晶体学符号与倒格子

例题：在立方晶系中画出（210）与 晶面 （ 121）
画晶面时，标注出面与晶轴交点离原点的距离（以晶轴长度为单位）
晶面指数说明
• 1，坐标系建立：晶体中坐标系x，y，z不一定是正交系，但满足右手 关系，其中晶轴a，b，c分别对应x，y，z轴。 • 2，当晶面交于晶轴的负方向是，对应的指数就是负值，并将负号标 注在数字的上面。 • 3，晶面指数中的1，2，3位数字分别代表与a，b，c轴的截距倒数。 • 4，一个晶面指数代表某一方向（晶面法向）的一组晶面，而不是一 个面。 • 5，晶面对应某晶轴的指数为零时，晶面平行于该晶轴。 • 6，与晶向指数类似，晶体中存在一组等价晶面，即晶面族，用{hkl} 表示。 • 7，设基矢a，b，c ，末端分别落在离原点距离为hd，kd，ld 的晶面 上，h，k，l 为整数，d为晶面间距，h，k，l是互质的整数。用结晶学 原胞（惯用晶胞）基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。
指数为负数的情况
A 轴截距为1 B轴截距为1/2 C轴截距为－1/3
(123)
例：在一个面心立方晶胞中画出(012)和(122)晶面。
c b
a
b
a
b
晶面指数等于0，则平行该轴！存在附加面！
晶面指数标注：
1/2
晶面指数确定时选择离原点最近的晶面。 判断方法：过原点做已知晶面的平行面，看两平行晶面间是否有格点不在晶面上？
z [100] 2
[100]
[100] x
o
y
x
z
[011]
晶向指数实际上代表所有相互平行、
1
o [011] x 2 y
方向一致的晶向。
平行反向有“—”号
例题：立方晶胞中，已知晶向指数[231] ，画出[231]晶向？
z
o
y
x
晶胞外延法
例题：立方晶胞中，已知晶向指数[121]，画出晶向?
z
[121]
晶面方位
• 1，晶体基矢被平面的晶面平分成h，k，l等份 • 2，晶面的法向与基矢夹角的方向余弦存在如 下关系：（证明略）
h k l cos : cos : cos = : : a b c
晶面
c
晶面法向
cos : cos : cos =h : k : l
cos cos cos 1
2 2 2
Байду номын сангаас
对于立方晶系有：
b
O a
晶面法向与a,b,c的夹角为，，
晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相同），空间 位向不同的各组晶面，用{hkl}表示。--VESTA图形软件演示说明
等价晶面判断：晶面上格点的分布特征是否相同！ 1，三斜晶系无等价晶面
2，单斜晶面族
• 单斜晶系具有c轴方向的2次轴，能使-a，-b轴方向与a，b 轴等价，所以（hkl）与（hkl）等价。2个等价晶面。
(hkl),(hkl),(hkl),(hkl );(khl),(khl),(khl),(khl )8个等价晶面。
（ 121）与（211）等价
5，立方晶系
a=b=c,h,k,l可以互换并可以反号。
(hkl ),(hkl ),(hkl ),(hkl ); (hlk ),(hlk ),(hlk ),(hlk ); (khl ),(khl ),(khl ),(khl ); (klh ),(klh ),(klh ),(klh ); (lhk ),(lhk ),(lhk ),(lhk ); (lkh ),(lkh ),(lkh ),(lkh ). 共24个等价晶面。
（ 121）与（ 121）
3，正交晶系
• a,b,c轴上2次轴或2次反轴，但a，b，c 不相 等。h，k，l不能互换位置，但可以单独反 （hkl),(hkl),(hkl),(hkl)4个等价晶面。 号。故有：
（ 121）与（ 121）
（121）与（ 121）
（121）
（121）
4，四方晶系
a=b，不等于c，所以h，k可以互换，h，k，l 可以反号。故有：
投影法为主
确定晶向指数（坐标法）：适用于实际材料中，确定某 两个原子连线对应的晶向，或者晶向矢量不过原点 求法步骤：定原点— 建坐标— 求坐标差—化最 小整数比—加[ ]
终点原子的分数坐标(x2,y2,z2)减去起点(x1,y1,z1)
即：计算△x=x2-x1 ， △y=y2-y1， △z=z2-z1
z [121]
1 1 [ 1 ] 2 2
1 1 ( ,1, ) 2 2
o
y
o
y
x
晶胞外延法
x
化分数法
晶向族
晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw> 表示，数字相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
100
6个方向
111
8个方向
110
12个方向
一般晶向指数<uvw>的等价方向



那么：cosφ1 = 0.0711, cosφ2 = -0.0668, cosφ3 = -0.0854； 得夹角为φ1 (Zn)= 85.9º , φ2 (Mg)= 93.8º , φ3 (Ti)= 94.9º 。
晶面指数（晶体几何晶面） 以七大晶系（初级点阵）建立的晶面，不考虑点阵结构（复式点阵）及实际晶体 中的原子（原子面） 定义：在晶格中， 通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，该平面称为晶体面。 描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
来表示晶体结构的空间的各个方向。
晶面——晶体结构一系列原子（点阵点）所构成的平面。 晶向指数和晶面指数是分别表示晶向和晶面的符号，国际上 用Ｍiller指数（Ｍiller indices ）来统一标定。
晶向特点： 1，平行晶向组成晶向族，晶向族包含所有格点 2，晶向上格点分布是周期性的 3，晶向族中的每一晶向上， 格点分布是相同的 4，在同一个平面内， 相邻晶向列间的距离相等 5，晶向可以不过点阵点，但同一晶向族中所有晶向保持一致
晶向
实际晶体中，晶向标注要么过点阵点， 要么经过特殊位置的原子。
晶向指数
将m，n，p化为互质的整数 即得晶向指数［uvw］
晶向指数的确定方法（投影法） (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标 晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。 (3)将x，y，z化成最小的简单整数比u，v，w，且u： v∶w = x∶y∶z。 (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
(111)
(112)
o
c
(110)
b
画晶面、晶向时， 首先标注好晶体坐标系。 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全 相同），空间位向不同的各组晶面称为一个晶面族。
晶面特点：所有格点都在晶面上
晶面指数的确定方法
(1) 建立以晶轴 a，b，c为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上 一 组 互相平行的晶面中任 选一个晶面， 的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c。 出它在三个坐 标轴上的截距并以点阵的 (2)求出待标晶面在 a ，b ，c 轴上的截距x，y，z。如该晶面与某轴平行，则截距 个 单位向量a, b, c来度量； 为∞。 (3)取截距的倒数1/x，1/y，1/z。 出三个截距的倒数； (4)将这些倒数化成最小的简单整数比h，k，l，使h∶k∶l= 1/x∶1/y∶1/z。 三个倒数分 别 乘以分母的最小公倍数， (5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h，k，l置于圆括号内， 它 们(化 三个 简单整数， 再用圆括号括 写成 hkl)为 ，则 (hkl)就是待标晶面的晶面指数。 ， 即为该组晶面的晶面指数， 记为( hkl ) 。 注意：截距为交点到原点距离除以对应晶轴矢量长度 然， h, k, l 为互质整数 晶面截距均为有理数，即晶轴被一组晶面平分。证明略！
夹角 R1 R2 R 1R 2 晶向矢量模（晶向长度） cos R 2 =R R =u2a 2 v 2b 2 w 2c 2 2uv a b 2vw b c 2wu c a
R
u2a 2 v 2b 2 w 2c 2 2uv a b 2vw b c 2wu c a
延申问题：晶体晶面与晶体表面对应关系与区别
简单金属表面与晶面
晶体一般的外表面是由一些晶面指数小的晶面组成。 原因：面内原子密度大，表面能低。晶面稳定。
（111）
晶面与晶体外形
（100）
延申问题：晶体晶面与晶体表面对应关系与区别
晶面可以不需要考虑晶体的内容（原子），只需要考虑点阵结构。 表面必须考虑晶体中的原子，一个晶面可能对应不同原子排布的晶体表面。
求六方晶系中晶向长度：
举例（练习）
• 计算六方晶体： Zn(c/a=1.86)、Mg(c/a=1.62) [211]和[211]晶向 和Ti(c/a=1.59)三种金属中 的夹角分别为多少？
忽略原子，以点阵点画晶向
[211]
[211]
R1 R 2 R1 R1 3a 2 c 2 R1 R 2 (2a b c) (2a b c) 4a 2 a 2 a 2 a 2 c 2 c 2 3a 2 cos c 2 3a 2 / 3a 2 c 2
晶向，晶面，倒格子
袁定旺
本章内容
• 晶向，晶面指数 • 倒格子 • 晶带轴定律
讨论：请指出那些原子位于点阵点，晶胞内的等价原子，对称性上的等 价原子
晶体结构中，原子位置表示方法：分数坐标
位置 A B 坐标 （0，0，0）原点 （1/2，1/2，1/2）
B A