概率论与数理统计：数学期望的性质

数学期望的性质

利用4.1.3中的定理可以得到数学期望的几条重要性质： 性质1 设C 为常数, 则()E C C =.

性质2 设C 为常数,X 为随机变量, 则()()E CX CE X =. 证明 设X 的概率密度为()f x ,则

()()d E CX Cxf x x +∞-∞

=⎰()d C xf x x +∞

-∞

=⎰

().

CE X =

性质3 设,X Y 为任意两个随机变量,则

()()()E X Y E X E Y +=+.

证明 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ,边缘概率密度分别为()X f x 和

()Y f y ,则

()()(,)d d E X Y x y f x y x y +∞

+∞

-∞

-∞

+=+⎰

⎰

(,)d d xf x y x y +∞

+∞-∞

-∞

=⎰⎰

(,)d d yf x y x y +∞

+∞

-∞

-∞

+⎰

⎰

()d X xf x x +∞

-∞

=

⎰

()d Y yf y y +∞

-∞

+⎰

()()E X E Y =+.

性质4 设,X Y 为相互独立的随机变量,则

()()()E XY E X E Y =.

证明 因为

X 与Y 相互独立,其联合概率密度与边缘概率密度满足

(,)()()X Y f x y f x f y =,

所以

()(,)d d E XY xyf x y x y +∞

+∞

-∞

-∞

=⎰⎰

()()d d X Y xyf x f y x y +∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

()d ()d X Y xf x x yf y y +∞

+∞-∞

-∞

=

⎰

⎰

()()E X E Y =.

性质5 若,X Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =； 这一结论推广到有限多个，若12,,

,n X X X 相互独立，则

1212()()()()n n E X X X E X E X E X =。

例4.22 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

2

1(1)1,1,

(,)40x y x y f x y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩

，，其他.

试验证()()()E XY E X E Y =,但X 和Y 是不独立的.

解 因为

()(,)d d E XY xyf x y x y +∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

1

1

2

111(1)d d 4

xy x y x y --=⋅-⎰

⎰0=， ()E X =

1

1

2

111(1)d d 4x x y x y --⋅-⎰⎰0=， ()E Y =112111(1)d d 4y x y x y --⋅-⎰⎰1

9=-，

所以()()()E XY E X E Y =

.

X

和

Y

的边缘概率密度

()X f x 和()Y f y 分别为

12

111(1)d 11,11()(,)d 42

00X x y y x x f x f x y y +∞

--∞

⎧⎧--<<-<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰

，，，，其他，，其他， 12

1111(1)11(1)d ,11()(,)d 23

400,Y y y x y x y f y f x y x +∞

--∞

⎧⎧--<<--<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰

，，，，其他，其他，

由于

(,)()()X Y f x y f x f y ≠,因而X

和

Y 不独立.

例4.23 设i X ～n i p B ,,2,

1),,1( =，i X 的分布律为：

其中10<<

p ，且n X X X ,,,21 相互独立。n X X X X +++= 21,求)(X E

解法1 由二项分布的定义知，X ～),(p n B ，因此，np X E =)( 解法2 由i X ～),1(p B 得p X E i =)(，由期望性质知

np p p p X E X E X E X X X E X E n n =+++=+++=+++= )

()()()()(2121

这一结论与直接计算一致。

注 利用性质来计算数学期望往往较有效，应该学会这种方法。另外，应记住常用分布相应的数学期望。