线性代数释疑解难
探索高中数学中的线性代数问题的解题技巧
探索高中数学中的线性代数问题的解题技巧高中阶段的数学学科中，线性代数问题一直是难点和重点之一。
许多学生在学习这一部分时常常会遇到各种各样的问题，而其中最大的问题则在于解题技巧。
在今天的文章中，我们将会探索一下在高中数学中，如何更加高效的解决线性代数问题。
一、了解基本概念在学习线性代数问题时，首先需要了解一些基本的概念，例如向量、矩阵等。
向量可以看做是一个有向线段，其长度为模长，方向为方向角；而矩阵则是由数个数构成的矩形阵列。
学生们应该首先了解这些基本概念，并且掌握它们之间的互相转化关系。
二、掌握基本运算法则解决线性代数问题的一个必要条件就是掌握基本的运算法则，例如加法、减法、数乘、转置、乘法等。
在掌握了这些基本运算法则之后，我们就能够更加容易地进行计算，从而更快、更准确地得出答案。
三、熟练应用高斯消元法高斯消元法是解决线性代数问题的一种经典方法。
在数学高中阶段学习线性代数时，学生们应该熟悉并掌握这一方法的应用，从而在进行数学计算时更加得心应手。
四、重视矩阵的秩和行列式在矩阵的秩和行列式中，包含了比如求解线性方程组解、判断矩阵线性无关等重要概念。
掌握这一点，可以帮助学生们更加深入理解线性代数的相关内容。
五、注重实际应用在学习数学的过程中，不仅仅只需要理解具体的概念和方法，还需要注重实际应用。
因此，在学习过程中，需要关注线性代数的实际应用，例如掌握矩阵在计算机图形处理中的应用、了解线性代数在人工智能中的应用等等。
六、注重举一反三学习数学，不仅仅是掌握具体的概念、方法和应用，还需要注重举一反三。
在解决一道线性代数问题的过程中，如果能够形成思维习惯，逐渐掌握一般化的解题方法和思路，那么对于提高解题效率和分析问题能力来说，是非常有帮助的。
七、勤于联系最后，无论是在解决线性代数问题的过程中还是在整个数学学习过程中，勤于联系对于提高数学能力和解题效率来说都是非常重要的。
只有通过大量的联系和实际运用，才能更加深入地了解和掌握线性代数问题的解题技巧。
《线性代数》教学中若干难点的探讨.doc
《线性代数》教学中若干难点的探讨-摘要：在《线性代数》的教学过程中，有很多抽象的概念学生很难理解，比如线性相关、线性无关，极大线性无关组、向量组的秩等等。
本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，化抽象为具体，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。
关键词：线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。
通过对本课程的学习，学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。
通过各个教学环节的学习，可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力。
另外，通过《线性代数》的学习，还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。
因此，只有熟练掌握这门课程，才能较好地运用到各个专业中。
由于该课程内容抽象，教学课时短，这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。
本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。
一、线性相关性与线性无关性线性方程组理论是线性代数的基本内容之一，而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。
教材第三章线性方程组开门见山，直接给出了线性相关及线性无关的定义。
线性相关是指一个向量组α1，α2，…，αs，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，则称该向量组α1，α2，…，αs线性相关。
如果不存在这样一组不全为零的数，则称该向量组α1，α2，…，αs线性无关。
单纯地称某向量组线性相关或线性无关，对于学生来说是比较抽象的，他们对这一定义总是感觉很模糊，很难理解，如何才能更好地更形象地理解这一定义呢？如果在教学中，把这块知识与解析几何联系起来，用几何知来解释什么是线性相关或线性无关，那么学生肯定更容易接受。
解决考研数学线性代数难题的思路
解决考研数学线性代数难题的思路数学线性代数作为考研的一门重要科目，常常是考生们的难点之一。
尤其是在解决线性代数难题时，许多考生感到头痛和困惑。
但只要我们掌握了一些解题的思路和方法，线性代数难题也能迎刃而解。
本文将从理清问题、建立逻辑框架、运用适当的定理和技巧等方面，介绍解决考研数学线性代数难题的思路。
一、理清问题在解决考研数学线性代数难题之前，首先要理清题目所问的问题。
有些难题在表达上可能会很复杂，但只要一步一步分析，并找到问题的关键，就能够明确解题思路。
例如，对于一个题目要求证明两个矩阵的相等性，我们可以先逐个比较两个矩阵的对应元素，然后运用相应的性质和定理来推导出它们相等的结论。
理清问题，找到题目的关键性质是解决线性代数难题的第一步。
二、建立逻辑框架在解决考研数学线性代数难题时，我们需要建立一个清晰的逻辑框架，以便有条不紊地进行推导和证明。
一般来说，可以分为以下几个步骤：1. 从已知条件入手，利用已知的性质和限制条件进行推导；2. 运用适当的定理和公式，将已知条件与要求结合起来，逐步推导出所需要的结论；3. 如果题目中存在一些未知量或未知条件，可以尝试假设和推理，然后进行反证或逆否推理，最终得出结论；4. 最后，利用所得的结论对题目进行归纳总结，确保推导的完整性和正确性。
建立逻辑框架可以帮助我们清晰地分析问题，合理地组织思路，并且避免遗漏和混乱。
三、运用适当的定理和技巧解决考研数学线性代数难题还需要熟练掌握一些常用的定理和技巧。
这些定理和技巧可以帮助我们快速推导和解决问题。
例如，当我们遇到一个线性方程组的问题时，可以利用消元法、伴随矩阵法或克莱姆法则来求解未知数；当问题涉及到矩阵的特征值和特征向量时，可以运用特征多项式和线性变换的性质来求解。
熟练应用这些定理和技巧，能够大大提高解题的效率和准确性。
另外，注意审题和反复演算也是解决数学线性代数难题的重要因素。
仔细阅读题目，理解题意，判断所给信息的重要性和关联性，有助于我们找到正确的解题方法。
线性代数重点难点
线性代数重点难点一、重点内容及要求：1. 理解行列式的概念，能熟练运用行列式的基本性质以及行列式按行(列)展开定理计算行列式,会用Laplace定理和Cramer 法则解线性方程组。
2. 理解矩阵及其秩的概念，会用初等变换求其秩，掌握线性方程组有解、有唯一解以及无解的条件。
掌握用行的初等变换求方程组解的方法。
3. 会熟练运用矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算法则,会计算方阵乘积的行列式。
理解矩阵可求逆的概念，掌握利用伴随矩阵和初等变换求出矩阵逆的方法。
理解矩阵的初等变换和初等矩阵的关系, 理解初等变换和矩阵乘法的关系，掌握矩阵可逆的充要条件。
掌握分块矩阵的运算法则。
4. 理解线性空间、向量的线性组合和线性表示、向量组等价、向量组的线性相关线性无关以及向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的性质，能判断向量组的线性相关和无关性，会求出向量组的极大线性无关组、确定向量组的秩。
掌握子空间的判断条件，会求出线性空间的基、维数以及向量在一组基下的坐标。
理解基变换的概念，会求过渡矩阵、会用坐标变换公式。
掌握理解向量组的秩与矩阵秩的关系。
理解非齐次线性方程组的解与其导出的齐次线性方程组的解之间的关系、掌握齐次线性方程组基础解系的求法以及写出非齐次线性方程组的通解。
5. 理解内积和欧氏空间的概念，掌握Schmidt正交化方法，理解标准正交基、正交矩阵的概念及其相关性质。
6. 了解线性变换的概念，会写出在基下的矩阵。
理解线性变化和矩阵特定的一一对应关系。
理解并能熟练计算矩阵的特征值和特征向量，掌握矩阵的特征值和特征向量的相关性质。
理解相似矩阵的概念和性质。
掌握矩阵可相似对角阵的充要条件，能熟练地利用之化矩阵为对角阵。
理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，能熟练地用整交矩阵化实对称矩阵化为对角阵。
7. 理解二次型及其秩的概念，理解对称矩阵和二次型的一一对应关系，理解二次型的标准形、规范形概念以及惯性定理，熟练利用配方法和正交矩阵化二次型为标准形。
线性代数第四章释疑解难
注意 当向量组 α1, α2 , , αr 线性无关, 则 线性无关,
其任何一部分向量组都线性无关. 其任何一部分向量组都线性无关
4. 若 α1, α2 , , αr ( r ≥ 2 )是线性相关的,则 )是线性相关的 是线性相关的, 其中任何一个向量都可由其余向量线性表示吗? 其中任何一个向量都可由其余向量线性表示吗? 答 结论是否定的. 我们知道, 结论是否定的 我们知道 若 α1, α2 , ,
表示. 表示
5 . 向量组的线性相关性能否用线性方程组 的解来判定? 的解来判定? 答 按向量组线性相关的定义 可知列向量组 按向量组线性相关的定义,
α1, α2 , , αn 线性相关的充要条件是齐次线性方
程组 x1α1 + x2α2 + + xnαn = 0 有非零解, 有非零解 也就是齐次线性方程组
αr (r ≥ 2 ) 是线性相关的 则其中至少有一个向量 是线性相关的,
能由其余向量线性表示, 但并非其中任一向量都 能由其余向量线性表示 能由其余向量线性表示. 能由其余向量线性表示 例如
α1 = (0,0) , α2 = (1,1) , α1 , α2 很显然是线性相关的 但 α2 不能由 α1 线性 很显然是线性相关的,
3 2 2 1 1 0 1 2 1 0 = , 2 6 4 5 7 1 3 4 0 19
3 2 2 1 1 0 1 2 1 0 A= 2 6 4 5 7 1 3 4 0 19
行变换
1 0 0 0
3 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
k1, k2 , , kr 使得 k1α1 + k2α2 + + krαr = 0 .
数学练习巧解复杂的线性代数问题
数学练习巧解复杂的线性代数问题线性代数是数学中重要的一个分支，它研究向量空间及其线性变换的性质。
在实际应用中，线性代数常常被用于解决复杂的问题。
然而，对于初学者来说，直面这些复杂的线性代数问题可能会感到困扰。
本文将介绍几种巧解复杂线性代数问题的方法，并提供相应的示例。
1. 利用矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的重要性质，利用它们可以简化线性代数问题的求解过程。
对于一个n × n的矩阵A，特征值λ和特征向量v满足Av = λv。
通过求解矩阵的特征值，我们可以得到线性代数问题的解。
例如，考虑一个二阶矩阵A = [3 1; 1 3]，我们可以通过求解其特征值来解决线性代数问题。
首先，我们求解矩阵A的特征方程det(A - λI) = 0，其中I是单位矩阵。
解得特征值λ1 = 4和λ2 = 2。
接下来，我们可以求解相应的特征向量v1和v2。
将特征值代入(A - λI)v = 0，我们得到两个特征向量v1 = [1 1]和v2 = [-1 1]。
通过特征值和特征向量，我们可以得到矩阵A的对角化形式A = PDP^(-1)，其中D是对角矩阵，P是由特征向量组成的矩阵。
2. 应用行列式的性质行列式是线性代数中的重要概念，它可以用于求解矩阵的逆、判断矩阵的秩、计算矩阵的行列式等。
利用一些行列式的性质，我们可以巧妙地解决复杂的线性代数问题。
例如，考虑一个三阶矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，我们可以利用行列式的性质求解该矩阵的逆。
首先，我们计算矩阵A的行列式det(A) = 0。
由于行列式为零，说明矩阵A不可逆。
接下来，我们可以计算矩阵A的秩来判断其可逆性。
通过高斯消元法，我们可以将矩阵A变为行最简形式[1 0 -1; 0 1 2; 0 0 0]，可以看出秩为2。
由于秩小于矩阵的阶数，说明矩阵A不可逆。
3. 利用矩阵的特殊性质在现实问题中，有些矩阵具有特殊的性质，利用这些性质可以更加高效地解决线性代数问题。
线性代数中常见的难题,易错题目解析
线性代数中常见的难题,易错题目解析
1、代数精度：在数值分析中，精度指的是数值计算中所得结果的可靠性，也就是说计算结果是否正确取决于数值计算的精度。
此题目可能会难以回答，要求学生根据自身的数学定义和知识框架来理解和作答，其中的考点是数值计算的精度与数值计算成果的可靠性之间的关系。
2、矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵的数学定义，它表示某个矩阵的列数减去它的0行的数目，考察学生对该数学概念的理解程度。
因此，求解矩阵的秩需要对矩阵中的元素进行运算，并判断结果来计算矩阵的秩。
3、线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是一个线性方程组的重要概念，表示该线性方程组的解的性质。
系数矩阵的求解主要是根据矩阵操作的行列式计算方法、决定系统的可解性来确定系数矩阵的结构。
4、矩阵乘法：矩阵乘法是线性代数最重要的基本概念之一，它以秩、矩阵维数和矩阵中元素的乘法计算来表示两个矩阵的乘积结果。
矩阵乘法可以有效地解决实际问题，是解决线性方程组最常用的工具之一。
5、矩阵求逆：矩阵求逆是线性代数中常见的概念，它表示将矩阵转换成单位矩阵的变换。
考生在面对本题时，除了熟悉矩阵求逆的基本概念外，还需要掌握大量的乘法和除法运算，以及应用消元法计算矩阵求逆的过程。
6、行列式：行列式是一种矩阵形式的数形式，它由矩阵中各元素的行列式代数计算所构成的一种数字的结果。
通过行列式可以判断矩阵的可逆性、行列式的值与矩阵元素有关。
学生在解答本题时，要掌握行列式的基本概念和行列式的计算方法，以及应用行列式来确定矩阵的可逆性的过程。
线性代数难点解析
一章行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。
2、掌握：行列式的基本性质及推论。
3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。
二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。
三、重要公式1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-14、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1）利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。
②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。
③逐次行（列）相加减，化简行列式。
④把行列式拆成几个行列式的和差。
4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式5）数学归纳法，多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。
注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。
4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出第二章矩阵一、重点1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即AB≠BA2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2(AB)k≠AkBk(A+B)(A-B)≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。
线性代数中常见的难题、易错题目解析
线性代数中常见的难题、易错题目解析线性代数是数学的一个重要分支，包括线性方程组、矩阵论、特征值分解等内容，已经成为许多学科的必备的基础知识。
随着学科的发展，线性代数也成为了一门杂而乱的学科，其中很多难题和易错题目都会困扰学习者。
本文将从难题、易错题的解析的角度，介绍如何解决线性代数中常见的难题和易错题目。
一、难题1、求解方程组求解方程组是一个具有挑战性的问题，如果把它当做一个整体去理解和求解，那么将是一个棘手的问题。
一般来说，可以用矩阵的乘法法则进行求解，或者用换元法来求解，或者用逐步求解法求解，最后结合容易理解的思想，来解决更加复杂的多元方程组。
2、求矩阵的特征值、特征向量矩阵的特征值和特征向量非常重要，求解特征值和特征向量十分困难。
特征值是矩阵行列式的解，而特征向量则是将特征值代入矩阵方程来求解，这两个问题会有一定的耦合性，有时候也不容易像前者一样能够得出精确的解。
因此，对矩阵的特征值和特征向量求解，一般来说要尽可能的用矩阵的几何性质，来解决相关的问题。
3、找到向量的基础向量的基础是要证明一组给定的向量可以线性表示其他所有的向量，也就是说，它们能够形成一个若干个线性无关向量的基础。
但是在找到向量的基础时，有时会出现向量冗余的情况，我们要在构造基础时尽可能消除冗余，使用一些四元数计算可以大大减少搜索时间，然后在手动检查和调整时，来增强搜索的精确性和准确性。
二、易错题1、矩阵相乘的几何意义很多学生常常弄混矩阵的相乘的几何意义，将它和普通的算术乘法混为一谈。
实际上，矩阵的相乘有重要的几何意义，也就是图像的变换，图像可以用平移、旋转、缩放等形式来表示，而所有的变换就是矩阵乘法的几何意义。
2、判断一个矩阵是否是对称矩阵对称矩阵是比较常见的一类矩阵，但是给出一个矩阵之后数学家要判断它是否是对称矩阵，也是一个相当难的问题。
其实并不难，只要把它乘自身的转置就可以得到判断的答案，如果转置之后的矩阵和原矩阵相同，那么它就是一个对称矩阵，反之则不是。
线性代数释疑解难
B3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0上角为一 单位矩阵,其它位置上的元素 全都为 0 .
2. 一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩
阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明.
答 矩阵的行阶梯形矩阵不唯一, 而其行最
时, 先把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵. 由行阶 梯形矩阵容易得出它的系数矩阵和增广矩阵的秩,
若它们不等, 则方程组无解; 若它们相等,则方程
组有解,这时, 需把增广矩阵进一步化成行最简形
矩阵;
其次,写出行最简形矩阵所对应的方程组 ,
最后令自由未知量等于任意常数,即可得方程组
的解.
一个元素不等于零; 3)
是零.
阶梯线以下的所有元素都
它们的不同点是:
行最简形矩阵要求每个阶梯上
的第一个非零元为 1 , 且第一个非零元所在的列
上的所有元素全都为零;标准形要求所有的非零元
都为1. 如.
1 0 B1 0 0 1 0 B2 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0
简形矩阵和标准形矩阵是唯一的. 如
2 A 1 3 3 4 7 5 2 3
2 A1 0 0
3 5/2 0
9/ 2 0 5
1 A2 0 0
4 5 0
2 9 0
1 A3 0 0
左上角为一单位矩阵其它位置上的元素全都为一个矩阵的行阶梯形矩阵行最简形矩一个矩阵的行阶梯形矩阵行最简形矩阵标准形矩阵唯一吗
释 疑 解 难
1. 一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩 阵、标准形矩阵有何异同?
答 它们的共同点是: 1) 阶梯数相等,且等于矩
考研数学线代部分重难点总结
考研数学线代部分重难点总结线代这门课的特点线性代数与高数和概率相比，特点之一是知识点比较细碎。
如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多；但线代更重要的特点在于知识点间的联系性很强。
这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。
历年考研真题中线代部分的题目都很灵活，在一道大题甚至小题中就可以考察到多个知识点，而且过渡自然、结构巧妙；有相当一部分题目可以找出多种解法。
出现这种情况当然与出题专家水平高有关，但内在原因还是在于线性代数这门课“知识点间联系性强”的特点。
所以我们在复习线代的策略中，有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通”。
“融会”可以理解为设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”可以理解为掌握前后知识点之间的顺承关系。
这样做的目的就在于——当看到题目的条件和结论、推测出其中涉及到的知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识点队列，从而大大提高解题效率、增加得分胜算。
这样的复习策略虽然也能够用于高数和概率，但在线代复习中的作用体现的最为明显。
以第三章《向量》、第四章《线性方程组》为例，“线性相关”、“线性表示”的概念与线性方程组的某些性质定理之间存在着相互推导和相互印证的关系；出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的内容结合起来出题，比如在历年真题中出现频率很高的性质“齐次方程组是否有零解对应于A的列向量组是否线性相关；非齐次方程组Ax=b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示”。
再如一个貌似考察向量组线性无关的题目，做起来以后才发现实际考的是矩阵秩或行列式的内容，题眼就在于性质“方阵A可逆⇔|A|=0⇔A的列向量组线性无关⇔r(A)=n”，依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点间的联系。
以上简单分析了一下线代这门课本身的特点，在下面的小结中列出了对每章中一些具体知识点内在联系的分析和实战过程中发现的一些常用的和好用的性质，作为对具体知识点的讨论。
河北省考研数学一复习资料线性代数重难点详解
河北省考研数学一复习资料线性代数重难点详解线性代数是数学的一个重要分支，也是考研数学一科目中的一个重要内容。
在复习线性代数时，我们需要重点关注一些重难点的知识点。
本文将针对河北省考研数学一复习资料中的线性代数重难点进行详细解析，帮助考生更好地掌握这些知识点。
1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。
对于一个m行n列的矩阵A，它的转置记作A^T，其中A^T的维度是n行m列。
矩阵的转置具有以下性质：- (A^T)^T = A- (cA)^T = cA^T，其中c是一个常数- (A + B)^T = A^T + B^T- (AB)^T = B^T A^T，其中A和B是矩阵2. 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中的不为零的行向量（或列向量）的最大个数。
矩阵的秩与其所对应的方程组的解的个数有密切关系。
对于一个m行n列的矩阵A，其秩的性质如下：- 矩阵A的秩不超过min(m,n)- 如果矩阵A的秩等于min(m,n)，则A为满秩矩阵- 如果矩阵A的秩小于min(m,n)，则A为不满秩矩阵3. 行列式行列式是矩阵的一个重要属性，它能够反映矩阵的线性相关性。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，其中的元素用a_ij表示，行列式的计算方法如下：- 当n=1时，|A| = a_11- 当n>1时，|A| = a_11 A_11 + (-1)^2 a_12 A_12 + (-1)^3 a_13 A_13+ ... + (-1)^(n+1) a_1n A_1n，其中A_11,A_12,...,A_1n分别是a_11的代数余子式行列式具有以下性质：- 行列式的性质1：交换行列式的行与列，行列式的值不变- 行列式的性质2：如果行列式的某一行（列）的元素都是0，则此行列式的值为0- 行列式的性质3：如果行列式的两行（列）具有相同的元素，则此行列式的值为0- 行列式的性质4：行列式的第i行（列）中的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式4. 矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位阵。
线性代数答疑解难
答疑解难线性代数疑难问题解答 第一章 行列式1. 排列21)1( n n 的逆序数是2)1( n n ，那么如何来确定它的奇偶性?解答：我们可以看一下这个排列的奇偶性随着n 的变化情况，然后找出规律。
,1 n 2)1( n n ＝0，偶排列；,2 n 12)1( n n ，奇排列；,3 n 32)1( n n ，奇排列；,4 n 62)1( n n ，偶排列；,5 n 102)1( n n ，偶排列；,6 n 152)1( n n ，奇排列可以看出，奇偶性的变化以4为周期，因此我们可以总结如下：当k n 4 或14 k n 时, 2)1( n n 是偶数，所以排列是偶排列, 当24 k n 或34 k n 时, 2)1( n n 是奇数，所以排列是奇排列.2．行列式定义最基本的有哪些？答：行列式定义最基本的有以下两种： 第一种方式：用递推的方式给出，即 当11)( a A 时，规定a A ；当nn ij a )(A 时，规定n j ijij ij ij nj ji A a M a 11)1(A其中ijM 为A 中去掉元素ija 所在的行和列后得到的1 n 阶行列式，称为A 中元素ija 的余子式，ij ji ij M A )1(称为ij a 的代数余子式。
第二种方法：对n 阶行列式A 用所有!n 项的代数和给出，即nnp p p t nnn n nna a a a a a a a a a a a A2121212222111211)1(其中n p p p ,,,21 为自然数n ,,2,1 的一个排列，t 为这个排列的逆序数第一种方式的思想是递推，其实质也是“降阶” ，在实际计算行列式中有着重要的应用。
第二种方式的思想是对二阶、三阶行列式形式的推广，更利于理解行列式的性质。
3．行列式的主要问题是什么？答：行列式的主要问题就是计算行列式的值，其基本方法是运用行列式性质，化简所给行列式而计算之。
线性代数第二章释疑解难
究; 化二次型为标准形,实际上就是化对称矩阵为合 同对角形与合同标准形; 线性变换可以用矩阵来表 示, 从而把线性变换的研究转化为矩阵的研究.
矩阵运算的实质, 是把它当作一个“量”来进行 运算, 因而使得运算得到大大简化.
2. 任何两个矩阵 A，B 都能进行加(减)和 相 乘运算吗?
答 不是. (1) 只有当 A,B 为同型矩阵时, 才能 进行加(减)运算. (2) 只有当第一个矩阵 A 的列数与 第二个矩阵 B 的行数相同时, A 与 B 才能相乘, 这 时 AB 才存在.
7. 设 A，B，C 是与E 同阶的方阵, 其 中 E 是单位矩阵. 若 ABC = E，问：BCA = E，ACB = E，CAB =E，BAC = E，CBA = E 中哪些总是成立的？哪些却不一定成立？
答 由于 ABC =E，说明 BC 是 A 的逆矩阵，
AB 是 C 的逆矩阵，由于任何方阵与其逆矩阵相乘 可交换，故总有
AB = E？
答 有. 例如
A 10
0 1
00
,B
1 0 0
0 1 , 0
则
AB
1 0
10 E.
11. 是否存在 n 阶方阵 A 和 B ，能使
AB - BA = E ？
答 没有. 设 A = (aij) , B = (bij) 为任意两个
n 阶方阵，则 AB 主对角线上的元素为
n
n
n
a1ibi1 , a2ibi2 ,, anibin .
i1
i1
i1
它们的和为
nn
a jibij .
i1 j1
同样，BA 的主对角线上的元素的和为
线性代数第五章释疑解难
例题二：矩阵的逆与行列式的计算
问题描述
给定一个矩阵，如何计算其逆矩阵和行列式值？
解题思路
首先，利用行列式的性质计算行列式的值。然后，利用逆矩阵的定义和性质求解。
例题二：矩阵的逆与行列式的计算
解题步骤
1
2
1. 利用行列式的性质，计算给定矩阵的行列式值。
3
2. 利用逆矩阵的定义和性质，求解给定矩阵的逆 矩阵。
线性代数第五章释疑 解难
目录
CONTENTS
• 第五章基本概念回顾 • 第五章中的难点解析 • 常见错误解析与纠正 • 习题解答与解析 • 综合例题解析
01
第五章基本概念回
顾
向量与矩阵的定义
向量
由n个实数组成的有序数列称为n维 向量。
矩阵
由m×n个数按m行n列排列成的数表称 为m行n列矩阵。
向量与矩阵的运算
根据二阶行列式的定义，行列式等于 主对角线上的元素乘积减去副对角线 上的元素乘积。
习题二解答与解析
问题
判断矩阵A是否为正定矩阵。
解答
矩阵A为正定矩阵当且仅当其所有特征值都大于0。
解析
正定矩阵的定义是其所有特征值都大于0，因 此判断矩阵是否为正定矩阵，需要计算其所有 特征值并比较。
习题三解答与解析
向量数乘
标量与向量的每个 分量相乘。
矩阵数乘
标量与矩阵的每个 元素相乘。
向量加法
对应分量相加。
Байду номын сангаас
矩阵加法
对应元素相加。
矩阵乘法
前矩阵的列数等于 后矩阵的行数，按 元素相乘并求和。
线性方程组与矩阵的关系
01
线性代数第五章释疑解难
(2) 不计算矩阵 A 的特征值. 只需证明 A 的 特征值两两互异, 即可证明 A 能对角化.
(3) 不计算矩阵 A 的特征值、特征向量, 只
证明存在可逆矩阵 P 和对角矩阵 , 使 P-1AP = .
7. 已知 n 阶方阵 A 可对角化, 如何求可逆矩
阵 P , 使 P-1AP = diag(1 , 2 , ···, n) ?
一个特征值是否只对应于一个特征向量?
答 否. 设 是 n 阶方阵 A 的 k 重特征值, 则
可以对应于多个线性无关的特征向量. 例如,
3 2 4
A 2
0
2
有一个二重特征值 1 = 2 = -1,
4 2 3
1 1
-1 就对应着两个线 性无关的特征向量
就可以了. 此齐次方程的任何一个非零解向量都
是 A 的对应于 i 的一个特征向量, 而齐次方程的 通解就是对应于 i 的所有特征向量.
注意: 如果 i 为特征方程的 k 重根, 则齐次
线性方程组 (A - iE )x = 0 的基础解系含解向量 的个数可能为 k , 也可能小于 k , 所以对应于 i
答 当 A 满足下列条件之一时, A 是正交矩阵.
(1) A 对称, 且 A2 = E.
(2) kn 1aikajkδij 0 1,, jj;,i,j1,2, ,n
或者
n
akaikjδij, i,j1,2,,n.
k1
(3) A 的行(列)向量组是 Rn 的一组规范正交基.
的特征向量中, 其线性无关的向量个数最多只有 k 个, 也可能少于 k 个.
4. n 阶方阵 A 是否一定有 n 个线性无关的 特征向量?
答 不一定. 当 A 的 n 个特征值两两互异 时, A 有 n 个线性无关的特征向量. 否则, 就不一 定. 例如
线性代数难题讲解之一
线性代数疑难习题讲解 容杰华 叶宇鑫 梁志光（2005．6） 1．题目 证明向量321,,ααα线性无关的充要条件是313221,,αααααα+++线性无关。
知识点 线性无关，向量的初等变换。
解题步骤： 方法一。
必要性： 设0=+++++)()()(313322211ααααααk k k 即0=+++++332221131)()()(αααk k k k k k ∵321,,ααα线性无关 ∴有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ∵其系数矩阵的行列式:021********≠= ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k 只有零解即⎪⎩⎪⎨⎧===000321k k k ∴313221,,αααααα+++线性无关 充分性：设 0=++33211ααk k k 与其等价的式子为0=++-+++-+++-)(2)(2)(2)(313213221321132ααααααk k k k k k k k k313221,,αααααα+++线性无关∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-020202321213132k k k k k k k k k 其系数矩阵的行列式：022*********12200201112111111111121212121212121212121≠=-=--=---=---∴方程只有零解即⎪⎩⎪⎨⎧===000321k k k ∴321,,ααα线性无关. 方法二：∵−−→−-+−−→−+++--c c c c c 323122121221313221)2,,(),,(ααααααααααα ),,(),,(132113213231ααααααααc c c c +-−−→−-+∴),,(),,(132313221αααααααααrank rank =+++故321,,ααα线性无关的充要条件是313221,,αααααα+++线性无关 方法总结：方法一是从定义出发进行证明，必要性比较容易想到，但充分性比较难，要确定与其等价式子的系数，可通过求解方程组的方法来确定。
线性代数难点
一.矩阵等价vs向量组等价矩阵等价的充分必要条件是:同型且秩相等...经过初等变换之后的矩阵都是等价的... 向量组等价不可以推出矩阵等价...因为向量组的等价...列向量的个数可以不一样也就是不满足同型. 向量组的等价: 两个向量组等价说明:这两个向量组可以互相线性表示...所以r(A=r(B 但是两个向量组可以有不同的线性相关性... 很明显:一个秩不为n的n维列向量组等价与它的最大无关组... 但是这两个向量组构成的矩阵不等价..原因是:不同型这两个向量组的线性相关性也不一样....最大无关组...线性无关 n维列向量组...线性相关.... 最后结论:!!!!两个等价不可以互推!!!!! 二.A vs 伴随矩阵 A* (1当 r(A=n 时 r(A*=n (2当 r(A=n -1时 r(A*=1 (3当 r(A<=n-2 时 r(A*=0 证明如下: (1AA*=|A|E 因为r(A=n ,推出A可逆，所以n=r(|A|E=r(AA*=r(A* (2r(A=n-1,推出|A|=0,且存在n-1阶子式非０，所以A*≠０，r(A*>=1 又|A|E=0=AA* 所以：r(A+r(A*<=n 所以：r(A*=1 (3当 r(A<=n-2 时，A的n-1阶子式全部为０，所以A*=0 所以：r(A*=0 ＰＳ：上面的结论可以互推也就是说：逆命题成立．三.特征值特征向量 (1对于同一n阶矩阵A,不同特征值的特征向量线性无关．． (2当出现特征值为重根时，对应于重根特征值的特征向量，假设为Ｘ１，Ｘ２线性组合：k1x1+k2x2(k1,k2不全为０仍然是A的特征向量 (3不同特征值的特征向量之和一定不是A的特征向量（可以用反证法） (4对于某一个特征值的特征向量有无数个．只是我们在构造矩阵Ｐ时，只是用一个（通常是基础解系）几何空间性质补充向量间关系的几何意义 1。
若向量a1,a2线性相关，则必有a1//a2 2。
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则 A1, A2 都是 A 的行阶梯形矩阵, A3 是 A 的行最
简形矩阵, A4 是 A 的标准形矩阵.
2. 组? 答
如何用初等行变换法求解非齐次线性方程
用初等行变换法求解非齐次线性方程组
时, 先把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵. 由行阶 梯形矩阵容易得出它的系数矩阵和增广矩阵的秩,
上的所有元素全都为零;标准形要求所有的非零元
都为1. 如.
1 0 B1 0 0 1 0 B2 0 0
1 1 Байду номын сангаас 0 0 1 0 0
2 1 0 0 1 1 0 0
1 1 2 0 0 0 1 0
4 0 6 0 4 3 3 0
释 疑 解 难
1. 一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩 阵、标准形矩阵有何异同?
答 它们的共同点是: 1) 阶梯数相等,且等于矩
阵的秩; 2) 每个阶梯上只有一行, 每条竖线后的第
一个元素不等于零; 3)
是零.
阶梯线以下的所有元素都
它们的不同点是:
行最简形矩阵要求每个阶梯上
的第一个非零元为 1 , 且第一个非零元所在的列
标准形矩阵
其特点是：左上角为一 单位矩阵,其它位置上的元素 全都为 0 .
2. 一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩
阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明.
答 矩阵的行阶梯形矩阵不唯一, 而其行最
简形矩阵和标准形矩阵是唯一的. 如
2 A 1 3 3 4 7 5 2 3
2 A1 0 0
3 5/2 0
9/ 2 0 5
1 A2 0 0
4 5 0
2 9 0
1 A3 0 0
0 1 0
26 / 5 9/5 0
1 A4 0 0
0 1 0
若它们不等, 则方程组无解; 若它们相等,则方程
组有解,这时, 需把增广矩阵进一步化成行最简形
矩阵;
其次,写出行最简形矩阵所对应的方程组 ,
最后令自由未知量等于任意常数,即可得方程组
的解.
行阶梯形矩阵
其特点是：阶梯线以下 的元素全是０，台阶数即为 非零行数, 竖线后面的第一个 元素为非零元 .
行最简形矩阵
其特点是：非零行的第 一个非零元为１，且这些非 零元所在的列的其它元素都 为０.
B3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0