现代控制理论第3章
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现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性
现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性控制理论是现代科学技术的重要组成部分，它主要研究如何通过合理的方式对动力系统进行控制。
传递函数是控制理论中的一个重要概念，它是描述控制系统中输入和输出之间关系的数学模型。
在现代控制理论中，传递函数矩阵作为传递函数的扩展，是一种描述多输入多输出系统的数学模型，具有一些特殊的结构特性。
首先，传递函数矩阵的维度决定了系统的输入和输出的数量。
设系统的输入和输出分别为u和y，传递函数矩阵的维度为p×m，其中p是输出的数量，m是输入的数量。
这意味着系统的输出是由m个输入共同作用决定的，而系统的输出也会影响到m个输入。
传递函数矩阵的维度结构清晰明确，可以直观地反映系统的复杂性和耦合程度。
其次，传递函数矩阵可以通过分块矩阵的形式表示。
在传递函数矩阵中，每个元素都是一个标量传递函数，表示输入对应输出的单一影响。
将传递函数矩阵按照行和列的方式进行分块，可以更好地表示系统的结构和功能，方便进行系统分析和设计。
例如，可以将传递函数矩阵按照行进行分块，每个分块表示一个输出对所有输入的传递函数，即系统的局部传递函数。
这种分块的方式有助于分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质。
第三，传递函数矩阵具有可乘性和可加性。
传递函数矩阵之间可以进行乘法和加法运算，得到的结果仍然是一个传递函数矩阵。
这使得系统的复杂行为可以通过简单的计算表达出来。
例如，两个传递函数矩阵相乘可以表示两个系统级联的结果，即一个系统的输出作为另一个系统的输入，从而形成一个新的系统。
传递函数矩阵的可乘性和可加性为系统分析和设计提供了便利。
最后，传递函数矩阵具有一些特殊结构，如分数阶传递函数矩阵和时滞传递函数矩阵等。
分数阶传递函数矩阵是一类常见的非整数阶动力系统的数学模型，广泛应用于控制系统、信号处理和通信系统等领域。
时滞传递函数矩阵描述的是系统的输入和输出之间存在一定的延迟，这在实际控制系统中是常见的现象。
对于这些特殊结构的传递函数矩阵，需要采用不同的方法进行分析和设计，以满足系统要求。
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
现代控制理论第三章
方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
现代控制理论第三章
B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
现代控制理论--第三章 3 能观性
J2
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥ ⎥
X
+
BU
，Y
=
CX
J
n
⎥ ⎦
中，和每个约当块 Ji (i = 1,2, , k) 的首行相对应的C 阵中的那些相应列，其每列 元素不全为零。
若两个约当块有相同特征值，上述结论不成立；若想要上述结论成立，则需
要对应的C 阵中相应列是线性独立的。
综上可知，能观标准型实现一定能观；能观，则通过线性非奇异变换一定能 化成能观标准型实现。能控标准型实现一定能控；能控，则通过线性非奇异变换 一定能化成能控标准型实现。线性非奇异变换不改变系统的能控能观性。
n−1
∑ Y (t)凯－哈定理 b j (t)CA j X (0) j=0
（2）
〔1〕 SO 系统时： 即 C1×n 。
3
第三章 线性系统的结构特性
此时，下列的几个量都是标量： β0 = CX (0), β1 = CAX (0), β n−1 = CAn−1 X (0)
(3) → (2) ：
（3）
λI − A = λI − AT = λI − A = 0
○3 互为对偶的系统的传递矩阵互为转置：
G (s) = C (sI − )A −1 B
( ) ( ) G ( s) = C sI − A −1 B = BT sI − AT −1 CT
=
BT
⎡⎣( sI
) −
A
T
⎤ ⎦
−1
C
T
=
BT
⎡⎣( sI
−
)A
−1 ⎤T ⎦
CT
=
⎡⎣C (sI
−
)A −1
B
⎤T ⎦
现代控制理论3章
3.2.2 状态能观性的判据 已知系统的动态方程
x’(t ) A(t ) x(t )
y C (t ) x(t )
x(0) x0
1、线性定常连续系统能观测性的格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统{A，C} 状态完全能观测的充要条件是：存在 时刻t1>t0，使如下定义的能观性格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。
16
例：给定线性定常系统的状态方程，判断能控性。
1 x1 1 x1 0 x1 x 2.5 1.5 x 1 u y 1 0 x 2 2 2
解：
1 1 1 0 AB 1 1 2.5 1.5 1 1 rank[ B AB] rank =1 2 系统不能控 1 1 s 1.5 1 1 1 0 s 1 Cadj ( sI A) B s 2.5 1 2.5 g ( s) s 1 sI A ( s 2.5)( s 1) ( s 1) 2.5 s 1.5
0 t1 0
t1
T x0 Wc (t0 , t1 ) x0 [ BT T (t0 , ) x0 ]T BT T (t0 , ) x0 d 0
T x0 Wc
(t0 , t1 ) x0 B (t0 , ) x0 d (t0 , ) x0 0
At k 0 n 1
y (t ) k (t )CAk x(0)
k 0
n 1
y (t ) 0 (t )Cx(0) 1 (t )CAx(0) n 1 (t )CAn 1 x(0) C CA x(0) y (t ) 0 (t ) 1 (t ) ... n 1 (t ) n 1 CA C CA =n rank n 1 CA
现代控制理论第三章答案可修改全文
xc xc
0u 0
y cRc 1
1
1
xc xc
【习题3－12】试将下列系统按能观性进行结构分解。
1 2 1 0
(1) x 0 1
0
x
0u
1 4 3 1
y 1 1 1x
【解】判别能观性
c 1 1 1
N
cA
2
3
2
cA2 4 7 4
构造变换矩阵
Rank(N ) 2 n
将能控子空间按能观性分解
xc
0 1
8 1/ 3 6xc 1/ 6
1/ 3 1 1/ 3xc 0u
y1 1 2xc
c 1 2 Nc cA 2 4
Rank(Nc ) 1
Ro1
1 1
2
0
0 1 Ro 1/ 2 1/ 2
按能观性分解后：
0 0
即：
2 1 1
(2)
A
1 3
2
4
b
1 1
c 1
0
【解】M b
Ab
1 1
1 2
3
4
c 1 0
N cA 1
2
1 M
1
1 2 3 4
3 4 1 2
0
10
N
1
2 2 0
完全能控完全能观的条件：
3 2
4
0
1
2
0
(3)
M b
0 0 2 1
A 1
0
3
b
2
Ac 2
Tc21 ATc2
0 1
5 4
bc2
Tc21b
1 4
7 1
31 1 1
1 0
现 代 控 制 理 论第3章
u
y c1 c2 X
系统方块图如图所示。
现代控制理论基础
解：用定理一：
AB
1
0
0 0 0
2
b2
b22
M B
AB
0
b2
0
b22
rank M=1, 系统不完全能控。
用定理二
Aˆ矩阵为对角线规范形，相应的
AB
0 b2
rank M=2,系统完全能控。
b2
b2
1
用定理三
矩阵 Aˆ 已为若当标准形,其最后一行对应的
素不全等于0，故系统完全能控。
阵中的行，元
事实上,系统状态x1 ,x2为串联型结构,无孤立部分,故系统完 全能控。
现代控制理论基础
例3－3：
X
1
0
1
1
X
若系统是能控的，则应j在0 k=N时
从上式解得u(0),u(1),…,u(N-1) ，使X(k)在第N个采样时刻 为0，即X(N)=0。从而有：
N 1
G N j 1Hu(j ) G N X(0)
j 0
G N 1Hu(0) G N 2Hu(1) GHu(N 2) Hu(N 1) G N X(0)
X AX(t ) Bu(t ) f(t )
（3）若状态方程为：
f(t)为不依赖于控制u(t)的扰动,则其解为：
X(t )
(t
t0 )X(t0 )
t (t
t0
)[Bu( ) f( )]d
现代控制理论基础 3-2 线性定常系统能控性判据
现代控制理论 3
第三章 系统的能控性和能观性
现代控制理论基础
主讲人:荣军 E-mail:rj1219@
第三章 系统的能控性和能观性
3-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能控性及其判据
线性定常系统状态方程为 x Ax Bu 其中x、u分别为 n、r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统 的一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义 在时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf) ＝x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。
第三章 系统的能控性和能观性
判断以下系统的能观测性：
x1 1 0 x1 x1 x 0 2 x , y [0 1] x 2 2 2 x1 2 1 0 x1 x 0 2 1 x , y1 0 1 2 2 y 0 2 x3 0 0 2 x3 2 x1 2 1 x 2 0 2 x 3 0 0 x 4 x 5 0 0
第三章 系统的能控性和能观性 3-2能观测性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据
1、定义 对于定常线性系统 x Ax Bu ，如果对任意给定的输 u，存在一有限观测时间 入 y Cx t0 t1 内，通过观测y(t )能够唯一确定系统的初 始状态x(t0 )，则称 系统在t0时刻是能观测的。如果 对任意的初始状态都能 观测，则称
x1 0 x2 0 x3 x1 x 2 1 0 0 x3 1 1 0 x4 x5
现代控制理论基础
主讲人:荣军 E-mail:rj1219@
第三章 系统的能控性和能观性
3-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能控性及其判据
线性定常系统状态方程为 x Ax Bu 其中x、u分别为 n、r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统 的一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义 在时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf) ＝x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。
第三章 系统的能控性和能观性
判断以下系统的能观测性：
x1 1 0 x1 x1 x 0 2 x , y [0 1] x 2 2 2 x1 2 1 0 x1 x 0 2 1 x , y1 0 1 2 2 y 0 2 x3 0 0 2 x3 2 x1 2 1 x 2 0 2 x 3 0 0 x 4 x 5 0 0
第三章 系统的能控性和能观性 3-2能观测性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据
1、定义 对于定常线性系统 x Ax Bu ，如果对任意给定的输 u，存在一有限观测时间 入 y Cx t0 t1 内，通过观测y(t )能够唯一确定系统的初 始状态x(t0 )，则称 系统在t0时刻是能观测的。如果 对任意的初始状态都能 观测，则称
x1 0 x2 0 x3 x1 x 2 1 0 0 x3 1 1 0 x4 x5
现代控制理论第三章答案
0
T1
T2
}
T1
}
根据定义， α x1 + β x2 是能控的。
3.5
若系统（3.1.1）是能控的，则对任意的状态 x0 和 xT ，试求一个控制律，使得系统状 （这说明了只要系统是能控的，则总可以找到适当的 态从 x (0) = x0 转移 x (T ) = xT 。 控制律，使得系统从初始状态转移到任意给定的状态。 ）
(
T
) ，故能
该系统能控性的实际意义是通过调节作用在小车 1 和小车 2 上的外力 u1 和 u2 ，可以使
容易看到上述矩阵不满秩，所以系统是不能控的。 3.3 考虑系统
2λ1
λ12 λ12 λ12
3λ12 ⎤ ⎥ λ13 ⎥ λ13 ⎥ ⎥ λ13 ⎦ ⎥
⎡ λ1 ⎢ x=⎢ ⎢ ⎢ ⎣0
λ2
0⎤ ⎥ ⎥ x + Bu ⎥ % ⎥ λn ⎦
若 λi 都是各不相同的， 则该系统是能控的充分必要条件是矩阵 B 不包含元素全为零的 行。 （注：这一方法的优点在于将不能控的那部分状态确定出来，并且这一方法可以应 用到具有 n 个互不相同特征值状态矩阵的状态空间模型） 证明：假设
T
故若取
u(t ) = − BT e − A tWc−1 (0, T ) x0 + BT e − A tWc−1 (0, T )e − AT xT
容易验证该控制律将实现所期望的状态转移。 3.6 若系统是能控的，则对任意的时间 T > 0 ，由式（3.1.7）给出的矩阵 Wc (0, T ) 都是非 奇异的。 证明： 若系统是能控的， 则由定理 3.1.1 知 rank(Γ c [ A, B]) = n 。 若反设存在一个常数 T > 0 ， 给出的矩阵 WC (0, T ) = 使得由式 （3.1.7） 使得
T1
T2
}
T1
}
根据定义， α x1 + β x2 是能控的。
3.5
若系统（3.1.1）是能控的，则对任意的状态 x0 和 xT ，试求一个控制律，使得系统状 （这说明了只要系统是能控的，则总可以找到适当的 态从 x (0) = x0 转移 x (T ) = xT 。 控制律，使得系统从初始状态转移到任意给定的状态。 ）
(
T
) ，故能
该系统能控性的实际意义是通过调节作用在小车 1 和小车 2 上的外力 u1 和 u2 ，可以使
容易看到上述矩阵不满秩，所以系统是不能控的。 3.3 考虑系统
2λ1
λ12 λ12 λ12
3λ12 ⎤ ⎥ λ13 ⎥ λ13 ⎥ ⎥ λ13 ⎦ ⎥
⎡ λ1 ⎢ x=⎢ ⎢ ⎢ ⎣0
λ2
0⎤ ⎥ ⎥ x + Bu ⎥ % ⎥ λn ⎦
若 λi 都是各不相同的， 则该系统是能控的充分必要条件是矩阵 B 不包含元素全为零的 行。 （注：这一方法的优点在于将不能控的那部分状态确定出来，并且这一方法可以应 用到具有 n 个互不相同特征值状态矩阵的状态空间模型） 证明：假设
T
故若取
u(t ) = − BT e − A tWc−1 (0, T ) x0 + BT e − A tWc−1 (0, T )e − AT xT
容易验证该控制律将实现所期望的状态转移。 3.6 若系统是能控的，则对任意的时间 T > 0 ，由式（3.1.7）给出的矩阵 Wc (0, T ) 都是非 奇异的。 证明： 若系统是能控的， 则由定理 3.1.1 知 rank(Γ c [ A, B]) = n 。 若反设存在一个常数 T > 0 ， 给出的矩阵 WC (0, T ) = 使得由式 （3.1.7） 使得
现代控制理论(刘豹、唐万生)第3章答案总结
3-6已知系统的微分方程为：u y y y y 66116......=+++ 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。
解：63611603210=====b a a a a ，，，， 系统的状态空间表达式为[] x006y u 100x 6116100010 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x &传递函数为[]6116610061161001006A)-C(sI )(2311-+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--==-s s s s s sB s W其对偶系统的状态空间表达式为：[] x10y u006x 6101101600=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x传递函数为61166)(23+--=s s s s W3-7已知能控系统的A,b 阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11,4321b A 试将该状态方程变换为能控标准型。
解：该状态方程的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==7111Ab bM rankM=2，矩阵非奇异，系统能控。
系统特征多项式：105||2+-=-λλλA I可知a1=-5，a0=10。
所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=510101010a a A u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010·此即为该状态方程的能控标准形。
取P=T C -1该状态方程的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==7111Ab bM 知它是非奇异的。
求得逆矩阵有，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-818181871M由[][]111 10--=bAAb bP n 得[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-818181818187101011MP 同理，由A P P 12=得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=43412P 从而得到P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4341818121P P P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-81418143811P由此可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-51010641321641323 4321 434181811PAPA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b所以，u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010·此即为该状态方程的能控标准形。
现代控制理论_第3章_能控性和能观测性
x 初态为 x n 2 1 0 ， 试选择x 0 ， 1 ， 2 使系统状态在 x n 3时转移到零。 提示：点击观看
T
解 令0，1，2，得状态序列
2 1 x 1 x 0 gu 0 2 0 u 0 1 1
x2 k 1 2 x2 k u k
初始状态为：x1 0 1，x2 0 1 用递推法可解得状态序列：
k 0 k 1 k k 1, x1 k x1 k 1 1
k
x1 1 x1 0 1 x2 1 2 x2 0 u 0 2 u 0 x1 2 x1 1 1
故能控。
例3-3
设 、x 0
g 同例3-1， 1 2 1，试判断能控性。
T
1 1 1 2 S1 rank g g g rank 2 2 2 1 3 解 rank 1 1 1 故不能控。
关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系 统。设系统状态方程为：
rankS1 rank g g 2g n2g n1g n
(3-7)
(3-8)
使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至 S 式(3-8)均称为能控性判据。 1，S1均称为单输入离散系统能控性 矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵 及输入矩阵g 。 当rank S1 n时，系统不可控，不存在能使任意x 0 转移到x n 0 的控制。
点 击 观 看
第一节
线性定常系统的能控性
能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状 态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常 离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与 多输入两种情况）：
T
解 令0，1，2，得状态序列
2 1 x 1 x 0 gu 0 2 0 u 0 1 1
x2 k 1 2 x2 k u k
初始状态为：x1 0 1，x2 0 1 用递推法可解得状态序列：
k 0 k 1 k k 1, x1 k x1 k 1 1
k
x1 1 x1 0 1 x2 1 2 x2 0 u 0 2 u 0 x1 2 x1 1 1
故能控。
例3-3
设 、x 0
g 同例3-1， 1 2 1，试判断能控性。
T
1 1 1 2 S1 rank g g g rank 2 2 2 1 3 解 rank 1 1 1 故不能控。
关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系 统。设系统状态方程为：
rankS1 rank g g 2g n2g n1g n
(3-7)
(3-8)
使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至 S 式(3-8)均称为能控性判据。 1，S1均称为单输入离散系统能控性 矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵 及输入矩阵g 。 当rank S1 n时，系统不可控，不存在能使任意x 0 转移到x n 0 的控制。
点 击 观 看
第一节
线性定常系统的能控性
能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状 态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常 离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与 多输入两种情况）：
现代控制理论第3章
x(2) Gx(1) hu(1) 6 2u(0) 0u(1)
0 1
1
例 双输入线性定常离散系统的状态方程为：
2 2 1
0 0
x(k
1)
0
2
0
x(k
)
0
1u (k )
1 4 0
1 0
试判断其能控性，并研究使x(1)=0的可能性
解 Qc H
GH
0 G2H 0
0 1
1 0
2：线性定常系统
定理一:对于线性定常系统，其能观测的充要条件是
W (0, t1)
t1 e AT tC T Ce At dt
0
满秩,或C(t) 的列线性无关.
定理二：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是能观测 性矩阵QO满秩，即
C
CA
rank QO
rank CA2
n
CAn
1
定理三：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是(n+m)× n型矩
2 2
2 0
4
4
1 0 0 4 1 10
rankQc 3
系统是能控的
1 2
令x(1)=0
x(0)
G 1Hu(0)
0
2
1 2 1 2 x1(0)
A
0
2
123,
A~
0 2
1
2 3
x2 (0) x3 (0)
1 u1(0) 23u2 (0)
若 rankA rankA~ 则可以求出u(0)，使x(1)=0
由于eAiT可用I、A、A2、…An-1线性表示，故
rank[B, e AT B,eA(n1)T B] rank[B, AB, An1B]
《现代控制理论》第三版 第三章.习题答案.pdf
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
于是 Aˆ
Rc1 Ao Rc
1 0
0 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
1 0
0 1
Bˆ
Rc1Bo
0 0
0 0
0 0
0 0
Cˆ
Co Rc
3－3
（1） 求得能控性矩阵
M [b
Ab]
1 1
1 2
，系统能控
等价于 M 2 1 0 即 2 1。
能观性矩阵
N
C CA
1
1
1
2
，于是系统
能观等价于 N 2 1 0 即 2 1。
于是系统能控能观等价于 2 1。
0
0
1
1
1
1
0
,
0
0
0
Co 0m
0m
Im
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0 0 1
第二步: 判别该能观标准型实现的状态
是否完全能控。
M Bo Ao Bo Ao2Bo
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0
0 0
0 1
本章问题：
1． M b Ab An1b ，n的确定（维 数应为 A 阶数）。 2．矩阵、向量写法的区分。
3．3-3（3） 2、 3讨论较复杂。
Ro1B
现代控制理论-第三章 4 规范分解
图 3-13 研究系统的结构分解，有助于深刻了解系统的结构持性，也有助于深入揭示 状态空间描述和输入输出描述向的本质差别。 对系统进行结构分解大致可以从两方面进行。一是通过线性非奇异变换把系 统化成对角标准型或者约当标准型，然后按能控性判据和能观性判据判别各状态 变量的能控性和能观性，最后按四种类型对系统进行结构分解。二是通过引入适 当的线性非奇异变换，直接将系统分解成能控能观的显表达式。下面分别讨论。
解： 1. 给定的系统其动态方程已经是对角线标准型，状态变量已经解耦。 2. 根据能控性判据和能观性判据容易判定：这个系统是既不完全能控又不 完全能观的。
3.
结构分解：因为状态变量已经解耦，不难看出，状态变量
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
能控，⎡⎢ ⎣
x2 x3
⎤ ⎥ ⎦
能观，[x4 ] 则既不能控又不能观，[x2 ] 能控又能观。
系统不能控，其能控状态维数为 2。 确定系统变换为能控规范型的变换阵：
19
第三章 线性系统的结构特性 20
第三章 线性系统的结构特性 21
第三章 线性系统的结构特性
4、传递函数阵： 卡尔曼—吉伯特定理： 一个系统的传递函数阵 G(s)所表示（特征、描述）的
⎢0⎥ ⎣⎢0⎦⎥
⎢⎣x4 ⎥⎦
⎡ x2 ⎤
y = [1
0
1
0]
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
x1 x3 x4
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
4．传递函数：
2
第三章 线性系统的结构特性
G(s) = C(sI − A)−1 B = 2 s +1
G(s) 只表示了既能控又能观子系统，不能完全表征系统。{A B C} 是 G(s)
+
解： 1. 给定的系统其动态方程已经是对角线标准型，状态变量已经解耦。 2. 根据能控性判据和能观性判据容易判定：这个系统是既不完全能控又不 完全能观的。
3.
结构分解：因为状态变量已经解耦，不难看出，状态变量
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
能控，⎡⎢ ⎣
x2 x3
⎤ ⎥ ⎦
能观，[x4 ] 则既不能控又不能观，[x2 ] 能控又能观。
系统不能控，其能控状态维数为 2。 确定系统变换为能控规范型的变换阵：
19
第三章 线性系统的结构特性 20
第三章 线性系统的结构特性 21
第三章 线性系统的结构特性
4、传递函数阵： 卡尔曼—吉伯特定理： 一个系统的传递函数阵 G(s)所表示（特征、描述）的
⎢0⎥ ⎣⎢0⎦⎥
⎢⎣x4 ⎥⎦
⎡ x2 ⎤
y = [1
0
1
0]
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
x1 x3 x4
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
4．传递函数：
2
第三章 线性系统的结构特性
G(s) = C(sI − A)−1 B = 2 s +1
G(s) 只表示了既能控又能观子系统，不能完全表征系统。{A B C} 是 G(s)
+
现代控制理论第二版 王孝武 第3章
k k tf k 0 0
n 1
x(0)
t f n 1
0
k 0
k
( ) A Bu ( )d A B k ( )u ( )d
k k tf k 0 0
n 1
令 则 其中
tf
0
k ( )u( )d vk
n 1 k 0
x (0) Ak Bvk QcV
系统中存在不依赖于u(t)的确定性干扰f(t)不改变系 统的能控性。
Ax Bu f (t ) x
t1 三：线性时变系统的能控性判据 x(t ) (t , t ) x(t ) (t , ) B ( )u ( )d 1 1 0 0
t0
1
t1 定义：设线性时变系统状态方程为 T t0
2
n
r11 r B P 1 B 21 rn1
r12 r22 rn 2
r1r r2 r rnr
此时系统能控的条件为 B 中任一行的元素不全为零。 如果某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。
例
2 x 0
1 1 x 0u 1
判断系统的能控性 解
1 P 0
1 1 0 1
2 A P 1 AP 0 1 b P 1b 0
系统不能控
判据4：一般情况下，当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，如果 对应A的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是： 与每个约当块最后一行对应的B阵中，这一行的元素不全为零。
W (t0 , t1 ) (t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d
n 1
x(0)
t f n 1
0
k 0
k
( ) A Bu ( )d A B k ( )u ( )d
k k tf k 0 0
n 1
令 则 其中
tf
0
k ( )u( )d vk
n 1 k 0
x (0) Ak Bvk QcV
系统中存在不依赖于u(t)的确定性干扰f(t)不改变系 统的能控性。
Ax Bu f (t ) x
t1 三：线性时变系统的能控性判据 x(t ) (t , t ) x(t ) (t , ) B ( )u ( )d 1 1 0 0
t0
1
t1 定义：设线性时变系统状态方程为 T t0
2
n
r11 r B P 1 B 21 rn1
r12 r22 rn 2
r1r r2 r rnr
此时系统能控的条件为 B 中任一行的元素不全为零。 如果某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。
例
2 x 0
1 1 x 0u 1
判断系统的能控性 解
1 P 0
1 1 0 1
2 A P 1 AP 0 1 b P 1b 0
系统不能控
判据4：一般情况下，当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，如果 对应A的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是： 与每个约当块最后一行对应的B阵中，这一行的元素不全为零。
W (t0 , t1 ) (t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d
现代控制理论第3章
第三章线性控制系统的能控性与能观测性分析3.1 线性连续系统的能控性3.2 线性连续系统的能观测性3.3 对偶原理3.4 线性离散系统的能控性和能观测性3.5 线性系统的结构分解3.6 线性连续系统的实现3.7 传递函数与能控性及能观测性之间的关系系统n x x x ,,,21L 状态1u 2u n u 1y 1y ny M M M M为什么要讨论系统的能控性和能观测性？能控性(Controllability)和能观测性(Observability)深刻地揭示了系统内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念。
在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义。
事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。
在极点配置问题中，状态反馈存在性由系统能控性决定；在观测器设计和最优估计中，涉及系统能观测性条件。
在本章中，我们的讨论将限于线性系统。
将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。
3.1.1 概述3.1 线性连续系统的能控性能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”内部状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。
u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2150042121&&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2160x x y [例3.1]给定系统的描述为将其表为标量方程组形式，有：u x x+=114&u x x2522+−=&26x y −=分析：x 1、x 2受控于u y 与x 1无关y 与x 2有关[例3.2]：判断下列电路的能控和能观测性左上图：输入u(t)，状态x(t)，输出y(t)。
(t)，x2(t)。
右上图：输入u(t)，状态x1左图：输入u(t)，状态x(t)，x2(t)，1输出y(t) 。
3.1.2 能控性的定义Ut B X t A X )()(+=&线性时变系统的状态空间描述：∑:),,,D C B A （)1.3)()()(（U t D X t C t Y +=Jt ∈00)(X t X =其中：X 为n 维状态向量；U 为m 维输入向量；J 为时间t 的定义区间；A 为n*n 的元为t 的连续函数矩阵；B 为n*m 的元为t 的连续函数矩阵。
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线性系统的相轨迹
设不同的
值，
不同的
值，
绘制对应的直线
相轨迹的切线方向场
从不同的初始条件出发绘制相轨迹 求出系统的过渡过程
c(t )
对于线性二阶系统，根据不同的 其特征值S平面的分布不同 系统运动规律不同
线性系统的相轨迹
（1）
0 1
设
0.5 , n 1
s1, 2 0.5 j 3 / 2
x
相平面的绘制
x 0 运动方程的解 x (t ) x0 sin t x(t ) x0 cost , x
消去时间变量 直接积分法：
2 2 (t ) x0 x2 (t ) x
dx dx dx dx x 0 x x x x ,x dx dt dx dx dx xdx x dx xdx x
非线性系统的特点
• 稳定性
– 系统的稳定性和输出响应不仅与系统的结构和 参数有关（与线性系统相同），还与系统的初 始条件及输入信号的形式和大小有关。
非线性系统的系统稳定性必须针对系统的具体的 运动状态来讨论。
非线性系统的特点
dx x x 2 x( x 1) ， x(0) x0 例：设一阶非线性系统 dt
非线性控制系统概述
• 非线性系统与线性系统的根本区别：非线 性系统不满足叠加原理
对于方程： dx f ( x, t ) dt 若 x1 (t ), x2 (t ) 是方程的解，有 x1 (t ) x2 (t ) 也是方程的解, 则方程为线性系统，例如： f ( x, t ) ax b
（3）除平衡点之外，通过
x
轴是的相轨迹斜率为 a
或
a
（4）作图精度与等倾线的条数有关，但等 倾线太多，使得人工作图引起的累积误差就 增加。为了提高作图精度，可以采用平均斜 率法
x
x
线性系统的相轨迹
3、线性系统的相轨迹
（1）一阶系统相轨迹
设初始条件： x(0) x0
x0 Tx
dx 0 的系统状态为平衡状态。 dt dx 令 x x 2 x( x 1) 0 dt
dx 0 dt
有两个平衡状态：
x 0 , x 1
是不稳定的平衡状态。
x 0 是稳定的平衡状态， x 1
由此可见，非线性系统有多个平衡状态，有些是稳定的， 有些是不稳定的。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。
• 饱和特性
xa ka y kx x a ka x a
– 对系统的影响：
(1)在大信号作用下，等效传递系数下降跟踪误差，响 应时间，稳态误差。 (2)可能使振荡减弱。 (3)可利用饱和特性来保护系统或元件的安全运行。
相平面法
• 相平面法：是一种求解一阶、二阶常微分 方程的图解方法。将一阶、二阶系统的解 （运动过程）表示为在x-y 平面上点的变化 ，研究这些点的变化轨迹，得到系统的运 动规律。 • 相平面法用于分析一阶、二阶线性系统或 非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响 应、稳态精度以及初始条件和参数对系统 运动的影响。
1 x x T 1 x0 T
x
(0) x
x
0
x
0
x
T 0
T 0
线性系统的相轨迹
（2）线性二阶系统的相轨迹
自由运动的系统微分方程： 当b0 时 特征根：
s1, 2
ac bc 0 c
2 2 nc n c c0
a a 2 4b 2
非线性系统的特点
• 自激振荡
– 非线性系统在没有外界周期信号的激励下，能 以固有的振幅和固有的频率产生稳定的振荡， 即自激振荡。 – 控制系统中，自激振荡会造成机械磨损、能量 消耗、并带来控制误差等，自激振荡是要设法 抑制的。 – 为此，自激振荡是非线性系统分析中的重要的 内容之一。
非线性系统的特点
解：
dx dt x ( x 1)
x0e x(t ) 1 x0 x0e t
当初始条件 （1） x0 1 ，输出是发散的。
t
x(t )
x0 1
0
ln x0 x0 1
x0 1 x0 1
t
（2） x0 1
，输出是收敛的。
一阶非线性系统响应
非线性系统的特点
一般称满足 在本例：
– 继电特性可能会产生自激振荡 – 可利用继电控制实现快速跟踪
常见非线性因素对系统的影响
• 死区特性
0 y k ( x signx) x x
对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差尤其是测量元件。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或减少振荡性。
常见非线性因素对系统的影响
饱和特性
死区特性
间隙特性
继电特性
常见非线性因素对系统的影响
• 等效增益
设非线性特性表示为：
y f ( x)
定义非线性环节输出y与输入x的比值为等效增益k
y f ( x) k x x
xyΒιβλιοθήκη k等效增益表示的非线性系统
常见非线性因素对系统的影响
• 继电特性
M y M x 0 x 0
上述结果表明： k 等倾线的斜率=位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率 当相轨迹运动到这样的等倾线上，将沿着等倾线收敛或发散。 考虑 b 0 , b 0 , b 0
线性系统的相轨迹
（1）b<0 特征根：
2
a a 4|b| s1 0 2
a a2 4 | b | s2 0 2
否则为非线性系统。
非线性控制系统概述
• 所谓非线性系统，是指用非线性代数方程 和（或）非线性微分（差分）方程描述的 系统。
非线性控制系统概述
• 非线性产生的缘由
– 一种是系统中原有元件固有的非线性特性，如 死区、饱和、间隙等。这些非线性特性的存在 很大程度上影响着系统的动静态品质，直接导 致系统模型成为非线性模型。 – 另外一种是为了改善系统性能而加入的元件带 来的非线性特性，如继电器特性、变增益放大 器等，这类非线性特性往往能改善系统的品质 ，使系统具有比线性系统更好的动态性能。
t
相平面的绘制
解析法、图解法、实验法 （1）解析法 通过求解微分方程的办法找出 在相平面上绘制相轨迹。
(t ) ~ x(t ) x
方法：(1) 消去参变量 t；（2）直接积分法 例1：弹簧-质量运动系统的自由运动的相轨迹
k 1
m 1
(0) 0 x(0) x0 x
解：
kx x 0 m x x
2 b
s1, 2 n j n 1 2
相轨迹微分方程 令
2 n 2 n c c dc dc c 2 n 2 n c c c
2 n c cc, 2 n
dc dc
2 n 等倾线是一条过 2 n 坐标原点的直线
D区
c
s1c c
A区
C区
s2
0
s1
0
c
B区
s2 c c
线性系统的相轨迹
（2）b=0 特征根：
s2
s1 0
a2 4 | b | s1 0 2 a a2 4 | b | s2 a 2 c c
a
相轨迹方程：
0
c
0
c
ac bc dc a dc c
• 频率响应发生畸变
Ac Ac
1
6
5
2
线性系统频率响应曲线
3
4
非线性弹簧输出的幅频特性
非线性系统的频率响应：跳跃谐振和多值响应。
非线性系统的特点
分频振荡和倍频振荡
非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同 频率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。
输入信号
t t t
倍频信号
分频信号
常见非线性特性
a0
a0
(t ) adc(t ) dc
(t ) c 0 a(c(t ) c0 ) c
线性系统的相轨迹
（3）b>0
自由运动的系统微分方程：
2 2 nc n c c0
2 r (t ) 0 n s( s 2 n )
c(t )
a
ac bc 0 c
c
特征根分布如图所示，相轨迹见P397 图 8-17
s1
0 .5
j 0.866
t x
相平面法的基本概念
(t ) t , x(t ), x
x
对应于相平面上的一个点。
x
t1
t4
t2
x
t3
t1 t 2 t 3 t 4
t
t1 t2 t3 t4
x
) ( x, x （1）相轨迹：当 t 变化时， 在相平面上将绘出一条相应的 轨迹。
（2）相平面图：相平面及其上 的相轨迹族组成的图形称为系 统的相平面图。
f ( x, x ) dx dx x
相轨迹方程
相平面的绘制
相轨迹在相平面 x ~ x
令
dx a dx
上任一点
) f ( x, x a x
) ( x, x
dx 的切线的斜率 dx
) f ( x, x x a
) f ( x, x 等倾线方程： x a
相轨迹方程： dc ac bc dc c bc 等倾线方程： c kc(t ) a