晶体学符号与倒格子

晶面族{hkl}：特殊晶面指数的等价晶面。以立方晶 系为例。 晶面族{h k l}中的晶面数： a）hkl三个数不等，且都≠0，则此晶面族中有24组, 如{123}。 b）hkl有两个数字相等 且都≠0，则有12组，如 {112}。 c) h k l三个数相等，则有4组，如{111}。 d）h k l 有 一 个 为 0 ， 应 除 以 2 ， 则 有 12 组 ， 如 {120} 。有二个为 0 ，应再除以 2 2 ，则有 3 组，如 {100} 。
求六方晶系中晶向长度：
举例（练习）
• 计算六方晶体： Zn(c/a=1.86)、Mg(c/a=1.62) [211]和[211]晶向 和Ti(c/a=1.59)三种金属中 的夹角分别为多少？
忽略原子，以点阵点画晶向
[211]
[211]
R1 R 2 R1 R1 3a 2 c 2 R1 R 2 (2a b c) (2a b c) 4a 2 a 2 a 2 a 2 c 2 c 2 3a 2 cos c 2 3a 2 / 3a 2 c 2
夹角 R1 R2 R 1R 2 晶向矢量模（晶向长度） cos R 2 =R R =u2a 2 v 2b 2 w 2c 2 2uv a b 2vw b c 2wu c a
R
u2a 2 v 2b 2 w 2c 2 2uv a b 2vw b c 2wu c a



那么：cosφ1 = 0.0711, cosφ2 = -0.0668, cosφ3 = -0.0854； 得夹角为φ1 (Zn)= 85.9º , φ2 (Mg)= 93.8º , φ3 (Ti)= 94.9º 。
晶面指数（晶体几何晶面） 以七大晶系（初级点阵）建立的晶面，不考虑点阵结构（复式点阵）及实际晶体 中的原子（原子面） 定义：在晶格中， 通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，该平面称为晶体面。 描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
(hkl),(hkl),(hkl),(hkl );(khl),(khl),(khl),(khl )8个等价晶面。
（ 121）与（211）等价
5，立方晶系
a=b=c,h,k,l可以互换并可以反号。
(hkl ),(hkl ),(hkl ),(hkl ); (hlk ),(hlk ),(hlk ),(hlk ); (khl ),(khl ),(khl ),(khl ); (klh ),(klh ),(klh ),(klh ); (lhk ),(lhk ),(lhk ),(lhk ); (lkh ),(lkh ),(lkh ),(lkh ). 共24个等价晶面。
(111)
(112)
o
c
(110)
b
画晶面、晶向时， 首先标注好晶体坐标系。 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全 相同），空间位向不同的各组晶面称为一个晶面族。
晶面特点：所有格点都在晶面上
晶面指数的确定方法
(1) 建立以晶轴 a，b，c为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上 一 组 互相平行的晶面中任 选一个晶面， 的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c。 出它在三个坐 标轴上的截距并以点阵的 (2)求出待标晶面在 a ，b ，c 轴上的截距x，y，z。如该晶面与某轴平行，则截距 个 单位向量a, b, c来度量； 为∞。 (3)取截距的倒数1/x，1/y，1/z。 出三个截距的倒数； (4)将这些倒数化成最小的简单整数比h，k，l，使h∶k∶l= 1/x∶1/y∶1/z。 三个倒数分 别 乘以分母的最小公倍数， (5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h，k，l置于圆括号内， 它 们(化 三个 简单整数， 再用圆括号括 写成 hkl)为 ，则 (hkl)就是待标晶面的晶面指数。 ， 即为该组晶面的晶面指数， 记为( hkl ) 。 注意：截距为交点到原点距离除以对应晶轴矢量长度 然， h, k, l 为互质整数 晶面截距均为有理数，即晶轴被一组晶面平分。证明略！
晶向
实际晶体中，晶向标注要么过点阵点， 要么经过特殊位置的原子。
晶向指数
将m，n，p化为互质的整数 即得晶向指数［uvw］
晶向指数的确定方法（投影法） (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标 晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。 (3)将x，y，z化成最小的简单整数比u，v，w，且u： v∶w = x∶y∶z。 (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
z [121]
1 1 [ 1 ] 2 2
1 1 ( ,1, ) 2 2
o
y
o
y
x
晶胞外延法
x
化分数法
晶向族
晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw> 表示，数字相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
100
6个方向
111
8个方向
110
12个方向
一般晶向指数<uvw>的等价方向
延申问题：晶体晶面与晶体表面对应关系与区别
简单金属表面与晶面
晶体一般的外表面是由一些晶面指数小的晶面组成。 原因：面内原子密度大，表面能低。晶面稳定。
（111）
晶面与晶体外形
（100）
延申问题：晶体晶面与晶体表面对应关系与区别
晶面可以不需要考虑晶体的内容（原子），只需要考虑点阵结构。 表面必须考虑晶体中的原子，一个晶面可能对应不同原子排布的晶体表面。
例题：在立方晶系中画出（210）与 晶面 （ 121）
画晶面时，标注出面与晶轴交点离原点的距离（以晶轴长度为单位）
晶面指数说明
• 1，坐标系建立：晶体中坐标系x，y，z不一定是正交系，但满足右手 关系，其中晶轴a，b，c分别对应x，y，z轴。 • 2，当晶面交于晶轴的负方向是，对应的指数就是负值，并将负号标 注在数字的上面。 • 3，晶面指数中的1，2，3位数字分别代表与a，b，c轴的截距倒数。 • 4，一个晶面指数代表某一方向（晶面法向）的一组晶面，而不是一 个面。 • 5，晶面对应某晶轴的指数为零时，晶面平行于该晶轴。 • 6，与晶向指数类似，晶体中存在一组等价晶面，即晶面族，用{hkl} 表示。 • 7，设基矢a，b，c ，末端分别落在离原点距离为hd，kd，ld 的晶面 上，h，k，l 为整数，d为晶面间距，h，k，l是互质的整数。用结晶学 原胞（惯用晶胞）基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。
指数为负数的情况
A 轴截距为1 B轴截距为1/2 C轴截距为－1/3
(123)
例：在一个面心立方晶胞中画出(012)和(122)晶面。
c b
a
b
a
b
晶面指数等于0，则平行该轴！存在附加面！
晶面指数标注：
1/2
晶面指数确定时选择离原点最近的晶面。 判断方法：过原点做已知晶面的平行面，看两平行晶面间是否有格点不在晶面上？
晶向，晶面，倒格子
袁定旺
本章内容
• 晶向，晶面指数 • 倒格子 • 晶带轴定律
讨论：请指出那些原子位于点阵点，晶胞内的等价原子，对称性上的等 价原子
晶体结构中，原子位置表示方法：分数坐标
位置 A B 坐标 （0，0，0）原点 （1/2，1/2，1/2）
B A
晶向指数和晶面指数定义：
晶向——通过晶体中任意两个原子中心（点阵点）连成直线
（ 121）与（ 121）
3，正交晶系
• a,b,c轴上2次轴或2次反轴，但a，b，c 不相 等。h，k，l不能互换位置，但可以单独反 （hkl),(hkl),(hkl),(hkl)4个等价晶面。 号。故有：
（ 121）与（ 121）
（121）与（ 121）
（121）
（121）
4，四方晶系
a=b，不等于c，所以h，k可以互换，h，k，l 可以反号。故有：
说明
• 当有一个指数为零时，添负号不会产生新 的晶向
• 当有指数相同是，两个指数相同减少一半， 三个减少到六分之一 比如立方晶系的<120>晶向族只有24个等价晶 向。<110>有12个等价晶向，<111>有8个， <100>有6个。
晶向夹角计算
晶向1[u1v 1w 1 ]对应的晶格矢量R1=u1a v 1b w 1c 晶向2[u2v 2w 2 ]对应的晶格矢量R 2=u2Fra Baidu bibliotek v 2 b w 2c
晶面方位
• 1，晶体基矢被平面的晶面平分成h，k，l等份 • 2，晶面的法向与基矢夹角的方向余弦存在如 下关系：（证明略）
h k l cos : cos : cos = : : a b c
晶面
c
晶面法向
cos : cos : cos =h : k : l
cos cos cos 1
坐标差值化成最小整数比△x: △y: △z=u:v:w ； 数值放在方括号[uvw]中，负号记在上方 。
[1 11]
立方晶系中的一些重要晶向
例题:简单立方晶胞中已知晶向，求晶向指数？
1，标定晶向，晶面指数，首先要建立晶体 的基矢量和坐标系！ 2，晶向指数与原点位置选取无关
例题:简单晶胞中已知晶向，求晶向指数？ z 1 2 [100] o 4 y 3 [100] 1 [100]
z [100] 2
[100]
[100] x
o
y
x
z
[011]
晶向指数实际上代表所有相互平行、
1
o [011] x 2 y
方向一致的晶向。
平行反向有“—”号
例题：立方晶胞中，已知晶向指数[231] ，画出[231]晶向？
z
o
y
x
晶胞外延法
例题：立方晶胞中，已知晶向指数[121]，画出晶向?
z
[121]
晶面指数确定举例：
A轴截距为1 B轴截距为1/2 C轴截距为1/3 故该晶面指数为： （123）
c
b
a
一组平行晶面，包含晶格中所有格点。 问题：一组平行晶面，是否包含晶体中所有原子？ 一般选离原点最近的晶面确定晶面指数！
晶面间距与晶面原子密度的关系？
在图中，ZnS的S原子并没有在晶面（111）上！
来表示晶体结构的空间的各个方向。
晶面——晶体结构一系列原子（点阵点）所构成的平面。 晶向指数和晶面指数是分别表示晶向和晶面的符号，国际上 用Ｍiller指数（Ｍiller indices ）来统一标定。
晶向特点： 1，平行晶向组成晶向族，晶向族包含所有格点 2，晶向上格点分布是周期性的 3，晶向族中的每一晶向上， 格点分布是相同的 4，在同一个平面内， 相邻晶向列间的距离相等 5，晶向可以不过点阵点，但同一晶向族中所有晶向保持一致
立方晶系等效晶面举例：
晶面指数整体反号，只是区分晶体的内外表面（如fcc位错的汤姆森四面体时会有讨论）， 而晶面上的格点及原子排布是一样的，所以讨论晶面指数时不以区分。
{110} 晶面族
{110} (110) ( 1 10) (101 ) (10 1 ) (011 ) (0 1 1)
三斜： uvw uvw 单斜 ：uvw uvw uvw uvw 4个 8个
正交： uvw uvw uvw uvw uvw uvw uvw uvw
四方： uvw uvw uvw uvw , vuw vuw vuw vuw 及对应的反方向。 16个 立方： uvw uvw uvw uvw uvw可以互换，共6组，一共48个 ， 加上反方向共8个。
投影法为主
确定晶向指数（坐标法）：适用于实际材料中，确定某 两个原子连线对应的晶向，或者晶向矢量不过原点 求法步骤：定原点— 建坐标— 求坐标差—化最 小整数比—加[ ]
终点原子的分数坐标(x2,y2,z2)减去起点(x1,y1,z1)
即：计算△x=x2-x1 ， △y=y2-y1， △z=z2-z1
2 2 2
对于立方晶系有：
b
O a
晶面法向与a,b,c的夹角为，，
晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相同），空间 位向不同的各组晶面，用{hkl}表示。--VESTA图形软件演示说明
等价晶面判断：晶面上格点的分布特征是否相同！ 1，三斜晶系无等价晶面
2，单斜晶面族
• 单斜晶系具有c轴方向的2次轴，能使-a，-b轴方向与a，b 轴等价，所以（hkl）与（hkl）等价。2个等价晶面。