高中数学讲义集合.参考教案.教师版
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⑤ A C U A A C U A U
⑥ A B A A B A B B A B ⑦ C U ( A B ) ( C U A ) ( C U B )C U ( A B ) ( C U A ) ( C U B ) ⑧ C ( A B ) a C ( A ) r C a ( B d ) C r a ( A B d ) r a d rd
⑵ ( U A )( U B ) U ( A B ) U U ； ⑶证明：∵ A(A B)，即 A，而 A，∴ A；
同理 B， ∴ AB．
【例10】 已知集合 M { ( x , y ) y 9 x 2 } N { ( x , y ) y x b } 且 M N ，求实
数 b 的取值范围。
（一）主要知识： 1．有关概念
①交集： A B { xx A 且 x B }
AB
AB
AB
②并集： A B { xx A 或 x B }
AB A
B AB
③全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以 看作一个全集，通常用 U 表示。
④补集： C U A { xx U 且 x A }
为 AB，所以有 b2a1或 b2a1，解得 ab3或 ab3，即
ab 3，选 D。
6
【点评】本小题考查绝对值不等式的解法、集合之间的关系等基础知识，考查同学们数形结 合的数学思想。
【例14】（2010 年高考江苏卷试题 1）设集合 A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则 实数 a=_____ __.
②真子集：若 A B，且存在 x0B,但 x0A，则 A 是 B 的真子集。
记作： A B[或“ AB且 AB”] A B，B C
AC
③ A B 且 B A A B
④空集：不含任何元素的集合，用 表示
对任何集合 A 有 A，若 A 则 A
注： a { a } { 0 } {}
5．子集的个数
A．若 A B，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ A BA
B．若 A BB，则 A B
C． (AB ) A(AB )
D． U AB U A U B
【解析】C；当 A B时， AB A AB ．
【例9】 若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）
⑴若 A B，则 UA UBU ⑵若 A BU，则 UA UB
⑶若 A B，则 AB A． 0 个 B．1 个 C． 2 个 D． 3 个 【解析】D；⑴ ( U A )( U B ) U ( A B ) U U ；
的选法。 【解析】36
【例13】(2010 年 高 考 天 津 卷 理 科 9) 设 集 合 A ＝ {x xa1,x R }， B ＝
{x xb2,x R }。若 AB,则实数 a , b 必满足
（A） ab 3
（B） ab 3
（C） ab 3
（D） ab 3
【解析】答案：D
由题意可得： A x|a 1xa 1 ，对集合 B 有 xb2或 xb2，因
（二）主要方法：
1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用； 2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；
4
3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．
（三）例题分析：
【例6】 已知集合 A a 2 ,a 1 , 3 ,B a 3 ,2 a 1 ,a 2 1 ，若 A B3，求实数 a 的
的个数为
．
【解析】1 5 ； A0,1,2,3,4,5,6， C0,1,4,6，非空子集有 24 115．
【例5】 设 A { x | 1 x 3 } ,B { x |x a } ，若 A B ，则 a 的取值范围是______ 【解析】借助数轴直观图分析可得 a≤1．
3
板块二：集合的运算
U A
CUA
2．常用运算性质及一些重要结论
① A A A A A B B A ② A A A A A A B B A
③ A ( B C ) ( A B ) C A B C A ( B C ) ( A B ) C A B C
④ A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C )
如：{ x y x 1 } { y y ,x 1 } { ( x , y , ) y x 1 }
图示法：用文氏图表示题中不同的集合。 ③分类：有限集、无限集、空集。
④性质 确定性： aA或 aA必居其一，
互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同， 无序性：{1，2，3}={3，2，1} 2．常用数集
【解析】答案：-3。 UA1,2， A={0,3},故 m= -3.
题型三：新定义集合 【例18】（2010 年高考四川卷理科 16）设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x,yS ，
实数 a=_____ ____. 【答案】1 【解析】考查集合的运算推理。3 B, a+2=3, a=1.
【例12】（2010 年高考上海市理科 14）以集合 U=a，b，c，d的子集中选出 4 个不
同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1） ,U 都要选出；
（2）对选出的任意两个子集 A 和 B，必有 A B或 B A。那么共有__ __种不同
5
y l2
32
3
3 2
-3 0
l1
3x
-3
【解析】MN，∴两点集 M 与 N 无公共点
点集 M 是一个半圆，点集 N 是随 b 变化的一组平行直线
yxb在 l 1 与 l 2 外侧（不包括 l 1 ， l 2 ），满足 M N，
b 3 或 b32
板块三：2010 集合高考真题分析
题型一：集合基本性质与关系 【例11】（2010 年高考江苏卷试题 1）设集合 A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则
若 A{a1,a2, an}，则 A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为 2n 个，
2n -1 个和 2n -2 个。
（二）主要方法：
1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的 3 个性质，对互异性要注意检验； 4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．
故 A 是错误的，另外，此点也不在 B、C 中，所以应选 D．
本题的关键点在于：按集合表示规则知，形如
(x,
y)
|
x y
1 1
的集合中元素的横
纵坐标均不等于1 ，即横坐标或纵坐标等于1 的点，比如点
( 1 ,0 ),( 1 ,2 ),( 0 ,1 ),( 2 ,1 )等都不属于集合
(x,
y)
1
复数集 C 实数集 R 整数集 Z 自然数集 N 正整数集 N （或 N+） 有理数集 Q
3．元素与集合的关系： aA或 aA
4．集合与集合的关系：
①子集：若对任意 x A都有 xB[或对任意 xB都有 x A] 则 A 是 B 的子集。 记作： AB或 BA A B ,B C A C
2 2
C． (x ,
y) |
x
y
1 1
且
x y
2 2
D． ( x ,y ) |[ ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 ] [ ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 ] 0
【解析】D．
考察点 (1, 0) ，显然点 (1, 0) 在除去点 A 和 B 以外的平面上，但点 (1, 0) 不在 A 中，
(D) {x∣1x2}
【解析】答案：D。
∵ A x 1 x 2 ,C R B x x 1 ，∴ A (C R B ) x 1 x 2 .故选 D .
【例17】(2010 年高考重庆市理科 12)设U{0,1,2,3}， A { x U |x 2 m x 0 } ，若
C UA{1,2}，则实数 m ________．
并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集
的补集 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能 使用维恩图表达集合之间的关系和运算．
例题精讲
板块一：集合的概念
（一）主要知识：
1．集合 ①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。 ②表示
列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x∣P(x)}.
【解析】答案：1
考查集合的运算推理。3 B, a+2=3, a=1.
题型二：集合的运算 【例15】(2010 年 全 国 高 考 宁 夏 卷 1 ） 已 知 集 合
A{|x|2,x R}}, B { x| x4 ,x Z },则 AB
(A)(0,2)
(B)[0,2]
(C){0,2]
(D){0,1,2}
⑶ 3 6, 1 0.5，有重复的元素，应该是 3 个元素，⑷本集合还包括坐标轴． 24 2
【例2】 直角坐标平面除去两点 A(1, 1) 、 B(2, 2)可用集合表示为（ ）
2
A． ( x ,y ) |x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 B． (x,
y) |
x 1 y 1
或
x y
（三）例题分析： 【例1】 下列命题正确的有（ ）
⑴很小的实数可以构成集合；
⑵集合y| yx21与集合x,y| yx21是同一个集合；
⑶1, 3, 6, 1 ,0.5这些数组成的集合有 5 个元素； 24 2
⑷集合 x,y|x y≤ 0 ,x,y R 是指第二和第四象限内的点集．
A． 0 个 B．1 个 C． 2 个 D． 3 个 【解析】A；⑴错的原因是元素不确定，⑵前者是数集，而后者是点集，种类不同，
【解析】答案：D 。由已知得 A { x 2 x 2 } ,B { 0 ,1 , ,1 6 } ，所以 A B{0,1,2}．
【例16】（2010 年高考陕西卷理科 1）集合 A= {x∣ 1x2}，B ={x∣x<1}，则
A ( RB)=
（D）
（A）{x∣x>1} (B) {x∣x≥ 1} (C) {x∣1x2 }
于___．
【解析】 1 ． 2
由
A
B可得
a a
d aq 2d aq2
或
a d aq2 a 2d aq
∵ a 0 ，由①得： q 1 或 2q2q10
∵ q 1 ，∴ q 1 ． 2
……①
【例4】 若集合 A x|x≤ 6,x N ，B{x| x是非质数}，CA B，则 C 的非空子集
|
x y
1 1
．由此可知，平面上除
去点
(1, 1)
的点的集合不应用集合
(x,
y)
|
x y
1 1
表示，应该表示为
(x ,y )|(x 1 )2 (y 1 )2 0．
【例3】 已知集合 A { a ,a d ,a 2 d } ,B { a ,a q ,a q 2 } ，其中 a 0 ，且 A B，则 q 等
值．
【解析】∵ A B3，∴ 3B，而 a213， ∴当 a 3 3 , a 0 , A 0 , 1 , 3 , B 3 , 1 , 1 ， 这样 A B3,1与 A B3矛盾； 当 2 a 1 3 ,a 1 ,符合 A B3
∴ a 1．
【例7】 设集合 A { x |( x 3 ) ( x a ) 0 ,a R } ，B { x |(x 4 ) (x 1 ) 0 } ，求 A B,A B．
集合
高考要求
内容 集合的含义 集合的表示
集合间的基本关系
集合的基本运算
基本要求
会使用符号“ ”或“ ”表示元素与集合之间的关系；
能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常 用数集，方程或不等式的解集等 理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中， 了解空集和全集的含义； 理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与
【解析】 A{3, a} B{4,1} 若 a 3 ， AB{1,3,4}， A B 若 a 1， AB{1,3,4}， A B{1} 同理 若 a 4 ， AB{1,3,4}， A B{4} 若 a 1或 3 或 4 ， AB { 1 ,3 ,4,a }， A B．
【例8】 下列表述中错误的是（ ）
⑥ A B A A B A B B A B ⑦ C U ( A B ) ( C U A ) ( C U B )C U ( A B ) ( C U A ) ( C U B ) ⑧ C ( A B ) a C ( A ) r C a ( B d ) C r a ( A B d ) r a d rd
⑵ ( U A )( U B ) U ( A B ) U U ； ⑶证明：∵ A(A B)，即 A，而 A，∴ A；
同理 B， ∴ AB．
【例10】 已知集合 M { ( x , y ) y 9 x 2 } N { ( x , y ) y x b } 且 M N ，求实
数 b 的取值范围。
（一）主要知识： 1．有关概念
①交集： A B { xx A 且 x B }
AB
AB
AB
②并集： A B { xx A 或 x B }
AB A
B AB
③全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以 看作一个全集，通常用 U 表示。
④补集： C U A { xx U 且 x A }
为 AB，所以有 b2a1或 b2a1，解得 ab3或 ab3，即
ab 3，选 D。
6
【点评】本小题考查绝对值不等式的解法、集合之间的关系等基础知识，考查同学们数形结 合的数学思想。
【例14】（2010 年高考江苏卷试题 1）设集合 A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则 实数 a=_____ __.
②真子集：若 A B，且存在 x0B,但 x0A，则 A 是 B 的真子集。
记作： A B[或“ AB且 AB”] A B，B C
AC
③ A B 且 B A A B
④空集：不含任何元素的集合，用 表示
对任何集合 A 有 A，若 A 则 A
注： a { a } { 0 } {}
5．子集的个数
A．若 A B，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ A BA
B．若 A BB，则 A B
C． (AB ) A(AB )
D． U AB U A U B
【解析】C；当 A B时， AB A AB ．
【例9】 若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）
⑴若 A B，则 UA UBU ⑵若 A BU，则 UA UB
⑶若 A B，则 AB A． 0 个 B．1 个 C． 2 个 D． 3 个 【解析】D；⑴ ( U A )( U B ) U ( A B ) U U ；
的选法。 【解析】36
【例13】(2010 年 高 考 天 津 卷 理 科 9) 设 集 合 A ＝ {x xa1,x R }， B ＝
{x xb2,x R }。若 AB,则实数 a , b 必满足
（A） ab 3
（B） ab 3
（C） ab 3
（D） ab 3
【解析】答案：D
由题意可得： A x|a 1xa 1 ，对集合 B 有 xb2或 xb2，因
（二）主要方法：
1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用； 2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；
4
3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．
（三）例题分析：
【例6】 已知集合 A a 2 ,a 1 , 3 ,B a 3 ,2 a 1 ,a 2 1 ，若 A B3，求实数 a 的
的个数为
．
【解析】1 5 ； A0,1,2,3,4,5,6， C0,1,4,6，非空子集有 24 115．
【例5】 设 A { x | 1 x 3 } ,B { x |x a } ，若 A B ，则 a 的取值范围是______ 【解析】借助数轴直观图分析可得 a≤1．
3
板块二：集合的运算
U A
CUA
2．常用运算性质及一些重要结论
① A A A A A B B A ② A A A A A A B B A
③ A ( B C ) ( A B ) C A B C A ( B C ) ( A B ) C A B C
④ A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C )
如：{ x y x 1 } { y y ,x 1 } { ( x , y , ) y x 1 }
图示法：用文氏图表示题中不同的集合。 ③分类：有限集、无限集、空集。
④性质 确定性： aA或 aA必居其一，
互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同， 无序性：{1，2，3}={3，2，1} 2．常用数集
【解析】答案：-3。 UA1,2， A={0,3},故 m= -3.
题型三：新定义集合 【例18】（2010 年高考四川卷理科 16）设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x,yS ，
实数 a=_____ ____. 【答案】1 【解析】考查集合的运算推理。3 B, a+2=3, a=1.
【例12】（2010 年高考上海市理科 14）以集合 U=a，b，c，d的子集中选出 4 个不
同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1） ,U 都要选出；
（2）对选出的任意两个子集 A 和 B，必有 A B或 B A。那么共有__ __种不同
5
y l2
32
3
3 2
-3 0
l1
3x
-3
【解析】MN，∴两点集 M 与 N 无公共点
点集 M 是一个半圆，点集 N 是随 b 变化的一组平行直线
yxb在 l 1 与 l 2 外侧（不包括 l 1 ， l 2 ），满足 M N，
b 3 或 b32
板块三：2010 集合高考真题分析
题型一：集合基本性质与关系 【例11】（2010 年高考江苏卷试题 1）设集合 A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则
若 A{a1,a2, an}，则 A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为 2n 个，
2n -1 个和 2n -2 个。
（二）主要方法：
1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的 3 个性质，对互异性要注意检验； 4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．
故 A 是错误的，另外，此点也不在 B、C 中，所以应选 D．
本题的关键点在于：按集合表示规则知，形如
(x,
y)
|
x y
1 1
的集合中元素的横
纵坐标均不等于1 ，即横坐标或纵坐标等于1 的点，比如点
( 1 ,0 ),( 1 ,2 ),( 0 ,1 ),( 2 ,1 )等都不属于集合
(x,
y)
1
复数集 C 实数集 R 整数集 Z 自然数集 N 正整数集 N （或 N+） 有理数集 Q
3．元素与集合的关系： aA或 aA
4．集合与集合的关系：
①子集：若对任意 x A都有 xB[或对任意 xB都有 x A] 则 A 是 B 的子集。 记作： AB或 BA A B ,B C A C
2 2
C． (x ,
y) |
x
y
1 1
且
x y
2 2
D． ( x ,y ) |[ ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 ] [ ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 ] 0
【解析】D．
考察点 (1, 0) ，显然点 (1, 0) 在除去点 A 和 B 以外的平面上，但点 (1, 0) 不在 A 中，
(D) {x∣1x2}
【解析】答案：D。
∵ A x 1 x 2 ,C R B x x 1 ，∴ A (C R B ) x 1 x 2 .故选 D .
【例17】(2010 年高考重庆市理科 12)设U{0,1,2,3}， A { x U |x 2 m x 0 } ，若
C UA{1,2}，则实数 m ________．
并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集
的补集 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能 使用维恩图表达集合之间的关系和运算．
例题精讲
板块一：集合的概念
（一）主要知识：
1．集合 ①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。 ②表示
列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x∣P(x)}.
【解析】答案：1
考查集合的运算推理。3 B, a+2=3, a=1.
题型二：集合的运算 【例15】(2010 年 全 国 高 考 宁 夏 卷 1 ） 已 知 集 合
A{|x|2,x R}}, B { x| x4 ,x Z },则 AB
(A)(0,2)
(B)[0,2]
(C){0,2]
(D){0,1,2}
⑶ 3 6, 1 0.5，有重复的元素，应该是 3 个元素，⑷本集合还包括坐标轴． 24 2
【例2】 直角坐标平面除去两点 A(1, 1) 、 B(2, 2)可用集合表示为（ ）
2
A． ( x ,y ) |x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 B． (x,
y) |
x 1 y 1
或
x y
（三）例题分析： 【例1】 下列命题正确的有（ ）
⑴很小的实数可以构成集合；
⑵集合y| yx21与集合x,y| yx21是同一个集合；
⑶1, 3, 6, 1 ,0.5这些数组成的集合有 5 个元素； 24 2
⑷集合 x,y|x y≤ 0 ,x,y R 是指第二和第四象限内的点集．
A． 0 个 B．1 个 C． 2 个 D． 3 个 【解析】A；⑴错的原因是元素不确定，⑵前者是数集，而后者是点集，种类不同，
【解析】答案：D 。由已知得 A { x 2 x 2 } ,B { 0 ,1 , ,1 6 } ，所以 A B{0,1,2}．
【例16】（2010 年高考陕西卷理科 1）集合 A= {x∣ 1x2}，B ={x∣x<1}，则
A ( RB)=
（D）
（A）{x∣x>1} (B) {x∣x≥ 1} (C) {x∣1x2 }
于___．
【解析】 1 ． 2
由
A
B可得
a a
d aq 2d aq2
或
a d aq2 a 2d aq
∵ a 0 ，由①得： q 1 或 2q2q10
∵ q 1 ，∴ q 1 ． 2
……①
【例4】 若集合 A x|x≤ 6,x N ，B{x| x是非质数}，CA B，则 C 的非空子集
|
x y
1 1
．由此可知，平面上除
去点
(1, 1)
的点的集合不应用集合
(x,
y)
|
x y
1 1
表示，应该表示为
(x ,y )|(x 1 )2 (y 1 )2 0．
【例3】 已知集合 A { a ,a d ,a 2 d } ,B { a ,a q ,a q 2 } ，其中 a 0 ，且 A B，则 q 等
值．
【解析】∵ A B3，∴ 3B，而 a213， ∴当 a 3 3 , a 0 , A 0 , 1 , 3 , B 3 , 1 , 1 ， 这样 A B3,1与 A B3矛盾； 当 2 a 1 3 ,a 1 ,符合 A B3
∴ a 1．
【例7】 设集合 A { x |( x 3 ) ( x a ) 0 ,a R } ，B { x |(x 4 ) (x 1 ) 0 } ，求 A B,A B．
集合
高考要求
内容 集合的含义 集合的表示
集合间的基本关系
集合的基本运算
基本要求
会使用符号“ ”或“ ”表示元素与集合之间的关系；
能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常 用数集，方程或不等式的解集等 理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中， 了解空集和全集的含义； 理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与
【解析】 A{3, a} B{4,1} 若 a 3 ， AB{1,3,4}， A B 若 a 1， AB{1,3,4}， A B{1} 同理 若 a 4 ， AB{1,3,4}， A B{4} 若 a 1或 3 或 4 ， AB { 1 ,3 ,4,a }， A B．
【例8】 下列表述中错误的是（ ）