊙o一弦.求∠ADc与∠PcA的度数.13.已知：如图7-153，PA切⊙o于A，Po交⊙o于B，c，PD平分∠APc.求∠ADP的度数.14.已知：如图7-154，⊙o的半径oA⊥oB，过A点的直线交oB于P，交⊙o于Q，过Q引⊙o的切线交oB延长线于c，且PQ=Qc.求∠A的度数.15.已知：如图7-155，⊙o内接四边形ABcD，mN切⊙o于c，∠Bcm=38°，AB为⊙o直径.求∠ADc的度数.16.已知：如图7-156，PA，Pc切⊙o 于A，c两点，B点17.已知：如图7-157，Ac为⊙o的弦，PA切⊙o于点A，Pc过o点与⊙o 交于B，∠c=33°.求∠P的度数.18.已知：如图7-158，四边形ABcD 内接于⊙o，EF切⊙o19.已知BA是⊙o的弦，TA切⊙o 于点A，∠BAT=100°，点m在圆周上但与A，B不重合，求∠AmB的度数.20.已知：如图7-159，PA切圆于A，Bc为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm.求BD的长.21.已知：如图7-160，Ac是⊙o直径，PA⊥Ac于A，PB切⊙o于B，BE ⊥Ac于E.若AE=6cm，Ec=2cm，求BD 的长.22.已知：如图7-161所示，P为⊙o 外一点，PA切⊙o于A，从PA中点m引⊙o割线mNB，∠PNA=138°.求∠PBA 的度数.23.已知：如图7-162，Dc切⊙o于c，DA交⊙o于P和B两点，Ac交⊙o于Q，PQ为⊙o直径交Bc于E，∠BAc=17°，∠D=45°.求∠PQc与∠PEc的度数.24.已知：如图7-163，QA切⊙o于点A，QB交⊙o于B25.已知：如图7-164，QA切⊙o于A，QB交⊙o于B和c26.已知：在图7-165中，PA切⊙o 于A，AD平分∠BAc，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm.求EP的长.27.已知;如图7-166，PA为△ABc外接圆的切线，A为切点，DE∥Ac，PE==7cm，AD=2cm.求DE的长.28.已知：如图7-167，Bc是⊙o的直径，DA切⊙o于A，DA=DE.求∠BAE 的度数.29.已知：如图7-168，AB为⊙o直径，cD切⊙o于cAE∠cD于E，交Bc 于F，AF=BF.求∠A的度数.30.已知：如图7-169，PA，PB分别切⊙o于A，B，PcD为割线交⊙o于c，D.若Ac=3cm，AD=5cm，Bc=2cm，求DB的长.31.已知：如图7-170，ABcD的顶点A，D，c在圆o上，AB的延长线与⊙o 交于m，cB的延长线与⊙o交于点N，PD切⊙o于D，∠ADP=35°，∠ADc=108°.求∠m的度数.32.已知：如图7-171，PQ为⊙o直径，Dc切⊙o于c，DP交⊙o于B，交cQ延长线于A，∠D=45°，∠PEc=39°.求∠A的度数.33.已知：如图7-172，△ABc内接于⊙o，EA切⊙o于A，过B作BD∥AE 交Ac延长线于D.若Ac=4cm，cD=3cm，求AB的长.34.已知：如图7-173，△ABc内接于圆，FB切圆于B，cF⊥BF于F交圆于E，∠1=∠2.求∠1的度数.35.已知：如图7-174，Pc为⊙o直径，mN切⊙o于A，PB⊥mN于B.若Pc=5cm，PA=2cm.求PB的长.36.已知：如图7-175，AD为⊙o直径，cBE，cD分别切⊙37.已知：如图7-176，圆内接四边形ABcD的AB边经过圆心，AD，Bc 的延长线相交于E，过c点的切线cF⊥AE于F.求证：△ABE为等腰三角形;若Bc=1cm，AB=3cm，求EF的长.38.已知：如图7-177，AB，Ac切⊙o于B，c，oA交⊙o于F，E，交Bc于D.求证：E为△ABc内心;若∠BAc=60°，AB=a，求oB与oD 的长.证明39.已知：在△ABc中，∠c=90°，以c为圆心作圆切AB边于F点，AD，Bc 分别与⊙c切于D，E两点.求证：AD∥BE.40.已知：PA，PB与⊙o分别切于A，B两点，延长oB到c，41.已知：⊙o与∠A的两边分别相切于D，E.在线段AD，AE上各取一点B，c，使DB=Ec.求证：oA⊥Bc.⊥Ec于H，Ao交Bc于D.求证：Bc•AH=AD•cE.*43.已知：如图7-178，mN切⊙o 于A，弦Bc交oA于E，过c点引Bc 的垂线交mN于D.求：AB∥DE.44.已知：如图7-179，oA是⊙o半径，B是oA延长线上一点，Bc切⊙o 于c，cD⊥oA于D.求证：cA平分∠BcD.45.已知：如图7-180，Bc是⊙o直径，EF切⊙o于A点，AD⊥Bc于D.求证：AB平分∠DAE，Ac平分∠DAF.46.已知：如图7-181，在△ABc中，AB=Ac，∠c=2∠A，以AB为弦的圆o 与Bc切干点B，与Ac交于D点.求证：AD=DB=Bc.47.已知：如图7-182，过△ADG的顶点A作直线与DG的延长线相交于c，过G作△ADG的外接圆的切线二等分线段Ac于E.求证：AG2=DG•cG.48.已知：如图7-183，PA，PB分别切⊙o于A，B两点，PcD为割线.求证：Ac•BD=Bc•AD.Bc=BA，连结Ac交圆于点E.求证：四边形ABDE是平行四边形.50.已知：如图7-185，∠1=∠2，⊙o过A，D两点且交AB，Ac于E，F，Bc切⊙o于D.求证：EF∥Bc.51.已知：如图7-186，AB是半圆直径，Ec切半圆于点c，BE⊥cE交Ac于F.求证：AB=BF.52.已知：如图7-187，AB为半圆直径，PA⊥AB，Pc切半圆于c点，cD⊥AB于D交PB于m.求证：cm=mD.作图53.求作以已知线段AB为弦，所含圆周角为已知锐角∠α的弧.54.求作一个以α为一边，所对角为∠α，此边上高为h的三角形.55.求作一个以a为一边，m为此边上中线，所对角为∠α的三角形.切线长定理及弦切角练习题填空°°°°°6.等腰°选择计算°，30°.°.提示：连接AB交PD于E.只需证明∠ADE=∠AED，证明时利用三角形外角定理及弦切角定理.°.提示：因为PQ=Qc，所以∠QcP=∠QPc.连接oQ，则知∠PoQ与∠QcP互余.又∠oAQ=∠oQA与∠QPc互余，所以∠PoQ=∠oAQ=∠oQA.而它们的和为90°.所以∠oAQ=30°°.提示：解法一连接Ac，则∠PAc=∠PcA.又∠P=45°，所以∠PAc=∠PcA=°.从而∠B=∠PAc=°.解法二连接oA，oc，则∠Aoc=180°-∠P=135°，所以°.提示：连接oA，则∠PoA=66°.°.提示：连接BD，则∠ADB=40°，∠DBc=20°.设∠ABD=∠BDc=x°，则因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，从而∠ADE=∠ABD=60°.°或80°.提示：m可在弦AB对的两弧的每一个上.°.提示：∠ABm=∠NAm.于是显然△ABm∽△NAm，NmP，所以△PmB∽△NmP，从而∠PBm=∠NPm.再由∠ABm=∠NAm，就有∠PBA=∠PBm+∠NAm=∠NPm+∠NAm=180°-∠PNA=42°.°，39°.提示：连接Pc.°.提示：求出∠QAc和∠AcB的度数.°.以DB=9.因为2DP2=2×9，由此得DP2=9.又DP>0，所以DP=3，从而，DE=2×3=6.°.提示：连接Ac.由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠cAD+∠cAE，但∠ABE=∠cAD，所以∠BAE=∠cAE.由于∠BAE+∠cAE=90°，所以∠BAE=45°.°.提示：解法一连接Ac，则Ac⊥Bc.又AF⊥cE，所以∠AcE=∠F.又Dc切⊙o于c，所以∠AcE=∠B.所以∠F=∠B.因为AF=BF，所以∠BAF=∠B=∠F.所以∠BAF=60°.°.提示：连接Ac，则∠m=∠AcN=∠cAD.°.提示：连接Pc，则∠QPc+∠PBc=90°.45°=∠D=∠DcP=-∠PBc=[∠BPQ+]-∠PBc.所以2∠PBc-∠BPQ=45°.又∠PBc+∠BPQ=39°，从而∠PBc=28°，∠BPQ=11°.于是∠A=∠PBc-∠BPQ=17°.°.提示：连接BE，由∠1=∠2，可推出∠EBF=∠EcB=∠EBc，而这三个角的和为90°，所以每个角为30°.°.提示：连接oB，则oB⊥cE，从而∠c=∠BoE=60°.37.提示：连接oc，则∠E=∠ocB=∠oBc=∠cDE，所以△ABE为等腰三角形.38.提示：连接BE.只需证明∠ABE=∠DBE.证明39.提示：Ac，Bc各平分∠A，∠B.设法证出∠A+∠B=180°.40.提示：连接oP，设法证出∠BPc=∠BPo.42.提示：在△BcE和△DAH中，∠BcE=∠DAH.又A，D，c，H共圆，所以∠cEB=∠AcB=∠AHD，从而△BcE∽△DAH.这就得所要证明的比例式.43.提示：连接Ac.先证明A，E，c，D四点共圆.由此得∠ADE=∠mAB，所以AB//DE.44.提示：证法一延长Ao交⊙o于点E，连接Ec，则∠BcA=∠E，且∠AcD=∠E.所以∠BcA=∠AcD.证法二连接oA，则∠BcA与∠ocA 互余;又∠AcD与∠oAc互余，而∠ocA=∠oAc，所以∠BcA=∠AcD.46.提示：由已知得∠A=36°，∠B=∠c=72°，∠DBc=∠A=36°，所以∠ABD=36°，从而AD=BD.又∠c=∠cDB=72°，所以BD=Bc.47.提示：过A作cD的平行线交Bc 于H，则AH=cG.然后证AG2=DG•AH=DG•cG.49.提示：因为Bc=BA，所以∠A=∠D;又∠cED=∠DBF，所以它们的补角∠DEA=∠ABD.从而四边形ABDE是平行四边形.50.提示：连接DE，则∠BDE=∠1=∠2=∠FED.所以EF//Bc.51.提示：连接Bc，则∠AcB=90°=∠FcB.因为cE⊥BE，所以∠F=∠EcB.因为Ec切半圆于c，所以∠EcB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF.52.提示：连接Ac，Bc并延长Bc交AP延长线于点N.首先中国（）以下是中国（）为您推荐的九年级数学切线长定理及弦切角训练题，希望本篇对您学习有所帮助。
弦切角定理专题知识
A、38°B、52° C、68° D、42°
O
AB38°M NhomakorabeaC
D N
弦切角定理：弦切角等于它所夹旳弧正确圆周角。 推论：两个弦切角所夹旳弧相等， 那么这两个弦切角相等。
如图，DE切⊙O于点A，AB、AC是 ⊙O旳弦，若 AB=AC，那么∠DAB 与∠EAC是否相等？为何？
C
∠ DAB＝ ∠EAC
连结OC,由切线性质,
可得OC∥AD,于是
有∠2=∠3,又因为
B
∠1=∠3,可证得
∠1=∠2
E
·O 1A 32 CD
小结：
1、概念旳引入
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相 切旳角叫做弦切角。
2、定理旳发觉
弦切角定理：弦切角等于它所夹旳弧正确圆周角。
推论：两个弦切角所夹旳弧相等，
那么这两个弦切角相等。
B O
E
A
D
例题解析
例1：如图：已知AB是⊙O旳直
径，AC是弦，直线CE和⊙O切于
点C，AD⊥CE于D。
B
O
求证：(1)AC平分∠BAD
(2)AC2=2AD·AO
A
你还能用其他措施解答 吗？试试看！
E
C
D
有弦切角，常连结弦切角 所夹弧所对旳圆周角。
例题解析(思绪2)
例1: 如图，已知AB是⊙O旳直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.
小结：
你掌握了吗？
3、定理旳证明
4、应用与推论
一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是 经过它们夹旳（或正确）同一条弧（或等弧）联 络起来，所以，当已知有切线时常添线构建弦切 角或添切点处旳半径应用切线旳性质。
九年级数学切线长定理及弦切角训练题
AD⊥DC于D，∠DAC=28度侧∠CAB=____ .
3.已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D
4.已知：如图7-145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C两点，
∠P=15度，∠ABC=47度，则∠C= ____.
5.已知：如图7-146，三角形ABC的∠C=90度，内切圆O与△ABC的
16.已知：如图7-156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点
17.已知：如图7-157，AC为⊙O的弦，PA切⊙O于点A，PC过O点与
⊙O交于B，∠C=33度.求∠P的度数.
18.已知：如图7-158，四边形ABCD内接于⊙O，EF切⊙O
19.已知BA是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠BAT=100度，点M在
交BC于F，AF=BF.求∠A的度数.
30.已知：如图7-169，PA，PB分别切⊙O于A，B，PCD为割线交⊙O
于C，D.若AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的长.
31.已知：如图7-170，ABCD的顶点A，D，C在圆O上，AB的延长线
与⊙O交于M，CB的延长线与⊙O交于点N，PD切⊙O于D，
∠PQC与∠PEC的度数.
24.已知：如图7-163，QA切⊙O于点A，QB交⊙O于B
25.已知：如图7-164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C
26.已知：在图7-165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分
高一数学弦切角的性质试题
高一数学弦切角的性质试题1.（2010•海淀区二模）如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若∠D=20°，则∠DBE的大小为（）A．20°B．40°C．60°D．70°【答案】D【解析】本题考查的知识有，弦切角定理，圆周角定理，我们要根据这些定理分析已知角与未知角之间的关系，进行求解．由于已知中已知角∠D=20°，且CD为直径，故∠CBD=90°，∠DBE+∠CBD+∠ABC=180°由此得到已知角和未知角的关系，从而求解．解：由弦切角定理可得：∠ABC=∠D=20°又∵CD为直径∴∠CBD=90°∴∠DBE=180°﹣∠CBD﹣∠ABC=70°故选D点评：要求一个角的大小，先要分析未知角与已知角的关系，然后再选择合适的性质来进行计算．2.（2010•绵阳三模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】由弦切角定理圆周角定理得∠BCN=∠BAC，∠ACM=∠D=∠B，再由AB为直径，得∠ACB=90°，则∠B、∠D、∠ACM，都是∠BCN的余角．解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN=∠BAC，∠ACM=∠D=∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCN+∠ACM=90°，∠B+∠BCN=90°，∠D+∠BCM=90°．故选C．点评：本题考查了弦切角定理圆周角定理，是基础知识，要熟练掌握．属于基础题．3.如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A.40B.50C.70D.80【答案】C【解析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选C．点评：本题考查了弦切角定理和切线长定理，是基础知识，要熟练掌握．4.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB=25°，则∠ADC为（）A.105°B.115°C.120°D.125°【答案】B【解析】利用弦切角和圆周角定理即可求出．解：如图所示，连接OC．∵弦切角∠PCB=25°，∴∠BOC=50°．∴的度数是230°．∴=115°．故选B．点评：熟练掌握弦切角和圆周角定理是解题的关键．5.（2014•珠海二模）（几何证明选讲选做题）如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC=2，∠BCD=30°，则圆O的面积为．【答案】4π【解析】通过弦切角转化为，圆周角，然后求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积．解：因为弦切角等于同弧上的圆周角，所以，∠BCD=30°，∠A=30°，则∠BOC=60°，根据60°的圆心角所对弦等于半径因为BC=2所以圆的半径为2所以圆的面积为：4π故答案为：4π点评：本题是基础题，考查弦切角的应用，圆周角与圆心角的关系，确定面积的求法，考查计算能力．6.（2014•陕西二模）如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点．PC是⊙O的一条割线，交⊙O于B，C两点，点Q是弦BC的中点．若圆心O在∠APB内部，则∠OPQ+∠PAQ的度数为．【答案】90°【解析】连结AO，QO，由已知条件推导出OA⊥PA，OQ⊥PQ，从而得到A，P，Q，O四点共圆，由此能求出∠OPQ+∠PAQ的值．解：连结AO，QO，∵PA是⊙O的切线，A为切点．PC是⊙O的一条割线，交⊙O于B，C两点，点Q是弦BC的中点，∴OA⊥PA，OQ⊥PQ，∴∠PAO+∠PQO=180°，∴A，P，Q，O四点共圆，∴∠OPQ=∠OAQ，∵∠OAQ+PAQ=90°，∴∠OPQ+∠PAQ=90°．故答案为：90°．点评：本题考查两角和的求法，是中档题，解题时要注意四点共圆的证明及其应用．7.（2014•南开区二模）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD与OE垂直，垂足是D．割线EC交圆D于B，C，且∠BDC=62°，∠DBE=108°，则∠OEC= ．【答案】13【解析】连接OA，OB，由已知条件得，△ADE∽△OAE，△BED∽△OEC，从而得O，C，B，D四点共圆，由此能求出结果．解：连接OA，OB，∵AE是⊙O切线∴∠OAE=90°∵AD⊥OE，∴∠ADE=90°=∠OAE，又∵∠AED=∠OEA，∴△ADE∽△OAE，∴，∴AE2=DE×OE，∵AE2=BE×CE，∴DE×OE=BE×CE，∴，又∵∠BED=∠OEC，∴△BED∽△OEC，∴∠BDE=∠OCE，∴O，C，B，D四点共圆，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCE，∴∠ODC=∠OBC，∴∠ODC=∠BDE，∵∠BDC=62°∴BDE=（180°﹣∠BDC）÷2=59°，∴∠OEC=180°﹣∠DBE﹣∠BDE=13°．故答案为：13．点评：本题考查角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形相似、四点共圆等知识点的合理运用．8.（2014•天津一模）如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且∠EDF=∠C，若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2．则PA= ．【答案】【解析】利用△DEF∽△CED与已知可得EC的长，进而得到BE，利用相交弦定理可得AE•ED=EB•CE，得到AE．再利用AP∥CD，可得△AEP∽△FED，得到PE，进而得到PB，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC即可得出．解：在△DEF和△CED中，∵∠EDF=∠C，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴，∵DE=3，EF=2，∴EC==．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由相交弦定理可得AE•ED=EB•CE，∴AE==．∵AP∥CD，∴∠P=∠C，∴∠P=∠EDF．∴△AEP∽△FED，∴，∴==．∴PB=PE﹣EB=．∵PA与⊙O相切，∴PA2=PB•PC==．∴PA=．故答案为：．点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、相交弦定理、切割线定理、平行线的性质等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．9.（2014•江苏模拟）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．【答案】见解析【解析】因AE=AC，AB为直径，可得∠OAC=∠OAE，由∠POC=∠OAC+∠OCA=∠EAC．及由EACD四点共圆可得∠EAC=∠PDE，从而可证得∠PDE=∠POC．证明：∵AE=AC，AB为直径，∴．由于同一个圆中，等弧所对的圆周角相等∴∠OAC=∠OAE．∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．又∵EACD四点共圆，∴∠EAC=∠PDE，∴∠PDE=∠POC．点评：本题主要考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质定理的应用，证明此类问题要求考试熟练掌握基本定理．10.（2014•荆州二模）已知⊙O的半径R=2，P为直径AB延长线上一点，PB=3，割线PDC交⊙O于D，C两点，E为⊙O上一点，且=，DE交AB于F，则OF= ．【答案】【解析】作直径EG，交圆于G点，连EC交AP于H点，由已知条件得OH是三角形ECG的中位线，得∠P=∠PCG=∠DEG，从而得到△EOF∽△PDF，进而OF•PF=EF•DF=AF•BF，由此能求出OF．解：作直径EG，交圆于G点，连EC交AP于H点，∵=，由垂径定理得H是EC中点，又O是EG中点，∴OH是三角形ECG的中位线，∴AP∥CG，∴∠P=∠PCG=∠DEG，又∠EFO=∠PFD，∴△EOF∽△PDF∴OF•PF=EF•DF=AF•BF，设OF=x，则x（5﹣x）=（2+x）（2﹣x），解得x=．故答案为：．点评：本题考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意垂径定理和三角形相似的性质等知识点的合理运用．。
九年级数学弦切角定理知识精讲 四年制 试题
九年级数学弦切角定理知识精讲一. 本周教学内容：弦切角定理二. 重点、难点：1. 弦切角的判别方法2. 弦切角定理的使用特征[例1]交AD于连∵又∴ BP⊥AP[例2] PBA为过圆心的割线，PC切⊙O于C，D为⋂AC中点。
〔1〕假设BP=5，PC=15，求BC的长。
〔2〕假设︒=∠55DAB ，求PCB ∠的度数。
.ADBPC解：〔1〕连AC ∵ PC 切⊙O 于C ∴ PAC PCB ∠=∠ 又 ∵ P P ∠=∠ ∴ PBC ∆∽PCA ∆ ∴3515====PC PA BP PC BC AC 4551522===BP PC AP ∴ 40545=-=-=PB PA AB 设x BC =，那么x AC 3=，在ABC Rt ∆中，22240)3(=+x x ∴ 104=x〔2〕∵ ︒=∠55DAB ∴ ︒⋂110mBD∴ ︒⋂70m AD 又 ∵ ⋂⋂=DC AD ∴ ︒⋂140mAC∴ ︒⋂40mBC∴ ︒=∠⋂2021mBC m PCB[例3] 圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于M ，点B 是⋂ABC 的中点，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，试问：与PBA ∠相等的角有几个？解：6个7654321∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠[例4] AC 切⊙O 于A ，CDB 为割线，AC=AB ，E 为⋂AB 的中点，求证：四边形ACDE 为平行四边形。
证明：连AD ∵ AC ∴ C ∠=∠1∴ B C ∠=∠=∠=∠=∠321 ∴ AC ∥DE又 ∵ ∠E=∠B ∴ ∠3=∠E ∴ AE ∥CD ∴ ACDE 为平行四边形[例5] ABC ∆内接于⊙O ，AB=AC ，DC 切⊙O 于C ，交AB 延长线于D 点，DE ⊥AC 于E ，求证：BD=2CE 。
证明：延长CE ∵ AB=AC ∴ ∠1=∠2 ∵ DC 与⊙O 相切 ∴ ∠3=∠A∵ CE=EF ，DE ⊥AC ∴ DC=DF ∴ ∠4=∠F在ABC ∆中，有︒=∠+∠+∠18021A 又知︒=∠+∠+∠180432 ∴ ∠1=∠4 ∴ ∠2=∠F ∴ BC ∥DF ∴ AD=AF ∴ BD=CF ∴ BD=2CE一. 选择题：1. ABC ∆中，︒=∠35B ，︒=∠80C ，过点A 作ABC ∆外接圆的切线交BC 延长线于D ，那么=∠D 〔 〕A. ︒45B. ︒50C. ︒55D. ︒602. 如图，AC 切⊙O 于A ，BD ⊥AC 于D ，交⊙O 于E ，假设AE 平分BAC ∠，那么=∠ABD4. E 为⊙O 内接四边形ABCD 两条对角线的交点，CD 延长线与过A 点的⊙O 的切线交于F 点，假设︒=∠44ABD ，︒=∠100AED ，⋂⋂=AB AD 2，那么=∠AFC 〔 〕A. ︒78B. ︒92C. ︒34D. ︒146二. 填空题：如图，PA 为切线，PBC 为割线，PM 为PAC ∆的中线，求证：122=⋅ADBDPB PAABPMCD[参考答案]一. 选择题：1. A2. A3. C4. C 二.1. ︒90；︒342. cm 24 三.提示：延长PM 至K ，使KM=MP ，连AK ，易知CMP AMK ∆≅∆〔SAS 〕 故K ∠=∠1 AK ∥PC ，BPPCBP AK BD AD == 又由PBA ∆∽PAC ∆知22PB PA PB PA PA PC BP PC =⋅=创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日。
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C
B
O
A
D
C
E
O
A
B
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弦切角定理测试卷 姓名 _____ 1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 _______ . 2.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 ___ .
3.如图，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知 ∠BAC=800，那么∠BDC =______.
4.如图，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为弧AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.
5.如图，PA ， PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB==________.
2题图 3题图 4题图 5 题图 6、如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D
，则DBE 的大小为( ) A.
20 B. 40 C. 60 D. 70
7、如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为( ) A.105° B.115° C.120° D.125°
8、如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为（ ）
A.2
B.3
C.39、如图，AB 是⊙ O 的直径， AC ， BC 是⊙ O 的弦， PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350
，那么∠ACP
等于（ ）A. 350 B. 550 C. 650 D. 125
6题图 7题图 8题图 9题图 10、如图，在⊙ O 中， AB 是弦， AC 是⊙ O 的切线， A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=（ ）
A. 300
B. 450
C. 500
D. 600
11、如图，E 是⊙O 内接四边形 ABCD 两条对角线的交点，CD 延长线与过 A 点的⊙ O 的切线交于F 点，若
∠ABD=440，∠AED=1000
，弧AD=弧AB ， 则∠AFC 的度数为（ ）
A.780
B.920
C.560
D. 1450
C
B
A
D
C
B
A
D
P
O
C
D E O
A
F B
O A
C
B D
A P
C
O D
12、过圆内接△ABC 的顶点 A 引切线交 BC 延长线于D ，若∠B=350，∠ACB=800
，则 ∠D 为（ ）
A.450
B.500
C.550 D ．600
13、如图，过圆内接四边形ABCD 的顶点C 引切线 MN ，AB 为圆直径，若∠BCM=380
，则∠ABC=（ ）
A.380
B. 520
C. 680
D. 420
14、如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）
A. 70°
B. 35°
C. 20°
D. 10°
10题图 11题图 13题图 14题图
15、如图,AB 是⊙O 的直径, ⊙O 过BC 的中点D,DE ⊥AC.求证:DE 是⊙O
16、经过⊙O 上的点
T 的切线和弦AB 的延长线相交于点C ，求证：∠ATC=∠TBC
A
B
C D
E
F。