自动控制原理及其应用
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Z2 ( Z − 0.8)(Z − 0.1)
∗
答案： （1） f (t ) =
（2 ∑10
k =0
∞
K
−1 ）δ (t − kT )
1
*（2） f (t ) =
∗
∑ (1 − e
k =0
∞
− akT
)δ (t − kT )
*（3） f (t ) =
∗
1 ∞ （0.8k +1 − 0.1k +1）δ (t − kT ) ∑ 0.7 k = 0
G ( z ) = K (1 − z −1 ) Z [ 1 = K (1 − z −1 )[ 1 − z −1 K (1 − e −T ) z −1 = 1 − e −T z −1
（2） Φ ( z ) =
C ( z) G( z) K (1 − e −T ) z −1 = = R ( z ) 1 + G ( z ) 1 + ( K − e −T − Ke −T ) z −1
3.6 如图题 3.6 所示采样控制系统：
r(t) T
1 − e− Ts s
K s +1
c(t)
图题 3.6 （1）求系统开环脉冲传递函数； （2）求闭环系统脉冲传递函数；
2
（3）写出系统的差分方程。 解： （1） G ( s ) =
1 − e −Ts K s s +1 1 1 1 ] = K (1 − z −1 ) Z [ − ] s ( s + 1) s s +1 1 − ] 1 − e −T z −1
G1 ( z ) R( z ) 1 + G1G2 ( z ) + G1 ( z )G3 ( z )
3.8 如图题 3.8 所示采样控制系统 (1)求在输入和扰动共同作用下的输出量的 Z 变换表达式； (2)求系统输出 C ( z ) 与输入 R( z ) 之间的 Z 传递函数； (3)设 D1 ( z ) = 1 ， D 2 ( z ) = 0 ， G1 ( s ) =
C (k ) =
k 1 + (−1) k (2k 2 − k ), (k = 0,1....) 4 4
z 3 + 7 z 2 + 17 z ( z + 1)( z + 2)( z + 3)
(4) C ( z ) =
C (k ) = 5.5(−1) k − 7(−2) k + 2.5(−3) k , (k = 0,1.....)
2 3
（2） λ , λ , λ ,
2
3
λ,4 Λ Λ
答案： (1)
z λz ; ( 2) z−λ z−λ
3.3 设采样周期为 0.5 秒，求函数 f (t ) 的 Z 变换 F ( Z )
⎧1 f (t ) = ⎨ ⎩0
答案： F ( z ) = 1 + z
−1
当0 ≤ t < 2.2 t < 0和t ≥ 2.2
k =0
∞
F ∗ ( s ) = ∑ kTe − akT e − kTs
k =0 ∞
∞
（2） f (t ) =
Fra Baidu bibliotek
∗
∑ e −akT sin ωkTδ (t − kT )
k =0
F ∗ ( s ) = ∑ e − akT sin ωkTe − kTs
k =0
3.2 求下列序列的 Z 变换，设 k < 0 时 f ( k ) = 0 。 （1） 1, λ , λ , λ , Λ Λ
3.5 用 Z 变换法解下列差分方程 （1） c ( k + 2) + 3c ( k + 1) + 2c ( k ) = 0 ， c (0) = 0, c (1) = 1 。 （2） c ( k + 2) − 3c ( k + 1) + 2c ( k ) = r ( k ) ， r ( k ) = δ ( k ), c (0) = c (1) = 0 。 （3） c ( k + 2) + 2c ( k + 1) + c ( k ) = r ( k ) ， r ( k ) = k , ( k = 0,1,2 Λ Λ ), c (0) = c (1) = 0 。 （4） c ( k + 3) + 6c ( k + 2) + 11c ( k + 1) + 6c ( k ) = 0 ， c (0) = c (1) = 1 ， c ( 2) = 0 。 答案： （1） C ( z ) =
+ z −2 + z −3 + z −4
3.4 用长除法、部分分式法和留数法求 F ( Z ) 的反变换 （1） F ( Z ) =
10Z ( Z − 1)( Z − 2)
Z −1 (1 − e − aT ) （2） F ( Z ) = (1 − Z −1 )(1 − Z −1e − aT )
（3） F ( Z ) =
（3）当 D1 ( z ) = 1 ， D 2 ( z ) = 0 时， 由（2）得
Φ( z ) =
Gh G1G2 ( z ) 1 + D1 ( z ) ⋅ Gh G1G2 ( z )
代入数据，化简可得：
Φ( z ) =
k (1 − e −T ) z + k (1 − e −T ) − e −T
4
第 3 章习题 3.1 已知理想采样开关的采样周期为 T 秒，连续信号为下列函数，求采样的输出信号 f (t ) 及其拉氏变换 F ( s ) 。 （1） f (t ) = te （2） f (t ) = te
∗
− at * *
− at
sin ωt
*答案（1） f (t ) =
∞
∑ kTe− akT δ (t − kT )
Gh G1G2 ( z )[ D1 ( z ) + D2 ( z )] G2 N ( z ) ⋅ R( z ) + 1 + D1 ( z )Gh G1G2 ( z ) 1 + D1 ( z ) ⋅ Gh G1G2 ( z )
（2） Φ ( z ) =
( D1 ( z ) + D2 ( z ))Gh G1G2 ( z ) 1 + D1 ( z ) ⋅ Gh G1G2 ( z )
K ， G 2 ( s) = 1 ， G h ( s) 是零阶保持器，求系统输 s +1
出 C ( z ) 与输入 R( z ) 之间的 Z 传递函数。
T
D2 ( z )
T
N (s)
R( s)
T
D1 ( z )
T
Gh ( s)
C ( s)
G1 ( s )
G2 ( s)
3
图题 3.8 解： （1） C ( z ) =
z −z + z +1 z + 2
C (k ) = (−1) k − (−2) k , (k = 0,1,.....)
（2） C ( z ) =
1 z − 3z + 2
2
k = 0,1 ⎧ 0; C (k ) = ⎨ k −1 ⎩2 − 1; k = 2,....
(3) C ( z ) =
kz ( z + 1) 2 ( z − 1)
−T
(3) c( k ) + ( K − e
− Ke −T )c(k − 1) = K (1 − e −T )r (k − 1)
3.7 求图题 3.7 所示采样系统输出 C ( z ) 表达式。
R(s)
⊗
E (s)
−
⊗
G1 ( s )
−
•
C (s)
D( s) G3 (s)
图题 3.7
G 2 (s)
答案： C ( z ) =
∗
答案： （1） f (t ) =
（2 ∑10
k =0
∞
K
−1 ）δ (t − kT )
1
*（2） f (t ) =
∗
∑ (1 − e
k =0
∞
− akT
)δ (t − kT )
*（3） f (t ) =
∗
1 ∞ （0.8k +1 − 0.1k +1）δ (t − kT ) ∑ 0.7 k = 0
G ( z ) = K (1 − z −1 ) Z [ 1 = K (1 − z −1 )[ 1 − z −1 K (1 − e −T ) z −1 = 1 − e −T z −1
（2） Φ ( z ) =
C ( z) G( z) K (1 − e −T ) z −1 = = R ( z ) 1 + G ( z ) 1 + ( K − e −T − Ke −T ) z −1
3.6 如图题 3.6 所示采样控制系统：
r(t) T
1 − e− Ts s
K s +1
c(t)
图题 3.6 （1）求系统开环脉冲传递函数； （2）求闭环系统脉冲传递函数；
2
（3）写出系统的差分方程。 解： （1） G ( s ) =
1 − e −Ts K s s +1 1 1 1 ] = K (1 − z −1 ) Z [ − ] s ( s + 1) s s +1 1 − ] 1 − e −T z −1
G1 ( z ) R( z ) 1 + G1G2 ( z ) + G1 ( z )G3 ( z )
3.8 如图题 3.8 所示采样控制系统 (1)求在输入和扰动共同作用下的输出量的 Z 变换表达式； (2)求系统输出 C ( z ) 与输入 R( z ) 之间的 Z 传递函数； (3)设 D1 ( z ) = 1 ， D 2 ( z ) = 0 ， G1 ( s ) =
C (k ) =
k 1 + (−1) k (2k 2 − k ), (k = 0,1....) 4 4
z 3 + 7 z 2 + 17 z ( z + 1)( z + 2)( z + 3)
(4) C ( z ) =
C (k ) = 5.5(−1) k − 7(−2) k + 2.5(−3) k , (k = 0,1.....)
2 3
（2） λ , λ , λ ,
2
3
λ,4 Λ Λ
答案： (1)
z λz ; ( 2) z−λ z−λ
3.3 设采样周期为 0.5 秒，求函数 f (t ) 的 Z 变换 F ( Z )
⎧1 f (t ) = ⎨ ⎩0
答案： F ( z ) = 1 + z
−1
当0 ≤ t < 2.2 t < 0和t ≥ 2.2
k =0
∞
F ∗ ( s ) = ∑ kTe − akT e − kTs
k =0 ∞
∞
（2） f (t ) =
Fra Baidu bibliotek
∗
∑ e −akT sin ωkTδ (t − kT )
k =0
F ∗ ( s ) = ∑ e − akT sin ωkTe − kTs
k =0
3.2 求下列序列的 Z 变换，设 k < 0 时 f ( k ) = 0 。 （1） 1, λ , λ , λ , Λ Λ
3.5 用 Z 变换法解下列差分方程 （1） c ( k + 2) + 3c ( k + 1) + 2c ( k ) = 0 ， c (0) = 0, c (1) = 1 。 （2） c ( k + 2) − 3c ( k + 1) + 2c ( k ) = r ( k ) ， r ( k ) = δ ( k ), c (0) = c (1) = 0 。 （3） c ( k + 2) + 2c ( k + 1) + c ( k ) = r ( k ) ， r ( k ) = k , ( k = 0,1,2 Λ Λ ), c (0) = c (1) = 0 。 （4） c ( k + 3) + 6c ( k + 2) + 11c ( k + 1) + 6c ( k ) = 0 ， c (0) = c (1) = 1 ， c ( 2) = 0 。 答案： （1） C ( z ) =
+ z −2 + z −3 + z −4
3.4 用长除法、部分分式法和留数法求 F ( Z ) 的反变换 （1） F ( Z ) =
10Z ( Z − 1)( Z − 2)
Z −1 (1 − e − aT ) （2） F ( Z ) = (1 − Z −1 )(1 − Z −1e − aT )
（3） F ( Z ) =
（3）当 D1 ( z ) = 1 ， D 2 ( z ) = 0 时， 由（2）得
Φ( z ) =
Gh G1G2 ( z ) 1 + D1 ( z ) ⋅ Gh G1G2 ( z )
代入数据，化简可得：
Φ( z ) =
k (1 − e −T ) z + k (1 − e −T ) − e −T
4
第 3 章习题 3.1 已知理想采样开关的采样周期为 T 秒，连续信号为下列函数，求采样的输出信号 f (t ) 及其拉氏变换 F ( s ) 。 （1） f (t ) = te （2） f (t ) = te
∗
− at * *
− at
sin ωt
*答案（1） f (t ) =
∞
∑ kTe− akT δ (t − kT )
Gh G1G2 ( z )[ D1 ( z ) + D2 ( z )] G2 N ( z ) ⋅ R( z ) + 1 + D1 ( z )Gh G1G2 ( z ) 1 + D1 ( z ) ⋅ Gh G1G2 ( z )
（2） Φ ( z ) =
( D1 ( z ) + D2 ( z ))Gh G1G2 ( z ) 1 + D1 ( z ) ⋅ Gh G1G2 ( z )
K ， G 2 ( s) = 1 ， G h ( s) 是零阶保持器，求系统输 s +1
出 C ( z ) 与输入 R( z ) 之间的 Z 传递函数。
T
D2 ( z )
T
N (s)
R( s)
T
D1 ( z )
T
Gh ( s)
C ( s)
G1 ( s )
G2 ( s)
3
图题 3.8 解： （1） C ( z ) =
z −z + z +1 z + 2
C (k ) = (−1) k − (−2) k , (k = 0,1,.....)
（2） C ( z ) =
1 z − 3z + 2
2
k = 0,1 ⎧ 0; C (k ) = ⎨ k −1 ⎩2 − 1; k = 2,....
(3) C ( z ) =
kz ( z + 1) 2 ( z − 1)
−T
(3) c( k ) + ( K − e
− Ke −T )c(k − 1) = K (1 − e −T )r (k − 1)
3.7 求图题 3.7 所示采样系统输出 C ( z ) 表达式。
R(s)
⊗
E (s)
−
⊗
G1 ( s )
−
•
C (s)
D( s) G3 (s)
图题 3.7
G 2 (s)
答案： C ( z ) =