2019-2020学年高中数学课时分层作业6 用样本估计总体(含解析)北师大版必修2

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2020年高考复习数学课时作业：用样本估计总体(pdf版,含解析)

用样本估计总体一、选择题1．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45 B．50C．55 D．602．已知一组数据x1，x2，…，x n的方差为2，若数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b(a＞0)的方差为8，则a的值为()A．1 B. 2 C．2 D．43．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为()A．5 B．7C．10 D．504．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A．3 B．4 C．5 D．65．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位：元)，其中支出在[30,50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为()A．100 B．120 C．130 D．3906．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i＝x i＋a(a为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为()A．1＋a,4 B．1＋a,4＋aC．1,4 D．1,4＋a7．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳二、填空题8．如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a＝________；甲、乙两组学生的成绩相对整齐的是________．9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：甲108999乙101079 9 如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．三、解答题10．某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：成绩分组频数频率平均分[0,20)30.01516[20,40) a b 32.1[40,60)250.12555[60,80) c 0.5740.31[来源学§科§88[80,100]62网Z§X§X§K](1)求a，b，c的值；(2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分．用样本估计总体答案一、选择题 1．【答案】B【解析】∵[20,40)，[40,60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是150.3＝50.2．【答案】C【解析】根据方差的性质可知，a 2×2＝8，故a ＝2. 3．【答案】D【解析】根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，选D. 4．【答案】B【解析】由茎叶图可知，在区间[139,151]的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为20×735＝4人． 5．【答案】A【解析】由图知[10,30)的频率为：(0.023＋0.01)×10＝0.33，[30,50)的频率为1－0.33＝0.67，所以n ＝670.67＝100.故选A.6．【答案】A【解析】由均值和方差的定义及性质可知：y ＝x ＋a ＝1＋a ，s 2y ＝s 2x ＝4.故选A.7．【答案】A【解析】对于选项A ，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A 错；对于选项B ，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B 正确；对于选项C ，D ，由图可知显然正确．答案：A 二、填空题 8．【答案】5 甲组【解析】由题意可知75＋88＋89＋98＋90＋a 5＝76＋85＋89＋98＋975＝89，解得a ＝5.因为s 2甲＝15×(142＋1＋0＋92＋62)＝3145，s 2乙＝15×(132＋42＋0＋92＋82)＝3305，所以s 2甲<s 2乙，故成绩相对整齐的是甲组．9．【答案】甲【解析】x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25， s 2乙＝15×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定．三、解答题10．(3)这次数学测验样本的平均分为x －＝16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62200＝73，∴这次数学测验的年级平均分大约为73分．。

北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《用样本估计总体分布》课标解读

《用样本估计总体分布》课标解读教材分析本节是本章教材的第三节，前面研究了获取数据的途径及简单的抽样方法，本节课主要研究对收集上来的样本如何进行处理，突出对数据描述、处理的方法，特别是频率分布直方图的画法，后面接着研究频率分布折线图、用样本的数字特征估计总体的数字特征等，可以说本节课内容承上启下，地位非常重要.从教材编写的角度来看，也正是体现了这一特点.教材通过对样本分析和总体估计的过程，突出了统计的实用性，从实际出发，收集数据，进行分析整理，再回到实际问题，感受数学对实际生活的需要，体现了统计的思想及其在实际问题中的应用价值，真正体会数学知识与现实生活的联系.教材通过生活中的大量事例，引出总体分布的估计问题，通过对问题的探究，使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图.教材在这里主要介绍有关频率分布的列表和画图的方法，而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下较大的发挥空间，教师可以通过初中有关随机事件的知识，也可以利用计算机多媒体技术，引导学生进一步体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性；通过初中有关频率与概率之间的关系，了解频率分布直方图的规律性，即频率分布与总体分布之间的关系，进一步体会用样本估计总体的思想.由于样本频率分布直方图可以估计总体分布，因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特征，这就提供了估计总体特征的另一种途径，其意义在于：在没有原始数据而仅有频率分布的情况下，此方法可以估评总体的分布特征.高考中主要考查用样本频率分布估计总体分布.本节内容涉及的数学核心素养有数学抽象、直观想象、数据分析等.学情分析1.学生已有知识基础.学生在初中已经学习了分布的初步概念，会绘制频数分布直方图，对样本估计总体有一定的认识.进入高一后，前面也刚学习过抽样的相关知识，对用图、表来反映样本的规律有较强的意识，较好地掌握了列表、绘图等基本方法，同时也具有一定的分析问题和解决问题的能力.2.学生已有生活经验和学习该内容的经验.高一的学生已经具备了相当的生活经验，对本节课所提供的生活实例也有所体会，为新知识的学习与新方法的掌握打下了基础.再加上学生初中对学习该内容已有的经验，可以说在生活、知识、技能、方法等方面都为学生学习本节课内容打下了基础.3.学生学习本节内容可能的困难.（1）学生生活经验的不足会影响对实际问题的理解与思考.如：对频率分布直方图的数据分析结果再用来决策实际问题，对学生会有一定难度.（2）学生虽然在初中对这部分内容有所学习，但因遗忘等原因，对频数分布直方图的绘制会有一定困难，再加上频率分布直方图学生并没有接触过，对数据分析缺乏目的性，会引起学生认识上的困惑.如：已经学习了频数分布直方图，为什么还要绘制频率分布直方图？为什么纵坐标要选用频数组距？等.（3）因缺乏统计思维的训练，学生对统计思想、方法的理解会有一定的困难.如：为什么能用样本的频率分布估计总体？为什么通过样本得出的规律具有随机性？等.4.学生学习的兴趣、学习方式和学法分析.学生对数学学习具有较高的兴趣，对新知有较强的探索欲望，能进行自主学习，学生与教师、学生与学生之间能够进行很好的合作、交流沟通，有较好的思维能力，具有一定的生活经验与学习经验，对实际问题的解决充满好奇，喜欢从具体的生活实际出发，通过观察、操作、思考等方式获得知识与经验，能积极投入到教学中.当然，学生有时学习上不是很主动，需要教师进行启发、诱导，激发学生的积极性.教学建议统计思想方法是数学的一个重要的思想方法，中学学习统计，除了掌握必要的统计知识之处，关键是让学生体会统计在现实生活中具有重要的作用，形成统计意识，同时体会到统计结果的随机性、科学性，能作为总体的分布的合理性，是生活中某些问题决策必不可少的依据.统计教学的核心目标正是让学生体会统计思维的特点和作用，因此在教学设计中，应从实际问题出发，再回到实际问题的决策，前后呼应，使学生真正体会数据处理的全过程、统计应用于现实生活的全过程，突出统计的思想、方法.这也是本节课要重点突出的核心思想，当然也是重点要落实的内容.另外，通过实例体会分布的意义和作用，通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法.通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对生活的需要，通过实例体会频率分布直方图、频率分布折线图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系.教学中注意动手与观察，思考与交流，归纳与总结，加强新旧知识之间的联系，培养学生分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法.本节课与实际结合比较紧密，同时学生在初中已经具备了学习本节的基本知识，因此在设计上，可以学生的主动参与为主，让学生积极讨论，注重问题的提出、解决的过程.从实际情境出发，引出课题，展开研究，体会统计的思维过程，最终回到对实际问题的决策上，激发学生探索欲望，以利于教学难点的解决.同时，教师可设计问题串，引导学生对知识进行理解，提出与现实生活联系紧密的问题，促进学生进行思考，帮助学生突破难点，让学生认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异.学科核心素养目标与素养1.能够对数据进行分析列频率分布表、画频率分布直方图，达到数学运算、直观想象、数据分析核心素养水平的要求.2.结合频率分布直方图分析数据有关问题，结合频率折线图估计总体分布情况，达到直观想象、数据分析核心素养水平二的要求.情境与问题案例一通过比较两种问题情境“情境1：某工厂生产一批产品，经调査只有10个不合格品.情境2：某工厂生产一批产品，经调査产品不合格率为1%”.哪一种情境能更好地反映工厂的生产情况，引发学生思考，激发学生的学习兴趣，引出课题.案例二设置“通过某赛季NBA两名球员的得分情况分析两名运动员的水平，如何运用数学知识作出正确的判断”的情境提出这节课要研究、学习的主要内容，从而引出课题.内容与节点用样本估计总体分布是在前面已经学习了收集数据的一些方法的基础上，对数据进一步的分析和处理，希望从中找出需要的信息，是前面内容的自然发展，也是后续进一步进行数据分析的基础.过程与方法通过对数据的分析画频率分布直方图，利用频率分布直方图估计总体分布情况的过程，培养学生的探索精神，提升数学运算、直观想象、数据分析等核心素养.教学重点难点重点会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图.难点能通过样本的频率分布估计总体分布.。

全程复习方略高中数学北师大必修三课时提升作业：六用样本估计总体含解析

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课时提升作业(六)估计总体的分布一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·马鞍山高一检测)在100个人中,有40个学生,21个干部,29个工人,10个农民,则0.29是工人的( )A.频数B.频率C.累计频率D.累计频数【解析】选B.0.29=,表示频率.2.(2014·郑州高一检测)200辆汽车通过某一段公路时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[50,70)的汽车大约有( )A.60辆B.80辆C.70辆D.140辆【解析】选D.时速在[50,70)的频率为(0.03+0.04)×10=0.7,则200辆汽车中时速在[50,70)的汽车大约有0.7×200=140(辆).3.(2014·天津高一检测)观察新生婴儿的体重(单位:g),其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿体重在[2700,3000)内的频率为( )A.0.001B.0.1C.0.03D.0.3【解析】选 D.由图可知当新生婴儿体重在[2700,3000)内时,=0.001,而组距为300,所以频率为0.001×300=0.3.故选D. 【误区警示】解答此类题目时,常常把矩形的高误认为频率导致解答错误.【变式训练】有一个容量为20的样本数据,分组后各组频数如下: [10,20) 2, [20,30) 3, [30,40) 4,[40,50) 5, [50,60) 4, [60,70) 2.则样本在区间[10,50)上的频率为( )A.5%B.25%C.50%D.70%【解析】选D.在区间[10,50)上的频率为×100%=70%.4.(2014·潍坊高一检测)在样本频率分布直方图中共有11个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于所有各小矩形面积和的,样本容量是160,则中间一组的频数是( )A.0.2B.0.25C.32D.40【解析】选D.因为所有小矩形的面积和为1,所以中间这个小矩形的面积是=0.25,即这一组样本数据的频率是0.25,所以这组的频数是160×0.25=40.二、填空题(每小题5分,共10分)5.一个容量为n的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别为50和0.25,则n=__________.【解析】n==200.答案:2006.(2014·大连高一检测)对一批数据进行整理,得到频率分布直方图后,已知某个小长方形的面积与其他各小长方形的面积之和相等,那么对应于这个小长方形的小组的频率是__________.【解析】小长方形的面积即为对应小组的频率,且频率之和为1,所以该小长方形所对应的小组的频率是.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.调查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下:171 163 163 166 166 168 168 160 168165 171 169 167 169 151 168 170 168160 174 165 168 174 159 167 156 157164 169 180 176 157 162 161 158 164163 163 167 161(1)作出频率分布表.(2)画出频率分布直方图.【解析】(1)最低身高151cm,最高身高180cm,它们的差是180-151=29(cm),即极差为29cm;确定组距为3,组数为10,列表如下:(2)频率分布直方图如图所示.8.(2013·济源高一检测)2012年3月2日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2. 5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:组别PM2.5(微克/立方米) 频数(天) 频率第一组(0,15] 4 0.1第二组(15,30] 12 y第三组(30,45] 8 0.2第四组(45,60] 8 0.2第五组(60,75] x 0.1第六组(75,90) 4 0.1(1)试确定x,y的值,并写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程).(2)完成相应的频率分布直方图.(3)求出样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.【解析】(1)x=4,y=0.3,众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米.(2)其频率分布直方图如图所示:(3)样本的平均数为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5.因为40.5>35,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2014·淮北高一检测)抽查某产品的尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b]是其中一组,抽查出的个体数在该组上的频率为m,该组上的直方图的高为h,则|a-b|等于( )A.hmB.C. D.与m,h无关【解析】选C.因为|a-b|·h=m,所以|a-b|=.2.(2013·陕西高考)对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为( )A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45【解题指南】根据频率分布直方图中纵轴的意义,计算样本数据落在区间[15,20)和区间[25,30)上的频率,用频率代替概率得二等品的概率.【解析】选D.组距为5,二等品的概率为1-(0.02+0.06+0.03)×5=0.45.所以,从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为0.45.【举一反三】在本题中,若二等品有90件,那么一等品有多少件? 【解析】产品总数为90÷0.45=200件.200×0.06×5=60件.3.(2014·山东高考)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )A.1B.8C.12D.18【解题指南】本题考查了频率分布直方图,先利用已知数据估计总体数据,然后再根据比例计算第三组中有效的人数.【解析】选C.由图知,样本总数为N==50.设第三组中有疗效的人数为x,则=0.36,解得x=12.【拓展延伸】巧用比例求频率在频率分布直方图中,有时所求的区间不恰好是组的端点值,这时可以根据同底小矩形的面积(即频率)与它们的高成比例,来求需要的频率.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2013·湖北高考改编)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量的度数在[50，350],频率分布直方图如图所示.(1)直方图中x的值为________.(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250]内的户数为________. 【解题指南】各小矩形的面积即每小组的频率,面积和为1,矩形的高是频率比组距.【解析】(1)50x=1-50×(0.0012+0.0024×2+0.0036+0.0060)=0.22,x=0.0044.(2)100×(0.18+0.3+0.22)=70.答案:(1)0.0044 (2)705.某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况,随机抽取了500户居民去年的用电量(单位:kW·h),将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图.直方图中从左到右前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3,该乡镇月均用电量在37～39(kW·h)的居民共有________户.【解析】设频率分布直方图中从左到右前3个小矩形的面积分别为P,2P,3P.由频率分布直方图可知,最后两个小矩形的面积之和为(0.0875+0.0375)×2=0.25.因为频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1,所以P+2P+3P=0.75,即P=0.125.则2P=0.25,那么可知月均用电量在37～39(kW·h)的居民共有0.25×500=125(户).答案:125三、解答题 (每小题10分,共20分)6.(2014·长春高一检测)已知50个样本数据的分组以及各组的频数如下:153.5～155.5,2 161.5～163.5,10155.5～157.5,7 163.5～165.5,6157.5～159.5,9 165.5～167.5,4159.5～161.5,11 167.5～169.5,1(1)列出频率分布表.(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图.【解析】(1)频率分布表如下:165.5～167.5 4 0.08167.5～169.5 1 0.02合计50 1.00(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.7.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.组号分组频数频率第1组[160,165) 5 0.050第2组[165,170) ①0.350第3组[170,175) 30 ②第4组[175,180) 20 0.200第5组[180,185] 10 0.100合计100 1.000(1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据,再作出频率分布直方图.(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,则第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?【解题指南】由频率分布表的性质特点易知第2组的频数和第3组的频率,再根据分层抽样的方法计算出各组应抽取的人数.【解析】(1)由题意可知,第2组的频数为0.350×100=35,第3组的频率为=0.300,频率分布直方图如下:(2)因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,第3组:×6=3(名),第4组:×6=2(名),第5组:×6=1(名),所以第3,4,5组分别抽取3名,2名,1名.关闭Word文档返回原板块。

北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《用样本估计总体分布》典型例题剖析

《用样本估计总体分布》典型例题剖析题型1 绘制频率分布直方图、折线图例1.调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169151 168 170 168 160 174 165 168 174 159 167 156 157 164169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161（1）作出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）画出频率折线图.解析：按绘制频率分布直方图的步骤进行，关键是合理确定组距.答案：（1）最低身高151cm，最高身高180cm，它们的差是180-151=29，即极差为29，确定组距为4，组数为8，列表如下：（2）频率分布直方图如图所示.（3）频率折线图如图所示.变式训练1 下表给出了某校从500名12岁男孩中随机抽选出的120人的身高情况（单位：cm）：（1）列出样本频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计身高低于134cm的男孩人数占总人数的百分比.答案：（1）样本频率分布表如下所示：（2）频率分布直方图如图所示.（3）由样本频率分布表可知，身高低于134cm的男孩出现的频率为++=，所以可以估计身高低于134cm的男孩人数占总人数的19%. 0.040.070.080.19题型2 频率分布直方图的应用例2.某电视台随机对本省内15~65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”的统计结果如图表所示.（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人.解析：（1）各小长方形面积之比即为相应的频率之比，由第四组可求出抽取的人数n ，从而可以求出其他组的人数，进而可以求出,,,a b x y 的值.（2）可先求出第2，3，4组回答正确的人数，然后计算出抽样比，根据分层抽样的每一层的抽样都要满足比值等于抽样比，求出第2，3，4组分别抽取的人数.答案：（1）由已知得第4组人数为92525,1000.360.02510n =∴==⨯，由频率分布直方图得第一组人数为：1000.011010,100.55a ⨯⨯==⨯=，第二组人数为：181000.021020,0.920x ⨯⨯===，第三组人数为：1000.031030,300.927b ⨯⨯==⨯=，第五组人数为：31000.0151015,0.215y ⨯⨯===. （2）第2，3，4组回答正确人数分别为18，27，9，共54人，设第2，3，4组分别抽取,,x y z 人，则65418279x y z ===，解得2,3,1x y z ===. 变式训练2 某校开展了一次小制作评比活动，作品上交时间为5月1日至30日.评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了如图所示的频率分布直方图.已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答有关问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件，2件作品获奖，则这两组哪组获奖率较高？答案：（1）依题意知，第三组的频率为40.2234641=+++++，又因为第三组的频数为12，故本次活动的参评作品有12600.2=件. （2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有66018234641⨯=+++++件. （3）第四组的获奖率是105189=. 因为第六组上交的作品数量为1603234641⨯=+++++件，所以第六组的获奖率为23.而2539>，显然第六组的获奖率较高. 规律方法总结1.总体分布反映的是总体在各个范围内取值的比例情况，而这种分布一般是不知道的，可以用样本的分布来估计总体分布，所以样本数据的代表性就很重要.2.对于每个个体所取不同数值较少的总体，常用条形图表示其样本分布；而对于每个个体所取不同数值较多或无限的总体，常用频率分布直方图表示其样本分布.3.绘制频率分布直方图的具体步骤：（1）求极差：一组数据的最大值与最小值的差称为极差.（2）决定组距与组数：数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多，当样本容量不超过120时，按照数据的多少，常分成5~12组.为方便起见，组距的选择应力求“取整”.（3）将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间.（4）列表：根据分组情况和数据登记频数，计算频率，列出频率分布表.（5）画图：根据频率分布表画频率分布直方图.4.频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便.5.频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到频率分布表中看不清楚的数据模式，但是从频率分布直方图本身不能得出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.6.频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么频率折线图就趋向于总体的分布.核心素养园地（1）某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：g）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[]96,106，样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为_____.（2）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示.若[]130,140分数段的人数为2，估计这所学校成绩在[]90,140分学生的参赛人数为_____.（3）从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布.将样本分成6组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为1：1：3：6：4：2，最右边的一组的频数是8.请结合直方图的信息，解答下列问题：①样本容量是_____；②成绩落在_____范围的人数最多，该小组的频数和频率为_____和_____.解析：（1）产品净重小于100克的频率为(0.0500.100)20.300+⨯=.已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则360.300n=，所以120n=，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.1000.1500.125)++⨯20.75=，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是1200.7590⨯=.（2）[]130,140分数段的频率为：0.005100.05⨯=.所以2400.05=（人），即成绩在[]90,140分学生的参赛人数为40.（3）①从左到右各小组的频率分形多113642,,,,, 171717171717.样本容量为8268 17=.②成绩落在[)70,80的人数最多，频率为617，频数为6682417⨯=.答案：(1)90 (2)40 (3)[70,80) 68 24讲评频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各个小组的频率的大小，频率分布直方图能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别；当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示.如果能直接利用完整的频率分布直方图求解一个组或若干个组的频率或频数，那么可以认为达到数据分析、直观想象核心素养水平一的要求；如果能根据题意把不完整的频率分布直方图进行推理分析、运算求解相关问题，那么可以认为达到逻辑推理、数据分析、直观想象核心素养水平二的要求.。

北师大版2019高中数学必修3课时作业：第一章统计课时作业 6_含答案

课时作业 6 估计总体的分布估计总体的数字特征|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是( )A．频率分布折线图与总体密度曲线无关B．频率分布折线图就是总体密度曲线C．样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D．如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线解析：总体密度曲线通常是用样本频率分布估计出来的．而频率分布折线图在样本容量无限增大，分组的组距无限减小的情况下会无限接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就是总体密度曲线．答案：D2.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有( )A．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定B．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定C．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定D．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.答案：D3．有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下：(12.5,15.5]，3；(15.5,18.5]，8；(18.5,21.5]，9；(21.5,24.5]，11；(24.5,27.5]，10；(27.5,30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的( )A．91% B．92%20×(0.005＋0.01)n ＝15，n ＝50，故选频率之比为：：3组的频率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)×5＝，设样本容量为n ，则10n＝0.25，即n ＝40.＋170×5＋3＋x＋8＋9＝177×7，甲、乙两名队员的最高得分各是多少？甲、乙两名队员的最高得分分别为51分，52分．从茎叶图可以看出，甲运动员得分大致对称，乙运动员的得分除一个天，统计每天上午：00：00甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？[10,40]间的频率是多少？甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．甲交通站的车流量的极差为73－8＝65(百辆(1)为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t 表示某宿舍的用电量(单位：度)，以y 表示该宿舍的用电费用(单位：元)，求y 与t 的函数关系式？(2)求图中月用电量在(200,250]度的宿舍有多少间？解析：(1)根据题意，得：当0≤t ≤200时，用电费用为y ＝0.5t ；当t >200时，用电费用为y ＝200×0.5＋(t －200)×1＝t －100；综上：宿舍的用电费用为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5t ，0≤t ≤200，t －100，t >200.(2)因为月用电量在(200,250]度的频率为50x ＝1－(0.006 0＋0.003 6＋0.002 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1－0.015 6×50 ＝0.22，所以月用电量在(200,250]度的宿舍有100×0.22＝22(间)．。

2020学年高中数学课时分层作业6正弦函数的性质(含解析)北师大版必修4(2021-2022学年)

课时分层作业（六）正弦函数的性质（建议用时：60分钟)［合格基础练］一、选择题1.已知a∈R,函数f（ｘ)＝ｓiｎx+|a|－1，x∈R为奇函数,则a等于(）A.0B．１C．－1 Ｄ.±1Ｄ [由题意，得f(０)=0，即|a|-1=0，所以ａ＝±１，即当a=±1时,f(x)=sin x为R上的奇函数．]2．函数ｙ=4siｎx+3在[-π,π］上的递增区间为（ )Ａ。

错误!未定义书签。

B。

错误!C.错误!Ｄ。

错误!B [y=ｓiｎｘ的递增区间就是y＝4ｓin x+3的递增区间.]３.已知函数y=sｉn x，ｘ∈错误!,则y的取值范围是()A。

[-1，1]ﻩB。

错误!C.错误!未定义书签。

D。

错误!C［y＝sｉｎx在错误!上递增,在错误!未定义书签。

上递减,∴当x＝错误!未定义书签。

时,y max=１,当ｘ＝错误!时,y mｉn＝错误!，∴y∈错误!。

］4.函数y=２－ｓin ｘ的最大值及取最大值时x的值分别为（ )Ａ．y mａｘ＝3，ｘ=错误!Ｂ.y mａｘ=1，x=错误!未定义书签。

＋2ｋπ(k∈Z)Ｃ.y mａx＝３，x＝－错误!未定义书签。

+２ｋπ(k∈Ｚ)D．y max=3，x＝＼f(π,２）＋2kπ(k∈Z）ﻬＣ[当sｉn ｘ=－1即x＝-错误!未定义书签。

＋2kπ,ｋ∈Ｚ时,y mａx＝2-（-1)＝3.］5.函数y=｜ｓin x｜＋sinｘ的值域为（ )A.[-1，１]B.［-２，２]C．［－２，０］ﻩ D.［０,2］D[y=|sin x|+sin ｘ=错误!∴其值域为［0，２］．］二、填空题6．y=a＋b sin x的最大值是错误!未定义书签。

,最小值是-错误!未定义书签。

,则ａ＝_＿_＿＿_＿_，b=____＿＿_＿。

错误!未定义书签。

±1 ［若b〉０，由-１≤sin ｘ≤1知错误!解得错误!若ｂ〈0,则错误!未定义书签。

解得错误!]7．函数f(x)＝x3＋siｎｘ＋1，x∈R，若ｆ（a)=2，则f（-a)的值为__＿_＿___．0 [f(a）＝a3+sinａ＋1=2,所以a3+sinａ=1，f(-a)=（-a)3+sin(-a）+1＝-(ａ3＋sin a)＋1=－１+1＝０.]8．cｏｓ10°，sin 1１°,sｉn １68°从小到大的排列顺序是＿_＿＿＿___．siｎ11°＜sin 1６8°＜ｃos 1０° ［因为sin 168°=sｉｎ（18０°－12°)=ｓiｎ１2°，cos 10°=cｏs(９０°－80°）=ｓｉn80°，当0°≤x≤90°时，正弦函数y＝ｓｉn x是增函数,因此sｉn 1１°<sin 12°＜ｓin 80°,即siｎ 1１°<sｉn １6８°＜ｃos １０°。

高中数学基础知识篇 1.6 用样本估计总体训练(含解析)北师大版必修3

高中数学基础知识篇 1.6 用样本估计总体训练(含解析)北师大版必修35 用样本估计总体（必修3北师版）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题6分，共24分）1.在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是（）Ａ.总体容量越大，估计越精确Ｂ.总体容量越小，估计越精确C.样本容量越大，估计越精确Ｄ.样本容量越小，估计越精确2.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８3. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如下，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为（）A.0.27，78B.0.27，83C.2.7，78D.2.7，834.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A.9.4,0.484B.9.4,0.016C.9.5,0.04D.9.5,0.16二、填空题（每小题6分，共12分）5.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为50和0.25，则n＝．6.若128,,,k k k的方差为3，则12(3),k-282(3),,2(3)k k--的方差为.三、解答题（共64分）7．（20分）下表给出了某学校120名12岁男生的区间[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[142,146)[146,150)[150,154)[154,158) 人数5 8 10 22 33 20 116 5（2）画出频率分布直方图；（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．8.（22分）为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：甲12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 乙11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 哪种小麦长得比较整齐？9. （22分）从A、B两种棉花中各抽10株，测得它们的株高如下：(cm)A： 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42B： 27 16 44 27 44 16 40 16 40 40(1) 哪种棉花的苗长得高？(2) 哪种棉花的苗长得整齐？5 用样本估计总体（必修3北师版）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6.三、解答题7.8.9.5 用样本估计总体（必修3北师版）答案一、选择题1.C 解析：∵用样本频率估计总体分布的过程中，估计的是否准确与总体的数量无关，只与样本容量在总体中所占的比例有关，∴样本容量越大，估计的越精确.2.D 解析：该组样本的频数为32×0.25=8.3.A 解析：由频率分布直方图知组矩为0.1，4.3～4.4间的频数为100×0.1×0.1=1．4.4～4.5间的频数为100×0.1×0.3=3．又前4组的频数成等比数列，∴公比为3．根据后6组频数成等差数列，且共有100-13=87(人)．从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×33=27，∴a=0.27.设公差为d ，则6×27+d=87，∴d=-5，从而b =4×27+×=78.4.D 解析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，其平均值为(9.4+9.4+9.6+9.4+9.7)=9.5，方差为⎡⎤⎣⎦222221（9.4-9.5）+（9.4-9.5）+（9.6-9.5）+（9.4-9.5）+（9.7-9.5）=0.0165. 二、填空题5.200 解析：∵频数和频率分别为50和0.25，∴n==200.6.12 解析：∵k 1，k 2，…，k 8的方差为3，∴2k 1，2k 2，…，2k 8的方差是22×3=12，∴2k 1-6，2k 2-6，…，2k 8-6的方差是12. 三、解答题 7．解：（1）样本的频率分布表与累积频率表如下：（3）根据累积频率分布，小于134的数据约占×100％≈19.2％. 8. 甲种小麦长得比较整齐. 9.（1）乙种棉花的苗长得高；（2）甲种棉花的苗长得整齐.区间 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158)人数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 频率241151 121 60114011 61 12011 201 241累积频率241120131202320136049120109 24231。

2020学年高中数学课时分层作业6简单计数问题(含解析)北师大版选修2-3(2021-2022学年)

课时分层作业（六)(建议用时:60分钟)［基础达标练］一、选择题1.2０0件产品中有３件次品，任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有()A.C错误!·C错误!ﻩB.C错误!C错误!未定义书签。

+Ｃ错误!未定义书签。

C错误!未定义书签。

Ｃ．C错误!未定义书签。

－C错误!D．C错误!－C错误!C错误!未定义书签。

B［至少２件次品包含两类：（1)2件次品,3件正品,共Ｃ错误!未定义书签。

C错误!种,（2)3件次品,2件正品,共C错误!未定义书签。

C错误!种，由分类加法计数原理得抽法共有Ｃ错误!C错误!未定义书签。

＋C错误!未定义书签。

Ｃ错误!未定义书签。

,故选B。

]２.从单词“ｅquatｉon”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“ｑｕ”相连且顺序不变)的不同排列共有(）Ａ.12０种 B.480种C.720种ﻩD.8４0种Ｂ [先将“qｕ”看成一个元素,再从剩余的6个元素中取出3个元素,共有Ｃ错误!种不同取法,然后对取出的4个元素进行全排列,有A４，4种方法,由于“qｕ”顺序不变,根据分步乘法计数原理共有C错误!A错误!=48０种不同排列.]３.现有一圆桌，周边有标号为1,2,3，4的四个座位,甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位,甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法的种数为（ ) A．6 B．7Ｃ.8ﻩ D.9C［先按排甲,其选座方法有C错误!未定义书签。

种，由于甲、乙不能相邻,所以乙只能坐甲对面,而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A错误!种,所以共有坐法种数为C错误!未定义书签。

Ａ错误!未定义书签。

＝4×2=8种.］４.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有(）A.４0种Ｂ.50种ﻬC．60种 D.70种B[先分组再排列,一组2人一组４人有C错误!未定义书签。

＝15种不同的分法；两组各3人共有错误!＝1０种不同的分法,所以共有(１5+１０）×2＝50种不同的乘车方法.］5．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为（ )A．３60ﻩB．520C.６00ﻩD.720C[当甲或乙只有一人参加时,不同的发言顺序的种数为2C错误!A错误!=480，当甲、乙同时参加时,不同的发言顺序的种数为Ａ错误!Ａ错误!=12０,则不同的发言顺序的种数为480+1２0＝600，故选C.]二、填空题6．将标号为1,2，…，10的1０个球放入标号为1,2，…,１0的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______＿＿种.(以数字作答) 2４0［从10个球中任取３个,有C错误!未定义书签。

北师大版高考数学统计-估计总体的分布课时作业6

课时作业(六)一、选择题1．在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b )是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则|a －b |等于( )A ．h ·m B.h m C.mh D ．与m 无关解析：矩形的高＝频率分组的宽度，∴|a －b |＝m h ，故选C.答案：C2．一个容量为10的样本，其分组与频数如下表，则样本落在区间(－∞，5]内的频率为( )解析：根据频率分布的概念，样本落在区间(－∞，5]内的频数为7，则样本落在区间(－∞，5]内的频率为0.70，故选A.答案：A3．在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则b 等于( )频数1030408020m 频率0.050.150.20.4 a b解析：样本容量n＝100.05＝200，又20200＝a，∴a＝0.1.则b＝1－(0.05＋0.15＋0.2＋0.4＋0.1)＝0.1.答案：A4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70，，80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A．588 B．480 C．450 D．120解析：由频率分布直方图可得，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600－(0.005＋0.015)×10×600＝480.答案：B5．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8 C．12 D．18解析：第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4＝50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12.答案：C6．如图所示是一批电子产品中抽样得到数据的频率分布直方图，由图可以看出数据落在下列哪个范围的频率最大()A．[8.1,8.3) B．[8.2,8.4)C．[8.4,8.5) D．[8.5,8.7)解析：在频率分布直方图中，每个矩形的面积就等于相应组的频率，即矩形的面积大，相应的频率就大．由图可以看出数据落在范围的频率最大的是[8.2,8.4)．故选择B.答案：B二、填空题7．如图是一次数学考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上(含60分)为考试合格，则这次考试的合格率为________．解析：由频率分布直方图可得考试的合格率为(0.024＋0.012)×20＝0.72＝72%.答案：72%8．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．()(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析：(1)根据频率和为1，得(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4；(2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70.答案：(1)0.004 4(2)709．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000)(元)月收入段应抽出________人．解析：首先处理频率分布直方图得，月收入出现在[2 500，3 000)(元)内居民频率是500×0.000 5＝0.25，这就是分层抽样的抽样比．故100个居民样本中月收入在[2 500，3 000)(元)内抽取的人数为100×0.25＝25.答案：25三、解答题10．已知50个数据的分组以及各组的频数如下：153.5～155.5 2155.5～157.57157.5～159.59159.5～161.511161.5～163.510163.5～165.5 6165.5～167.5 4167.5～169.5 1(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布的条形图和直方图及折线图．解：频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，相应的直方图用面积表示各个区间内取值的频率．(1)如下表：(2)频率分布条形图如下图(1)，频率分布直方图及折线图如图(2)：11．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数最多？有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？解：(1)依题意知第三组的频率为42＋3＋4＋6＋4＋1＝15.又∵第三组频数为12，∴本次活动的参评作品数为1215＝60(件)．(2)由频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×62＋3＋4＋6＋4＋1＝18(件)．(3)第四组获奖率是1018＝59.第六组上交的作品数为60×12＋3＋4＋6＋4＋1＝3(件)．∴第六组的获奖率为23，显然第六组的获奖率较高．12．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.解：(1)由(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.(3)这100名学生语文成绩在[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)的分别有5人、40人、30人、20人，按照表中所给比例，数学成绩在[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)的分别有5人、20人、40人、25人，共90人，所以数学成绩在[50,90)之外的人数有10人．。

用样本估计总体分布+课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

0
[1000，1500） [1500，2000） [2000，2500） [2500，3000） [3000，3500）
消费额/元
一、频率分布直方图
图中每个小矩形的底边长是该组的组距，高是
.
0.0008
0.0006
0.0004
频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组的 0.0002
频率大小.
折线
0
到一条
115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 宽度/mm
，我们称之为频率折线图.
知识技能数学思想
掌握频率分布直方图、频率折线图的概念与画法，了解它们的意义. 能通过频率分布直方图进行有关计算，并估计总体的分布．在运用统计图整理数据的过程中，提高分析问题、解决问题能力.
6.3 用样本估计总体的分布
北师大版必修第一册第六章第三节
总体
抽
估
样
计
样本
为了解本市居民的生活成本，同学甲利用假期对所在社区进行 “家庭数”和“家庭每月日常消费额”的调查.
消费额分组/元
家庭每月日常消费额频率
0.000.408
10%
0.000.306
20%
20%
0.000.204
0.000.102
学生活动二
根据图中数据，回答下面问题：
①头盖骨的宽度位于哪个区间的频率最大？
[140,145)
0.10
②头盖骨的宽度在[140,145)的频率约是多少 0.08
？
0.0868×5=0.434
0.06
③头盖骨的宽度小于140mm的频率是多少？
(0.0018+0.0018+0.0114+0.0416)×5=0.283 0.04

2019年高考数学一轮复习课时分层训练60统计图表用样本估计总体理北师大版

课时分层训练(六十) 统计图表、用样本估计总体A 组基础达标一、选择题1．重庆市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图9312，则这组数据的中位数是( )图9312A ．19B ．20C ．21.5D ．23B [由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为20＋202＝20.]2．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图(如图9313)．图9313根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 A [对于选项A ，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A 错；对于选项B ，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B 正确；对于选项C ，D ，由图可知显然正确．故选A.]3．(2018·西宁检测(一))某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分(如图9314)，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( )【导学号：79140330】图9314A ．20,2B ．24,4C ．25,2D ．25,4C [由频率分布直方图可得分数在[50,60)内的频率是0.008×10＝0.08，又由茎叶图可得分数在[50,60)内的频数是2，则被抽测的人数为20.08＝25.又由频率分布直方图可得分数在[90,100]内的频率与分数在[50,60)内的频率相同，则频数也相同，都是2，故选C.]4．(2018·济南一模)2017年2月20日，摩拜单车在济南推出“做文明骑士，周一摩拜单车免费骑”活动．为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小时内被骑走的单车数量，绘制了如图9315所示的茎叶图，则该组数据的方差为( )图9315A ．9B ．4C ．3D ．2B [由茎叶图得该组数据的平均值为15(87＋89＋90＋91＋93)＝90，所以该组数据的方差为15[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4，故选B.]5．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( ) A ．8 B ．15 C ．16D ．32C [已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16.] 二、填空题6．(2018·陕西质检(一))已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为________．4 [因为一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x 2)，所以4x 2＝16，得x ＝2(负舍)，所以x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＋x 4＋24＝x ＋2＝4.]7．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图9316所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.图931624 [底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.] 8．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如图：【导学号：79140331】2 [易知x 甲＝90，x 乙＝90.则s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.]三、解答题9．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图9317所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.图9317(1)求出m ，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 2甲和s 2乙，并由此分析两组技工的加工水平．[解] (1)根据题意可知：x 甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x 乙＝15(9＋n ＋10＋11＋12)＝10， ∴m ＝3，n ＝8.(2)s 2甲＝15[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2，s 2乙＝15[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，∵x 甲＝x 乙，s 2甲＞s 2乙，∴甲、乙两组的平均水平相当，乙组更稳定一些．10．(2018·合肥一检)一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x ，得到如下的频率分布表：(2)若x ＜13或x ≥21，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率． [解] (1)频率分布直方图为估计平均值：x ＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.估计众数：18.(2)设“从不合格的产品中任取2件，技术指标值小于13的产品恰有一件”为事件A ，则P (A )＝C 12C 14C 26＝815.B 组能力提升11．(2017·河南信阳三中月考)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图9318所示的茎叶图．图9318考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④B [由茎叶图中的数据通过计算求得x 甲＝29，x 乙＝30，s 甲＝ 3.6，s 乙＝2，∴x甲＜x 乙，s 甲＞s 乙，故①④正确．故选B.]12．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图9319所示．图9319(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.【导学号：79140332】(1)3 (2)6 000 [(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a ＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.] 13．(2018·太原五中)经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市．某校学生社团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分(满分100分)，得到茎叶图，如图9320(1)：(1) (2)图9320(1)分别计算男生、女生打分的平均分，并用数字特征评价男、女生打分的数据分布情况；(2)如图9320(2)是按照打分区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]绘制的频率分布直方图，求最高矩形的高；(3)从打分在70分以下(不含70分)的学生中抽取3人，求有女生被抽中的概率． [解] (1)男生打分平均数为110(53＋55＋62＋65＋70＋71＋73＋74＋86＋81)＝69；女生打分平均数为110(68＋69＋76＋75＋70＋78＋79＋82＋87＋96)＝78. 易得s 2男＝99.6，s 2女＝68，说明男生打分数据比较分散(答案不唯一，通过观察茎叶图或者众数中位数说明，理由充分即可)．(2)h ＝920÷10＝0.045.(3)设“有女生被抽中”为事件A ，打分在70分以下(不含70分)的学生中女生有2人，设为a ，b ，男生4人，设为c ，d ，e ，f .基本事件有abc ，abd ，abe ，abf ，acd ，ace ，acf ，ade ，adf ，aef ，bcd ，bce ，bcf ，bde ，bdf ，bef ，cde ，cdf ，cef ，def ，共20种，其中有女生的有16种，所以P (A )＝1620＝45.。

2020学年高中数学课时分层作业6用样本估计总体(含解析)北师大版必修2(最新整理)

课时分层作业（六)（建议用时:60分钟)［合格基础练]一、选择题1．下列说法不正确的是（）A．频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率B．频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1C．频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大D．频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的每个小矩形上端中点得到的A[频率分布直方图的每个小矩形的高＝错误!.］2．样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6，10)内的频数为a，样本数据落在[2,10)内的频率为b,则a，b分别是（)A．32,0.4 B．8，0.1C．32,0。

1 D．8,0.4A[数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0。

32，则a＝100×0。

32＝32。

由于样本落在[2，6)内的频率为0。

02×4＝0。

08，则样本落在[2，10）内的频率b＝0.08＋0。

32＝0。

4.］3．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在[8，10）内的频数为( ）A．38 B．57C．76 D．95C［由题意可知样本数据在［8，10)之外的频率为(0.02＋0。

05＋0.09＋0。

15)×2＝0.62，所以样本数据在[8,10)内的频率为1－0.62＝0。

38。

所以样本数据在［8，10)内的频数为0。

38×200＝76,选C.]4．在样本的频率分布直方图中，某个小长方形的面积是其他小长方形面积之和的错误!，已知样本容量是80，则该组的频数为( )A．20 B．16C．30 D．35D［设该组的频数为x，则其他组的频数之和为4x，由样本容量是80，得x＋4x＝80，解得x＝16，即该组的频数为16，故选B.]5．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝错误!≈0.618,这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0。

2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十六用样本估计总体新人教B版必修2

课时素养评价十六用样本估计总体(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.观察新生婴儿的体重(单位:g),其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿的体重在[2 700,3 000)内的频率为( )A.0.001B.0.01C.0.003D.0.3【解析】选D.频率=×组距,组距=3 000-2 700=300,=0.001,所以频率=0.001×300=0.3.2.为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计,甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是,,则下列说法正确的是( )A.>,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛B.>,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛C.<,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛D.<,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛【解析】选D.由茎叶图知,甲的平均成绩是=82,乙的平均成绩是=87,所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩,从茎叶图看出乙的成绩稳定.3.(2019·济南高一检测)2018年2月20日,摩拜单车在济南推出“做文明骑士,周一摩拜单车免费骑”活动.为了解单车使用情况,记者随机抽取了五个投放区域,统计了半小时内被骑走的单车数量,绘制了如图所示的茎叶图,则该组数据的方差为( )A.9B.4C.3D.2【解析】选B.由茎叶图得该组数据的平均数=(87+89+90+91+93)=90.所以方差为[(87-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(93-90)2]=4.二、填空题(每小题4分,共8分)4.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时.【解析】第一分厂应抽取的件数为100×50%=50(件);该产品的平均使用寿命为1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1 015(小时).答案:50 1 0155.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图,则:(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数是________.(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为________.(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为________.【解析】(1)(0.04×10+0.025×10)×20=13(人).(2)设中位数为x,则0.2+(x-55)×0.04=0.5,x=62.5.(3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.答案:(1)13 (2)62.5 (3)64三、解答题(共30分)6.(14分)一批食品,每袋的标准重量是50 g,为了了解这批食品的实际重量情况,从中随机抽取10袋食品,称出各袋的重量(单位:g),并得到其茎叶图(如图).(1)求这10袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数.(2)若某袋食品的实际重量小于或等于47 g,则视为不合格产品,试估计这批食品重量的合格率.【解析】(1)根据茎叶图可知,50出现次数最多,有3次,所以这10袋食品重量的众数为50 g,设这10袋食品重量的平均数为,则=(45+46+46+49+50+50+50+51+51+52)=49,所以估计这批食品实际重量的平均数为49 g.(2)根据茎叶图知,这10袋食品重量小于或等于47 g的有3袋,由随机抽样的性质可知,这批食品重量的合格率约为1-=0.7=70%.7.(16分)某校为指导学生合理选择文理科的学习,根据数理综合测评成绩,按6分为满分进行折算.若学生成绩低于m分则建议选择文科,不低于m分则建议选择理科(这部分学生称为候选理科生).现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合测评成绩作为样本,整理得到分数的频率分布直方图(如图所示).(1)求直方图中t的值.(2)根据此次测评,为使80%以上的学生选择理科,整数m至多定为多少?(3)若m=4,试估计该校高一学生中候选理科生的平均成绩.(精确到0.01)【解析】(1)0.15×1+t×1+0.30×1+t×1+0.15×1=1,解得t=0.2.(2)根据频率分布直方图可知,分数落在[1,2]组的频率为0.15,所以为使80%以上的学生选择理科,整数m至多定为2.(3)若m=4,则估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩为≈4.93.(15分钟·30分)1.(5分)某校为了了解学生的睡眠情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据,结果用如图所示的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为( )A.4 hB.5 hC.6 hD.6.4 h【解析】选D.方法一:要确定这50名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间.总睡眠时间为5.5×0.1×50+6×0.3×50+6.5×0.4×50+7×0.1×50+7.5×0.1×50=27.5+90+130+35+37.5=320(h).故平均睡眠时间为320÷50=6.4(h).方法二:根据图形得平均每人的睡眠时间为T=5.5×0.1+6×0.3+6.5×0.4+7×0.1+7.5×0.1=6.4(h).【加练·固】某校为了了解学生的课外阅读情况,随机抽查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用条形图表示(如图).根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h【解析】选B.=0.9(h).2.(5分)对某种电子元件使用寿命进行跟踪调查,所得样本频率分布直方图如图.由图可知,这一批电子元件中寿命在100～300 h的电子元件的数量与寿命在300～600 h的电子元件的数量的比是( )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶6【解析】选C.由题意,寿命在100～300 h的电子元件的频率为100×=0.2,寿命在300～600 h的电子元件的频率为100×=0.8,则寿命在100～300 h的电子元件的数量与寿命在300～600 h的电子元件的数量比大约是0.2∶0.8=1∶4.3.(5分)(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.【解析】=0.98.答案:0.984.(15分)对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加“社区志愿者”活动的次数.据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图如下:分组频数频率[10,15) 5 0.25[15,20) 12 n[20,25) m p[25,30] 1 0.05合计M 1(1)求出表中M,p及图中a的值.(2)若该校高一学生有720人,试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的人数. 【解析】(1)根据频率分布表,得=0.25,所以样本容量M=20.所以m=20-5-12-1=2,所以对应的频率为p==0.1,n==0.6,所以a==0.12.(2)参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的频率为0.6,所以估计参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的人数为720×0.6=432(人).【加练·固】PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取18天的数据作为样本,将监测值绘制成茎叶图如图所示(十位为茎,个位为叶).(1)求这18个数据中不超标数据的方差.(2)以这18天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中约有多少天的空气质量超标.【解题指南】(1)先求出这18个数据中不超标数据的均值,由此能求出这18个数据中不超标数据的方差.(2)一年中空气质量超标的概率P==,由此能求出一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.【解析】(1)这18个数据中不超标数据的均值为:=(26+27+33+34+36+39+42+43+55+65)=40,这18个数据中不超标数据的方差为:s2=[(26-40)2+(27-40)2+(33-40)2+(34-40)2+(36-40)2+(39-40)2+(42-40)2+(43-40)2+(55-40 )2+(65-40)2]=133.(2)由题意,一年中空气质量超标的概率P==,×360=160,一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.1.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________;(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________.【解析】(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+ 0.06+0.02)=1,解得h=0.04.(2)志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5×(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数约为0.55×800=440.答案:(1)0.04 (2)4402.某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试,现从中等可能抽出n名学生的成绩作为样本,制成如图频率分布表:分组频数频率[85,95) 0.025[95,105) 0.050[105,115) 0.200[115,125) 12 0.300[125,135) 0.275[135,145) 4[145,155] 0.050合计n 1(1)求n的值,并根据题中信息估计总体平均数是多少?(2)若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”,试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”?【解析】(1)由第四行数据可知0.3=,所以n=40.数据[135,145)的频率为1-(0.025+0.05+0.2+0.3+0.275+0.05)=0.1,则利用组中值估计平均数为90×0.025+100×0.05+110×0.2+120×0.3+130×0.275+140×0.1+150×0.05=122.5(分).(2)成绩不低于135分的同学的频率为0.1+0.05=0.15,所以该校能参加集训队的人数大约为500×0.15=75(人).【加练·固】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值.(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由.(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由. 【解析】(1)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1,因为频率=(频率/组距)×组距,所以0.5×(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1,得a=0.3.(2)由题图可知,全市居民中月均用水量不低于3吨的人数所占百分比为0.5×(0.12+0.08+0.04)=12%,所以全市月均用水量不低于3吨的人数为:30×12%=3.6(万).(3)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为:0.5×(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.73,即73%的居民月均用水量小于2.5吨,同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故2.5<x<3,假设月均用水量平均分布,则x=2.5+0.5×=2.9(吨).- 11 -。

精品文档用样本估计总体数字特征同步课时作业 ——最新高一数学上学期北师大版(2019)必修第一册

6.4 用样本估计总体数字特征-2021-2022学年高一数学北师大版（2019）必修第一册同步课时作业1.霍兰德职业能力测试问卷可以为大学生在择业方面提供参考,对人的能力兴趣等方面进行评估.某大学随机抽取100名学生进行霍兰德职业能力测试问卷测试,测试结果发现这100名学生的得分都在[50,100]内,按得分分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图,则这100名同学得分的中位数为( )A ．72.5B ．75C ．77.5D ．802.若数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为4，标准差为1，则135x +，235x +，…，35n x +的平均数和标准差分别为（） A ．4，1B ．17，8C ．17，9D ．17，33.已知一组数据3,5,7，x ，10的平均数为6，则这组数据的方差为( ) A.335B.6C.285D.54.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( ) A.中位数B.平均数C.方差D.极差5.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A.140.1p p ==，230.4p p == B.140.4p p ==，230.1p p == C.140.2p p ==，230.3p p ==D.140.3p p ==，230.2p p ==6.“一世”又叫“一代”.东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”.而当代中国学者测算“一代”平均为25年.另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远（为了研究方便，超过四代的可忽略不计）.根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为( ) A.23年B.22年C.21年D.20年7.已知样本数据2,4,6,a 的平均数为4,则该样本的标准差是( ) A.22B.2C.2D.228.某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则估计该班物理测试的平均成绩是( )A.70分B.75分C.68分D.66分9.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件,测量这些产品的一项质量指标,数据如下: 质量指标分组[10,30)[30,50)[50,70)频率0.1 0.6 0.3A.60,1303B.40,43C.40,1303D.60,4310.某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下: 成绩 [80,90)[90,100](100,110](110,120](120,130](130,140](140,150]频数30 40 15 12 10 5 2A.在[90,100]内B.在(100,110]内C.在(110,120]内D.在(120,130]内11.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4,则a 的值是___________. 12.已知一组数据1x ，2x ，，n x 的方差为3，若数据1ax b +，2ax b +，，(,)n ax b a b +∈R 的方差为12，则a 的值为____________.13.一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为_______.14.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7x y 21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥认为有显著提高）.答案以及解析1.答案：A解析：由频率分布直方图,得：[50,70)的频率为(0.0100.030)100.4+⨯=,[70,80)的频率为0.040100.4⨯=,∴估计这100名同学的得分的中位数为：0.50.4701072.50.4-+⨯=．故选：A ． 2.答案：D解析：∵1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2s ，标准差为s ， ∴135x +，235x +，…，35n x +的平均数为35x +，即为17．方差()()2221135353535n s x x x x n ⎡⎤'=+--+⋅⋅⋅++--⎣⎦()()222211399n x x x x s n⎡⎤=⨯-+⋅⋅⋅+-==⎣⎦，∴标准差33s s '==．故选D ． 3.答案：C解析：先根据平均数公式求出x ，再利用方差公式求解.由题意得3571065x ++++=⨯，得5x =，所以这组数据的方差2128(911116)55s =⨯++++=. 4.答案：A解析：记9个原始评分分别为a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h ,i (按从小到大的顺序排列),易知e 为7个有效评分与9个原始评分的中位数,故不变的数字特征是中位数,故选A. 5.答案：B解析：对于A ，样本的平均数110.120.430.440.1 2.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=，方差22222221(1 2.5)0.1(2 2.5)0.4(3 2.5)0.4(4 2.5)0.1 1.50.10.50.4S =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⨯+⨯+220.50.4 1.50.10.65⨯+⨯=，所以1S =对于B ，样本的平均数210.420.130.140.4 2.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=，方差22222(1 2.5)0.4(2 2.5)0.1(3 2.5)0.1S =-⨯+-⨯+-⨯+22222(4 2.5)0.4 1.50.40.50.10.50.1 1.50.4 1.85-⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以2S 对于C ，样本的平均数310.220.330.340.2 2.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=，方差22223(1 2.5)0.2(2 2.5)0.3(3 2.5)S =-⨯+-⨯+-⨯222220.3(4 2.5)0.2 1.50.20.50.30.50.3 1.5+-⨯=⨯+⨯+⨯+⨯0.2 1.05=，所以3S =对于D ，样本的平均数410.320.230.240.3 2.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=，方差22224(1 2.5)0.3(2 2.5)0.2(3 2.5)S =-⨯+-⨯+-⨯22220.2(4 2.5)0.3 1.50.30.50.20.50.2+-⨯=⨯+⨯+⨯+21.50.3 1.45⨯=，所以4S =所以B 中的标准差最大. 6.答案：B解析：设“一代”为x 年，由题意得：企业寿命的频率分布表为：所以家族企业的平均寿命为：0.540.50.28 1.50.14 2.50.04 3.526x x x x ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得22x ≈.7.答案：B解析：因为2,4,6，a 的平均数为4，所以24644a+++=,得4a =，所以该样本的标准差s B. 8.答案：C解析：平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标再求和，即0.00520300.01020500.02020700.015209068⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分）. 9.答案：C解析：根据题中数据可知，频率最大对应的分组为[30,50)，∴众数约为40.设中位数为x ，则300.10.60.55030x -+⨯=-，解得1303x =,∴中位数约为1303,故选C. 10.答案：B解析：由表可知，及格的考生共有401512105284+++++=人，在[90,100]内有40人,在(100,110]内有15人，故及格的所有考生成绩的中位数在(100,110]内.11.答案：2解析：由平均数公式可得42(3)5645a a ++-++=，解得2a =.12.答案：2±解析：由方差的性质，知1ax b +，2ax b +，，n ax b +的方差为2312a =，所以2a =±.13.答案：88解析：根据题意，设剔除最高分、最低分之后的13个数据为1a ，2a ，3a ，…，13a ，由这13个数据的平均分为92，方差为16，知()1231319213a a a a ++++=,()()()222121319292921613a a a ⎡⎤-+-++-=⎣⎦,解得123131196a a a a ++++=，2221213110240a a a +++=,对于原始得分96,58，1a ，2a ，3a ，…，13a ，其平均数()12313196589015a a a a a =++++++=，其方差为()(()22222212131(9690)(5890)9090)908815s a a a ⎤⎡=-+-+-+-++-=⎣⎦.14.答案：（1）由题中的数据，可得1(9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7)10.010x =+++++++++=， 1(10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5)10.310y =+++++++++=， 2222211(9.810.0)(10.310.0)(10.010.0)(10.210.0)10s ⎡=⨯-+-+-+-+⎣222(9.910.0)(9.810.0)(10.010.0)-+-+-+222(10.110.0)(10.210.0)(9.710.0)0.036⎤-+-+-=⎦，22222221(10.110.3)(10.410.3)(10.110.3)(10.010.3)(10.110.3)10s ⎡=⨯-+-+-+-+-⎣22222(10.310.3)(10.610.3)(10.510.3)(10.410.3)(10.510.3)0.04⎤+-+-+-+-+-=⎦.（2）10.310.00.3y x -=-=，0.174=≈，所以y x ->则新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.。

2019_2020学年高中数学课时分层作业6归纳推理(含解析)北师大版选修1_2

课时分层作业(六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，则72 019的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49B [由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 019的末两位数字为43.]2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n＝( )A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －1B [可以通过S n ＝n 2·a n (n ≥2)分别代入n ＝2,3,4，求得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n＝2n (n ＋1).]3．给出下面的等式： 1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111， 123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111， ……猜测123 456×9＋7等于( ) A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113B [观察几组数据可知，等号左边变化的数字依次为1和2,12和3,123和4,1 234和5,12 345和6，等号右边依次为2个1,3个1,4个1,5个1,6个1，因此猜测当等号左边为123 456和7时，对应等号右边应为7个1.]4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n个正方形数是( )A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2C[观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.]5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3A[∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1.]二、填空题6．设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，当n∈N＋时，由归纳推理可得：f n(1)＝________.12n＋1－1[归纳推理可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(n∈N＋)，解得f n(1)＝12n＋1－1.]7．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 [由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.]8．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N＋)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝______________，a n ＝______________.15 3n －3(n ≥2，n ∈N ＋) [依据图形特点可知当n ＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得a n ＝3n －3(n ≥2，n ∈N ＋)．] 三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．[解] 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N ＋)．10．已知f (x )＝13x ＋3，分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．[解] 由f (x )＝13x ＋3，得f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝33，f (－1)＋f (2)＝13－1＋3＋132＋3＝33， f (－2)＋f (3)＝13－2＋3＋133＋3＝33. 归纳猜想一般性结论为f (－x )＋f (x ＋1)＝33. 证明如下：f (－x )＋f (x ＋1)＝13－x ＋3＋13x ＋1＋3＝3x1＋3·3x ＋13x ＋1＋3＝3·3x3＋3x ＋1＋13x ＋1＋3＝3·3x＋13＋3x ＋1＝3·3x＋13(1＋3·3x)＝33. [能力提升练]1．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1C [1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域，选C.]2．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A ．(2,10)B ．(10,2)C ．(3,5)D ．(5,3)A [由题意，发现所给数对有如下规律： (1,1)的和为2，共1个； (1,2)，(2,1)的和为3，共2个； (1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个； (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个； (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n 时，有n －1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．]3．如下图所示是由火柴杆拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．13 3n ＋1 [n ＝1,2,3,4时，火柴杆数分别为4根，7根，10根，13根，由此可归纳火柴杆数是一个以4为首项，以3为公差的等差数列，故第n 个图形中，火柴杆有3n ＋1根．]4．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图②，如此继续下去，得图③，……，试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.① ② ③3×4n －1(n ∈N ＋) [观察图形可知，a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，…，故{a n }是首项为3，公比为4的等比数列，故a n ＝3×4n －1(n ∈N ＋)．]5．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋si n 30°sin α)2－ sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋343 4.cos2α＝。

2019_2020学年高中数学课时分层作业6总体分布的估计(含解析)苏教版必修3

课时分层作业(六) 总体分布的估计(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为( ) A ．5 B ．10 C ．15D ．20A [该组的频数为20×0.25＝5.]2．某班学生在一次数学考试中的成绩分布如下表：A ．6B ．7C ．13D ．32C [分数低于100的共2＋5＋6＝13(人)．]3．在样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若正中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的面积和的14，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为( )A ．10B ．20C ．25D ．50B [在频率分布直方图中，各小矩形的面积表示相应组的频率，且和为1.设正中间的一组面积为S ，则有S ＋4S ＝1，得S ＝0.2，即该组的频率为0.2.又样本容量为100，所以该组的频数为100×0.2＝20.]4．将容量为100的样本数据，从小到大排列，分成8个组，如表：则第A ．0.15 B ．0.4 C ．0.3D ．0.2A [8个小组的频数之和等于样本容量100，故第5组的频数x＝100－(10＋13＋14＋14＋13＋12＋9)＝15.所以第5组数据的频率为15100＝0.15.]5.某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出了一个容量为500的学生样本，已知他们的开销都不低于20元且不超过60元，样本的频率分布直方图如图，则其中支出在[50,60]元的同学人数为( )A．170 B．120C．180 D．150D[开销在[50,60]元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，所以支出在[50,60]元的同学有0.3×500＝150(人)．]二、填空题6．一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)内的频率为0.6，则样本中在[40,60)内的数据的频率为________．0．2 [样本中在[40,60)内的数据的个数为30×0.6－8－4＝6，故样本中在[40,60)内的数据的频率为630＝0.2.]7．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a＝________.0．030 [因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.]8．为了解某一段公路上汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80)内，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的这200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有________辆．80 [时速在区间[40,60)内的车辆的频率：10×(0.01＋0.03)＝0.4，时速在[40,60)内的车辆数：0.4×200＝80.]三、解答题9．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110)为达标，则可估计该校全体高一年级学生的达标率是多少？思路点拨：利用小矩形的面积就是样本数据落在相应组内的频率来解决问题．[解] (1)由于频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08.因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本容量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.(2)由频率分布直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.10．已知50个数据的分组以及各组的频率如下： [153.5,155.5)，2 [155.5,157.5)，7 [157.5,159.5)，9 [159.5,161.5)，11 [161.5,163.5)，10 [163.5,165.5)，6 [165.5,167.5)，4 [167.5,169.5]，1 (1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．[解](1)频率分布表如下分组频数频率[153.5,155.5)20.04[155.5,157.5)70.14[157.5,159.5)90.18[159.5,161.5)110.22[161.5,163.5)100.20[163.5,165.5)60.12[165.5,167.5)40.08[167.5,169.5]10.02合计50 1.00(2)[能力提升练]1．在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则m等于( )分组[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600)[600,700]频数1030408020m 频率0.050.150.20.4 a bC．20 D．10C[∵频率、频数的关系为频率＝频数样本容量，∴800.4＝20a，∴a＝0.1.∵表中各组的频率之和等于1，∴b＝1－0.9＝0.1，∴m＝20.]2．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A．20 B．18C．16 D．12D[志愿者的总人数为20(0.16＋0.24)×1＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.]3．对某项活动中800名志愿者的年龄抽样统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25,30)内的数据不慎丢失，依据此图可得．年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为________．0．04 [设年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为x，则有5×(0.01＋x＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得x＝0.04，所以年龄在[25,30)内对应小长方形高度为0.04.] 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．480 [不少于60分的学生的频率为(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数应为600×0.8＝480.]5．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y 1∶12∶13∶44∶5 [解(2)估计这次语文成绩的平均分x＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以这100名学生语文成绩的平均分为73分．(3)分别求出语文成绩在分数段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为0.05×100＝5,0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20.所以数学成绩分数段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为5,20,40,25.所以数学成绩在[50,90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．。

2019_2020学年高中数学课时分层作业6数学归纳法(含解析)北师大版

课时分层作业(六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n －2)π”时，归纳奠基中n 0的取值应为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [边数最少的凸n 边形为三角形，故n 0＝3.] 2．下面四个判断中，正确的是( )A ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n(n ∈N ＋)中，当n ＝1时，式子的值为1 B ．式子1＋k ＋k 2＋…＋kn －1(n ∈N ＋)中，当n ＝1时，式子的值为1＋kC ．式子1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N ＋)中，当n ＝1时，式子的值为1＋12＋13D ．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N ＋)，则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4C [A 中，n ＝1时，式子＝1＋k ； B 中，n ＝1时，式子＝1； C 中，n ＝1时，式子＝1＋12＋13；D 中，f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1.故正确的是C.]3．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1成立，则当n ＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( ) A ．命题、推理都正确 B ．命题正确、推理不正确 C ．命题不正确、推理正确 D ．命题、推理都不正确B [推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.]4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N ＋)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2D [当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.]5．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋) D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)B [根据数学归纳的特点，第二步要具备递推特点，因为n 为正奇数，故B 正确，A 错是因初始值不为1，C 错是因不一定为奇数，D 错是因为n ＝k 不一定为奇数，只是相差2．]二、填空题6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2 [∵f (k )＝12＋22＋32＋…＋(2k )2， f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2．]7．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________________．122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3 [当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3.] 8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是__________．(k ＋1)2＋k 2[当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2．] 三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2，那么，当n ＝k ＋1时，1＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2．这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n 都成立．10．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立．[能力提升练]1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n(na －b )＋14对一切n ∈N ＋都成立，那么a ，b 的值为( )A ．a ＝12，b ＝14B ．a ＝b ＝14C ．a ＝0，b ＝14D ．a ＝14，b ＝12A [法一：特值验证法，将各选项中a ，b 的值代入原式，令n ＝1,2验证，易知选A. 法二：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n(na －b )＋14对一切n ∈N ＋都成立，所以当n ＝1,2时有⎩⎪⎨⎪⎧1＝3(a －b )＋14，1＋2×3＝32(2a －b )＋14，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3a －3b ＋14，7＝18a －9b ＋14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14.]2．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立D [对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立．”]3．以下是用数学归纳法证明“n ∈N ＋时，2n ＞n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21＞12，不等式显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即2k＞k 2．那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2．即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N ＋不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)． (2) [在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论．如k ＝2时，k 2＜2k ＋1．]4．用数学归纳法证明34n ＋2＋52n ＋1(n ∈N )能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为__________． 25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2[当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝81·34k ＋2＋25·52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2．]5．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n (n ∈N ＋)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N ＋，点P n 都在(1)中的直线l 上． [解] (1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1．∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13.∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.故直线l 的方程为2x ＋y ＝1．(2)①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，2a k＋b k＝1成立．则当n＝k＋1时，2a k＋1＋b k＋1＝2a k·b k＋1＋b k＋1＝b k1－4a2k ·(2a k＋1)＝b k1－2a k＝1－2a k1－2a k＝1，∴当n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对任意n∈N＋，都有2a n＋b n＝1，即对任意的n∈N＋，点P n都在直线l上．。

2020-2021学年北师大版高中数学必修三《用样本估计整体》同步练习及解析

最新（新课标）北师大版高中数学必修三用样本估计总体同步练习(一)1．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为（）A、1.54mB、1.55mC、1.56mD、1.57m2．下列说法正确的是（）A、样本中所有个体的总和是总体B、方差的平方根叫做标准美C、样本平均数与总体平均数相等D、在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数3．下列说法正确的是（）A、在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B、平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C、方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D、在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高4．样本101，98，102，100，99的标准差为（）A、2B、0C、1D、210．为了了解中学生的身高情况，对育才中学同龄的50名男学生的身高进行了测量，结果如下：（单位：cm）：175 168 180 176 167 181 162 173 171 177171 171 174 173 174 175 177 166 163 160166 166 163 169 174 165 175 165 170 158174 172 166 172 167 172 175 161 173 167170 172 165 157 172 173 166 177 169 181列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图。

11．已知50个数据的分组以及各组的频数如下：153.5-155.5 2 161.5-163.5 10155.5-157.5 7 163.5-165.5 6157.5-159.5 9 165.5-167.5 4159.5-161.5 11 167.5-169.5 1 （1）列出频率分布表；（2）列出累积频率分布表；（3）画出频率分布直方图和频率分布折线图；（4）画出累积频率分布图。