生命表基本函数
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0
1 1 1 ω −1 1 平均寿命为: e0 = ( l1 + l2 + L + lω −1 ) + = ∑ t + dt l0 2 l0 t =0 2
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx + lx+1 1 Lx = = lx+1 + d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx =
0
ω − x −1
t =0
∑L
x +t
Tx 1 ω − x−1 e x = = ∑ Lx+t lx lx t = 0 1 ω − x−1 1 1 1 = ∑ lx+t +1 + d x+t = ( lx+1 + lx+2 + ... + lω −1 ) + lx t =0 2 2 lx Tx 1 ω − x−1 1 ω − x−1 lx+t + lx+t +1 1 ω − x−1 1 另,e x = = ∑ Lx+t = ∑ = l ∑ t + 2 d x+t lx lx t = 0 lx t =0 2 x t =0
第3章 生命表
生命表是研究人口死亡规律的有力工具， 它用表格的形式简单清楚地表述了同时 出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡 的全部过程。
本章主要内容
• • • • • 生命表基本函数 生存分析 非整数年龄存活函数的估计 几个死亡时间的解析分布 生命表的编制
3.1 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。 地位：生命表是人寿保险用以测定死亡或 生存概率的基础。 根据以往死亡人数的统计资料，推测出未 来死亡或生存概率，是计算保险费率的必要依 据。
0
e0 表示确定基数的一个群体的平均寿命。
计算平均余寿的定理
定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为: 1 1 1 ω − x−1 1 ex = ( lx+1 + lx+2 + L + lω −1 ) + = ∑ t + d x+t lx 2 lx t = 0 2
d x+t
d x : 表 示 在 x岁 到 x + n岁 之 间 死 亡 的 人 数 ， 用 公 式 表 示 即 为 ：
n
d x = lx − lx+ n
源自文库
4.qx : 死亡率，表示x岁的人在一年内死亡的概率。 (1)qx = dx , x = 0,1,K , ω − 1 lx dω −1 lω −1 − lω = =1 lω −1 lω −1
0
例子
Eg3.1已知lx=1000(1-x/120),计算20p30和 20I5q25. 解： Ex：p69ex3.1,3.2
(1) l0
( 2 ) lω
=0
3.d x : x岁 的 存 活 人 在 x岁 这 一 整 年 内 的 死 亡 人 数 。 (1)l x − l x +1 = d x lx =
n
(2)l0 = d 0 + d 1 + d 2 + L + d ω −1 =
∑d
x=0
ω −1
x
ω − x −1
∑
t =0
n
px : 表示x岁的存活人再活n年的概率，用公式表示即为：
n
px =
lx + n ,n px + n qx = 1 lx
6.n qx : 表示x岁的存活人，活过n年，并在第n + 1年死亡的概率。
n
lx + n − lx + n +1 d x + n lx + n d x + n qx = = = = n px qx + n lx lx lx lx + n qx : 表示x岁的人在x + n
生命表的通常函数
1. x : 年 龄 ， 在 生 命 表 中 的 范 围 ， − − (ω − 1) 岁 。 x取 整 数 值 。 0 2.l x : 存 活 到 确 切 整 数 年 龄 x岁 的 人 数 。 x = 0,1, K , ω − 1。 l0 = 100000,1000000, K > l1 > l 2 > L
理论基础：个体的不可预测性 群体死亡的稳定性 编制方法：1 编制方法：1 选择初始年龄且假定在该年 龄生存的一个合适的封闭人口数，这个 数称为确定基数。 数称为确定基数。 2 根据各年龄的死亡人数与 生存人数，计算出死亡率等一系列数据。 极限年龄ω ：在极限年龄ω 极限年龄ω ：在极限年龄ω时，该群体的 存活人数为0 存活人数为0。
m
当n = 0时， x = qx . q 0
nm
x + n + m岁之间死亡的概率，
m
d x + n lx + n − lx + m+ m = = n px − m + n px = n px n m qx = lx lx
0
qx + n
7. e x : 完全平均余寿或生命期望值，即表示x岁的存活人在以后可望 生存的平均年数。
( 2 ) qω −1 =
n
qx : 表示x岁的存活人在x岁到x + n岁之间死亡的概率，用公式表示即为： lx − lx + n n d x = n qx = lx lx 当n = 1时， x = qx . 1q
5. px : 生存率，表示x岁的人在一年内存活的概率，即到x + 1岁时仍然存活的概率。 lx +1 px = , px + qx = 1 lx
1 1 1 ω −1 1 平均寿命为: e0 = ( l1 + l2 + L + lω −1 ) + = ∑ t + dt l0 2 l0 t =0 2
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx + lx+1 1 Lx = = lx+1 + d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx =
0
ω − x −1
t =0
∑L
x +t
Tx 1 ω − x−1 e x = = ∑ Lx+t lx lx t = 0 1 ω − x−1 1 1 1 = ∑ lx+t +1 + d x+t = ( lx+1 + lx+2 + ... + lω −1 ) + lx t =0 2 2 lx Tx 1 ω − x−1 1 ω − x−1 lx+t + lx+t +1 1 ω − x−1 1 另,e x = = ∑ Lx+t = ∑ = l ∑ t + 2 d x+t lx lx t = 0 lx t =0 2 x t =0
第3章 生命表
生命表是研究人口死亡规律的有力工具， 它用表格的形式简单清楚地表述了同时 出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡 的全部过程。
本章主要内容
• • • • • 生命表基本函数 生存分析 非整数年龄存活函数的估计 几个死亡时间的解析分布 生命表的编制
3.1 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。 地位：生命表是人寿保险用以测定死亡或 生存概率的基础。 根据以往死亡人数的统计资料，推测出未 来死亡或生存概率，是计算保险费率的必要依 据。
0
e0 表示确定基数的一个群体的平均寿命。
计算平均余寿的定理
定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为: 1 1 1 ω − x−1 1 ex = ( lx+1 + lx+2 + L + lω −1 ) + = ∑ t + d x+t lx 2 lx t = 0 2
d x+t
d x : 表 示 在 x岁 到 x + n岁 之 间 死 亡 的 人 数 ， 用 公 式 表 示 即 为 ：
n
d x = lx − lx+ n
源自文库
4.qx : 死亡率，表示x岁的人在一年内死亡的概率。 (1)qx = dx , x = 0,1,K , ω − 1 lx dω −1 lω −1 − lω = =1 lω −1 lω −1
0
例子
Eg3.1已知lx=1000(1-x/120),计算20p30和 20I5q25. 解： Ex：p69ex3.1,3.2
(1) l0
( 2 ) lω
=0
3.d x : x岁 的 存 活 人 在 x岁 这 一 整 年 内 的 死 亡 人 数 。 (1)l x − l x +1 = d x lx =
n
(2)l0 = d 0 + d 1 + d 2 + L + d ω −1 =
∑d
x=0
ω −1
x
ω − x −1
∑
t =0
n
px : 表示x岁的存活人再活n年的概率，用公式表示即为：
n
px =
lx + n ,n px + n qx = 1 lx
6.n qx : 表示x岁的存活人，活过n年，并在第n + 1年死亡的概率。
n
lx + n − lx + n +1 d x + n lx + n d x + n qx = = = = n px qx + n lx lx lx lx + n qx : 表示x岁的人在x + n
生命表的通常函数
1. x : 年 龄 ， 在 生 命 表 中 的 范 围 ， − − (ω − 1) 岁 。 x取 整 数 值 。 0 2.l x : 存 活 到 确 切 整 数 年 龄 x岁 的 人 数 。 x = 0,1, K , ω − 1。 l0 = 100000,1000000, K > l1 > l 2 > L
理论基础：个体的不可预测性 群体死亡的稳定性 编制方法：1 编制方法：1 选择初始年龄且假定在该年 龄生存的一个合适的封闭人口数，这个 数称为确定基数。 数称为确定基数。 2 根据各年龄的死亡人数与 生存人数，计算出死亡率等一系列数据。 极限年龄ω ：在极限年龄ω 极限年龄ω ：在极限年龄ω时，该群体的 存活人数为0 存活人数为0。
m
当n = 0时， x = qx . q 0
nm
x + n + m岁之间死亡的概率，
m
d x + n lx + n − lx + m+ m = = n px − m + n px = n px n m qx = lx lx
0
qx + n
7. e x : 完全平均余寿或生命期望值，即表示x岁的存活人在以后可望 生存的平均年数。
( 2 ) qω −1 =
n
qx : 表示x岁的存活人在x岁到x + n岁之间死亡的概率，用公式表示即为： lx − lx + n n d x = n qx = lx lx 当n = 1时， x = qx . 1q
5. px : 生存率，表示x岁的人在一年内存活的概率，即到x + 1岁时仍然存活的概率。 lx +1 px = , px + qx = 1 lx