贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。
贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。
本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。
一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。
第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。
2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。
第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。
第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。
二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。
第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。
2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。
球域bézier曲线
球域bézier曲线
球域Bézier曲线是一种几何建模技术，它用于描述三维空间中球形区域内的曲线。
这种曲线是通过使用Bézier曲线和Bézier曲面在球面上的投影来定义的。
球域Bézier曲线的基本思想是将球面分割成一系列小的曲面片，然后将每个曲面片近似为Bézier曲面。
通过将这些Bézier曲面连接起来，形成一条平滑的曲线。
球域Bézier曲线的定义需要使用球面坐标系。
在球面坐标系中，球心位于原点，x 轴和y轴分别与球面上的经线和纬线对应。
球面上的任意一点P可以用经度θ、纬度φ和半径r来表示。
球域Bézier曲线的参数形式可以用以下公式表示：
P(t) = (r(t) * sin φ1(t) * cos θ1(t), r(t) * sin φ1(t) * sin θ1(t), r(t) * cos φ1(t))
其中，t是参数，r(t)、φ1(t)和θ1(t)是Bézier曲线和曲面在球面上的投影。
通过调整Bézier曲线和曲面的控制点，可以改变球域Bézier曲线的形状和弯曲程度。
同时，通过调整参数t的范围，可以控制曲线的长度和方向。
球域Bézier曲线在三维建模、动画制作、虚拟现实等领域有着广泛的应用。
它可以用于创建复杂的曲面和曲线，如地形、建筑物、植物等。
同时，球域Bézier曲线还可以
与其他几何建模技术结合使用，如NURBS、细分曲面等，以创建更加逼真的三维模型。
贝塞尔函数的应用
( − ( µ m0 ) a ) 2 t
(47)
,
从而利用u ( r , t ) = R ( r )T (t ), 可得
u m (r , t ) = C m e
( − ( µ m0 ) a ) 2 t
( J 0 ( µ m0 ) r ).
6
u | r =1 = 0,
1 u t = a (u rr + u r ) (0 < r < 1), r
贝塞尔函数的递推公式 1 贝塞尔函数的递推公式
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x), (25) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x). (26) dx 特别的， 特别的， ′ ( x) = − J ( x); d [xJ ( x)] = xJ ( x). J0 1 (29) 1 0 dx
u ρρ + 1
ρ u | z =0 = 0, u | z = h = U ,
u ρ + u zz = 0 (0 < ρ < b, 0 < z < h),
(52) (53) (54)
12
u | ρ =b = 0,
为常数。 其中U为常数。
u ρρ +
1
ρ u | z =0 = 0, u | z = h = U ,
( 4 J 2 µ m0) C m = (0) 2 2 (0) , (µ m ) J 1 µ m
( ) ( )
代入(51)即得问题(44) (46)的解为 (51)即得问题(44)将 C m 代入(51)即得问题(44)-(46)的解为
( ( 4 J 2 µ m0) − ( µ m0 ) a ) 2 t (0) u (r , t ) = ∑ ( 0) 2 2 ( 0 ) J 0 µ m r e . m =1 ( µ m ) J 1 µ m ∞
贝塞尔公式详细推导过程
贝塞尔公式详细推导过程《贝塞尔公式的详细推导过程》引言：贝塞尔公式是数学中一种重要且广泛应用的公式，它的推导过程相对较复杂、细致，但却十分精彩。
在本文中，我们将详细介绍贝塞尔公式的推导过程，让读者对这一公式有更深入的理解。
一、贝塞尔公式的定义：贝塞尔公式是一种用连分数表示的数学公式，其一般形式为：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta其中，J_n(x) 表示第n阶贝塞尔函数，x 是实数，\theta 表示角度，\pi 表示圆周率。
二、推导过程：1. 首先，我们从欧拉公式 e^ix = \cos(x) + i\sin(x) 出发，将其展开得到：e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)2. 接下来，我们将展开中的i\sin(x) 转化为两个实数的乘积。
我们知道，正弦函数的定义式为：\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}代入之前的展开式，得到：i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}3. 现在，我们用这个展开式来推导贝塞尔公式。
我们首先将贝塞尔函数展开成幂级数形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}4. 接下来，我们将展开式中的 e^{ix} 替换为 \cos(x) + i\sin(x)：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\sin(x)\right)5. 然后，我们将正弦函数用欧拉公式展开为两个指数函数的乘积：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)6. 继续推导，我们可以将指数函数的乘积展开为两项之差：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{i e^{ix}}{2} - \frac{i e^{-ix}}{2}\right)7. 现在，我们可以将展开式中的 i 消去：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)8. 之后，我们可以将展开式进行拆分，分别对两项进行求和，并利用复数的性质对其中的复数部分进行化简：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)9. 最后，我们可以将两个求和式进行整理，将其中的复数部分转化为积分形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta10. 将整理后的展开式中的求和式转化为连分数形式，即可得到贝塞尔公式：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta结论：通过上述推导过程，我们可以将贝塞尔公式从指数函数的展开式推导得到，将其转化为连分数形式。
贝塞尔函数综述
第一部分 Bessel 函数(阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值，可以利用Mathematica 试算推得。
)一、Bessel 方程及其通解0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。
●当n 为整数时，（1）式的通解为)()(x BY x AJ y n n += （2）其中，A 、B 为任意实数；)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数；)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。
●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式)()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4）其中，A 、B 为任意实数；)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。
另外，Bessel 方程的通解还可以表示为)()()2()1(x BH x AH y v v +=其中，)()()()1(x iY x J x H v v v +=，)()()()2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel ）函数，或统称为第三类Bessel 函数。
●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0x Y n x ，当所研究的问题的区域包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有0=B 。
此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。
例1：022=+'+''y x y x y x λ （10<≤x ）此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程，其通解为)()(00x BY x AJ y λλ+=另外，由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ，根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ，通解最后简化为)(0x AJ y λ=例2：0)413(22=-+'+''y x y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程，其通解为)3()3(2121x BJ x AJ y -+= 或 )3()3(2121x BY x AJ y +=例3：0)(1222=-+'+''y xm k y x y上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程0)(2222=-+'+''y m k x y x y x （0≠x ） 例4：012=+'+''y k y xy 上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程0222=+'+''y k x y x y x （0≠x ）即：0)0(2222=-+'+''y k x y x y x （0≠x ）例5：0)]1([222222=+-++R l l r k rd Rd r r d R d r 令r k x =，xx y r R 2)()(π=，则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程0])21([22222=+-++y l x xd yd x x d y d x 二、虚宗量Bessel 方程及其通解0)(22222=+-+y n x dx dy x dxy d x （5） 上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”，其通解为)()(x BK x AI y n n += （6）其中，A 、B 为任意实数；)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”； )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。
2.2 贝塞尔函数的性质_11
(7)
其中，m 1,2, , J n (k m a) 0
n
R' ' R'(k n ) R 0
2 2 2 2
2 d dR 2 2 n R 0 k 即 d d
n 2 dJ n (k m ) n 2 d n (k m ) d d
可算出
可算出
如由
由(4) : 知J v ( x)和J v ' ( x) J v 1 ( x)
如由 J1 ( x) J 2 ( x) J1 ' ( x)
仿此继续下去 J v (x)
注：
当v n时亦可用母函数法推得 上述递推公式
③ 用来计算含Jv(x)的积分：
例1： 解：
(3) (4) :
(5)
(6)
2v x
J v ( x) J v 1 ( x) J v 1 ( x)
② 只要查J0(x)和J1(x)表可计算出任一Jn(x)
由(3) :
知J v 1 ( x)和J v ( x) J v ' ( x)
J 0 ( x) J1 ' ( x) J1 ( x)
J n ( x)
2π
1
π
π
e
i( x sin n )
d
(n 0,1,2,....)
或着，J n ( x)
1
π
π
cos( x sin θ-nθ )d
0
二、贝塞尔函数的递推公式
d v v [ x J v ( x)] x J v 1 ( x) (1) dx d [ x v J ( x)] x v J ( x) ( 2) v v 1 dx
贝塞尔函数详细介绍
贝塞尔函数详细介绍首先，让我们来了解第一类贝塞尔函数Jn(x)。
第一类贝塞尔函数定义为解决贝塞尔微分方程的满足初始条件的解。
它们有以下性质：1.Jn(x)是偶函数，即Jn(-x)=Jn(x)，这意味着它们在x轴上是对称的。
2.Jn(x)的零点是独一无二的，且随着阶数的增加而增加。
这些零点分布在x轴上，并且对于每个阶数n，它们都有n个零点。
3.贝塞尔函数的最大值和最小值在阶数的增加过程中也在增加。
接下来，我们来讨论第二类贝塞尔函数Yn(x)。
第二类贝塞尔函数也是贝塞尔微分方程的解，但不满足初始条件。
它们的性质如下：1.Yn(x)在x=0时无界，因此它们在x=0处发散。
2.Yn(x)的图像沿y轴下方逐渐衰减，是一种衰减函数。
3.Yn(x)具有与第一类贝塞尔函数类似的性质，如偶对称性和零点分布规律。
此外，贝塞尔函数还具有诸多重要的数学性质。
例如：1.贝塞尔函数可以表示为幂级数的形式，这使得它们在数值计算和逼近问题上具有重要的应用价值。
2.贝塞尔函数满足一些重要的微分方程，如贝塞尔微分方程和贝塞尔-亥姆霍兹方程。
这些方程在物理学和工程学中的波动问题中具有重要的应用。
3.贝塞尔函数的积分也是一类特殊函数，称为贝塞尔积分。
它们在概率论和统计学中具有重要的应用。
最后，值得一提的是，贝塞尔函数的计算方法也是研究的热点之一、由于贝塞尔函数的广泛应用和复杂性质，寻找高效的计算方法成为一个值得探索的课题。
目前，已经提出了许多高效、精确的计算贝塞尔函数的算法，这对于数值计算和科学计算具有重要的意义。
总而言之，贝塞尔函数是一类重要的数学函数，它们在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用。
通过它们的定义、性质和计算方法的研究，我们可以更好地理解和应用贝塞尔函数，从而解决实际问题。
贝塞尔函数的基本概念及其实际应用
贝塞尔函数的基本概念及其实际应用贝塞尔函数是数学分析中的一类特殊函数，是解决物理、工程、数学等领域中一些具有圆对称性问题的有力工具。
在本文中，我们将介绍贝塞尔函数的基本概念及其实际应用。
一、贝塞尔函数的定义及性质贝塞尔函数最初是由德国数学家贝塞尔在求解一个普遍的圆形问题时发现的。
贝塞尔函数有两类，即第一类和第二类，一般用Jn(x)和Yn(x)表示。
其中Jn(x)表示第一类贝塞尔函数，Yn(x)表示第二类贝塞尔函数。
贝塞尔函数和它们的导数满足贝塞尔微分方程：x^2*d^2y/dx^2 + x*dy/dx + (x^2-n^2)y = 0其中n为贝塞尔函数的度数，它的值可以是任意实数或零。
当n为整数时，贝塞尔函数是一种完整的函数，当n为小数或分数时，贝塞尔函数是一种不完整的函数。
贝塞尔函数具有一些特殊的性质，例如：对于第一类贝塞尔函数Jn(x)，当x→0时Jn(x)≠0；当x→∞时，Jn(x)是振荡型函数，即Jn(x)近似于sin(x-nπ/2)。
而对于第二类贝塞尔函数Yn(x)，当x→0时Yn(x)是无穷大；当x→∞时，Yn(x)也是振荡型函数。
二、贝塞尔函数的实际应用1.电学中的应用：贝塞尔函数可以用来描述无限长圆筒形导线和矩形波导内部电磁场的分布。
此外，在计算电磁波在介质中传播时，也可以用到第一类贝塞尔函数。
2.声学中的应用：贝塞尔函数可以用来表示大气中声波的传播过程。
同时，它还可以描述圆形共振腔内空气的压力分布和管道内的声波传输。
3.视觉中的应用：贝塞尔函数可以用来刻画景深和焦距。
此外，它还可以指导图像的锐化和去噪。
4.计算机图形学中的应用：贝塞尔函数可以被用来构建连续的Bézier曲线，从而描述出计算机图形学中重要的对于帧的插值和物体的平滑变形。
结语贝塞尔函数是一种特殊的函数，在各个领域中都有着重要的应用，特别是在电学中、声学中、视觉中以及计算机图形学中。
了解贝塞尔函数的基本概念和性质，对于掌握这些领域的相关知识非常重要。
贝塞尔公式
贝塞尔公式
贝塞尔公式，又名分段函数法，是1800年由法国数学家拉普拉斯贝塞尔（Raphael de la Pierre）发明的一种数学工具，在数学、计算机科学和制图等领域有广泛的应用。
基本思想是一些变化相对缓慢的函数，经过变换之后，可以把复杂的函数分解成一系列的相对简单的子函数，再通过特殊的算法，把这些子函数加以组合，使复杂函数有更高的准确度。
贝塞尔公式的基本原理是，在多边形的边界内，用多边形的每条边建立一个分段函数，这种函数有两个功能：其一是最多可以接受多边形的边数来作为分段函数的参数；其二是可以根据贝塞尔曲线边缘上不同位置上上下文规律，来调节分段函数的形状。
贝塞尔公式的运用范围涉及多次数学变换，包括但不限于：
一、几何变换：包括坐标变换，参数变换以及变型几何变换等；
二、代数变换：包括一般的线性变换、二次曲面等变换；
三、拟合变换：对一组数据进行拟合，使用贝塞尔公式来计算，得到相应拟合曲线；
四、曲线变换：把曲线变换成贝塞尔曲线，以便精确描述曲线形状；
五、计算机图形学：将贝塞尔曲线应用于计算机图形学中，可以生成更加精细的图像；
此外，贝塞尔公式还可以应用于投影和地理信息系统，用于定义投影器的特征参数，以便在大地投影中取得较高的准确度。
根据贝塞
尔公式的定义，数学平面上的点可以被映射到空间中，因此用于3D
绘图的技术也能用贝塞尔公式来实现。
贝塞尔公式的应用极其广泛，从拟合曲线到制造更加精细的图像，从改善绘图精度到把数据映射到三维空间中，都可以利用这一数学工具。
贝塞尔公式不仅能够帮助人们实现复杂的数学变换，还能大大提高运算的准确度。
贝塞尔函数渐进表达式
贝塞尔函数渐进表达式由于贝塞尔函数在不同的区间表现出不同的行为，因此贝塞尔函数的渐进表达式也是在不同的区间上给出的。
1. 贝塞尔函数的渐进表达式在$x\rightarrow\infty$时：对于第一类贝塞尔函数$J_\nu(x)$，当$x\rightarrow\infty$时，有以下渐进表达式：$$J_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos\left(x-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$对于第二类贝塞尔函数$Y_\nu(x)$，当$x\rightarrow\infty$时，有以下渐进表达式：$$Y_\nu(x)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin\left(x-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$2. 贝塞尔函数的渐进表达式在$x\rightarrow0$时：对于第一类贝塞尔函数$J_\nu(x)$，当$x\rightarrow0$时，有以下渐进表达式：$$J_\nu(x) \sim \left(\frac{x}{2}\right)^\nu\frac{1}{\Gamma(\nu+1)} $$对于第二类贝塞尔函数$Y_\nu(x)$，当$x\rightarrow0$时，有以下渐进表达式：$$Y_\nu(x)\sim -\frac{1}{\pi}\left[\Gamma(\nu)\left(\frac{2}{x}\right)^\nu+\frac{\ sin(\nu\pi)}{\sin\pi\nu}\Gamma(-\nu)\left(\frac{2}{x}\right)^{-\nu}\right]$$3. 贝塞尔函数的渐进表达式在$\nu\rightarrow\infty$时：此时$\nu$可以看做连续参数，对于第一类贝塞尔函数$J_\nu(x)$，$\nu\rightarrow\infty$时，有以下渐进表达式：$$J_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi\nu}}\cos\left(\nu\left[\arccos\frac{x }{\nu}-\sqrt{1-\frac{x^2}{\nu^2}}\right]-\frac{\pi}{4}\right) $$对于第二类贝塞尔函数$Y_\nu(x)$，$\nu\rightarrow\infty$时，有以下渐进表达式：$$Y_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi\nu}}\sin\left(\nu\left[\arcsin\frac{x }{\nu}-\sqrt{1-\frac{x^2}{\nu^2}}\right]-\frac{\pi}{4}\right) $$4. 贝塞尔函数的渐进表达式在$\nu\rightarrow-\infty$时：此时$\nu$可以看做连续参数，对于第一类贝塞尔函数$J_\nu(x)$，$\nu\rightarrow-\infty$时，有以下渐进表达式：$$J_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi|\nu|}}e^{-|\text{Im }x|}\left[\text{Re}(x)e^{i|\text{Re }x|}-\text{Im}(x)e^{i\text{arg }x}\right]$$对于第二类贝塞尔函数$Y_\nu(x)$，$\nu\rightarrow-\infty$时，有以下渐进表达式：$$Y_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi|\nu|}}e^{|\text{Im }x|}\left[\text{Re}(x)e^{i|\tex t{Re }x|}-\text{Im}(x)e^{i\text{arg }x}\right]$$需要注意的是，这些渐进表达式只在特定的区间有效。
贝塞尔函数
xn1Jn1 ax C
7. 证明y Jn (ax)满足 x2 y '' xy ' (a2x2 n2 ) y 0
Jn (t )满足以下Bessel方程
t 2Jn(t ) tJn (t ) (t 2 n2 )Jn(t ) 0
令 t ax, 即可
a2 x2Jn(ax) axJn (ax) (a2 x2 n2 )Jn(ax) 0
在求特征值问题时推导出常微分方程：
ห้องสมุดไป่ตู้
r2F "r r F 'r r2 n2 F r 0
令x r
记
y(
x)
F
r
x2
d2y dx 2
x
dy dx
x2 n2
yx 0
n 阶贝塞尔方程:
方程的一个特解（n 阶第一类贝塞尔函数）
Jn
x
1m
m0
1 2n2m
m!
n
1 m
1
xn2m
1
lim
m
1m
4(m 1) n m 1
2n2m m!n m!
可以判定这个级数在整个数轴上收敛．
正
J n
x
m0
2n2m
1m m! n
m
1
xn2m
4.
d dx
J
0
ax
a
d
d (ax)
J
0
ax
aJ1
ax
5.
d dx
[ xJ1
ax
]
d
d (ax)
[axJ1
ax
]
axJ
0
ax
6. (1) xJ2 xdx ?
别捷尔斯公式与贝塞尔公式
别捷尔斯公式与贝塞尔公式
别捷尔斯公式（Binet's formula）和贝塞尔公式（Bessel's formula）是数学中常见的公式，用于计算不同类型的数列或函数。
别捷尔斯公式是斐波那契数列的高效计算方法。
斐波那契数列是一个以0和1开始的数列，后续的每一项都是前两项的和。
别捷尔斯公式通过给出斐波那契数列的通项公式，使得我们可以直接计算第n项的数值，而无需逐个计算前面的项。
别捷尔斯公式为：Fn = (φ^n - (1-φ)^n)/√5，其中φ是黄金比例，约为1.618。
贝塞尔公式则是用来计算贝塞尔函数的一种表达式。
贝塞尔函数是数学中一类重要的特殊函数，以德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）的名字命名。
贝塞尔函数在物理学、工程学和其他学科中都有广泛的应用。
贝塞尔公式给出了贝塞尔函数的定义和计算方法，是求解与贝塞尔函数有关的问题的工具之一。
这两个公式在不同领域和数学问题中都有重要的应用。
别捷尔斯公式可以高效地计算斐波那契数列的任意项，有助于解决与斐波那契数列相关的问题。
贝塞尔公式则为研究贝塞尔函数提供了方便的计算方法，使得我们可以更加深入地理解贝塞尔函数的性质和应用。
别捷尔斯公式和贝塞尔公式是数学中常见的公式，分别用于计算斐波那契数列和贝塞尔函数。
它们在不同的数学问题和应用中发挥着重要的作用，为我们提供了便利和洞察力。
工程数学：贝塞尔函数
xnJn1( x)
d dx
[
xnJn(
x)]
x n J n1 (
x)
nx n1J n ( x) x nJ n ( x) x nJ n1( x)
nx n1J n ( x) x nJ n ( x) x nJ n1( x)
nJ n ( x) xJn ( x) xJn1( x)
nJ n ( x) xJn ( x) xJn1( x)
Fn (r )
J
n
(
(n m R
)
r)
0
-0.5
0
2
4
6
8
10 12 14
(0)
m=
2.405,
5.520,
8.654,···
(1)
m=
3.832,
7.016,
10.173,···
6/13
正交性
证明: 令 记 由
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贝塞尔函数的模
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【参考文档】贝塞尔函数的有关公式-范文模板 (10页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==贝塞尔函数的有关公式篇一：贝塞尔函数的有关公式C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解Bp(z)为(柱)贝塞尔函数。
有第一类柱贝塞尔函数Jp(z)p为整数n时，J?n=(?1) nJn；p不为整数时，Jp与J?p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时N?n=(?1) nNn。
第三类柱贝塞尔函数Hp(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数 Hp(1)(z)= Jp(z)+j N p(z)第二类柱汉开尔函数 Hp(2)(z)= Jp(z)?j N p(z)大宗量z??小宗量z?，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论p668Jn(z)的母函数和有关公式函数ez(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到在上式中作代换，令t=ej?，t=?jej?等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式Jn(z)的零点?niJ’n(z)的零点?ni半整数阶贝塞尔函数Jn+1/2(z)的零点?npJ'n+1/2(z)的零点?'npD．朗斯基行列式及其它关系式E．修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为Ip(z)=j?pJp(jz)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
Kp(z)=(?/2)jp+1Hp(1)(jz)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
大宗量z??小宗量z?篇二：贝塞尔函数的有关公式C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解Bp(z)为(柱)贝塞尔函数。
有第一类柱贝塞尔函数Jp(z)p为整数n时，J?n=(?1) nJn；p不为整数时，Jp与J?p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时N?n=(?1) nNn。
贝塞尔函数的有关公式
C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解B p(z)为(柱)贝塞尔函数。
有第一类柱贝塞尔函数J p(z)p为整数n时，J-n=(-1)n J n；p不为整数时，J p与J-p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时N-n=(-1)n N n。
第三类柱贝塞尔函数H p(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数H p(1)(z)= J p(z)+j N p(z)第二类柱汉开尔函数H p(2)(z)= J p(z)-j N p(z)大宗量z小宗量z 0，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论p668J n(z)的母函数和有关公式函数e z(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到在上式中作代换，令t=e j ，t= je j 等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式J n(z)的零点 niJ’n(z)的零点γni半整数阶贝塞尔函数J n+1/2(z)的零点χnpJ'n+1/2(z)的零点χ'npD．朗斯基行列式及其它关系式E．修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(j z)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为I p(z)=j-p J p(j z)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
K p(z)=(π/2)j p+1H p(1)(j z)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
大宗量z小宗量z 0（0210）《古代散文》复习思考题一、填空题1．甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。
2．深于比兴、，是先秦散文的突出特点。
3．《》长于描写外交辞令。
4．《国语》的突出特点是长于。
5．“兼爱”、“非攻”是思想的核心。
6．先秦诸子中，善养“浩然之气”。
7．先秦诸子中，提出了“言不尽意”、“得意忘言”的观点。
8．荀子的《》是我国最早以“赋”名篇的作品。
9．《鵩鸟赋》是的骚体赋。
10．枚乘的《》标志着散体赋的正式形成。
贝塞尔函数
贝塞尔函数当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V V VT a T x y ∂∂'=+∂∂ 或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+= （5.4）22220V V V x yλ∂∂++=∂∂ （5.5） 从（5.4）得2()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
为了求出这个方程满足条件2220x y R V +== （5.6）的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得22222110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=⎧∂∂∂+++=<≤≤⎪∂∂∂⎨⎪=≤≤⎩再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ，代入（5.7）并分离变量可得()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9）22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10）由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得，因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：2220,1,2,,,n对应于2n n μ=，有00()2a θΘ=（为常数） ()cos sin ,(1,2,)n n n a nb n n θθθΘ=+=以2n n μ=代入（5.10）得222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-= （5.11）这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。
贝塞尔函数表
貝塞爾函數（Bessel Function），它們的數值可由查有關貝塞爾函數曲線或查表得出，貝塞爾函數值與m f的關係如圖4-6所示。
表4-1載頻、邊頻振幅與關係表圖4-1第一類貝塞爾函數根據式（4-18），可以得出如下結論︰1.一個調頻波除了載波頻率外，還包含無窮多的邊頻，相鄰邊頻之間的頻率間隔仍是。
第條譜線與載頻之差為。
2.每一個分量的最大振幅等於。
而由貝塞爾函數決定。
理論上，相角調變信號的邊頻分量是無限多的，也就是說，它的頻譜是無限寬的。
一路信號要佔用無限寬的頻帶，是我們不希望的。
實際上，已調信號的能量絕大部分是集中在載頻附近的一些邊頻分量上，從某一邊頻起，它的幅度便非常小（工程上習慣，凡是振幅小於未調變載波振幅的10%的邊頻分量可以忽略不計）。
根據貝塞爾函數的特點，當階數時，貝塞爾函數的數值隨著n的增加而迅速減小。
所以，實際上我們可以認為，也即高低邊頻的總數等於個，因此調頻波的頻譜有效寬度為，即頻帶寬度可以方便地算出，為(4-19）由於，所以式(4-19)也可寫成下列形式，即(4-20)這與調變頻率相同的調幅波比起來，調角波的頻帶要寬。
通常，所以相角調變的頻帶要比調幅波寬得多。
因此，在同樣的波段中，能容納相角調變信號的數目，要少於調幅信號的數目。
因此，調頻只宜用於頻率較高的、甚高頻和超高頻段中。
關於頻帶寬度區分以下兩點說明：3.當，也就是寬頻帶FM（WBFM）情況，式(4-19)及式(4-20)適用之。
4.當，為窄頻帶FM（NBFM），此時式（4-19）及（4-20）不再適用，由表6-1可以看出，邊頻只取一對就夠了，即窄頻帶調頻頻譜寬度為。
5.2 贝塞尔函数的递推公式
11
d n x J n ( x) x n J n 1 ( x), dx d n x J n ( x) x n J n 1 ( x). dx
(25) (26)
如果将以上两式左端的导数表出，化简后则得
m
1 2
(18) (27)
当 n 为半奇数时的贝塞尔函数的一个重要特点 是可用初等函数表示。先计算 J ( x), 由(18)式得
d n x J n ( x) x n J n 1 ( x). dx
(26)
8
d n x J n ( x) x n J n 1 ( x), dx d n x J n ( x) x n J n 1 ( x). dx
(25) (26)
事实上，在(18)式的两边乘上 x n , 然后对 x 求导，得 2m
(25) (26) (27)
(28)
特别的，当n 0 时，由(26)式得
J 0 ( x) J1 ( x);
当 n 1 时，由(25)式得
d xJ 1 ( x) xJ 0 ( x). dx
(29)
14
J n1 ( x) J n1 ( x) 2J n ( x).
应用洛必达法则经过冗长的推演(可参阅H.H. 列别捷夫著，张燮译《特殊函数及其应用》， 高等教育出版社，1987），得
Y0 ( x)
1 x 2 J 0 ( x) ln C (1) m 2 m 0 (m!) 2
wps贝塞尔公式
wps贝塞尔公式
WPS贝塞尔公式是指在金融领域中，用于计算未来现金流的
现值问题的公式。
它基于贝塞尔定理，也被称为贝塞尔公式。
贝塞尔公式可以写成以下形式：
\[V_t = \frac{C_1}{(1+r_1)^t_1} + \frac{C_2}{(1+r_2)^t_2} +
\frac{C_3}{(1+r_3)^t_3} + ... + \frac{C_n}{(1+r_n)^t_n}\]
其中，
- \(V_t\)是在时间\(t\)的现值
- \(C_i\)是在时间\(t_i\)的未来现金流量
- \(r_i\)是在时间\(t_i\)的折现率
- \(t_i\)是未来现金流发生的时间
贝塞尔公式可以用于计算一系列未来现金流的现值，这些现金流可以是收入、支出或投资回报。
通过将每个现金流除以相应的折现率，并将所有现值求和，可以得到未来现金流的总现值。
使用贝塞尔公式时，需要注意折现率选择的准确性和现金流的准确性，以确保计算出的现值是准确的。
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贝塞尔函数的有关公式C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解B(z)为(柱)贝塞尔函数。
有 p第一类柱贝塞尔函数J(z) pnp为整数n时，J=(,1)J; ,n np不为整数时，J与J线性无关。
p,p第二类柱贝塞尔函数N(z)(柱诺依曼函数) pnn为整数时N=(,1)N。
,n n第三类柱贝塞尔函数H(z) (柱汉开尔函数): p(1) 第一类柱汉开尔函数 H(z)= J(z)+j N(z) pp p(2)第二类柱汉开尔函数 H(z)= J(z),j N(z) pp p大宗量z小宗量z 0，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论 p668J(z)的母函数和有关公式 nz(t/2-1/2t)函数e称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到j j 在上式中作代换，令t=e，t= je等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式J(z)的零点,nniJ’(z)的零点,nni半整数阶贝塞尔函数J(z)的零点,n+1/2npJ'(z)的零点,'n+1/2npD(朗斯基行列式及其它关系式E(修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为,p I(z)=jJ(jz)(称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
ppp+1(1)K(z)=(,/2)jH(jz)(称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
pp大宗量z小宗量z 0(0210)《古代散文》复习思考题一、填空题1(甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。
2(深于比兴、，是先秦散文的突出特点。
3(《》长于描写外交辞令。
4(《国语》的突出特点是长于。
5(“兼爱”、“非攻”是思想的核心。
6(先秦诸子中，善养“浩然之气”。
7(先秦诸子中，提出了“言不尽意”、“得意忘言” 的观点。
8(荀子的《》是我国最早以“赋”名篇的作品。
9(《鵩鸟赋》是的骚体赋。
10(枚乘的《》标志着散体赋的正式形成。
11(“破釜沉舟”出自《》。
12(对偶、辞藻、用典和声律是的主要特征。
13( 被鲁迅誉为“改造文章的祖师”。
提出的著名观点。
14(“文以气为主”、“诗赋欲丽”是15(《大人先生传》的作者是。
16(嵇康的代表作是《》。
17(西晋作家中，“善为哀诔之文”。
18(《归去来兮辞》可以说是辞仕归隐的宣言书。
19(《别赋》、《恨赋》的作者是。
20(孔稚圭的《》以山灵的口吻，讽刺了“身居江海之上，心存魏阙之下”的假隐士。
21(唐代古文运动发生在时期，是一次提倡散文、的文体改革运动。
22(苏轼称“文起八代之衰”。
的论说文。
23(《论佛骨表》是24(由于唐代的大量创作，寓言才成为一种独立的文体。
25(鲁迅称晚唐是“一塌糊涂的泥塘里的光彩和锋芒”。
26( 在韩愈“不平则鸣”说的基础上提出了“穷而后工”的观点。
27(欧阳修的《》用21个“也”字置于句尾，既增加了文章的抒情气氛，又增强了文章的咏叹情调。
28(既平易自然又委婉曲折，是散文的风格。
29(“文理自然、姿态横生”是的主张。
30( 编选了《唐宋八大家文钞》。
631(清代骈文中兴，成就最显著的作家是。
32( 是晚明小品文的代表作家。
33( 是桐城派散文的创始人，并首倡“义法”说。
二、解释题1、春秋笔法2、古文运动3、气盛言宜4、四六文5、冨吴体6、燕许大手笔7、简而有法8、文理自然、姿态横生9、“童心”说 10、义法三、简答题1、《春秋》记事的特点。
2、《战国策》的语言特色。
3、《冯谖客孟尝君》是怎样刻画冯谖形象的,4、《论语?侍坐》中人物的性格特点。
5、《孟子》的论辩艺术。
6、《墨子》散文的主要特点。
7、《荀子》一书的比喻有何特点,8、贾谊、晁错散文比较。
9、建安时期散文的特点。
10、简述南北朝的文风。
11、陆贽骈文的突出特点。
12、古文运动兴起的原因。
13、中唐、北宋古文运动的异同。
14、“唐宋八大家”称谓的由来。
15、王安石散文的主要特点。
16、苏辙的“养气”说。
17、苏轼提倡的“辞达”。
18、归有光散文的特色。
四、论述题1、先秦散文的总体特征。
2、《左传》的艺术特点。
3、《战国策》的文学成就。
4、《庄子》的艺术成就。
5、为什么说《史记》是“无韵之《离骚》”,6、唐代古文运动的成就。
7、韩愈的古文理论。
8、韩愈《张中丞传后叙》的艺术特点。
9、韩愈在散文史上的地位。
710、柳宗元对散文发展的贡献。
11、欧阳修散文的风格特色。
12、曾巩散文的特点。
13、苏轼的古文主张。
14、苏轼散文的风格特色。
15、晚明小品文的特点。
(0210)《古代散文》复习思考题答案一、填空题1、铜器铭文2、深于取象3、《左传》4、记言5、墨子6、孟子7、庄子 8、《赋篇》 9、贾谊 10、《七发》 11、《史记?项羽本纪》12、骈文 13、曹操 14、曹丕 15、阮籍 16、《与山巨源绝交书》17、潘岳 18、陶渊明 19、江淹 20、《北山移文》21、贞元、元和反对骈文 22、韩愈 23、韩愈 24、柳宗元25、小品文 26、欧阳修 27、《醉翁亭记》 28、欧阳修 29、苏轼、茅坤 31、汪中 32、张岱 33、方苞 30二、解释题1、春秋笔法:相传孔子编纂《春秋》时，按照自己的观点，对一些历史事件和人物作了评判，并选择他认为恰当的字眼来暗寓褒贬之意。
这种以一字为褒贬，寓褒贬于叙事之中，含蓄谨严而带有倾向性的文字，人们就称为“春称笔法”。
2、古文运动:指发生在中唐贞元、元和时期和北宋时期，由韩愈、柳宗元和欧阳修领导的一次提倡散文、反对骈文的斗争运动，是一次文体、文风和文学语言的改革运动。
3、气盛言宜:韩愈继承孟子、曹丕的文气说，把文气和语言的关系形象地比喻为水和浮物的关系:“气，水也;言，浮物也;水大而物之浮者大小毕浮。
气之与言犹是也，气盛则言之短长与声之高下者皆宜。
”(《答李翊书》)韩愈认为气指作家思想道德的自我完善和勤学若练、提高艺术水平两方面。
韩愈明确指出作家思想道德和学识的好坏，一定要在文章中表现出来，强调作家必须提高道德和学识修养，文章才能气势充沛。
4、四六文:骈文讲究对偶、辞藻、用典、声律，句式以四字句、六字句为主，又因李商隐把他的骈文集取名为《樊南四六》，故骈文又称四六文。
宋代的骈文叫宋四六。
5、冨吴体:初唐武则天时期，富嘉谟与吴少微，二人友善，好尚相同，文风相似，在当时作者中，自为一体，被称为富吴体，特点是力矫徐庾余风，以经典为本，崇尚典雅。
6、燕许大手笔:开元年间，张说、苏颋并称“燕许大手笔”。
张说在玄宗时任中书令，封燕国公。
苏颋在武则天时袭封许国公，玄宗时为宰相。
朝廷的重要文件大多出于他二人之手，如为天子起草的制、敕，也有代群臣起草的表、状，所谓“大手笔”者，即指这类文字。
7、简而有法:欧阳修提出了“简而有法”的主张。
“简”是指对题材的取舍剪裁，要意深言简，有高8度的概括力;“法”是指艺术技巧，要写得生动形象，于含蓄中寓有褒贬。
8、文理自然、姿态横生:苏轼在《答谢民师书》中说:“大略如行云流水，初无定质，但常行于所当行，常止于不可不止，文理自然，姿态横生。
”所谓文理自然、姿态横生，指作家要无拘无束，自由抒写，又要波澜横生，千姿百态。
文理要出于自然，姿态要千变万化。
9、“童心”说:李贽认为:“童心者，真心也。
若以童心为不可，是以真心为不可也。
夫童心者，绝假纯真，最初一念之本心也。
若失却童心，便失却真心;失却真心，便失却真人。
”。
李贽所谓“童心”、“真心”，就是我们平时常说的赤子之心和真情实感。
李贽大声疾呼，强调“童心”之真，痛斥当时文坛之假，表明他主张发扬个性，抒写真情实感。
10、义法:方苞的古文主张。
“义，即《易》之所谓‘言有物’也;法，即《易》之所谓‘言有序’也。
”(《又书货殖传后》)就是说言之有物而文有条理。
若结合方苞其他论述作总体的归纳，则“义”主要指文章的意旨、论断与褒贬，“法”主要指文章的布局、章法与文辞。
三、简答题1、?文辞简略，叙事简若大纲，往往一二短句便记一事，有点类似今天的标题新闻;?寓褒贬于记事的“春秋笔法”;?“简而有法”，用语严谨精确，一字不苟。
2、语言铺张扬厉，辩丽恣肆。
《战国策》主要记载纵横捭阖的策士之辞，这些说辞铺张扬厉、辩丽横肆，主要表现为极力铺陈排比，夸张渲染，在散体中包容着大量的骈辞俪句，具有辩丽恣肆，纵横驰骋的特点。
3、《战国策》刻画冯谖形象，欲扬先抑，层层深入，愈转愈奇;还通过孟尝君左右之人对冯谖“笑之”、“恶之”，孟尝君对冯谖“市义”之举“不悦”等描写，来反衬冯谖的奇异性格和不凡见识。
4、孔子的和蔼可亲、循循善诱、诲人不倦;子路的直爽鲁莽;冉有、公西华的谦逊谨慎;曾皙的淡泊洒脱;都给人留下了深刻的印象。
5、《孟子》文章的突出特点是讲究论辩艺术。
他特别注意论辩方法，讲究论辩技巧。
善设机巧，引人入彀。
6、《墨子》散文最大的特点是讲究逻辑。
另一特点是崇尚质朴，不重文采。
7、《荀子》中的比喻极富特色，常用一连串的比喻，层见叠出。
如《劝学》:“君子曰:学不可以已。
青，取之于蓝而青于蓝;冰，水为之而寒于水。
”“故不登高山，不知天之高也;不临深渊，不知地之厚也;不闻先王之遗言，不知学问之大也”。
类似的取譬设喻，几占全文之半。
8、贾谊和晁错都主张重农抑商、削弱诸侯势力、抗击匈奴侵扰，为文皆疏直激切，尽所欲言。
但贾谊颇有迂阔之论，不如晁错之文具体切实，极少空疏之谈。
贾谊之文富于文采，有战国纵横之风;晁错之文气势恢宏，明快畅达，论析透辟，冷峻严谨，颇有先秦法家之风。
9、建安时期的散文，突破了传统礼教规范的束缚，扫荡了经学牵强附会烦琐求证的作风，形成了清峻、通脱、骋词、华靡的文风。
10、南北朝时期，文风趋向靡丽，语言更尚骈偶，散文逐渐被骈文取代。
特别是南朝，贵绮丽，尚辞采，重骈俪，文坛是骈文的天下;北朝的文章尽管也注重骈偶，而文风却不同，贵质朴，尚征实，求朴野，散体的成就超过南朝。
11、中唐时期，最富盛名的骈文家是陆贽。
他的骈体文最突出的特点是:不用典，不征事，不用华丽9的辞藻，完全以自己浅近朴素的语言写出。
12、古文运动的兴起是政治改革的需要，也是文体改革的需要。
13、北宋古文运动和唐代古文运动在提倡古文这一点上是相同的，但也有不同之处:第一是北宋古文运动是和诗歌革新运动密切地联系在一起的;第二是唐代古文运动在改革文风方面，主要是反对浮艳纤弱的文风，北宋古文运动除了要求革除浮艳纤弱的文风外，还要反对艰涩怪僻的倾向，这在一定程度上避免了唐代古文运动的缺陷。
14、最初将这八个作家的散文作品编选成集刊行的，是明初朱右(一作佑)的《八先生文集》，可惜此书已不传，无法知道他把这八个作家的作品编选成集的初衷。
后来唐顺之又有《文编》一书，选录唐宋散文作品，除韩、柳、欧、王、三苏和曾八人以外，它无所取。