解析几何常用知识点总结

解析几何常用知识点总结

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（一）直线

１.[)⎪⎭

⎫

⎝⎛≠≠--==∈2112122tan 0x x x x y y k l ，，，直线的倾斜角πααπα

2.直线的方程

（１）点斜式

11()

y y k x x -=- (直线l 过点111(,)

P x y ,且斜率为k ).

（2）斜截式 y kx b =+（b 为直线l 在y 轴上的截距). (３）一般式 0Ax By C ++=（其中Ａ、B 不同时为0)．

特别的：(１）已知直线纵截距，常设其方程为或；已知直线横截距,常设其方程为

(直线斜率k 存在时，为k 的倒数）或.知直线过点，常设其方程为

或

(２)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.

直线两截距相等 直线的斜率为-１或直线过原点； 直线两截距互为相反数 直线的斜率为１或直线过原点; 直线两截距绝对值相等 直线的斜率为或直线过原点．

(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合. 3、几个距离公式

(1）两点间距离公式： 2

2

11221212(,)(,)()()A x y B x y AB x x y y =-+-点点 (２)00(,)x y P 到直线0Ax By C ++=的距离为002

2

Ax By C d A B

++=

+

特别地，当直线L: 0x x =时，点P （00,x y )到L 的距离0d x x =-; 当直线L: 0y y =时,点P (00,x y )到Ｌ的距离0d y y =-.

(３)．两平行线间的距离公式:设1211222

2

:0,:0,C C l Ax By C l Ax By C d a b

-++=++==+则

4.两直线的位置关系:；

;重合

5.三角形的重心坐标公式 ：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y )，则△ＡＢC 的重心的坐标是123123

(,)33

x x x y y y G ++++．

b y kx b =+0x =0x

x my x =+m 0y =00(,)

x y 00()y k x x y =-+0

x x =⇔⇔⇔1±12121212121()0l l k k k k A A B B ⊥⇔=-⇔+=、都存在时{

{

1212

211212121221

//()k k A B A B l l k k b b AC A C ==⇔

⇔≠≠、都存在时

(二)圆

１. 圆的三种方程

(1）圆的标准方程 222

()()x a y b r -+-=.

（２)圆的一般方程 22

0x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0）.

（3）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ) 注意:

（１)．圆心必在弦的中垂线上；两圆相切，两圆心连线必过切点；辅助线一般连圆心与切点或者连圆心与弦中点。

(２).处理直线与圆的位置关系有两种方法:(１）求圆心到直线的距离与圆的半径比较；(2）直线方程与圆的方程联立,看判别式。

2.点Ｐ（00,x y ）和圆222

()()x a y b r -+-=的位置关系:

(1)当222

00()()x a y b r -+->时，点Ｐ在圆外; (2）当222

00()()x a y b r -+-=时,点Ｐ在圆上； (3）当222

00()()x a y b r -+-<时,点Ｐ在圆内.

３.直线和圆的位置关系：

直线与圆相交⇔∆>0 ⇔ d

直线与圆相切⇔∆＝０ ⇔ ｄ=ｒ 直线与圆相离⇔∆<0 ⇔ d ＞r.

4.圆与圆的位置关系:设圆1o 的半径为1r ，圆2o 的半径为2r ,两圆的圆心距为ｄ, 当12d r r >+时,两圆相离;当12d r r =+时，两圆外切；

当1212r r d r r -<<+时，两圆相交;当12r r -＝d 时，两圆内切； 当12r r +d 时，两圆内含。 注意:

(1）若两圆相交时，把两圆的方程作差消去2x 和2

y 就得到两圆的公共弦所在直线的方程。 （２)圆的弦长公式2

2

l r d =-(d 为圆心到直线的距离，ｒ为圆的半径）

(3)求圆外一点P 到圆O 上任一点距离的最小值为PO r -,最大值为PO r +（其中r 为圆的半径） (三）圆锥曲线 １、椭圆：

（1）定义:平面内与两个定点

1F ,

2

F 的距离之和等于常数(大于

12

F F ）的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称

为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距．

(２)椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

错误!＋错误!=1(ａ

＞b＞０）

错误!＋错误!未定义书

签。＝1(a>ｂ＞0）图形

性质

范围

－a≤ｘ≤ａ

-b≤y≤b

－b≤ｘ≤b

-a≤y≤a

对称性对称轴:坐标轴；对称中心:原点

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)

Ｂ1(0，-b)，B2(0，b)

A１(0,－a)，A2(0，a)

B１(－b,0)，B２(b，０)

轴长轴A1A2的长为２ａ;短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F2|=２c

离心率e=错误!未定义书签。∈(0,１)

a,b,c的关系c2＝a2－ｂ2

注意:

(１）椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大值和最小值，且最大距离为a c

+，最小距离为a c

-。

(2)过焦点弦的所有弦长中,垂直于长轴的弦是最短的弦,而且它的长为

2

2b

a

.把这个弦叫椭圆的通经.

(3）求椭圆离心率ｅ时，只要求出a，b，c的一个齐次方程,在结合222

b a c

=-就可求出e(01

e

<<).

2、双曲线

（1）．双曲线的定义：平面内与两个定点1

F

,2

F

的距离之差的绝对值等于常数(小于12

F F

)的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距．

注:实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

(2）. 双曲线的标准方程和几何性质：

标准方程

x2

a2－

错误!＝1

(a>０，b>0)

错误!-错误!=１

(ａ>0,b＞０)

图形

范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤-a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点