线性方程组的求解与应用开题报告

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几类特殊线性代数方程组的迭代解法及其收敛性分析的开题报告

几类特殊线性代数方程组的迭代解法及其收敛性分析的开题报告一、选题的背景和意义线性代数是数学中的一个重要分支，它在科学和工程中都有很广泛的应用。

线性方程组在生产和科学技术中的应用非常广泛，例如在物理、统计学、计算机科学、经济学、金融等领域中广泛使用。

然而，由于线性方程组通常是大规模的、复杂的，并且往往没有解析解，因此迭代方法是解决此类方程组的主要方法之一。

特殊的线性方程组是具有特殊结构的方程组，例如对角占优、对称正定、三对角等。

这些特殊的结构使得方程组的求解更具有可行性和稳定性，因此针对这些结构，设计相应的迭代方法具有理论和实际的重要性。

本文将研究这些特殊线性代数方程组的迭代解法及其收敛性分析，探究不同的迭代方法在不同的情况下的优缺点，并分析不同方法的收敛性，这对于理论和实践都具有重要意义。

二、研究内容和研究方法本文研究内容为各种特殊线性方程组的迭代解法及其收敛性分析，包括对角占优线性方程组、对称正定线性方程组、三对角线性方程组等。

本文将重点研究以下几种方法：1. Jacobi迭代法：Jacobi迭代法是一种基本的迭代方法，主要用于解对角占优线性方程组。

该方法的思路是将原方程组转化为x = Bx + g的形式，并进行迭代求解。

2. Gauss-Seidel迭代法：Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的变种，也是基于x = Bx + g的思路，但是它可以利用已经求得的解来加快求解的速度。

3. SOR迭代法：SOR迭代法是在Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的基础上发展而来的加速算法，该方法引入一个松弛因子来加速收敛。

4. CG迭代法：CG迭代法是一种用于求解对称正定线性方程组的迭代方法，它可以利用矩阵的对称性和正定性来加速求解。

5. TDMA迭代法：TDMA迭代法是一种用于求解三对角线性方程组的迭代方法，该方法利用三对角矩阵的特殊结构来简化矩阵运算，从而加速求解。

本文将运用数学分析、计算机仿真和实验比较等方法，对以上几种迭代方法的收敛性和求解速度进行深入研究。

线性方程组求解的预条件迭代法的开题报告

线性方程组求解的预条件迭代法的开题报告一、选题背景和意义线性方程组求解是数值线性代数的经典问题，对于实际问题的建模和求解具有重要的意义。

然而，对于大规模稠密线性方程组的求解，直接使用直接法（如高斯消元法）会受到极大的计算和存储压力，而迭代法则是一种有效的替代方法。

预条件迭代法是一种广泛使用的迭代法，其基本思想是先通过某种方法构造一个易于求解的预条件矩阵，然后在原方程组的基础上，将其转化为一个矩阵形式的迭代方程组，并通过多次迭代求解得到原方程组的解。

预条件迭代法不仅可以加速线性方程组的求解，而且能够在求解过程中控制误差，提高计算精度。

因此，对预条件迭代法的研究和应用具有重要的实际意义。

二、研究目的和内容本项目旨在研究预条件迭代法在稠密线性方程组求解中的应用。

具体研究内容包括以下几个方面：1. 探究预条件迭代法的基本原理，包括预条件矩阵的构造、预条件矩阵的选取和迭代方程式的推导等。

2. 研究现有的预条件迭代算法，如Jacobi预条件迭代法、Gauss-Seidel预条件迭代法和ILU预条件迭代法等，分析它们的优缺点和适用范围。

3. 结合具体的数值实验，分析预条件复杂度和收敛效果的影响因素，如预条件矩阵的选取、求解器的选择以及预条件参数的选取等。

4. 将预条件迭代法应用到实际问题中，比如流体力学中的Navier-Stokes方程组、地质学中的地震波传播方程等，探究其在实际问题中的应用效果。

三、研究方法和步骤本项目的研究方法主要包括理论分析和数值实验两个方面。

在理论分析方面，将结合参考文献和相关资料，重点研究预条件迭代法的基本原理和现有算法，并分析预条件矩阵的选取和预条件参数的选取等方面的关键问题。

在数值实验方面，将编写相应的数值计算程序，对几种常用的预条件迭代算法进行测试，分析算法对于不同线性方程组的求解的有效性和收敛性，通过大量的数值实验来验证算法的正确性和实用性。

项目的具体实施步骤如下：1. 文献调研和资料收集。

线性方程组的求解方法及应用开题报告

开题报告线性方程组的求解方法及应用开题报告一、选题的背景、意义(所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势) 线性方程组求解在中国历史久矣。

对线性方程组的研究,中国比欧洲至少早1500年,记载在公元初《九章算术》方程章中。

现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。

在科学计算中的许多问题,例如,电学中的网络问题,船体放样中的样条函数计算,实验数据的曲线拟合以及微分方程的差分方法或有限元方法求解等问题,最终都归结为求解线性代数方程组。

现行高等代数教材只用行初等变换来解线性方程组,存在一定的局限性。

本文主要讨论了解线性方程组的直接法中的Gauss消元法,以及行初等变换、克莱姆法则、标准上三角形求解法等。

对于不同类型的问题,线性方程组的求解方法不尽相同。

同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解,如在实践中遇到的线性方程组,它的方程个数未必等于未知量个数,即使方程个数等于未知量个数,也未必有唯一解,有可能无解或有无穷多解。

这就需要我们去根据相关问题去探究。

马克思曾经说过“一门科学只有成功地应用数学时,才算达到了完善的地步”。

随着科学技术的进步,数学已迅速渗透到各门学科之中,因而能强烈感受到数学的重要性。

而应用数学中很多用到了线性代数的相关知识,而本选题涉及的线性方程组知识尤为重要,在实际生活的数学应用中,对所需目标进行确定,接着进一步明确一些决策中的关键因素,即而确立线性方程组,进而对此方程求解。

因而求线性方程组解是线性代数中的精髓部分,恰当地使用方法,可以使计算过程比较简洁,避免了迂回复杂的计算。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题也许会觉得解线性方程组会很容易,但事实上想要彻彻底底的完整得出方程组的解是非常不容易的。

若要正确完整得出方程解,首先要具备一定的线性代数的知识,其次要分析对于什么样类型,采用什么样的方法去解决更便捷、更有效。

对于不同类型的问题,线性方程组解法的适用就至关重要。

线性方程组的解法及其应用开题报告

[11]尹钊，钟卫民，赵丽君.线性方程组的广义逆矩阵解法[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,1999,15(5):21-22.
[12]张明淳.工程矩阵理论[M].1版.南京：东南大学出版社,1995.172-173.
[13]赵树嫄.线性代数(经济应用数学基础)[M].4版.北京：中国人民大学出版社,2008.150-157.
2.其次，找出解的几何意义并找出应用范围
3.最后，通过实践分析，总结出线性方程组在应用方面的作用
五、主要参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.105-112.
[2]白梅花.线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯,2011,(27):200-201.
第1－2周：完成英文文献翻译工作。撰写开题报告。了解自己论文的背景，目的方案及预期达到的目标。
第3－4周：搜集阅读文献，根据研究方法对课题展开研究,获得一些研究成果。接受指导老师的检验，开题答辩。
2.中期（5-8周）
第5－8周：搜集阅读文献，根据研究方法对课题展开研究；获得一些研究成果；争取有一些理论创新；论文初步完成。
3.全部完成与整理（9-14、15-16周）
第9－14、15－16周：完善论文。写出较高质量的研究报告；接受指导老师的检验。申请结题。
4.答辩（第17周）
第17周：上交论文。接受教师组审查鉴定，进行毕业答辩。
四、预期达到的目标
1.首先，通过对齐次与非齐次线性方程组的求解，找出齐次与非齐次线性方程组解的判定方法
[7]首都师范大学数学系组编.数值分析[M].北京：科学出版社,2000.28-32.
[8]徐仲，张凯院，陆全，等.矩阵论简明教程[M].2版.北京：科学出版社,2005.141-147.

线性方程组的解法及其应用

线性方程组的解法及其应用摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.本文综述了几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克拉默法则、广义逆矩阵法、直接三角形法、平方根法、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，广义逆矩阵方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合.关键词:线性方程组解法广义逆矩阵应用实例1. 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.本文主要介绍线性方程组的广义逆矩阵法、追赶法、平方根法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台.文章也给出线性方程组在其他领域中的应用实例，揭示了各学科之间的内通性.首先，我们讨论一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为11112211211222221122,,.n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()i()i 式中(1,2,,)i x i n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)ij a i s j n ==称为方程组的系数，(1,2,,)j b j n =称为常数项.线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120s b b b ====.令111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12s b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()i 可用矩阵乘法表示为AX B =，,,.m n n m A C X C B C ⨯∈∈∈2. 线性方程组的解法2.1 消元法在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.例 1 解线性方程组123123123123324,32511,23,237.x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解分别将第一个方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四个方程上，整理得123232323324,71,555,7 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎪⎨-+=-⎪⎪-=⎩将此方程组第二个方程加到第四个方程上，使该方程两边全为零，并将第三个方程的两边乘以15-，得1232323324,71,1.x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩再将第三个方程的7倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的未知量2x ，整理得123233324,1,6 6.x x x x x x +-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩最后解得123(,,)(2,0,1)T T x x x =--.正如消元法是我们接触比较早的，被我们所熟悉的一种方法，在此只给出三元线性方程组的解法，三元以上的方程组的具体理论、性质和解题过程详见参考文献[1]. 2.2 应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有定理1[1] 如果含有n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()ii的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式111212122212det 0n n n n nna a a a a a A a a a =≠，那么线性方程组()ii 有唯一解：det (1,2,,),det j j B x j n A==其中det j B 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项12,,,n b b b 所成的矩阵的行列式，即111,111,11222,122,121,1,1det,1,2,,.j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+==此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组Ax b =的系数矩阵的行列式det 0A ≠，则线性方程组Ax b =一定有解，且解是唯一的. 例2 解线性方程组12342341242342344,3,31,73 3.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解由已知可得系数行列式12341234123401110111111det 16013015352073173148A ---------====≠----,因此线性方程组有唯一解.又因124234143431110311det 128,det 48,1301110137310331B B -------==-==-341244123401310113det 96,det 0.1311130107310733B B ------====--故线性方程组的解为1234(,,,)(8,3,6,0)T T x x x x =-.克莱姆法则主要给出了解与系数的明显关系，但只能应用于系数矩阵的行列式不为零的线性方程组，并且它进行计算是不方便的. 2.5 直接三角分解法[5]设有线性方程组11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩或写成矩阵形式Ax b =，其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若A 为非奇异矩阵，且有分解式A LU =，其中U 为上三角矩阵，L 为单位下三角矩阵，即11121212221,1111n n n n n nn u u u l u u A LU l l u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则线性方程组Ax b =的求解等价于解以下两个三角方程组：(1)Ly b =，求y ； (2)Ux y =，求x .直接三角形分解法求解线性方程组，基本步骤如下：第一步： 11,(1,2,,),i i u a i n == 1111,(2,3,,)i i l a u i n ==,计算U 的第r 行，L 的第r 列元素，2,3,,r n =.第二步： 11,(,1,,)r ri ri rk ki k u a l u i r r n -==-=+∑.第三步： 11,(1,,;)r ir ir ik kr rr k l a l u u i r n r n -==(-)=+≠∑.求解Ly b =，Ux y =的计算公式如下：第四步： ()1111,,2,3,.i i i ik k k y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=-=⎪⎩∑第五步： 1,(),(1,2,,1).n n nn n i i ik k ii k i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=-=--⎪⎩∑例5 求解线性方程组1231212321,42,227.x x x x x x x x ++=⎧⎪+=-⎨⎪-++=⎩解由直接三角分解法第二、三步可得211100211410210012221131004A LU ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 于是线性方程组变为LUx b =，求解线性方程组(1,2,7)T Ly =-，得(1,4,4)T y =--；求解线性方程组(1,4,4)T Ux =--，得(1,2,1)T x =-.2.6 平方根法[7]在许多应用中，欲求解的线性方程组的系数矩阵是对称正定的.所谓平方根法，就是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解具有对称正定矩阵的线性方程组的一中有效方法，目前在计算机上广泛应用平方根法解此类方程组.定理6[12] 若A 的各阶顺序主子式非零，则A 可以分解为A LDU =，其中L 是单位下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，D 是对角矩阵，且这种分解是唯一的.定理7[12] 设A 为对称正定矩阵，则存在三角分解T A LL =，其中L 是非奇异下三角形矩阵，且当限定L 的对角线元素为正时，这种分解是唯一的.应用对称正定矩阵的平方根法，可以解具有对称正定系数矩阵的线性方程组Ax b =，具体算法如下：1) 对j =1,2，，n ，计算11221()j jj jj jkk l a l -==-∑，11j ij ij ik jk k l a l l -==-∑(1,,)i j n =+.2) 求解线性方程组Ax b =等价于解两个三角方程组,.TLy b L x y =⎧⎨=⎩ 计算11()i i i ik k ii k y b l y l -==-∑，(i =1,2，，n ), 1()ni i ki kii k i x b lx l =+=-∑，(i n =,1n -,,2,1)，即可.例6 求解线性方程组12341161 4.25 2.750.5.1 2.75 3.5 1.25x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 解设1111213121222232313233334111 4.25 2.751 2.75 3.5l l l l l l l l l l l l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 由矩阵乘法得1121223132332,0.5,2,0.5, 1.5, 1.l l l l l l ==-====解下三角方程组123260.520.50.5 1.51 1.25y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得1233,0.5,1,y y y ===-再由123230.520.50.5 1.511Tx x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得线性方程组的解为123(,,)(2,1,1)T T x x x =-.可以用消元法解此方程组,但发现此方程组的系数矩阵为正定矩阵，运用平方根法解这个方程组比较容易，而且理论分析指出，解对称正定方程组的平方根法是一个稳定的算法，其在工程计算中使用比较广泛. 2.7 追赶法[5]在许多实际问题中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组11112222211111iiii i n n n n n nn n n x k b c x k a b c a b c x k a b c x k a b x k -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，简记作 Ax k =，其中A 满足下列对角占优条件：(1) 110b c >>;(2) i i i b a c ≥+, i a ,i c 0≠(i =2,3, ,1n -);(3) 0n n b c >>.由系数矩阵A 的特点，可以将A 分解为两个三角矩阵的乘积，即A LU =，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵.求解线性方程组Ax k =等价于解两个三角方程组Ly k =与Ux y =，先后求y 与x ，从而得到以下解三角方程组的追赶法公式：第一步：计算的递推公式111c b β=，1()i i i i i c b a ββ-=-，(2i =，3，，1)n -;第二步：解Ly k =：111y k b =，11()()i i i i i i i y k a y b a β--=--，(2,3,,)i n =;第三步：解Ux y =：n n x y =，1i i i i x y x β+=-，(1,2,,2,1)i n n =--.例7 求解三对角线性方程组123421001131020111200210x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.解设有三角分解111122222233333344441111b c p q a b c a p q a b c a p q a b a p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由矩阵乘法易得111,,1,2,3.,2,3,4.i i i ii i i p b q c p i p b a q i -=⎧⎪==⎨⎪=-=⎩ 将已知系数矩阵的元素代人上式有11223342,12,52,25,35,53,73.p q p q p q p ==⎧⎪==⎪⎨==⎪⎪=⎩ 解线性方程组112233441121220p y p y p y p y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得123412,35,73, 2.y y y y ====再解线性方程组111222333441111x y q x y q x y q x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得原线性方程组的为1234(,,,)(0,1,1,2)T T x x x x =-.追赶法是以LU 分解为基础的求解方法，因此它的不足之处是当某个0=k u 时，就不能进行.但是当方程组的系数矩阵A 中有很多零元素时，利用三对角方程组系数矩阵的稀疏性，使零元素不参加运算，可以类似于追赶法来简化计算过程，从而极大地节省了计算量和存储量.这也是追赶法的最大特点.3. 应用举例3.1 线性方程组在解析几何中的应用例8 已知平面上三条不同直线的方程分别为1L ：230ax by c ++=，2L ：230bx cy a ++=，3L ：230cx ay b ++=，试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.证必要性设三直线1L ，2L ，3L 交于一点，则线性方程组232323ax by cbx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩ ()iii有惟一解，故系数矩阵222a b A b c c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵232323a b c A b c a c a b --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩均为2，于是0A -=，即22223236()()23a bcA bc a a b c a b c ab ac bc ca b--=-=++++----=0,所以0a b c ++=.充分性由0a b c ++=，则从必要性的证明可知，0A -=，故()3r A -<.由于22222132()2[()]2[()]0224a b ac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠, 故()()2r A r A -==.因此线性方程组()iii 有惟一解，即三直线1L ，2L ，3L 交于一点. 3.2 线性方程组在产品生产量中的应用例9 设有一个经济系统包括3个部门，在某一个生产周期内各部门间的消耗及最终产品如表所示：求各部门的总产品.解设i x 表示第i 部门的总产品.由已知可以得到线性方程组()I A x y -=，其中0.250.10.1()0.20.20.10.10.10.2ij A a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.750.10.10.20.80.10.10.10.8I A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，(245,90,175)T y =. 利用矩阵的初等变换可以求得1126181810()34118198912017116I A -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以线性方程组()I A x y -=的解为消耗系数消耗部门生产部门123最终产品1 0.25 0.1 0.1 2452 0.2 0.2 0.1 90 30.10.10.21751126181824540010()3411819902508912017116175300x I A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 4. 结束语本文针对不同的线性方程组给出了一些计算方法，及线性方程组的应用实例.根据线性方程组自身所具有的特点，可以选择相应合适的方法，而对于那些特殊类型的线性方程组的解法，有待进一步的讨论与研究．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编. 高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.105-112.[2] 白梅花. 线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯,2011,(27):200-201.[3] 康道坤，陈劲. 广义逆下线性方程组的解结构及其推广[J].大理学院学报,2011，10(4):7-9. [4] 卢刚.线性代数[M]. 北京：高等教育出版社,2002.64-72.[5] 李庆扬，王能超，易大义. 数值分析[M].4版.武汉：华中科技大学出版社,2006.177-185. [6] 苏育才，姜翠波，张跃辉. 矩阵理论[M].北京：科学出版社,2006.200-206. [7] 首都师范大学数学系组编. 数值分析[M].北京：科学出版社,2000.28-32.[8] 徐仲，张凯院，陆全，等. 矩阵论简明教程[M].2版.北京：科学出版社,2005.141-147. [9] 谢寿才，陈渊. 大学数学[M].北京：科学出版社,2010.37-40.[10] 徐仲，张凯院，陆全. 矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社,2002.228-245.[11] 尹钊，钟卫民，赵丽君. 线性方程组的广义逆矩阵解法[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,1999,15(5):21-22. [12] 张明淳. 工程矩阵理论[M].1版.南京：东南大学出版社,1995.172-173.[13] 赵树嫄. 线性代数(经济应用数学基础)[M].4版.北京：中国人民大学出版社,2008.150-157.。

线性方程组的求解与应用开题报告

设计题目线性方程组理论及其应用学生姓名陈彦语学号专业数学与应用数学（师范类）课题地目地意义：高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（' ）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组地方法，本文将更加系统地阐述求解线性方程组地几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中地应用.线性代数是代数学地一个重要组成部分，广泛应用于现代科学地许多分支，其核心问题之一就是线性方程组地求解问题.线性方程组地求解是数值计算领域十分活跃地研究课题之一，大量地科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组.因为计算机只能“线性”地求解问题，所以所有问题在计算机处理前都要线性化.可以说，线性方程组地求解在现代科学领域占有重要地位.二、近几年来研究现状：目前关于线性方程组地数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法.直接方法最基本地是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组地有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展.迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组地精确解，迭代法具有地优点是：需要计算机地存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度地问题.迭代法是解大型稀疏矩阵方程组地重要方法，当前对迭代算法地研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好地性能加速还有待进一步研究..三、设计方案地可行性分析和预期目标：可行性分析：本文主要以查找资料，在现有知识水平上，对求解线性方程组地一般方法进行总结归纳，并根据对数学软件地学习，在借鉴前人对计算机编程科学性研究地基础上，给出利用软件求解几类常见线性方程组地方法.通过广泛收集线性方程组应用方向地文献和书籍，并多次向导师请教，最终以具体实例来说明线性方程组在许多领域地应用，并实现线性方程组地求解过程.预期目标：通过撰写论文，能让我从一个更高地角度来审视高等代数，对其中地线性方程组部分有一个更加深刻地理解和认识，锻炼自己地发散性思维和缜密地思考能力，培养自己利用所学知识解决实际问题地能力，从而达到对所学知识地融会贯通.四、所需要地仪器设备、材料：仪器设备：计算机，网络资源以及图书馆资料，打印机，纸材料：[]王萼芳,石生明.高等代数[].北京:高等教育出版社[]同济大学数学系.线性代数[].上海:高等教育出版社[]李庆扬,王超能,易大义.数值分析[].北京:清华大学出版[]王沫然与科学计算[].北京:清华大学出版社，[]《运筹学》教材编写组. 运筹学[]. 北京:清华大学出版社[]杨启帆,方道元. 数学建模[].杭州:浙江大学出版社，.[]姜启源.数学模型[].北京:高等教育出版社[]刘从义.线性方程组地求解及其应用[],考试周刊[]仝秋娟.几种特殊线性方程组解法研究[],陕西:西安电子科技大学，[]丁丽娟.数值计算方法[].北京:北京理工大学出版社[]谢金星,薛毅.优化模型与软件[],北京:清华大学出版社五、课题分阶段进度计划：序号起止日期工作内容阶段成果（第周）至查阅资料，填写开题报告，完成开题答辩材料.形成论文框架.（第周）至撰写论文初稿，翻译英文.完成初稿电子版及英文翻译电子版.（第周）至继续查找资料，修改完善论文内容和合适，修改译文；完成论文第二稿（第周）至进一步修改完善论文，最终定稿，打印论文；准备论文答辩提纲.正稿并答辩指导教师意见签字：年月日。

线性方程组解法的研究【开题报告】

毕业论文开题报告信息与计算科学线性方程组解法的研究一、选题的意义线性代数是本专科高校中各类专业的一门公共基础课.。

由于线性问题广泛地存在于科学技术的各个领域, 许多非线性问题在一条件下也可以转化为线性问题来处理，线性代数已成为应用最广泛的大学基础数学课程之一，它的重要性也已经成为我们的共识.。

通过对线性代数课程的学习，可以提高学生的数学素质和数学能力, 特别是培养逻辑推理、归纳判断、科学计算、用数学语言和符号进行表达的能力等，对提高学生的思维能力、开发学生智力等起到重要作用。

尤其是现在, 随着计算机的逐渐普及，作为一门基础理论课的线性代数, 能够很好的帮助学生对计算机知识的理解和学习, 提高培养学生综合素质的效率。

矩阵被作为许多高等代数教材中研究的重要工具, 然而, 线性方程组理论同样也是一个比较重要的研究工具。

线性方程组是线性代数的主要内容，只要恰当地运用线性方程组理论, 我们在研究一些问题时就可以使比较复杂的研究过程简单化。

线性方程组与矩阵、向量的内容密切相关, 它与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广。

求解线性方程组是线性代数的核心内容之一, 同时也是它的最重要的应用领域之一。

线性方程组的求解还能处理许多实际问题，在科学研究与生产实践中，许多问题都可以归结为线性方程组的求解。

线性方程组的解法有很多，不同的线性方程组，根据其性质和特征，应当选择适当的解法。

所以，寻找最有效最简便的求解方法就显得极其重要。

本文首先对线性方程组的定义和基本性质等作了一些简单阐述，然后通过例子介绍了一些方程组的解法和特征，对其加以延伸综合、归纳总结，进一步提高我们线性方程组及其解法的认识，接着介绍了行列式线性方程组及其解法在一些领域中的应用，本文最后做出了简单的总结，使文章更加完整，也更加巩固了我们所学的线性方程组的相关知识，提升了我们对数学的理解和应用能力。

二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）本文研究的主要内容及解决的主要问题是线性方程组的多种解法研究及其有关应用。

数学专业论文—线性方程组的求解及其应用

嘉兴学院南湖学院（2011届）本科毕业论文（设计）题目：线性方程组的求解及其应用专业：数学与应用数学班级学号：姓名：指导教师：完成日期： 2011.5.5诚信声明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得嘉兴学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料．我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信．论文(设计)作者签名：签名日期：年月日授权声明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置．论文(设计)作者签名：签名日期：年月日线性方程组的求解及其应用***（**学院）摘要：线性方程组是线性代数中一个最基础的内容，它在科学和工程计算等领域都发挥着重要的作用．本文主要讨论线性方程组解的基本结构，并运用克拉默法则，高斯消元法和追赶法等来求解．另外还研究了它在解析几何，高等代数，运筹学等学科以及其他学科领域中的一些简单的应用．通过线性方程组的求解及其应用，使很多繁琐的问题变得方便快捷．关键词：线性方程组；克拉默法则；高斯消元法；LU分解；应用The Solution of Linear System of Equations and It’s Application***（** University）Abstract：Linear system of equations is one of the most basic content in linearalgebra. It plays an important role in many areas, for example in science and engineering calculation. This article discusses the basic structure solution of linear equations, and use Cramer's rule, Gauss-elimination and chase way to find solutions. In addition, it also examines it’s in analytic geometry, higher algebra, operations research, as well as other areas of some simple applications. By the solution of linear system of equations and it’s application, we can make a lot of complicated problems becoming more convenient.Key words：Linear equations; Cramer's rule; Gauss-elimination; LU-decomposition;Application目录1 引言 (1)2 线性方程组求解 (2)2.1 概念 (2)2.2 解的情况及其通解 (3)2.3 克拉默法则 (5)2.4 高斯消元法 (7)2.5 追赶法 (9)2.5.1 LU分解 (9)2.5.2 追赶法 (10)3 线性方程组的应用 (13)3.1 在解析几何中的应用 (13)3.2 在高等代数中的应用 (13)3.3 在运筹学中的应用 (14)3.4 在化学中的应用 (15)3.5 在经济学中的应用 (16)3.6 在控制科学中的应用 (18)4 结束语 (21)致谢 (22)参考文献 (23)1 引言线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组．对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中．线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线性方程组解的结构等．而且随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现实意义．因此对线性方程组解法的研究就显得十分必要[]1．本文主要内容是讨论了线性方程组解的几种基本情况，以及有不唯一解时的通解表示形式．其次还介绍了线性方程组当解唯一时的三种求解方法，分别是：1、克拉默法则；2、高斯消元法；3、追赶法．另外本文还介绍了线性方程组在高等代数，解析几何，运筹学等数学领域以及在其他学科领域中的一些基本的应用．2 线性方程组求解线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么．本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式．另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法．线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等．对于前一类特殊的线性方程组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可以采用高斯消元法．而追赶法是数值计算中解线性方程组的一种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法．2.1 概念错误!未找到引用源。

浅析线性方程组的解法及应用

目录摘要 ......................................................................... Abstract (I)第一章绪论 01.1 引言 0第二章行列式与线性方程组求解 02.1 标准形式的二元线性方程组 02.2 标准形式的三元线性方程组 (1)2.3 克莱姆法则 (2)2.3.1逆序数 (2)2.3.2 克莱姆法则 (3)第三章线性方程组的理论求解 (5)3.1 高斯消元法 (5)3.2 线性方程组解的情况 (6)3.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解方法 (7)第四章求解线性方程组的新方法 (8)第五章线性方程组的应用 (10)5.1 投入产出数学模型 (10)5.2 齐次线性方程组在代数中的应用 (13)第六章结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)浅析线性方程组的解法及应用学生：陈晓莉指导教师：余跃玉摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用.本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，由二元到三元的线性方程组，再到n姐线性方程组，其中详细介绍了克莱姆法则。

然后是对于齐次方程组和非齐次线性方程组，介绍了线性方程组的理论解法，里面介绍了消元法、解的情况、将非线性化成线性方程组来求解。

并且给出了相关的例题，可以加深对线性方程组求解的方法的认识。

对于线性方程组还有什么解法，本文也将有探讨。

介绍了这么多解线性方程组的求解，相信在今后解线性方程组会更加方便。

最后还有关于线性方程组的应用，主要介绍了关于投入产出的数学模型，在经济分析与管理中会经常用到。

关键词:线性方程组; 高斯消元法；行列式SOLUTION OF LINEAR EQUATIONS ANDAPPLICATIONStudent: Chen Xiaoli Supervisor: Yu Y ueyuAbstract: Method for solving linear equations plays a very important role in algebra. This paper introduces some basic methods for solving linear equations, from two yuan to three yuan of linear equations, and then to sister n linear equations, which introduces the Clem rule. Then the homogeneous equations and nonhomogeneous linear equations, introduces the theoretical solution of linear equations, which describes the elimination method, solution of the situation, the nonlinear into linear equations. And gives the relevant examples, we can get a deeper understanding method for solving linear equations. For what the solution of linear equations, this paper will also discuss. Introduced so many solution of linear equations, believe that in the future will be more convenient for the solution of linear equations. Finally, on the application of linear equations, mainly introduces the mathematical model of input and output, is frequently used in the economic analysis and management.Keywords: linear equations; Gauss elimination method; determinant第一章绪论1.1 引言线性代数的核心内容是解线性方程组。

线性方程组理论的若干应用-论文开题报告

[8]萧永震等．空间解析几何解题指导[M]．天津:天津科学技术出版社．1990．
指导教师意见
指导教师（签名）
系（教研室）主任（签名）院长（签名）
年月日
学术价值和现实意义
本文在简单介绍线性方程组及其基本理论的基础上,主要讨论了线性方程组在高等代数及解析几何方面的应用.在高等代数中,首先介绍了线性方程组及其基本理论,包括线性方程组的相关定义及几种表达形式、基本结论和解线性方程组的矩阵方法.然后,讨论了线性方程组理论在多项式、矩阵、及线性空间、欧式空间这几个方面的应用.最后,在解析几何方面,通过几个命题和一个例题的证明过程,讨论了如何将空间难理解的问题转化为容易求解的线性方程组问题.由此可见,利用线性方程组理论解题,不仅可以体会到创造性解题的数学乐趣,还体现了线性方程组理论在解决空间多维问题的优势.我们可以恰当地运用线性方程组理论知识去解决较复杂数学问题,使许多数学难题得到更为简明的刻画,不仅有助于问题得以迅速地转化和解决,还能使复杂的问题显得既简明又优美,从中展示了数学理论之间的联系及相互渗透.
选题类型指：理论研究、应用研究、实验研究、计算机软件设计、工程设计、艺术设计等.
论
文
提
纲
或设计思路
线性方程组是线性代数研究的一个重要对象,利用矩阵、行列式及向量空间等工具,建立了完整的线性方程组理论.反过来,线性方程组理论在讨论其它问题时也有独特作用.本文主要讨论了线性方程组理论在高等代数及解析几何中的一些应用,从中展示了数学理论之间的联系及相互渗透.
论文主要分成四个章节,第一章为论文引言.第二章为线性方程组及其基本理论,在这一章节,主要内容为线性方程组的相关定义及几种表达形式、线性方程组的基本结论和解线性方程组的矩阵方法.第三章为线性方程组理论在高等代数中的应用,在这一章节,主要有线性方程组在多项式理论、矩阵、线性空间、欧式空间中等几个的应用.第四章为线性方程组理论在解析几何中的应用,内容主要有线性方程组在平面解析几何、空间解析几何中的应用.

解线性方程组的预处理方法的开题报告

解线性方程组的预处理方法的开题报告题目：解线性方程组的预处理方法研究与应用摘要：线性方程组是数值线性代数中的基础问题，常常要进行大规模的计算。

为了提高求解速度和精度，需要采用一些预处理方法对系数矩阵进行改造，使其更易于求解。

本文将从预处理方法的理论分析出发，探讨几种典型的预处理方法，并通过实验数据分析它们的优缺点。

关键词：线性方程组，预处理方法，典型方法，实验分析一、绪论线性方程组的求解是数学和工程领域中的基础问题，涉及到很多科学计算的应用。

线性方程组的求解方法可以分为直接法和迭代法两类。

直接法通过对矩阵进行初等变换，实现从方程组到三角矩阵的转换，可精确地求得方程组的解。

但是直接法的时间和空间复杂度很高，在求解大规模线性方程组时不适用。

迭代法则是通过从一个初始近似解开始，逐步逼近精确解的过程。

迭代法具有较高的效率和稳定性，并且可以用预处理技术进行改进。

预处理技术是解决大规模线性方程组问题的有效手段，它是对系数矩阵进行初步加工处理，以便更好地适应某种求解算法的特性。

通常情况下，预处理技术可以使求解速度加快，精度提高，收敛性增强。

本文将从预处理方法的理论分析出发，重点探讨下列典型方法：ILU 分解、SSOR预处理、AMG预处理等，并通过实验比较它们的性能差异。

二、预处理方法的理论分析预处理方法是解决系数矩阵的稀疏特性与求解算法的高效性之间的冲突的方法，其本质思想是通过改变线性方程组的系数矩阵，使其满足求解算法的特性，以此提高求解过程的性能。

预处理技术可以分为不完全预处理和完全预处理两类。

1. 不完全预处理不完全预处理采用一种近似的方法来求解原问题，它可以针对特定的求解算法进行预处理，以简化原问题矩阵的结构，加速求解过程，减少计算复杂度。

其中，ILU分解是一种经典的非完全预处理方法，其主要思想是将原矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积形式。

2. 完全预处理完全预处理则是通过对系数矩阵进行完全分解，得到矩阵的特征和结构信息，进而利用这些信息进行求解或加速。

线性方程组的求解与应用

以及
。在所有类似的。结合以上方程，可得出下列方程组：
题。另外，随着现代信息技术的发展，运用
网络问题模型中，皆可采用一个线性方程对
MATLAB 软件对线性方程进行求解也是一
（一）消元法
到各领域的广泛关注及使用，比如交通、通
在数学领域众多线性方程组解法中，消讯以及城市规划等。
元法是其中最基本且效果最好的一种解法。
相关人员在对网络中的流量问题进行研
消元法在应用至线性方程组进行求解时，通究时，通常都会参照部分线性方程组理论知
常分为三大步骤：
识，这就使得网络流模型中的方程组具备众
分求解的实例，并以当前的 MATLAB 软件对线性方程组的求解进行实践，从而提供借鉴与参考。
关键词：线性方程组；求解方法；MTALAB
中图分类号：O241.6
文献标识码：A
文章编号：2096-4609（2018）13-0103-002
一、线性方程组求解的历史关于对线性方程组求解的研究，我国早在公元前 1 世纪左右就已取得一定的研究成果。这种研究成果主要体现于《九章算术》这一古代数学著作中。在该著作中，已详细对线性方程组的解法进行详细描述，这种线性方程组解法其实就等同于当前较为流行的 “高斯消元法”。高斯消元法在对线性方程组进行求解的过程中，主要通过对方程组进行增广矩阵初等行变换，达到消除未知量的目的，从而实现求解。西方国家则是在 17 世纪后期才开始热衷于对线性方程组求解的研究。当时，德国著名数学家莱布尼茨就曾对由两个未知量的三个线性方程组所构成的线性方程组进行研究，并取得一定的研究成果；苏格兰著名数学家麦克劳林于 18 世纪初期开始对包含两个、三个乃至四个未知量的线性方程组进行研究，并取得“克莱姆法则” 这一伟大的研究结果；时间进行到 18 世纪后期时，法国著名数学家贝祖展开了对线性方程组理论的研究，该研究结果表明系数行列式等于零就是一元齐次线性方程组有非零解的条件 [1]。二、线性方程组解的结构通常情况下，线性方程组的形式结构为：（1）

12线性方程组的迭代法求解开题报告书

[15]常双领，张传林.球解线性方程组的一种迭代算法，暨南大学学报（自然科学版）.2004，25（3）：256-259.
[16]曲双红，王雪莲.求解线性方程组迭代法的Excel实现，高校理科研究.2010年，第21卷（第6期：5页）
[17]高静.系数矩阵为L-矩阵的线性方程组的新迭代法，苏州市职业大学学报.2011年，第22卷（第2期：4页）
[12]汪仲文.解线性方程组的迭代方法之比较，喀什师范学院学报.2008，29（6）：21-25.
[13]韩艳丽.求解线性方程组的Jacobi和Gauss—Seidel迭代法的收敛定理，河南理工大学学报.2009，20（3）：31.
[14]陈丽红，周志刚，万立.求解线性方程组的一种迭代法的改进，武汉科技学院学报.2010，23（2）：33-35.
[8]何吉欢.大型线性方程组的变分迭代解法，工.迭代法解线性方程组的收敛性比较，江西科学.2009，27（5）：659-661.
[10]徐亚平，李让利.关于解线性方程组的迭代法，汉中师范学院学报（自然科学）.1997，15（1）：5-9.
[11]王丽，孙明军，宋永忠.解非埃尔特线性方程组的外推迭代法的收敛性，南京师大学报（自然科学版）.2007，30（1）：1-5.
[18]张步林.线性代数方程组迭代解法的MATLAB实现，成都纺织高等专科学校学报.2008年，第25卷（第4期：3页）
[19]花威.线性方程组的迭代解法及其MALAB实现程序，长江工程职业技术学院学报.2009年，第26卷（第4期：3页）
[20]杨廷鸿，但琦，汪益川，田艳芳.线性方程组迭代解法的另类矩阵形式，后勤工程学院学报.2006年，第13卷（第3期：1页）
预期目标
(1)学会运用各种迭代方法解线性方程组。

(完整版)开题报告(线性方程组解的结构

1、选题目的和意义
线性方程组在解决应用问题中起着重要的作用，是一个极其重要的数学工具.线性方程组的求解过程通常与向量相联系，而空间又可以用向量来表示，向量又与我们日常生活的许多事例相关,所以,我们生活中遇到的许多无法快捷解出的难题中的很大一部分都可以通过与向量相联系，运用向量方程组的求解进而解决一些复杂的难题。而在方程组的求解中，线性方程组是方程组中的最基本的方程组,所以，线性方程组的求解是十分重要的，故归纳和总结出求解线性方程组的方法就显得尤其必要，对线性方程组解的结构研究具有重要意义.
2、国内外研究现状
国内外都对方程组的解的结构的求解过程做出了详尽的分析，但是很少有人对线性方程组下的齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的过程放在一起做具体的分析，比较和概括，所以本文将对线性方程组下的齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的求解过程做详尽的分析,从中我们可以看到两者在求解过程中的联系与区别，最后将两者解集间的区别与相互间关系作一个系统的归纳，便于理解和记忆。
本科毕业论文（设计）开题报告
题目:线性方程组解的结构研究
二级学：
学生姓名：
指导教师：
2013年 11 月 10 日
学院本科毕业论文（设计)开题报告
题目
线性方程组解的结构
二级学院
数学与财经学院
班级
开题日期
专业
数学与应用数学
姓名
学号
指导教师
研究方法：查阅文献、探索研究、综合论述.
拟要解决的关键问题：齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构及两者
解集间的关系
6、前期准备和主要参考文献
前期准备：收集资料,查阅大量参考文献，研读拟定出论文大纲。
主要参考文献：
[1]张禾瑞，郝邴新编.高等代数（第四版）［M].北京:高等教育出版社，2003：263—267。

max-代数上两类线性方程组求解的开题报告

max-代数上两类线性方程组求解的开题报告题目：max-代数上两类线性方程组求解一、研究背景及意义随着数学理论的发展和应用场景的拓展，max-代数的研究逐渐成为了热点领域。

在max-代数中，线性方程组作为一种最基本的算式关系，其求解方法对于高维数据的建模和计算具有重要的意义。

本文将重点研究max-代数上的两类线性方程组，并探究其求解方法，以期为相关研究提供参考。

二、相关理论1. max-代数max-代数是一种在数学中应用非常广泛的代数结构，主要用于处理不确定的量。

它将加法和乘法运算重新定义，使得两个数的加法不再是它们的和，而是它们中的最大值；同样，两个数的乘法也不再是它们的积，而是它们中的和。

2. max-矩阵max-矩阵是一种特殊的矩阵，由max-代数的元素构成。

在max-矩阵中，数值大小的比较关系将决定其行列式的符号。

由于max-矩阵的特殊性质，其线性方程组的求解方法也与传统的矩阵求解方法有所区别。

3. max-代数上的线性方程组max-代数上的线性方程组与传统线性代数中的线性方程组类似，其形式为Ax=b，其中A是一个max-矩阵，x和b是分别由max-代数元素构成的向量。

不同之处在于，max-代数中不存在一般意义上的逆元素，因此其求解方式与传统线性方程组的求解方式有所不同。

三、研究方法本文将从max-代数上线性方程组的定义和基本性质入手，深入探究其求解方法。

具体来说，我们将研究max-代数上两类线性方程组的特征及求解方法，其中一类为行满秩矩阵的max-代数上线性方程组，另一类为满秩矩阵的max-代数上线性方程组。

我们将结合理论分析和实例验证的方式，深入探究两类线性方程组的求解方法，以及其适用范围和局限性。

四、预期研究结果本文的研究成果将有望为max-代数线性方程组的求解提供新的思路和方法。

通过结合理论分析和实例验证的方式，我们将深入探究两类线性方程组的求解方法，以及其适用范围和局限性。

本文的研究成果有望为相关领域的理论研究和应用开发提供有益的参考。

计算实习课程设计报告之线性方程组的求解

《计算实习》课程设计报告课题名称：线性方程组的求解系（院）：理学院专业：数学与应用数学班级：学生姓名：学号：指导教师：开课时间：2010-2011 学年一学期摘要本文主要考虑了一类系数矩阵为正定对称矩阵的线性方程组的求解问题，基于等价转换可将该问题的求解转化为一个二次函数极小值点的求解。

基于这种等价性，我们可以从构造二次函数的极小值点的算法入手，寻求解线性方程组的算法。

这里考虑了一种基于迭代思想构造的算法，对该算法的两个关键部分给出了证明和推导，并给出相应的MATLAB程序，从而解出线性方程组。

最后用两个实例验证了所给程序的正确性。

关键字：线性方程组 MATLAB程序一、问题重述：第一题是要证明线性方程组AX=b 的解x *等价于求解二次函数()x ϕ的极小值点，即*()min ()x Rx x ϕϕ∈=。

第二题是要给出最佳步长()()()()(,)(,)k k k k k r r Ar r λ=的推导过程。

第三题是要给出上述算法的MA TLAB 程序（写成函数的形式）。

第四题是：设方程组为12630321x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 试用第三题给出的程序进行求解，取()000x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，-4=10ε，并作图表示迭代结果。

第五题是要借助第三题的程序计算()()2221234+21x x x x ϕ=+-的极小值，取()0110x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，-2=10ε。

二、问题分析：第一题：将()(,)(,)ϕ12X AX X b X =-展开得到一个n 元函数，对它求一阶导即可得到AX =b ，再求二阶导即可证明()(,)(,)ϕ12X AX X b X =-取极小值；第二题：运用第一题的结论很容易得到第二题的答案，此为证法一；也可以将)(k λϕ视为关于k λ的一元函数，对k λ求一阶导也能得到所需的结果，再求二阶导大于零即可，此为证法二；第三题要求给出文中所给迭代算法的程序，该算法满足一定条件就结束迭代，可用while 循环结构表示，将迭代结果保存在一个矩阵y 中，y 的第k 列表示第k 次迭代结果；第四题直接调用第三题的程序，把相应的数据输进去就可以得到所需的答案了，再通过作图命令即可得到所需的图像了；第五题由于将()()2221234+21x x x x ϕ=+-展开有常数项，与上述()(,)(,)ϕ12X A X X b X =-的展开式形式不一样；故我们可先作变量代换x3=x3-1；这样)(x ϕ形式上就与)(X ϕ一样了；再由23222124)(x x x x ++=ϕ可得AX=b 的矩阵形式：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000400020008321x x x 再调用第三题给出的程序进行求解，最后将结果回代。

浅谈线性方程组的求解及其应用

浅谈线性方程组的求解及其应用【摘要】线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支。

其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。

本文先简要介绍了线性方程组求解的历史，然后给出线性方程组解的结构。

重点介绍了解线性方程组的几种方法:消元法，克拉默法则求解线性方程组的方法。

最后介绍了如何利用Matlab 常用电脑软件解线性方程。

关键词:线性方程组克拉默法则 Matlab1.线性方程组求解的历史线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中已作了比较完整的论述。

其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。

在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。

他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。

麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。

克莱姆不久也发表了这个法则。

18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了一元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。

2.线性方程组解的结构n元线性方程组的一个解(c1,c2,……cn)是一个，维向量，当方程组有无穷多个解时，需要研究这些解向量之间的关系，以便更透彻地把握住它们。

关于齐次线性方程组的解的结构有以下结论:1)定义1齐次线性方程组的一组解η1，η2……ηt称为该方程组的一个基础解系，如果a)该方程组的任一解都能表成η1，η2……ηt的线性组合。

b)η1η2……ηt线性无关。

2)齐次线性方程组的两个解的和还是解，一个解的倍数还是解。

3)齐次线性方程组有非零解时必定存在基础解系，并且一个基础解系里有n-r个解，其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩。

如果系数在数域P中的齐次线性方程组①的一个基础解系是: η1，η2……ηn-r，则①的全部解为k1η1+k2η2+……+kn-rηn-r其中k1,k2,……kn-r取遍取遍数域P中全部数。

高阶线性常微分方程的解法和应用【开题报告】

开题报告数学与应用数学高阶线性常微分方程的解法和应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义常微分方程是微分方程中的其中一种, 它是在17世纪伴随着微积分而发展起来的一门具有重要应用价值的学科, 是研究连续量变化规律的重要工具, 也是众多实际问题与数学之间联系的重要桥梁. 17世纪就有人提出了弹性问题, 这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等. 从19世纪下半叶开始, 随着微积分学的公理化与严密化, 微分方程逐渐从微积分中独立并分离开来, 形成了逐渐自己系统而严密的理论体系, 发展成为常微分和偏微分方程两大现代数学分支. 事实上, 求()y f x '=的原函数问题便是一个最简单的常微分方程. 提及常微分方程, 常常会让人不由得想起牛顿. 在历史上, 牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆, 他还解决了二体问题: 在太阳引力作用下, 一个单一的行星的运动. 他把两个物体都理想化质点, 得到3个未知函数的3个二阶方程组, 经简单计算证明, 可化为平面问题, 即两个未知函数的两个二阶微分方程组. 用现在叫做 “首次积分” 的办法, 完全解决了它的求解问题. 天文学家通过常微分方程的计算, 预见了海王星的存在. 随着工业化的进展, 常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究中发挥了重要的作用. 在当今高新技术迅猛发展的时代, 常微分方程更加广泛地渗透到了诸如电信、化工、航天、生物、医药、经济、信息、军事、控制、管理乃至社会科学等各个领域, 显示着它的蓬勃生机和活力.计算机和计算技术的发展, 使微分方程的求解冲破了经典方法的局限, 迈向数值计算和图像模拟, 这为微分方程的应用提供了更为广阔的天地和有效的手段, 也使得建立数学模型显得格外重要.在当代, 甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程, 如人口发展模型、交通流模型……因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的.我这次的论文方向主要涉及的是微分方程中的高阶线性常微分方程的求解方法和它在实际中的应用问题. 因为常微分与经典的动力学是孪生兄弟, 一直是物理学家赖以对动态世界进行定量描述, 破解造物主在宇宙万物中设置的密码的一种主要手段, 它同时也是应用科学家和工程学家进行精确设计和计算所不可或缺的工具. 因此, 对常微分方程的研究是具有实际意义的.一般地, 我们将未知函数x 及其各阶导数 ,dx dtL , n n d x dt 均为一次的n 阶微分方程称为n 阶线性微分方程. 它的一般形式是 1111()()()(),n n n n n n d x d x dx a t a t a t x t dt dt dtϕ---++++=L (1) 式中()(1,2,,)i a t i n =L 及()t ϕ都是区间a t b <<上的连续函数.如果()0t ϕ≡, 则方程（1）变为 1111()()()0,n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt---++++=L (2) 我们称（2）为n 阶线性齐次微分方程, 简称齐线性方程. 而与此相应, 称（1）为n 阶线性非齐次微分方程, 简称非齐线性方程, 并且通常把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐线性方程.若2n ≥, 称（1）或（2）为高阶线性常微分方程.到目前为止, 人们已经对高阶线性的常微分方程得出了许多求解方法, 对它的实际应用也做了大量的研究. 本文主要讨论了高阶线性常微分方程的相关解法和应用. 文章首先给出了高阶线性常微分方程的有关概念及解的存在惟一性. 在此基础上, 探讨了各种不同类型的高阶常微分方程的解法的问题. 讨论的主要类型有: 某些特殊类型的高阶线性常微分方程、常系数高阶线性常微分方程、变系数高阶线性常微分方程. 在解决这些类型的高阶线性常微分方程时, 还没找到普遍的、通用的具体解法, 这样, 文章针对具体问题进行了具体的分析. 另外, 我还介绍了一些新的解法: 运用高阶线性微分方程与一阶微分方程组的关系求解、参数的方法、升阶的方法和计算机求解法. 文章的最后一部分介绍了高阶线性常微分方程的应用.微分方程的求解是微分方程学习中最基础的, 是深入学习微分方程的一条必经之路.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容: 高阶线性常微分方程的解法和应用拟解决的主要问题:1. 分析高阶线性常微分方程的一般概念和及解的存在惟一性.2. 讲解高阶线性常微分方程的分类和对应的求解方法.3. 总结高阶线性常微分方程的实际应用.三、研究步骤、方法及措施研究步骤:1. 查阅相关资料, 做好笔记;2. 仔细阅读研究文献资料;3. 翻译英文资料;4. 撰写文献综述;5. 撰写论文初稿;6. 上交并反复修改论文;7. 论文定稿.方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集大量资料, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同组同学研究讨论, 用文献综合的方法来解决问题.四、参考文献[1]王高雄, 周之铭, 朱思铭等. 常微分方程(第3版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.[2]楼红卫, 林伟. 常微分方程[M]. 上海: 复旦大学出版社, 2005.[3]肖箭, 盛立人, 宋国强. 常微分方程简明教程[M]. 北京: 科学出版社, 2008.[4]国振喜. 工程微分方程解法与实例[M]. 北京: 机械工业出版社, 2004.[5]化存才. 常微分方程解法与建模应用选讲[M]. 北京:科学出版社, 2009.[6]孙肖丽, 杨艳萍. 常微分方程的思想与方法[M]. 济南: 山东大学出版社, 1993.[7]庄万. 常微分方程习题解[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 2003.[8]石瑞青. 常微分方程全程导学及习题全解[M]. 北京: 中国时代经济出版社, 2007.[9]Z. R. Liu, R. Q. Wang, Z. J. Jing. Peaked Wave Solution of Camassa-holm equation [J].Chaos and Fractais, 2004(19): 77-92.[10]J. B. Li, H. H. Dai. On the study of Singular Nonlinear Traveling Wave Equations [M].Dynamical System Approach. Beijing: Science Press, 2007.。