人教A版数学必修一函数的奇偶性

数学·必修1(人教A版)

1.3.3 函数的奇偶性

►基础达标

1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定

解析：∵f(x)为R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.

答案：B

2．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)

＝x2＋1

x

，则f(－1)＝( )

A．－2B．0C．1D．2

答案：A

3．如果偶函数在区间[a，b]上有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上( )

A．有最大值B．有最小值

C．没有最大值D．没有最小值

解析：∵偶函数图象关于y轴对称，由偶函数在区间[a，b]上具有最大值，∴在区间[－b，－a]上有最大值．

答案：A

4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝( )

A．7B．－7C．12D．17

解析：∵f(－7)＝－7，

∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7，

∴73a＋7b＝12.

∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17.

答案：D

5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．

解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，

∴k－1＝0，∴k＝1，

∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)．

答案：[0，＋∞)

►巩固提高

6．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )

A．f(x)f(－x)是奇函数

B．f(x)|f(－x)|是奇函数

C．f(x)－f(－x)是偶函数

D．f(x)＋f(－x)是偶函数

解析：取f(x)＝x，则f(x)f(－x)＝－x2是偶函数，A错，f(x)|f(－x)|＝x2是偶函数，B错；f(x)－f(－x)＝2x是奇函数，C

错．故选D.

答案：D

7．已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是( )

A．(－∞，2) B．(2，＋∞)

C．(－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析：∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：由图示可知：f(x)＜f(2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－

2)∪(2，＋∞)．

答案：D

8．设函数f (x )满足：①函数在(－∞，－1)上递减；②函数具

有奇偶性；③函数有最小值．则f (x )可以是：____________.

答案：f (x )＝x 2(答案不唯一)

9．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈(－

∞，0)时，f (x )＝x －x 2.求当x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )的表达式．

解析：当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)，

因为x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2，

所以f (－x )＝(－x )－(－x )2，

因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，

所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋x 2.

综上，x ∈(－∞，＋∞)时，

f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2(x ＞0)，0(x ＝0)，

x －x 2(x ＜0).

10．已知函数f (x )＝－x 3＋3x .求证：

(1)函数f (x )是奇函数；

证明：显然f (x )的定义域是R.

设任意x ∈R ，

∵f (－x )＝－(－x )3＋3(－x )＝－(－x 3＋3x )＝－f (x )，

∴函数f (x )是奇函数．

(2)函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数．

证明：在区间(－1,1)上任取x1，x2，且x1＜x2.

f(x2)－f(x1)

＝－(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21)＋3(x2－x1)

＝(x2－x1)(3－x22－x2x1－x21)．

因为－1＜x1＜x2＜1，所以(x2－x1)＞0，

(3－x22－x2x1－x21)＞0，

所以f(x2)＞f(x1)．

所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1,1)上是增函数．

1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：

(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．

(2)确定f(－x)与f(x)的关系．

(3)作出相应结论．

2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．

3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．

5．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．

6．奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反．

7．偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同．

8．设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，

偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．