角平分线定理和直角三角形的射影定理

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三角形射影定理

三角形射影定理几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

直角三角形射影定理直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。

证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C =90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=B D·DC。

其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（B D+CD)·BC=（BC）2即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。

注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c 在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为B D、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。

三角形有关定理总结

三角形有关定理总结三角形有关定理总结如下：1.中线定理：设△ABC的边BC中点为P，则有AB2+AC2=2（AP2+BP2）2.垂线定理：在△ABC中，边AB上的高为CD，则有AC2-AD2=BC2-BD23.角平分线定理：在△ABC中，AD平分∠BAC，则有BD/DC=AB/AC4.斯特瓦尔特定理：在△ABC中，D为边BC上一点，则有AB2×DC+AC2×BD-AD2×BC=BC×DC×BD5.射影定理：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则CD2=AD×DB，BC2=BD×BA，AC2=AD×AB6.梅涅劳斯定理：设△ABC的三边AB、BC、CA或延长线和一条不经过它们任意顶点的直线的交点分别为P、Q、R，则有(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 7.塞瓦定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，且AX、BY、CZ所在直线交于一点，则有(AZ/ZB)×(BX/XC)×(CY/YA)=18.西姆松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足为D、E、F，则D、E、F共线9.燕尾定理：两个有公共边的三角形ABC和ABD，AB与CD交于点M，则△ABC的面积：△ABD的面积=CM∶DM10.正弦定理：已知△ABC三个顶点A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，外接圆半径为R，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R11.张角定理：在△ABC中，D是BC上的一点，则有sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD1/ 1。

三角形中的常见结论

三角形中的常见结论-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12cAba D D CA三角形中的常见结论（高二理科数学）以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角形．．这个前提条件就不一定成立！．．．．．．．．．．．．．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

1、内角和定理：A B C π++=。

2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立，即：a b A B >⇔>，a b A B =⇔=，a b A B <⇔<。

3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即：a b c +>，a c b +>，b c a +> a b c -<，a c b +<，b c a -<4、三角形的四心：外心：外接圆圆心，三边中垂线的交点。

内心：内切圆圆心，三内角角平分线的交点。

垂心：三边高线的交点。

重心：三边中线的交点。

重心G 的性质：（1）重心G 是中线的三等分点；（2）0GA GB GC ++=；（3）若11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭。

等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。

等边三角形四心合一。

5、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）。

正弦定理的变形：（1）sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a cA C=；（2）sin sin a B b A =，sin sin b A a B =，sin sin a BA b=；（3）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；（4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=；（5）::sin :sin :sin a b c A B C =；（6）2sin sin sin sin a b c aR A B C A++==++。

相似射影定理私人整理

相似三角形（射影定理及角平分线的性质）射影定理：【知识要点】1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt △ABC 中，∠C=90º，则 2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，则 ① ∽ ∽ ②S △ABC =22③射影定理：CD 2= · AC 2= · BC 2= · 【常规题型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。

求AD 、BD 的长.2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。

（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。

（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。

【典型例题】例1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB ·AFBADFEGDCAB例2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。

例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。

求证：AE ·BF ·AB ＝CD 3例4．在ABC Rt ∆中，k AC BC DE CE AB CD C ==⊥︒=∠,,,90，求CFBF角平分线的性质：【知识要点】如图，在△ABC 中，∠A 平分线交BC 边于D 点，则有：CDBDAC AB =. 证明：例6、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线分别为BD 和CE ，且DE ∥BC 。

2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型

2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。

熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：高分线模型条件：AD 是高，AE 是角平分线结论：∠DAE=2B C∠∠-例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，CD 为ACB ∠的平分线，CE AB ⊥于点E ，则ECD ∠度数为（）A ．5︒B ．8︒C ．10︒D ．12︒【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到40BCE ∠=︒，再根据30A ∠=︒,CD 平分ACB ∠,即可得到BCD ∠的度数,再根据DCE BCD BCE ∠=∠-∠进行计算即可．【详解】解：50,B CE AB ∠=︒⊥ ,40BCE ∴∠=︒,又30A ∠=︒ ,CD 平分ACB ∠,1118050305022()BCD BCA ∴∠=∠=⨯︒-︒-︒=︒，504010DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键．例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的有（）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG 是△ABE 的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG 是△ABD 的边AD 上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH 为△ACD 的边AD 上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH 是△ACF 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD 、AE 分别是Rt △ABC 的高和中线，AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．【答案】（1）AD 的长度为365cm ；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD 的长度；（2）由于AE 是中线，那么BE ＝CE ，再表示△ACE 的周长和△ABE 的周长，化简可得△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC ﹣AB 即可．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的高，∴S △ACB =12AB•AC ＝12BC•AD ，∵AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，∴AD ＝AB AC CB ⋅＝91215⨯＝365（cm ），即AD 的长度为365cm ；（2）∵AE 为BC 边上的中线，∴BE ＝CE ，∴△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC+AE+CE ﹣（AB+BE+AE ）＝AC ﹣AB ＝12﹣9＝3（cm ），即△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30B ∠=︒，50C ∠=︒．(1)求DAE ∠的度数．(2)试写出DAE ∠与C B ∠-∠关系式，并证明．(3)如图，F 为AE 的延长线上的一点，FD BC ⊥于D ，这时AFD ∠与C B ∠-∠的关系式是否变化，说明理由．【答案】(1)10︒(2)()12DAE C B ∠=∠-∠(3)不变，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和求出BAC ∠，根据角平分线的定义得到50BAE ∠=︒，根据高线的性质得到90ADE ∠=︒，从而求出60BAD ∠=︒，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到12BAE BAC ∠=∠，根据三角形内角和求出119022EAC B C ∠=︒-∠-∠，根据角的和差得到结果；（3）过A 作AG BC ⊥于G ，结合（2）知1()2EAG C B ∠=∠-∠，证明FD AG ∥，得到AFD EAG ∠=∠，即可证明．【详解】（1）解：∵30B ∠=︒，50C ∠=︒，∴1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AE 平分BAC ∠，∴1502BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒，∵AD 是高，∴90ADE ∠=︒，∵30B ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴10DAE BAD BAE ∠=∠-∠=︒；（2）()12DAE C B ∠=∠-∠，证明如下：∵AE 平分BAC ∠，∴12EAC BAC ∠=∠，∵180BAC B C ∠=︒-∠-∠，∴()11101902822B C B C EAC ︒-∠-∠-∠︒-==∠∠，∴EAD EAC DAC ∠=∠-∠()11090922B C C =︒∠---∠︒-∠()12C B =∠-∠；（3）不变，理由是：如图，过A 作AG BC ⊥于G ，由（2）可知：1()2EAG C B ∠=∠-∠，AG BC ⊥ ，90AGB ∠=︒，FD BC ⊥ ，90FDC ∴∠=︒，AGD FDC ∴∠=∠，FD AG ∴∥，AFD EAG ∴∠=∠，1()2AFD C B ∴∠=∠-∠．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A =∠C ；②∠B =∠AFD =∠CFE ；③AB CD AE BC ⋅=⋅。

高中平面几何常用定理总结

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理） 3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b ma -+=． 4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：Cb Bc A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6．正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8．张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE 交AB于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；（4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24．垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28．三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r r r r r r r c b a c b a =++=== 30．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．33．塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1． 34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB 分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q 两点关于圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N 点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B和E 、C 和F ，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．。

三角形射影定理

几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

直角三角形射影定理直角三角形射影定理〕：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，那么有射影定理如下：〔1〕〔AD〕2=BD·DC，〔2〕〔AB〕2=BD·BC ，〔3〕〔AC〕2=CD·BC 。

证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠D AC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即〔A D〕^2=BD·DC。

其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式〔2〕+〔3〕得：〔AB〕2+〔AC〕2=BD·BC+CD·BC =〔BD+CD)·BC=〔BC〕2即〔AB〕2+〔AC〕2=〔BC〕2。

任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理〞：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，那么有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。

注：以“a＝b·cosC＋c·cosB〞为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，那么AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。

直角三角形中的射影定理公式

直角三角形中的射影定理公式1. 射影定理的来历说到射影定理，大家可能会想：“这是什么神秘的东西？”其实，它就是直角三角形的一个小秘密，帮助我们理解三角形的关系。

想象一下，你在户外野餐，看到阳光下的三角形影子，突然就明白了这个定理的意义。

就像阳光照在你身上，给你带来了温暖，射影定理也让我们看到了三角形之间的奇妙联系。

1.1 什么是射影定理射影定理，说白了，就是在直角三角形中，某个角的高度（也就是从那个角到底边的垂直距离）跟其他两个边之间的关系。

你可以把这个定理想象成一个小魔法，帮我们找出三角形中的隐藏长度。

比如说，你在解一道几何题，突然发现这个定理能让你轻松解决难题，心中那种“原来如此”的感觉，简直让人如释重负！1.2 公式介绍接下来，我们来看看公式。

这公式可不复杂，写成一句话就是：一个直角三角形中，高度的平方等于两个直角边长度的乘积。

用数学语言来说就是：h² = a * b。

这h就是高度，a和b是直角边。

听起来是不是简单得像吃饭？这就跟做菜一样，只要掌握了基本的配方，哪怕是小白也能做出美味的菜肴。

2. 实际应用那么，射影定理能用在哪里呢？嘿嘿，别着急，这里就有好多小故事！想象一下，你在家装修，准备挂一幅画。

你要测量画的高度，得考虑到下面的家具和墙壁，运用射影定理，你可以准确计算出合适的高度。

这就像是一场数学和生活的完美结合，真是生活中的“数学小能手”啊。

2.1 在建筑中的应用再说说建筑行业，很多时候建筑师需要设计各种形状的房子，他们会用到射影定理。

比如说，要建一座斜屋顶，设计师可以通过这个定理，确保屋顶的斜度和高度都在合适的范围内。

想象一下，如果没有这个定理，屋顶可能会歪得像个“小山丘”，那可就笑话了！2.2 在航海中的应用再来谈谈航海。

船长在海上航行时，需要准确判断船只与岸边的距离。

通过运用射影定理，船长可以算出最安全的航线，避免与礁石“亲密接触”。

所以说，射影定理不仅在数学课堂上有用，生活中也是处处皆是，简直就是我们的“救命稻草”！3. 小结总结一下，射影定理就像一个隐藏在直角三角形中的小宝藏。

三角形的射影定理

三角形的射影定理篇一：三角形的射影定理是指在三角形中,如果两条边的长度比等于斜边的长度比,那么这个三角形是一个等腰三角形。

这个定理可以帮助我们确定三角形的形状,并且在某些情况下可以用来求解三角形的相关问题。

正文:三角形的射影定理是指:在一个三角形ABC中,如果AB、AC、BC三条边的长度比等于斜边AB/斜边AC=BC/斜边BC,那么这个三角形ABC是一个等腰三角形。

这个定理可以通过以下方式证明:假设三角形ABC是一个等腰三角形,并且顶点C的坐标为(x0,y0),顶点A的坐标为(x1,y1),顶点B的坐标为(x2,y2)。

那么根据勾股定理,有:AB^2 = AC^2 + BC^2即:(x1-x0)^2 + (y1-y0)^2 + (x2-x0)^2 + (y2-y0)^2 = x0^2 + y0^2(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (x0-y1)^2 + (y0-x1)^2 = x1^2 + y1^2(x0-x2)^2 + (y0-y2)^2 + (x1-y2)^2 + (y1-x2)^2 = x2^2 + y2^2 将上述三个式子相加,得到:2(x1-x0)^2 + 2(y1-y0)^2 + 2(x2-x1)^2 + 2(y2-y1)^2 + 2(x0-y1)^2 + 2(y0-x1)^2 = x0^2 + y0^2 + x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2化简得:0 = x0^2 + x1^2 + x2^2 + y0^2 + y1^2 + y2^2因此,x0^2 + x1^2 + x2^2 = y0^2 + y1^2 + y2^2即(x0+x1+x2)^2 = (y0+y1+y2)^2因此,x0+x1+x2 = y0+y1+y2因为三角形ABC是等腰三角形,所以有x0=x1=x2=y0=y1=y2。

因此,x0+x1+x2 + y0+y1+y2 = 0因此,(x0+y0) + (x1+y1) + (x2+y2) = 0即(x0+x1+x2+y0+y1+y2) = 0因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^2 = 0因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^2 = 0因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = -(x0+x1+x2+y0+y1+y2) = 0因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = 0因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^2 = x0^2 + x1^2 + x2^2 + y0^2 + y1^2 + y2^2 因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^2 = x0^2 + y0^2 + x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = (x0+y0)^2 + (x1+y1)^2 + (x2+y2)^2 因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = x0^2 + x1^2 + x2^2 + y0^2 + y1^2 +2(x0+x1+x2+y0+y1+y2)因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = 0 + 0 + 0 + 0 + 2(x0+x1+x2+y0+y1+y2) 因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = 2(x0+x1+x2+y0+y1+y2)因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^2 = 4(x0+x1+x2+y0+y1+y2)因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^4 = 4^4因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^4 = 4^4 = 16^4因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = 0拓展:这个定理可以用来确定三角形ABC的形状,并且在某些情况下可以用来求解三角形的相关问题。

直角三角形中的射影定理

直角三角形中的射影定理射影定理说的就是，如果你在直角三角形的一个边上投射一个垂线，那么这个垂线就会把直角三角形的其他两边给“分割”开来。

听起来好像没什么大不了，但这其中的奥妙可就不少了。

比如说，设想你在户外晒太阳，找到一个完美的地方，角度正好，阳光洒下，地上留下一个小小的影子。

这时候，你可以发现，这个影子跟三角形的关系是多么紧密。

影子在那儿，就像是直角三角形的一部分，甚至可以用它来计算其他边的长度。

大家知道，数学里常常需要一些公式来帮助我们理解这些关系。

射影定理就像是一把钥匙，能帮助我们打开这个数学宝箱。

它告诉我们，直角三角形中一边的长度与它的垂直射影和另两边的长度之间的关系，简单来说，就是那些边之间有个神秘的联系。

咱们可以用这种关系来解决很多实际问题，比如说建筑设计或者工程计算。

想想看，如果没有这些定理，很多建筑可能就得坍塌了。

再说说这个定理的实际应用。

你可能在街上看到工人在测量某个建筑物的高度。

嘿，他们其实就是在利用射影定理哦！工人们通过测量距离和角度，轻松算出高楼大厦的真实高度。

简直像魔法一样！咱们生活中的很多地方都能见到射影的身影。

比如在游乐园，那个旋转木马上，影子随着马的转动而变化，这种变化其实就是一种射影的表现。

真是妙不可言。

再说回射影定理，它的魅力不仅在于它的计算，还在于它的简单和直观。

想象一下，你在学校里上数学课，老师拿着一个直角三角形的图纸，开始给你讲解。

这时候，你可能会觉得有点枯燥，但等你理解了射影定理，就像开启了新世界的大门。

你会发现，数学其实是如此生动，有趣，而且无处不在。

甚至在你生活中的每一个小角落都能看到它的身影。

直角三角形也让我们领悟到了很多人生哲理。

就像那个简单的三角形一样，生活中往往有简单的道理藏在复杂的外表下。

射影定理教会我们要善于发现那些隐藏的关系，正如我们在生活中要去洞察他人的感受，抓住事情的本质。

很多时候，我们的生活就像是一场游戏，关键在于如何使用手中的“工具”，让一切变得更简单。

直角三角形射影定理证明

直角三角形射影定理证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直角三角形射影定理是数学中一个重要的定理，它描述了一个直角三角形中的射影关系，即在一个直角三角形中，三角形的三个顶点和三边的中点之间存在一种特殊的关系。

证明这个定理可以帮助人们更深入地理解三角形的性质，为解决与直角三角形相关的问题提供了理论基础。

让我们来看一下直角三角形射影定理的表述：在一个直角三角形ABC中，设直角在顶点C处，点D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，那么有CF=AD=BE。

为了证明这个定理，我们可以采用不同的方法，例如利用几何知识、向量方法或三角学等。

这里我们选用向量方法进行证明。

我们设定三角形ABC的顶点A、B、C的坐标分别为向量a、b、c，根据题设可以知道D的坐标为(a+b)/2，E的坐标为(b+c)/2，F的坐标为(a+c)/2。

由于CF=AD=BE，我们可以用向量表示来证明这一关系。

首先计算CF的向量表示：CF = F - C = (a+c)/2 - c = a/2接着我们计算AD的向量表示：通过以上计算过程我们可以得出CF=AD=BE，即直角三角形射影定理成立。

通过向量方法证明直角三角形射影定理，我们可以清晰地看出三角形中各点之间的关系，加深自己对其性质的理解。

这也展示了数学中向量方法在解决几何问题中的应用。

直角三角形射影定理在几何学、物理学等领域中都有广泛的应用，因此了解和掌握这个定理的证明方法对我们的学习和研究都具有重要意义。

直角三角形射影定理是数学中的一个重要定理，通过向量方法对其进行证明可以帮助我们更深入地理解三角形的性质，提高数学思维能力。

希望以上证明过程能够帮助大家更好地理解和应用直角三角形射影定理。

第二篇示例：直角三角形射影定理是初中数学中重要的定理之一，它告诉我们直角三角形中的射影性质。

直角三角形射影定理的证明是通过几何知识和简单的代数运算来完成的。

下面将详细介绍直角三角形射影定理的证明过程。

三角形中的常见结论

c CBAba三角形中的常见结论（高二理科数学）以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．这个前提条件就不一定成立！．．．．．．．．．．．．．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

1、内角和定理：A B C π++=。

2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立，即：a b A B >⇔>，a b A B =⇔=，a b A B <⇔<。

内心：内切圆圆心，三内角角平分线的交点。

垂心：三边高线的交点。

重心：三边中线的交点。

重心G 的性质：（1）重心G 是中线的三等分点；（2）0GA GB GC ++=；（3）若11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭。

等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。

等边三角形四心合一。

5、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）。

直角三角形的射影定理

02
三角函数方程求解
通过射影定理可以将某些三角函数方程转化为代数方程进行求解。
03
三角函数不等式求解
通过射影定理可以将某些三角函数不等式转化为代数不等式进行求解。
05
射影定理在物理学中的应用
力学中的平衡问题
01 02
力的分解
在力学中，当一个力作用于一个物体时，该力可以分解为两个分力，这两个分力分别与物体的两个直角边相对应。根据射影定理，可以通过已知的两个分力求出原力的大小和方向。
在高级数学中，射影定理可以通过向量和矩阵的知识进行更深入的理解和拓展。例如，可以通过向量投影的概念解
释射影定理，或者利用矩阵运算解决相关问题。
对未来学习的建议
深入学习相似三角
形
相似三角形是射影定理的基础，建议深入学习相似三角形的性质、判定和应用，以便更好地理解和应用射影定理。
掌握三角函数知识
三角函数是解决三角形问题的重要工具，建议熟练掌握三角函数的定义、性质和计算方法，以便在解三角形问题时灵活运用。
拓展数学视野
除了射影定理和相似三角形外，数学中还有许多其他有趣且实用的概念和定理。建议广泛涉猎数学知识，拓展数学视野，提高数学素养。
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06
总结与拓展
射影定理的重要性总结
1 2
揭示直角三角形性质
射影定理揭示了直角三角形中边与角之间的特殊关系，是理解直角三角形性质的重要工具。
沟通相似三角形与三角函数
射影定理将相似三角形与三角函数联系起来，为解三角形问题提供了更多思路和方法。
3
应用于实际问题
射影定理在测量、建筑、物理等领域有广泛应用，掌握该定理有助于解决实际问题。

重要但常不为人知道的几何定理

阿基米德折弦定理：AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）,BC〉AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线,我们称之为该图的一条折弦.角平分线定理定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

该命题逆定理成立：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

该命题逆定理成立:如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.xv=uy燕尾定理因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一,是一个关于三角形的定理(如图△ABC，D、E、F 为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）。

S△ABC中,S△AOB：S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD：CD；同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF;S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。

推论:共边比例定理：四边形ABCD（不一定是凸四边形)，设AC，BD相交于E，则有BE ：DE=S△ABC :S△ADC。

此定理是面积法最重要的定理.典型例题：如图三角形ABC的面积是10平方厘米，AE=ED,BD=2DC，则阴影部分的面积是_____平方厘米．答案：4解析:过D作DM‖BF交AC于M(如图)因为BD=2DC，因为AE=DE,所以△ABE的面积与△DBE的面积相等，所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积，即三角形AFB的面积,由DM‖BF知道△DMC相似△CBF 所以CM：CF=CD：CB=1：3，即FM=CF，因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC，由此即可求出三角形AFB的面积，即阴影部分的面积．解：过D作DM‖BF交AC于M(如图）因为BD=2DC，因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积DM‖BF所以△DMC相似△CBF 所以CM:CF=CD：CB=1：3即FM=CF因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC所以△ABF的面积10×=4（平方厘米）即阴影部分的面积（即△DBE的面积加△AEF的面积）等于4平方厘米答：阴影部分的面积是4平方厘米,故答案为：4．共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

直角三角形射影定理证明

直角三角形射影定理证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直角三角形射影定理，也称为锐角三角形的射影定理，是解决三角形中高度、中线、中位线等特殊线段长度之间关系的一个重要定理。

这个定理的证明过程相对比较简单，但需要通过严谨的推理和几何知识的运用来完成。

下面我们将详细说明关于直角三角形射影定理的证明过程。

我们先来说明三角形的射影定理的定义：在一个直角三角形ABC 中，假设AD是BC边的高，BD是BC的中线，CD是BC的中位线，那么有以下关系成立：AD²=BD×CD。

证明如下：首先我们利用勾股定理得到直角三角形ABC中的三条边长度关系。

假设AB=c，BC=a，AC=b。

在三角形ABC中，根据勾股定理可得：AC² = AB² + BC²b² = c² + a²下面我们来分别研究BD和CD的长度。

我们来研究BD的长度。

根据三角形中线的性质可得：BD = 1/2 * BCBD = 1/2 * aBD = a/2接着，我们来研究CD的长度。

根据三角形中位线的性质可得：CD² = 1/2 * AC² + 1/2 * AB² - 1/4 * BC²CD² = 1/2 * b² + 1/2 * c² - 1/4 * a²CD² = 1/2 * (c² + a²) - 1/4 * a²CD² = 1/2 * (b²) - 1/4 * a²CD² = 1/2 * b² - 1/4 * a²通过严谨的推理和几何知识的运用，我们成功证明了直角三角形射影定理成立：在一个直角三角形ABC中，假设AD是BC边的高，BD是BC的中线，CD是BC的中位线，那么有AD²=BD×CD的关系成立。

射影定理三角形内角平分线定理

射影定理三角形内角平分线定理射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；并且每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.即：在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝Rt ∠，并且CD ⊥AB 于D ，则⑴ CD 2＝AD·BD ；⑵ AC 2＝AD·AB ； ⑶ BC 2＝BD ·BA ；三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.如图右，若AD 是△ABC 的角平分线，则AB BD AC DC =. 证明：作DE ∥AC 交AB 于E ，则BD BE DC AE=，因为△BDE ∽△BCA ，所以AB BE AC ED=，又因∠EAD =∠CAD =∠EAD ，所以ED =AE ，所以AB BE BD AC AE DC ==，即：AB BD AC DC =. 课堂练习 △ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于D ，∠B 的平分线交AD 于F ，交AC 于E ，求证；DF ︰F A =AE ︰EC .证明: ∵△DBA 的内角平分线是BF ，∴DF ︰F A =DB ︰AB ，∵△ABC 的内角平分线BE ，∴AE ︰EC =AB ︰BC ，∵Rt △ABC ，AD ⊥BC ，∴AB 2=BD ·BC ，即DB ︰AB =AB ︰BC ， ∴DF ︰F A =AE ︰EC .作业：△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，求证：CA ２︰DC ２＝AB ︰BD . 证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴CA ２＝AD ·AB ，DC ２＝AD ·BD ，∴CA ２︰DC ２＝AB ︰BD . A B C DD C。

角平分线定理和直角三角形的射影定理

03
角平分线定理和射影定理的应用
在几何作图中的应用
角平分线定理的应用
在几何作图中，角平分线定理可以用来确定角的平分线。已知角平分线上的任意一点，可以作出这个角的平分线。
射影定理的应用
在几何作图中，直角三角形的射影定理可以用来确定直角三角形的直角边。已知直角三角形的一个锐角和相邻的两条边，可以作出这个直角三角形的另外两条边。
总结词
利用射影定理计算直角三角形中的边长。
详细描述
在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，利用射影定理可以求出CD的长度。具体来说，CD^2 = AD * BD，其中AD和BD分别是直角三角形ABC的两条直角边。
实例三：角平分线定理和射影定理的综合应用Fra bibliotek总结词
结合角平分线定理和射影定理，解决复杂的几何问题。
角平分线定理的内容
角平分线定理
在三角形中，一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段。
证明
利用三角形的基本性质和全等三角形证明。
角平分线定理的证明
证明方法一
利用三角形的基本性质和全等三角形证明。
证明方法二
利用相似三角形和比例性质证明。
证明方法三
利用向量加法证明。
02
直角三角形的射影定理
射影定理的定义
在求解三角形问题中的应用
角平分线定理的应用
在求解三角形问题中，角平分线定理可以用来确定三角形内部角的平分线。已知三角形的一个角和它的角平分线，可以求出三角形其他角的度数。
射影定理的应用
在求解三角形问题中，直角三角形的射影定理可以用来确定直角三角形的直角边。已知直角三角形的一个锐角和相邻的两条边，可以求出这个直角三角形的另外两条边。

角平分线定理和直角三角形的射影定理

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方法3（相似形）过M作MN∥AB交AC于N 则△ABC∽△NMC, ∴AB/AC=MN/NC 而在△ABC内，∵MN∥AB ∴AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN ∴AN=MN ∴AB/AC=AN/NC ∴AB/AC=MB/MC 方法4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D(起标明交点作用，对证明无影响）由正弦定理，得，证明4图 AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180° sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB/AC=MB/MC
夹角的外Байду номын сангаас平分线外分对边之比。夹角的外角平分线外分对边之比。
三角形角（内、外）平分线定理：三角形两边之三角形两边之
比等于其夹角或夹角的外角的平分线外分对边之比。
二、直角三角形的射影定理
1、射影的定义：、射影的定义：
2、探究：如图，在直角三角形ABC中∠C =900，CD ⊥ AB于D，图中的线段AD、BD、CD、AC、BC、AB有何比例关系？
选修 4-1
几何证明选讲
第一讲相似三角形的判定及有关性质
角平分线定理及直角三角形的射影定理
复习
一、平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线 , 所截的对应线段成比例 .
练习：练习： 1、如图，在∆ABC中，AP是∆ABC的内角平分线， D AB PB 求证： = AC PC
A
B P
C
三角形内角平分线定理：三角形一个角的平分线三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，比例，

【初高中数学衔接】第15讲角平分线性质定理与射影定理

【初高中数学衔接】第15讲角平分线性质定理与射影定理
往期链接：
【初高中数学衔接】第14讲三角形的“四心”
【初高中数学衔接】第13讲分段函数
【初高中数学衔接】第12讲函数图象与变换【初高中数学衔接】第11讲二次函数的图象与性质
初高中数学衔接：第10讲分式不等式与简单的高次不等式初高中数学衔接：第9讲一元二次不等式【初高中数学衔接】第8讲简单的二元二次方程组
初高中数学衔接：第7讲无理方程
【初高中数学衔接】第6讲分式方程
【初高中数学衔接】第5讲一元二次方程根与系数的关系【初高中数学衔接】第4讲根式及其运算
【初高中数学衔接】第3讲分式及其运算
【初高中数学衔接】第2讲因式分解
【初高中数学衔接】第1讲乘法公式
第15讲角平分线性质定理与射影定理
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来源：老阳讲数学
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