第二次数学危机与克服

第二次数学危机及其克服

摘要：十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。微积分产生初期，由于还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论)，出现了这样那样的问题，被一些别有用心的人钻了空子。事实往后百多年亦没有人能清楚回答这些问题。这就是历史上的第二次数学危机，而这危机的引发和牛顿有直接的关系。

关键词：第二次数学危机；数学危机；微积分；克服

一、第二次数学危机的来源

第二次数学危机的实际问题来源于牛顿的求导数方法。牛顿在《求积术》一文中使用论证得出了y=x^n的导数是nx^(n-1),这个方法和结果在实际应用中非常成功，大大推进了科学技术的发展。然而，牛顿的论证其实是有严重纰漏的。在增量无穷小的情况下，牛顿直接令其等于零从而解决问题，但是，一个无穷小的量真的等于零吗？

显然，牛顿时代对于极限这一问题研究尚不够深入，使得增量时有时无的逻辑问题显得尤为严重。牛顿在微积分问题上的不严谨，直接导致了第二次数学危机。

二、第二次数学危机的影响

毕达哥拉斯关于数的信条及以数为基础的宇宙模型的破产,导致了第一次数学危机.这一危机的影响是巨大的,它不仅推动了数学及其相关学科的发展,使古希腊数学的基础发生了根本性的变化,而且推动了整个科学的发展.在古希腊,数学和哲学是结盟的,哲学使古希腊的数学趋于抽象和真理.正是由于古希腊的哲学背景,使其有可能建立世界上第一个数学公理系统,并最终导致了近代科学的诞生.

三、第二次数学危机的解决

一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。

波尔查诺不仅承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。

在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。

四、结束语

一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小

参考文献

[1] 张顺燕.数学的源与流[M].高等教育出版社，2003年，第二版

[2] 王林全.中学数学思想方法概论.暨南大学出版社，2000年，第一版

[3] 李翼忠.中学数学方法论.广东高等教育出版社，1986年