高等数学课件D111对弧长和曲线积分知识分享
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高数课件11曲线积分曲面积分
L L1 L2
f (x, y ) ds.
(2) 若积分曲线 L 关于 y 轴对称, y 轴两侧的区域分别记为 L1 , L2 . i. 若 f (x, y ) 关于 x 为奇函数, 则 ˆ f (x, y ) ds = 0.
L
ii. 若 f (x, y ) 关于 x 为偶函数, 则 ˆ ˆ ˆ f (x, y ) ds = 2 f (x, y ) ds = 2
È
如果曲线方程为 x = φ(y ), y ∈ [a, b], 则曲线的参数方程为
8 > > < > > :
x = φ(y ),
a ≤ y ≤ b,
y = y, ˆ
b a
因此,
ˆ f (x, y ) ds =
L
8 > > > > > < > > > > &+ φ′2 (y ) dy.
ˆ 例 4 计算 分.
L
(x2 + y 2 ) ds, 其中 L 是以原点为圆心, 半径为 R 的圆周的左半部
y R
R
O
x
−R
6
解: 显然, 曲线的参数方程为
8 > > < > > :
x = R cos θ, y = R sin θ, ˆ
π 3π ≤θ≤ . 2 2
因此,
ˆ (x + y ) ds =
y
1
B
Mn−1
F (ξi , ηi ) Mi (ξi , ηi ) Mi−1 A M1 M2
O
x
#» 解: 首先, 如果力 F 是恒力, 且移动路线是从 A 沿直线到 B, 则所作的功为 #» # » W = F · AB. 其次, 在曲线 L 上依次插入 n−1 个分点 M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ), · · · , Mn−1 (xn−1 , yn−1 ), 将此曲线段分割为 n 个小段曲线, 以 AM1 , M1 M2 , · · · , Mn−1 B 9
f (x, y ) ds.
(2) 若积分曲线 L 关于 y 轴对称, y 轴两侧的区域分别记为 L1 , L2 . i. 若 f (x, y ) 关于 x 为奇函数, 则 ˆ f (x, y ) ds = 0.
L
ii. 若 f (x, y ) 关于 x 为偶函数, 则 ˆ ˆ ˆ f (x, y ) ds = 2 f (x, y ) ds = 2
È
如果曲线方程为 x = φ(y ), y ∈ [a, b], 则曲线的参数方程为
8 > > < > > :
x = φ(y ),
a ≤ y ≤ b,
y = y, ˆ
b a
因此,
ˆ f (x, y ) ds =
L
8 > > > > > < > > > > &+ φ′2 (y ) dy.
ˆ 例 4 计算 分.
L
(x2 + y 2 ) ds, 其中 L 是以原点为圆心, 半径为 R 的圆周的左半部
y R
R
O
x
−R
6
解: 显然, 曲线的参数方程为
8 > > < > > :
x = R cos θ, y = R sin θ, ˆ
π 3π ≤θ≤ . 2 2
因此,
ˆ (x + y ) ds =
y
1
B
Mn−1
F (ξi , ηi ) Mi (ξi , ηi ) Mi−1 A M1 M2
O
x
#» 解: 首先, 如果力 F 是恒力, 且移动路线是从 A 沿直线到 B, 则所作的功为 #» # » W = F · AB. 其次, 在曲线 L 上依次插入 n−1 个分点 M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ), · · · , Mn−1 (xn−1 , yn−1 ), 将此曲线段分割为 n 个小段曲线, 以 AM1 , M1 M2 , · · · , Mn−1 B 9
高数下第十一章曲线积分与曲面积分【优质PPT】
(2)抛物线x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧 ; (3) 有向折线 OAB，这里O, A, B依次是(点0,0)
(1,0),(1,1).
解 (1) 化为x对 的积. 分
L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0 4 1 x3dx 1. 0 2021/5/27
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
y)dy ,其中L
为圆周
x 2 y 2 a 2(按逆时针方向饶行)；
3、 dx dy ydz,其中为有向闭折线 ABCA,这里
32
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成 L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边.
2021/5/27
33
格 林 公 式 的 实 质 : 沟 通 了 沿 闭 曲 线 的 积 分 与 二 重 积 分 之 间 的 联 系 .
2021/5/27
34
y
例 1 计算 xdy,其中曲 AB
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.
其 F P i Q j ,中 d d i s d j . x y
2021/5/27
13
4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P(
(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
高等数学对弧长和曲线积分
B
Mk (ξk,ηk ) ∆s k Mk−1
∑
k= 1
机动
n
A
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2.定义 . 设 L 是平面上一条有限长的光滑曲线, 义在 L上的一个有界函数, 若对 L的任意分割 和对 的 (ξk,ηk ) 局部的任意取点 任意取点, 局部的任意取点 下列“乘积和式极限”
λ→ k= 0 1
lim ∑ f (ξk,ηk )∆sk
平 x 交 . +z2 = 9 与 面 +z =1的 线 2 1 (x − 1)2 + 1 y2 =1 2 2 4 解: L: , 化为参数方程 x + z =1 x = 2cosθ + 1 2 ( 0 ≤θ ≤ 2π ) L: y = 2sinθ z = 1 − 2cosθ 2 则
∫
机动
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结束
例1. 计算
其中
①L是直线 y = x 上点 o ( 0,0 ) , A (1,1) 之间的一段 ②L是折线OBA，其中 o ( 0,0 ) , B (1,0 ) , A (1,1) ︵ ③L是上半圆周AB : x 2 + y 2 = R 2 ︵ 解: ① Q OA : y = x ( 0 ≤ x ≤ 1) , y A (1,1)
L
0
bt a 2 + b 2 dt = 2π 2 µb a 2 + b 2
2π 2 a 0
(
)
a 2 + b 2 dt = 2πµ a 2 a 2 + b 2
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内容小结
1. 定义
∫L f (x, y)ds
高等数学-第七版-课件-11-1 对弧长的曲线积分
四 、对弧长的曲线积分的应用
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念 二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算
四 、对弧长的曲线积分的应用
曲线弧的质心
x
L
x ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
y
L
y ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
(3) 在上述公式中,下限α一定小于上限β. (4) 口诀:变量参数化、一小二起下.
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
特例 (1)
y ( x ) ( x0 x X ) L：
对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念
二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算 四 、对弧长的曲线积分的应用
线性性质
f( x, y) g( x, y) ds f ( x, y)ds g( x, y)ds. L L L
可加性
则曲线积分 L f ( x , y )ds存在, 且
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
注
(1) 对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!
(2) 化为定积分中的三个变化 L f(x,y) ds [α,β] f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
三 变 、 一 注 意
[α,β] 积分弧段 L 被积函数 f ( x , y ) f ( ( t ), ( t )) 弧长元素 ds 2 ( t ) 2 ( t )dt 一点注意 下限一定小于上限
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念 二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算
四 、对弧长的曲线积分的应用
曲线弧的质心
x
L
x ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
y
L
y ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
(3) 在上述公式中,下限α一定小于上限β. (4) 口诀:变量参数化、一小二起下.
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
特例 (1)
y ( x ) ( x0 x X ) L：
对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念
二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算 四 、对弧长的曲线积分的应用
线性性质
f( x, y) g( x, y) ds f ( x, y)ds g( x, y)ds. L L L
可加性
则曲线积分 L f ( x , y )ds存在, 且
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
注
(1) 对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!
(2) 化为定积分中的三个变化 L f(x,y) ds [α,β] f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
三 变 、 一 注 意
[α,β] 积分弧段 L 被积函数 f ( x , y ) f ( ( t ), ( t )) 弧长元素 ds 2 ( t ) 2 ( t )dt 一点注意 下限一定小于上限
《对弧长的曲线积分》课件
其他实际问题中的应用
曲线积分可用于电路和工程学中描述电流和磁场的 路径积分。
四、总结
曲线积分和弧长的关系
曲线积分可以使用弧长来表示。曲线积分的计算 基于弧长。
总结和拓展
通过本课程，您已经了解了对弧长的曲线积分的 基本概念，计算方法和应用。您还可以拓展研究 其他应用，如计算弯曲量和曲率。
五、参考文献
曲线积分的计算可以分为第一型和第二
股定理计算弧长。
型的积分。第一型积分是对曲线在各点
的函数值进行积分，第二型积分是对曲
线的切线和每点法向量的积进行积分。
3
面积的计算
利用二重积分的方法，可以计算由曲线 围成的面积。这种计算有时是研究曲线 性质的关键。
三、应用
物理学中的应用
曲线积分可用于描述物理学上的某些概念，如力和 能量的路径的课程。本次课程将介绍如何计算弧长和曲 线积分，以及其应用于物理学和其他实际问题中。我们将深入研究这一主题， 让您从中受益。让我们开始吧！
一、基本概念
曲线积分的定义
曲线积分是指在弧线上的积分。它可以用来计算弧线上某些量的累积变化，如速度、位移和 质量分布。
弧长的概念
弧长是曲线从起点到终点的长度。它是计算曲线积分的基本量。
曲线的参数方程与弧长公式
曲线的参数方程可以用来方便地计算弧长。通常采用勾股定理和导数的知识来推导弧长公式。
二、计算方法
1
利用参数方程计算弧长
通过曲线的参数方程，我们可以得到它
曲线积分的计算方法
2
在每个点的切线，从而确定其弧长。通 过把切线摆放为三角形，我们可以用勾
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高等数学 曲线积分PPT课件
P( x, y)dx
L
2 f ( x, y)dx L 关于x轴对称，f ( x, y)为y的奇函数
L1
0
L 关于y轴对称，f ( x, y)为x的偶函数
Q(x, y)dy
L
2 Q( x, y)dy L 关于y轴对称，f ( x, y)为x的奇函数
L1
第6页/共41页
三、对坐标的曲线积分的计算方法
y x
du Pdx Qdy, (x, y)G —单连域.
第9页/共41页
四、两类曲线积分之间的联系
L Pdx Qdy L (P cos Q cos )ds.
其中, 为有向曲线弧 L 在点( x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
第10页/共41页
解题方法流程图
1．直接计算法：（化为定积分计算） “描述代入”法 （1）参数方程：
设 L : x (t), y (t); t 从 变到 ; 则
P( x, y)dx Q( x, y)dy
{P[(t), (t)](t) Q[(t), (t)] (t)}dt
L
设 : x (t), y (t), z (t) ; t 从 变到 ; 则
L
1
第3页/共41页
（4）参数方程：若 : x (t), y (t), z (t) ( t ); 则
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),
(t)]
2(t) 2(t) 2(t) dt
注： 被积函数可用积分曲线方程化简！
四、对弧长的曲线积分的应用
1．几何应用 求曲线的弧长 s ds.
43
而被积函数 2xy 3x2 4 y2中又含有3x2 4 y2 ,故可将 3x2 4 y2 12
高等数学课件D111对弧长和曲线积分
解: (x2y2z2)ds
2 [a (cto )2 s(asit)2 n (kt)2] 0
( a sti)2 n (a cto )2 k s2 d t
2019/10/31
a2k2 2[a2k2t2]dt 0
a2k2a2tk32t320
R3si2nd2R32si4n2
0
R3(sinco )s
2019/10/31
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例3. 计算 I x ds, 其中L为双纽线 L ( x 2 y 2 ) 2 a 2 ( x 2 y 2 )( a 0 )
证: 根据定义
n
L
f
(x,
y)ds
lim f
0k1
(k,k)sk
2019/10/31
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设各分点对应参数为 tk(k 0 ,1 , ,n ),
点 (k,k)对应参数为 k [tk 1,tk],
skttkk 1 2(t)2(t)dt
lim
0
k 1
f[(k), (k)]
高等数学课件
2(k)2(k) tk
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因此
L
f (x, y)ds
f[(t) ,(t)] 2 (t) 2 (t)d t
说明:
( 1 ) s k 0 , tk 0 ,因此积分限必须满足 !
2019/10/31
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量
B
D11-1对弧长的曲线积分共26页文档
曲线积分 Lf(x记 ,y)d为 .s
4.性质
( 1 ) L [ f ( x , y ) g ( x , y ) d ] L f s ( x , y ) d L g s ( x , y ) d .
(2 )L k(x f,y )d s k L f(x ,y )ds (k 为)常 .
( 3 )f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
B
作乘积f (i ,i ) si ,
n
并作和 f (i ,i ) si ,
i1
L Mn1
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
如果当各小弧段长的度的最大值 0时, 这和的极限存, 在则称此极限为函f数 (x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分第或一类曲
线积分, 记作 f (x, y)ds, 即 被积函数 L
R3si2nd2R32si4n2
0
R3(sinco )s
例4. 计算曲线积分 线
解: (x2y2z2)ds
其中 为螺旋
的一段弧.
a2k2 2π[a2k2t2]dt 0
2πa2k2(3 a24π2k2) 3
四、几何与物理意义
(1)当 (x,y)表L 示 的线密 , 度时
M L(x,y)d;s
第一节
第十一章
对弧长的曲线积分
一、问题的提出 二、对弧长的曲线积分的概念与性质 三、对弧长的曲线积分的计算法 四、几何与物理意义
一、问题的提出 y
B
L Mn1
实例:曲线形构件的质量
匀质之质量 Ms.
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
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证: 根据定义
n
L
f
(x,
y)ds
lim f
0k1
(k,k)sk
2020/8/3
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设各分点对应参数为 tk(k 0 ,1 , ,n ),
点 (k,k)对应参数为 k [tk 1,tk],
skttkk 1 2(t)2(t)dt
2 (k )2 (k ) tk, k [tk 1,tk]
例3. 计算 I x ds, 其中L为双纽线 L ( x 2 y 2 ) 2 a 2 ( x 2 y 2 )( a 0 )
解: 在极坐标系下 L:r2a2co2s,
y
它在第一象限部分为
ds
L 1 :r a c2 o( 0 s 4 )
o
x
利用对称性 , 得
I
4 L1
xds
404r()co sr2()r2()d
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理: 设f(x,y)是定义在光滑曲线弧
L:x(t),y (t)( t )
上的 L 连f 续( x 函,y 数) d ,s 则 曲 线f 积[ 分( t ) L,f(( xt) ,y)d] s2 存 ( t) 在 ,且2 ( t) d t
2020/8/3
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB , 其线密度为 (x,y,z),
为计算此构件的质量, 采用
(k,k,k)
Mk Mskk1
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
Mlim
说明:
( 1 ) s k 0 , t k 0 , 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds(d x)2(d y)2
y
2(t)2(t)dt
因此上述计算公式相当于“换元法”. o
ds dy dx
xx
2020/8/3
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如果曲线 L 的方程为 y(x )(a x b )则,有
xds
1
x
1(2x)2dx
L
0
1
x
14x2dx
0
112(14x2)3210
y B(1,1) y x2
L
o
1x
1 (5 51) 12
2020/8/3
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例2. 计算半径为 R ,中心角为2的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).
4 4a2cosd2
2a2
0
2020/8/3
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例4. 有一半圆弧 yRsin,xR co (0 s),
其线密度 2,求它对原点处单位质量质点的引力.
解: dFxkRd2scos2Rkcosd
y
ds
dFykRd2ssin2Rksind R
(x, y)
o Rx
Fx2Rk0cosd2R ksincos0
4k R
Fy2Rk0sind2R kco ssin0
2k R
故所求引力为 F4k, 2k
RR
2020/8/3
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f(x,y)ds
L
b
f
(x,(x))
a
12(x)dx
如果方程为极坐标形式: L :r r ()()则,
L f (x, y)ds f(r()c o,rs ()s in )r2()r2()d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x ( t )y ,( t ) ,z ( t ) ( t )
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2ds L
o
L: x y R R c si o ns( )
ds
Rx
L
R 2 s2 in ( R si ) 2 n ( R co ) 2 d s
R3si2nd2R32si4n2
0
R3(sinco )s
2020/8/3
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则 f (x, y,z)ds
f((t),(t) ,(t))2 (t) 2 (t) 2 (t)d t
2020/3
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例1. 计算 xds , 其中L是抛物线 y x2 上点 O (0,0) L
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L :y x 2(0 x 1 )
n
(k,k,k) sk
A
0 k 1
(其中 为 n 个小弧段的最大长度)
2020/8/3
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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
分为
n
L
f
(x,
y)ds
lim f
0k1
(k,k)sk
如果 L 是闭曲线 , 则记为L f(x,y)ds.
则 f(x,y)ds
L
n
lim
0
k
f[(k),(k)]2(k ) 2(k ) tk
1
注意 2(t)2(t)连续
n
2020/8/3
lim
0
k 1
f[(k), (k)]
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2(k)2(k) tk
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因此
L
f (x, y)ds
f[(t) ,(t)] 2 (t) 2 (t)d t
(2) kf(x,y,z)dsk f(x,y,z)ds（k 为常数)
(3) f(x,y,z)dsf(x ,y ,z )d s f(x ,y ,z )d s
1
2
( 由 1 , 2组成)
(4) ds l ( l 为曲线弧 的长度)
2020/8/3
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第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲面域
曲线积分 曲面积分
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
第一节
第十一章
第一型曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问Lds表示什?么
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?
否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
2020/8/3
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3. 性质
(1 ) f(x,y,z)g(x,y,z)ds f(x,y,z)dsg(x,y,z)ds