两因素方差分析

12.94
38.27 12.76
121.85
364.3
12.19
A因素（化验员）有3个水平，即a=3；B因素
（天数） 有10个水平 ，即 b =10 ， 共有
a×b=3×10=30个观测值。
1 计算各项离差平方和与自由度
C x.. / ab 364.30 /(3 10) 4423.8163
2 列出方差分析表，进行Fwk.baidu.com验
表2 资料的方差分析表
变异来源 化验员间 日期间
误差 合计
SS 0.0283 26.7591
0.4635 27.2509
可以分解为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异
及试验误差三部分；自由度也相应分解。
离差平方和与自由度的分解如下：
SST SS A SS B SS e dfT df A df B df e
各项离差平方和与自由度的计算公式为: 矫正数 总平方和 A因素离差平方和 B因素离差平方和
3.1 交叉分组资料（cross－over classification）
的方差分析
设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水平，B因 素分b个水平 。 所谓交叉分组是指A因素每个水平与B因 素的每个水平都要搭配 ，两者交叉搭配形成ab个水平组
合即处理，试验因素A 、B在试验中处于平等地位 。如
果将试验单元分成 ab 个组，每组随机接受一种处理 ， 因而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资 料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。 分无重复观测值和重复观测值两种类型。
αi，βj分别为Ai、Bj的效应； βj=μj-μ，
μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数，
且Σαi=0，Σβj=0；
εij为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)
A因素的每个水平有b次重复，B因素的每个水平 有a次重复，每个观测值同时受到A、B 两因素及
随机误差的作用。因此全部 ab 个观测值的总变异
【例1】某厂现有化验员3人，担任该厂牛奶酸度 （°T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验， 连续10天的检验分析结果见表6。试分析3名化验员 的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度有 无差异（新鲜牛奶的酸度不超过20 °T ） 。
表1 牛奶酸度测定结果
化验 员 A1 A2 B1 11.71 11.78 B2 10.81 10.7 B3 12.39 12.5 B4 12.56 12.35 B5 10.64 10.32 B6 13.26 12.93 B7 13.34 13.81 B8 12.67 12.48 B9 11.27 11.6 B10 12.68 12.65 x i. 121.33 121.12 x i. 12.13 12.11

b
2

j 1
b
x.2j C
误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB 总自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 误差自由度 dfe= dfT - dfA – dfB =(a-1)(b-1)
相应均方为
MS A SS A / df A , MS B SS B / df B , MS e SS e / df e
2 C x.. / ab
SST

i 1 j 1 a
a
b
( xij x.. )
2
2

i 1 j 1 a
a
b
2 xij C
1 SS A b ( xi. x.. ) xi2. C b i 1 i 1
1 SS B a ( x. j x.. ) a j 1
2 2
2 SST xij C (11.712 11.782 12.94 2 ) 4423.8163
27.2509 1 1 2 SS A xi. C (121.332 121.12 2 121.852 ) C b 10 0.0283 1 1 2 SS B x. j C (35.10 2 32.26 2 38.27 2 ) C a 3 26.7591
x i.
x
j 1 b
b
ij
, ,
A的第i水平b个观测值之和 A的第i水平b个观测值的平均数
1 xi . b x. j x. j
x
j 1 ij
ij
x
i 1 a
a
,
ij
B的第j水平a个观测值之和
1 a
a i 1
x
i 1 b j 1
,
B的第j水平a个观测值的平均数 ab个观测值的总和
SS e SST SS A SS B 27.2509 0.0283 26.7591 0.4635 dfT ab 1 3 10 1 29 df A a 1 3 1 2 df B b 1 10 1 9 df e dfT df A df B 29 2 9 18
x..
x..
x
b
ij
x ij / ab
i 1 j 1
a
ab个观测值的总平均数
两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：
xij i j ij
(5-26)
式中， μ为总平均数； αi=μi-μ，
(i 1,2,, a; j 1,2,, b)
A3
x.j x.j
11.61
35.10 11.70
10.75
32.26 10.75
12.4
37.29 12.43
12.41
37.32 12.44
10.72
31.68 10.56
13.1
39.29 13.10
13.58
40.73 13.58
12.88
38.03 12.68
11.46
34.33 11.44
3.1.1 两因素无重复试验资料的方差分析 对于A、B两个试验因素的全部ab个水平组合，
每个水平组合只有一个观测值（无重复），
全试验共有ab个观测值，其数据模式如下表 所示。
表 两因素无重复观测值的试验数据模式
注：A因素有a个水平，B因素有b个水平，共计有ab个水 平组合，每一组合观测一次，有ab个观测值（表5），xij 为A的第i水平与B的第j水平组合观测值。