《随机数学》作业1~4解答

作业1（随机过程的基本概念）

1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程

1,()()0,()X t x

Y t X t x

≤⎧=⎨

>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。 解：

12,12(())(())()(,)(()())(()()1)((),())(,)

t Y s t E Y t P X t x F x R s t E Y s Y t P Y s Y t P X s x X t x F x x =≤=====≤≤=

2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2

(0,)N σ，证明

{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。

提示：注意到11()1()1n n Z t t X Y Z t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪

⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭即可证得{(),}Z t t R ∀∈是正态过程。 按照相关函数的定义可得2

(,)(1)Z R s t st σ=+

3、设{(),0}W t t ≥是参数为2

σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数； （2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；

（3）2{(

),0}t

aW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1

{(),0}tW t t

≥

提示：Wiener 过程就是指Brown 运动。 （1）令()(),0Z t W t At t =+≥，由定义求得

2(())(,)cov((),())()=min s t Z E Z t At

C s t Z s Z t σ===代入Z(t)的形式｛，｝

具体在求的时候，可以先假设s t ≤，然后再求（下同）。 （2）令()(),0Z t W t Xt t =+≥，由定义求得

2

(())0

(,)cov((),())()=min s t Z E Z t C s t Z s Z t σ===代入Z(t)的形式｛，｝+st

（3）2()(

),0t

Z t aW t a

=≥ 2(())0

(,)cov((),())()=min s t Z E Z t C s t Z s Z t σ===代入Z(t)的形式｛，｝

（4）1()(),0Z t tW t t

=≥

2

(())0

(,)cov((),())()=min s t Z E Z t C s t Z s Z t σ===代入Z(t)的形式｛，｝

作业2 Poisson 过程

1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。 提示：

()()()~()Y t N t L N t P L λ=+-，从而得到{(),0}Y t t ≥的一维分布（写出分布列即可）； 由()()()~()Y t N t L N t P L λ=+-，易得(())E Y t L λ=

相关函数的稍微复杂点，但方法就是求期望，没特别的地方。给出关键步骤，其他自己补齐。

222222

22(,)(()())(Y t )(,)(,)(,)(,)(,)min(,)()min(,)()min(,)min(,)

(||),||,||,

Y N N N N R s t E Y s Y t R s L t L R s L t R s t L R s t s L t L s L t L t s L t s L s t L s t L st s t L L t s t s L L t s L λλλλλλλλλλλ===++-+-++=+++++-+-+-+-+++⎧+---≤⎪=⎨->⎪⎩代入（）形式展开当当

2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，

(()|())()(1),0,1,

,k k

n k n s s P N s k N t n C k n t t

-===-=

证明：

(()|())

(()())

=

P(()(()(0)()())P(()(()(0))(()())P(()()()(1),0,1,

,k k

n k n P N s k N t n P N s k N t n N t n P N s N k N t N s n k N t n P N s N k P N t N s n k N t n s s C k n

t t

-=====-=-=-=

=-=-=-=

===-

=，）

，）

）由增量服从Possion 分布，代入分子分母整理

3、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，求 （1）{(),0}N t t ≥的一维特征函数；

（2）对于任意的0s t ≤<，求((),())P N s m N t m n ==+。 提示：（1）按照特征函数的定义直接求 （2）注意到

((),())=((),()-()=)=(()P(()-()=)

P N s m N t m n P N s m N t N s n P N s m N t N s n ==+==⨯）即可求得。

作业3（更新过程）

1 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。

解：设N(t)表示在[0,t]内失效的电池数量，则在长时间工作的情况下，电池更新的速率为