07.方差分析的基本假定与数据转换
方差分析的基本原理是什么
方差分析的基本原理是什么
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个不同组之间的平均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过对数据的方差进行分解，将总平方和分解为组内平方和和组间平方和，从而判断不同组之间的差异是否超过了由随机因素引起的差异。
具体步骤如下：
1. 假设组间和组内的观测值都来自于正态分布的总体，并且方差相等（方差齐性）。
2. 计算组内平方和（误差平方和），即每个组内观测值与该组的平均值之差的平方和。
3. 计算组间平方和（效应平方和），即每组平均值与总体均值之差的平方和乘以每组样本量。
4. 比较组间和组内的方差大小，通过计算F统计量来衡量两
者之间的差异。
5. 根据显著性水平（如α=0.05），比较计算得到的F值与临
界F值进行比较，判断差异是否显著。
6. 若差异显著，则可以得出结论：不同组之间的平均值存在显著差异。
方差分析能够帮助研究者确定实验结果的可靠性和效应的大小，以及不同因素对结果的影响程度。
它广泛应用于各个领域的实验设计和数据分析中。
方差分析的基本假定
这是一个服从二项分布的发芽率资料， 且有低于30%和高于70%的，应先对发芽率
资料作反正弦转换，例如， sin1 0.943 =76.19， sin1 0.641 =53.19，转换结果
见表5-47。
对转换后的数据进行方差分析，得方差 分析表。
多重比较
用SSR法进行多重比较，见表5-49。
Sx
数据转换
如果试验资料不满足方差分析的三个 基本假定，不能直接进行方差分析，需先 进行数据转换再作方差分析。
数据转换的方法：平方根转换 、对数 转换和反正弦转换 。
平方根转换适用于各组方差与其平 均数之间有某种比例关系的资料，尤其 适用于总体呈普阿松分布的资料。
x或者 x 1
对数转换适用于各组数据的标准差或全 距与其平均数大体成比例，或者效应为相乘 性而非相加性的资料。
lg x,ln x或者lg( x 1), ln( x 1)
反正弦转换适用于二项分布的资料。
sin 1 p
【例5-8 】 有3个玉米自交系48-2、S37 和ES40在相同条件下保存了两年。为了了解 其种子的生活力，每个自交系随机选取100粒 种子在培养箱内作发芽试验，重7次， 3 个 玉米自交系种子发芽率资料列于表5-46 ，试 对资料进行方差分析。
87.7500 7
3.54, dfe
18
SSR值LSR值，见表5-50。
对结论作解释时，应将各组平均数还原 为发芽率。
如表5-47 中平均数 53.27 根据 P=sin2x， 还原为64.2%；均数 32.58还原为29.0%；均 数28.56还原为22.8%。
从变换过的数据所算出的方差或标准差 不宜再换回原来的数据。
检验结果表明，48-2的种子发芽 率极显著高于 ES40 和 S37，S37与 ES40的发芽率差异不显著。
反正弦转换[解说]
![反正弦转换[解说]](https://img.taocdn.com/s3/m/e40d71ee951ea76e58fafab069dc5022abea465b.png)
第四节 方差分析的基本假定和数据转换一、方差分析的基本假定所有进行方差分析的数据都可以分解成几个分量。
P131,例5-6这是一个样本，采用三种种植密度和五种施肥水平，这组资料具有三类原因或效应：（1）种植密度的原因或效应；（2）施肥水平的原因或效应；（3）试验误差的原因和效应（处理内和环境内的其它非可控因素的变异）。
在进行方差分析时有三个假定：1、可加性 处理效应与环境效应等具有可加性。
SS T =SS t +SS R + SS eDF T =DF t +DF R +DF e正是由于这一“可加性”，才有了样本平方和的“可加性”，亦即有了试验观测值总平方和的“可分解性”。
如果试验资料不具备这一性质，变量的总变异依据变异原因的分解将失去根据，方差分析不能正确进行。
2、正态性 是指所有试验误差是随机的，彼此独立的、具有平均数为0且作正态分布。
因为从一个总体中抽样，如果总体是正态分布总体，因此构成的新总体也是正态总体，也作正态分布。
只有在这样的条件下才能进行F 检验。
3、同质性 所有的试验处理必须有共同的误差方差，Se 。
方差分析中误差项的方差是将各处理的误差合并而获得的一个共同的误差方差，只有这样，才有理由以各个处理均方的合并均方作为检验各处理差异显著性的共同的误差均方。
在进行施肥水平之间的F 检验时怎么假设？（例5-6）（1）假设H 0：σB 2=0对H A ：σB 2≠0（2））假设H 0：μ1=μ2=μ3=μ4=μ5，H A ：μ1、μ2、μ3、μ4、μ5不全相等。
F=MS B /Mse=SS B /SSe=S 2B /S 2eSe 2=SSe/Dfe=（SS 1+SS 2+…+SS 5）/（V 1+V 2+…+V 5）同质性其实是全部都一样，全部都来自同一个总体，同质就是没有差异。
二、数据转换上述三点是进行方差分析的基本前提。
如果在进行分差分析前发现有某些异常的观测值、处理或区组，只要不属于研究对象本身的原因，在不影响分析正确性的条件下应予以删除。
方差分析的基本原理
方差分析的基本原理
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
其基本原理是通过分析不同因素对于观察结果产生的影响程度，来确定是否存在显著的差异。
在方差分析中，我们将数据分为不同的组别，并计算每个组别内观测值的方差之和。
然后，通过比较组内的方差之和与组间的方差之和来判断组别之间的差异是否显著。
方差分析的核心思想是利用样本数据的方差来估计总体的方差，并通过F检验进行统计推断。
在进行方差分析时，我们需要
满足以下几个基本假设：
1. 各组别内的观测值是独立同分布的；
2. 各组别内的观测值符合正态分布；
3. 各组别内的观测值具有相同的方差。
方差分析通过计算组间和组内的平均方差来比较他们的差异。
当组间的平均方差显著大于组内的平均方差时，我们可以得出结论，不同组别之间存在显著差异，即所研究的因素对观测结果有显著影响。
方差分析可以应用于各种实验设计和数据类型，例如单因素方差分析、多因素方差分析、重复测量方差分析等。
它广泛应用于各个领域，如医学、社会科学、生物学等，用于比较不同组别或处理之间的差异，并进一步研究因素对样本结果的影响。
生物统计学填空判断题
填空1．变量按其性质可以分为（连续）变量和（非连续）变量。
2．样本统计数是总体（参数）的估计值。
3．生物统计学是研究生命过程中以样本来推断（总体）的一门学科。
4．生物统计学的基本内容包括（试验设计）和（统计分析）两大部分。
5．生物统计学的发展过程经历了（古典记录统计学）、（近代描述统计学）和（现代推断统计学）3个阶段。
6．生物学研究中，一般将样本容量（n≥30）称为大样本。
7．试验误差可以分为（随机误差）和（系统误差）两类。
1．资料按生物的性状特征可分为（数量性状资料）变量和（质量性状资料）变量。
2. 直方图适合于表示（连续变量）资料的次数分布。
3．变量的分布具有两个明显基本特征，即（集中性）和（离散性）。
4．反映变量集中性的特征数是（平均数），反映变量离散性的特征数是（变异数）。
1．如果事件A和事件B为独立事件，则事件A与事件B同时发生的概率P（AB）= P（A）•P（B）。
2．二项分布的形状是由（n ）和（p ）两个参数决定的。
3．正态分布曲线上，（μ ）确定曲线在x轴上的中心位置，（σ ）确定曲线的展开程度。
4．样本平均数的标准误σ x =（。
σ/）5．t分布曲线与正态分布曲线相比，顶部偏（低），尾部偏（高）。
1．统计推断主要包括（假设检验）和（参数估计）两个方面。
2．参数估计包括（点）估计和（区间）估计。
3．假设检验首先要对总体提出假设，一般要作两个：（无效）假设和（备择）假设。
4．在频率的假设检验中，当np或nq（＜）30时，需进行连续性矫正。
1．根据对处理效应的不同假定，方差分析中的数学模型可以分为（固定模型）、（随机模型）和（混合模型）3类。
2．在进行两因素或多因素试验时，通常应设置（重复），以正确估计试验误差，研究因素间的交互作用。
3．在方差分析中，对缺失数据进行弥补2时，应使补上来数据后，（误差平方和）最小。
4．方差分析必须满足（正态性）、（可加性）和（方差同质性）3个基本假定。
生物统计学7-方差分析5-ok
一、多重比较的方法
1.最小显著差数法(Least Significant Difference , LSD法)
实质是两个平均数相比较的成组数据t检验，方法如下：
有时候固定因素与随机因素很难区分，除上述所讲的 原则外，还可以从另一个角度考虑： 固定因素是指因素的水平可以严格地人为控制，
在水平固定之后，它的效应值也是固定的。 随机因素的水平是不能严格地人为控制，在水平
确定之后，它的效应值并不固定。
五、平方和与自由度的分解
由于方差 = 平方和 / 自由度，表示变异的程度。
因为
所以
SST
SSA
SSe
an
SSe
( xij xi )2 ；
i1 j1
dfe a(n 1)
SSe是样本观测值与处理平均数的离差平方和，即反映处理 内变异（即误差引起的变异）的平方和，称为误差平方和、 处理内平方和、组内平方和；
误差项自由度：每一处理均有n-1个自由度，共有α个处理。
a
另一种是检验几个样本平均数的方差是否足够大。
如果样本平均数的方差足够大，远大于由随机误差所产生的方差，说明这几 个样本平均数之间的离散程度很高，除了误差效应外，必然还存在不同的处 理效应。我们可以推断抽出这几个样本的总体属于不同的总体，总体平均数 是不同的。
方差分析的基本思想是分析变异，也就是分解变异。 即：将数据总的变异分解为处理因素引起的变异和随
2.最小显著极差法(Least Significant ranges, LSR法)
是比较α个处理平均数的有序排列中两极端平均数间的差异 显著性。检验步骤如下：
《田间试验设计》复习思考题及答案
《田间试验设计》复习思考题一、填空题（每空1分）1、田间试验具备如下要求：试验目的要明确、试验要具有代表性和先进性、实验结果要正确可靠、试验结果要具有 。
2、田间试验由于处理因素以外的环境等因素等影响，往往存在 和 两种误差。
3、田间试验设计时一般要遵守三大原则： 、 、 。
4、按照试验因素的多少分类，田间试验可分为： 、 、 。
5、随机排列设计就是在重复区内将各处理随机排列。
常用的随机排列设计有： 、 、 、 。
6、 设计是从横行和直列两个方向对试验环境进行局部控制，使每个横行和直列都成为一个区组，在每一区组内安排全部处理的试验设计。
7、在田间试验中，观察、测量所得的资料，一般可分为 性状资料和 性状资料两大类。
8、在数据资料整理中，常用到统计图。
常用的统计图有： 、 、 等。
9、平均数是统计中最常用的统计数，平均数的种类很多，请列举出三种常用的平均数： 、 、 。
10、标准正态分布是指=μ 、=2σ 。
11、在田间试验中，安排一个试验处理的小块地段称为 。
12、已知Y ～),(2σμN ，则Y 在区间]58.2,58.2[σμσμ+-的概率为 ，Y 在]96.1,96.1[σμσμ+-的概率为 。
13、在作显著性检验时，常常要提出假设，即 、 两种假设。
14、在生物统计中，显著性检验常用的两种显著水平分别为： 、 。
15、在显著性检验时，有时可能会犯两种错误：、。
16、方差分析时，如果差异显著，则要进行多重比较。
常用的多种比较的方法有：、、等。
17、方差分析时，为了满足方差分析的基本前提或基本假设，有时需对数据进行转换。
常用的转换方法有：、、。
18、方差分析的基本假定有：、、。
19、假设某但因素试验有k个处理，n次重复，完全随机设计，共有kn个观测值，则它的总自由度为。
20、方差分析时，平方和除以相应的自由度的值称为。
二、判断题（每题1分，正确的打√，错误的打×）1、田间试验中谈到的准确性和精确性是同一含义。
生物统计——方差分析的基本原理与步骤
方差分析的基本原理与步骤
一、线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，n次重 复，完全随机设计，则共有nk个观察值， 其数据结构和符号如表5-1所示。
xij可以表示为
xij i ij
其中， i
ij
为第i个处理观测值总体平均数；
为试验误差、相互独立、且 服从正态分布N（0，σ2）。
SSe SST SSt
（二）总自由度的分解 在计算总平方和时，资料中kn个观测值
的离均差 ( xij x ) 要受
( x
i 1 j 1
k
n
ij
x )0
这一条件的约束，故总自由度等于资料中观
测值的总个数减一， 即kn-1。总自由度记为
dfT，dfT=kn-1。
在计算处理间平方和时，k个处理均数的
统计学上，这种分解是通过将总均方
的分子──称为总离均差平方和，简称为总
平方和，分解为处理间平方和与处理内平
方和两部分；将总均方的分母──称为总自
由度，分解为处理间自由度与处理内自由
度两部分来实现的。
（一）总平方和的分解
在表5-1中，反映全部观测值总变异的总 平方和是各观测值xij与总平均数 x .. 的离均 差平方和，记为SST。即
离均差 ( xi x ) 要受
(x
i 1
k
i
x )0
这一条件的约束，故处理间自由度为处理数 减一，即k-1。处理间自由度记为dft，dft=k-1
在计算处理内平方和时，kn个离均差
( xij xi ) 要受k个条件的约束，即
(x
j 1
n
ij
xi ) 0 （i=1,2,…,k）
方差分析
上述总变异的自由度和平方和可分解为组间和组内两个 部分。组间变异即k个平均数的变异 故其自由度为k－ ， 个平均数的变异， 部分。组间变异即 个平均数的变异，故其自由度为 －1， 平方和 SSt 为：
组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差， 组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，故每组 2 (xij − xi ) ，而总共有 组资料， 具有n－ 个自由度 个自由度， 而总共有k 组资料， 具有 －1个自由度，平方和为 ∑ 故组内自由度为k（ － ），而组内平方和SSe为： ），而组内平方和 故组内自由度为 （n－1），而组内平方和 为
F测验
在方差分析中，测验某项变异因素的效应或 方差是否真实存在。所以在计算F值时，总是将 要测验的那一项变异因素的均方作分子，而以另 一项变异因素（如试验误差项）的均方作分母。 这个问题与方差分析的模型和各项变异来源的期 望均方有关。在此测验中，如果作分子的均方小 于作分母的均方，则F＜1;此时不必查F表即可确 定P＞0.05,应接受H0。
自由度分解： 自由度分解： 总变异自由度＝ × － ＝ 总变异自由度＝4×4－1＝15 药剂间自由度＝ － ＝ 药剂间自由度＝4－1＝3 药剂内自由度＝ （ － ）＝ ）＝12 药剂内自由度＝4（4－1）＝ 平方和分解： 平方和分解： SST=222 SSt=104 SSe=SST-SSt=222-104=118 均方： 均方： ST2=222/15=14.80 St2=104/3=34.67 Se2=118/12=9.83
本章主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 方差分析的基本原理和方法 单向分组资料的方差分析 两向分组资料的方差分析 方差分析的基本假定和数据转换
第一节 方差分析的基本原理和方法
1. 自由度和平方和的分解 2. F分布与 测验 分布与F测验 分布与 3. 多重比较(multiple comparisons) 多重比较(multiple
生物统计学名词解释
45.logistic 生长曲线：开始生长缓慢，而在以后的某一范围内迅速增长，达到某限度后，增长 又缓慢下来，曲线略呈拉长“S”，因此，也叫 S 曲线。（P151） 46.相关指数：相关指数 R^2 表示一元多项式回归方程拟合度的高低，或者说表示一元多项式 回归方程估测的可靠程度的高低。R^2=1-（∑（y-y 估测值）^2÷∑(y-y 平均值）^2)R^2 越大，说明模型的拟合效果越好。 47.抽样调查：是一种非全面调查，它是根据一定的原则对研究对象抽取一部分个体进行测量或 度量，把得到抽样调查的数据资料作为样本进行统计处理，然后利用样本特征数对总体进行推 断。 48.抽样误差：由抽样引起的样本值与总体值之间的差异成为抽样误差，直接原因：总体中各个 体之间存在差异，或重复试验中一些服从某种分布的偶然误差的存在 49.随机抽样：抽样过程中，总体内所有个体都具有相同的被抽取的概率。 50.顺序抽样：按某种既定顺序从总体（有限总体）中抽取一定数量的个体构成样本。 51.典型抽样：根据初步资料或经验判断，有意识、有目的地选取一个典型群体作为代表（即样 本）进行调查记载，以估计整个总体。 52.简单随机抽样：指从总体 N 个单位中任意抽取 n 个单位作为样本,使每个可能的样本被抽中 的概率相等的一种抽样方式。 53.分层随机抽样：在抽样总体中按生物个体划分为若干个层(组)，对每层分别抽取一组随机样 本，然后通过加权对总体参数做出估计。
是整数。 5. 准确性:指在调查或实验中某一试验指标或形状的观测值与真值接近的程度。 6. 精确性：指调查或实验中同一试验指标或形状的重复观测值彼此接近程度大小。 7. 资料：指在一定条件下，在生物学实验和调查中，能够获得大量原始数据，对某种
具体事务或现象观察的结果。 8. 数量性状资料：指一般是由计数和测量或度量得到的。 9. 质量性状资料：是指对某种现象只能观察而不能测量的资料，也称属性资料。 10. 计数资料;指由计数得到的数据。 11. 计量资料：有测量或度量得到的数据。 12. 普查：指对研究对象的每一个个体都进行测量或度量的一种全面调查。 13. 抽样调查：是一种非全面调查，它是根据一定的原则对研究对象抽取一部分个体进
第5章 方差分析的原理与步骤(田间试验与统计分析 四川农业大学)
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
计算各变异来源的平方和与自由度
Copyright © 2019
Sichuan Agricultural University Producer: Dr. Liu Yongjian
SST
k i 1
n j 1
xi2j
x2 nk
平方和：SSt
1 n
k i 1
xi2
x2 nk
SSe SST SSt
自由度：ddffTt
nk k
1
1
dfe dfT dft
Copyright © 2019
Sichuan Agricultural University Producer: Dr. Liu Yongjian
i1 j 1
i1 j 1
kn
[(xi x )2 2(xi x )(xij xi ) (xij xi )2 ]
i1 j 1
k
k
n
kn
n (xi x )2 2 (xi x ) (xij xi )
处理
A1(氨水1)
24 30 28 26
108
27.0
A2(氨水2)
27 24 21 26
98
24.5
A3(碳酸氢铵)
31 28 25 30
114
28.5
A4(尿素)
32 33 33 28
126
31.5
A5(不施) 合计
方差分析的基本假定
方差分析的基本假定1. 可加性。
方差分析的每一次观察值都包含了总体平均数、各因素主效应、各因素间的交互效应、随机误差等许多部分，这些组成部分必须以叠加的方式综合起来，即每一个观察值都可视为这些组成部分的累加与。
在对每种模型进行讨论前我们都给出了适合这种模型的线性统计模型，这正是可加性的数学表达式。
以后的理论分析都是建立在线性统计模型的基础上的，这正说明可加性是方差分析的重要先决条件。
在某些情况下，例如数据服从对数正态分布（即数据取对数后才服从正态分布）时，各部分是以连乘的形式综合起来，此时就需要先对原始数据进行对数变换，一方面保证误差服从正态分布，另一方面也可保证数据满足可加性的要求。
2. 正态性。
即随机误差ε 必须为相互独立的正态随机变量。
这也是很重要的条件，如果它不能满足，则均方期望的推导就不能成立，采用F 统计量进行检验也就失去了理论基础。
如果只是实验材料间有关联，可能影响独立性时，可用随机化的方法破坏其关联性；如果是正态性不能满足，即误差服从其他分布，则应根据误差服从的理论分布采取适当的数据变换，具体方法将在本节后边介绍。
3. 方差同质性（齐性）。
即要求所有处理随机误差的方差都要相等，换句话说不同处理不能影响随机误差的方差。
由于随机误差的期望一定为0 ，这实际是要求随机误差有共同的分布。
如果方差齐性条件不能满足也可采用数据变换的方法加以弥补。
7.6.2 数据转换前边曾提到方差分析应满足的三个条件：可加性，正态性，方差齐性。
若在这三个条件不满足的情况下进行方差分析，很可能会导致错误的结论。
其中第二、第三两条件是互相关联的，因为有些非正态分布，其方差与期望间常有一定的函数关系，如Poisson 分布的数据，其期望与方差相等，指数分布的数据，期望的平方等于方差等等。
此时显然若均值不等，则方差也不会相等，因此H 0 不成立时也就不会满足方差分析的条件。
在这种情况下，应在进行方差分析之前对数据进行变换，变换主要是针对方差齐性设计的，但对其他两个条件常也可有所改善。
方差分析的基本假定与数据转换
生物统计学
方差分析的基本假定与数据转换
一、方差分析的基本假定
二、数据转换
三、例题
一、方差分析的基本假定
1、各种试验效应及试验误差应该具有“可加性”(additivity)
2、试验误差应该是随机的、彼此独立的，具有平均数为零而且作正态分布，即“正态性”（normality）
3、所有试验处理必须具有共同的误差方差，即误差同质性(homogeneity)
二、数据转换
数据不符合假定，可采取补救办法：
（1）剔除某些表现“特殊”的观察值、处理或重复。
（2）将总的试验误差的方差分裂为几个较为同质的试验误差的方差。
（3）针对数据的主要缺陷，采用相应的变数转换；然后用转换后的数据作方差分析。
数据转换
数据转化
数据转化
数据转换
三、例题
[例6.16] 研究华农2号玉米花粉在不同贮藏条件下的生活力：（1）花粉盛于烧杯内，上盖纱布，藏于冰箱中；（2）花粉盛于烧杯内，置于干燥器中，藏于冰箱内；（3）花粉盛于烧杯内，在室温下贮藏。
经贮藏4小时后，在显微镜下检查有生活力花粉的百分数，对照为新鲜花粉。
每处理检查了6个视野，其结果如表6.39。
试作方差分析。
数据转换后，按照单向分组资料分析
谢谢！。
方差分析9
21 s 3 0 6 4 . 9 6 3 6 3 2 3 1 0 . 4 6 4 4 3 1 2 4 . 8 0 0 4 2 3 9 . 2 7 5 1 e 9 3
1 1 1 1 1 C 1 1 . 0 1 4 3 5 3 3 13 13 29 3 03
以后应将数据再反转换回来：
x x '
2
x x ' 1
2
x ex'
p sin x
2
x ex' 1
（四）采用小样本平均值作原始数据进行方差分析
（mean of small sample）
由于小样本平均数比单个观测值更易于服从正态分
布，因而采用小样本平均值作为观测值进行方差 分析可有效地减小数据不符合基本假定对方差分 析的影响 但这一方法必须在试验设计时即考虑到，即在试验 时，将2至4个试验动物同一性状的数值组成一个 平均值，当作一个原始数据来使用，因此每一水
总体：
2
x x 样本： x x x n s
2
2 2
2
N
2
n 1
n 1
一般总体方差称方差，样本方差称均方
能使变量发生变异的原因很多，这些原因我们都将
其称为变异因素或变异来源
方差分析就是发现各类变异因素相对重要性的一种
方法
方差分析的思路就是：把整个试验（设有k个总体）
一、组内样本容量相等的单向分类资料
当每一组（每一个水平）内的试验动物相等，同时
试验结束后每一组内的数据资料也相等，这就是
组内样本容量相等的情况 （一）数据结构和数学模型 方差分析是建立在一定的线性数学模型基础上的， 所谓线性模型就是指每一个观测值都可以分割成 若干个线性部分，这是方差分析中平方和、自由 度剖分的理论依据
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• 方差分析的基本假定 • 数据转换
方差分析的前提
• 随机误差：独立、正态、等方差 • ①独立性：每组或水平组合内的个体之间 相互独立，可通过试验设计来保证; • ②正态性：每组或水平组合所代表的总体 服从正态分布，需要进行检验; • ③等方差性（方差同质）：每个正态总体 的方差相等，也需要进行检验。
转换前，均数大，标准差也大
总体方差与平均数成正比
转 换 后
1 1 23.2 2 20.5 3 19.4 4 17.7 合计 80.8 平均 20.2 标准差 2.31
区组 除 2 20.9 21.0 17.9 19.5 79.3 19.83 1.45
平方根转换
草 剂 合计 3 4 5 8.8 10.7 4.2 67.8 7.8 7.5 5.1 61.9 12.5 10.0 8.8 63.6 7.2 6.7 4.5 55.2 36.3 34.9 22.6 253.9 9.08 8.73 5.65 12.70 2.38 1.93 2.13
方差的稳定性转换 方法1：平方根转换
6.7.2
适用于总体方差与平均数成正比的情形， 例如总体服从普哇松分布。
设Y X 或Y X 1 或Y X X 1
转 换 前
区组 1 2 3 4 合计 平均 标准差
平方根转换
合计 1185 1013 1040 808 4052 202. 6
转换后，标准差的变化不大
6.7.2
方差的稳定性转换
方法2：对数转换 适用于总体标准差与平均数成正比的情形， 各样本方差的差异较大，而变异系数相近。
设 Y log X 或 Y log(X 1)
转 换 前
人员 1 2 3 4 平均 标准差 变异系数
对数转换
定 条 件 1 2 3 4 4000000 22000 6000 780 1500000 13000 3400 720 10000000 30000 10000 1900 100000 8500 5200 550 3900000 18375 7650 987.5 4374928.57 9568.83 5672 616.03 1.12 0.52 0.74 0.62 测
方差分析：无重复双因素分析 SUMMARY 行 1 行 2 行 3 行 4 列 列 列 列 列 列 1 2 3 4 5 6 计数 6 6 6 6 4 4 4 4 4 4 求和 平均 方差 117.3 19.55 66.503 194.1 32.35 52.867 83.9 13.98333 98.06967 80.5 13.41667 32.53367 79.1 90.3 117.2 88.3 61.4 39.5 19.775 22.575 29.3 22.075 15.35 9.875 143.9825 92.87583 44.03333 63.2625 207.87 33.6425
例8-3. 对3个样本的方差作同质性检验：
样本号
S i2 dfi ni 1 dfi S i2
8 4.67 4 8 5 4 17
log S i2 dfi log S i2
1 2 3 合计
64 0.9031 7.2248 23.35 0.6693 3.3465 16 0.6021 2.4048 103.35 12.9797
方差分析 差异源 SS 行 2015.078 列 937.2871 误差 480.0346 总计 3432.4
df
MS F P-value F crit 3 671.6926 20.98888 1.26E-05 3.287383 5 187.4574 5.857622 0.003401 2.901295 15 32.00231 23
样本含量均为10，试对5个样本所在总体的方差 的同质性进行检验。 解：假设H 0为各个总体的方差相等。
51 检验统计量 G 0.302 26 51 40 24 28
0.05时 , G 0.05(5,9) 0.4241, F 0.4241,
5个 总 体 的 方 差 是 同 质的
64 0.9031 7.2248 23.35 0.6693 3.3465 16 0.6021 2.4048 103.35 12.9797
C 1.086 , S 2 6.079 , 2.3026 (d fT log S 2 d f i log S 2 ) i C i
2
2.3026 (17 log 6.079 12.9797) 0.731 1.086
6.7.1 方差的同质性检验 方法1：F max 检验 只适用于所有样本的含量均相等的情形。 假设H 0：各个总体的方差相等。
检 验 统 计 量 Fmax : S2 max
2 S min
分子为各个样本方差的最大值，分母为各个 样本方差的最小值。 临界值: 根据样本的个数及自由度查附表7， 自由度=样本容量-1 。
方法3：Bartlett 检验
适用于各总体都服从正态分布的情形，样本含量可以 不等。假设H 0: 各个总体的方差相等。检验统计量：
2.3026 2 2 (d fT log S d f i log S i ) , C i 1 1 1 式中的 C 1 ( ), 3 (k 1) i d f i d fT
设 Y sin
1
X 即Y arcsin X
反正弦转换（角转换）
区组 1 转 2 换 3 前 4 1 转 2 换 3 后 4 A 19.3 29.2 1.0 6.4
6个大豆品种的样本中患茎癌 肿的百分率数据
品 B
10.1 34.7 14.0 5.6
种
C 25.2 36.5 23.4 12.9 D E F 14.0 3.3 3.1 30.2 35.8 9.6 7.2 1.1 1.0 8.9 2.0 1.0 22.0 10.5 10.1 33.3 36.8 18.0 15.6 6.0 5.7 17.4 8.1 5.7
8 4.67 4 8 5 4 17
log S i2 dfi log S i2
1 2 3 合计
64 0.9031 7.2248 23.35 0.6693 3.3465 16 0.6021 2.4048 103.35 12.9797
解：假设H 0为各个总体的方差相等。
1 1 1 C 1 ( ) 3 (k 1) i d f i d fT 1 1 1 ( 1 1 1 17 ) 1.086 8 5 4 3 (3 1)
方差分析：无重复双因素分析 SUMMARY 行 1 行 2 行 3 行 4 列 列 列 列 列 列 1 2 3 4 5 6 计数 6 6 6 6 4 4 4 4 4 4 求和 75 176 47.7 36.8 55.9 64.4 98 60.3 42.2 14.7 平均 方差 12.5 77.708 29.33333 102.4307 7.95 83.879 6.133333 19.44667 13.975 16.1 24.5 15.075 10.55 3.675 161.9625 165.54 93.42 110.0225 284.1767 16.5825
26.1 18.5 32.7 36.1 5.7 22.0 14.6 13.7
30.1 37.2 28.9 21.0
方法4：倒数转换 适用于总体标准差与 (平均数) 2 成正比的情 形，常用于以反映时间为指标的数据。
设Y=1/X。
倒数转换
低 浓 度 X1 Y1=1/X1 4 0.25 4 0.25 5 0.20 5 0.20 6 0.167 6 0.167 15 0.067 30 0.033 60 0.017 高 浓 度 X2 Y2=1/X2 2 0.5 2 0.5 2 0.5 3 0.33 3 0.33 3 0.33
2
k 为样本数 , d f i 第 i 个样本的容量 n i 1, d fT dfi , S 2 为第 i 个样本的方差, i S 2 ( 平均的样本方差)
d f
i
i
S
2 i
d fTΒιβλιοθήκη 例8-3. 对3个样本的方差作同质性检验：
样本号
S i2 dfi ni 1 dfi S i2
例. 设有3个样本的方差分别为
2 2 S 1 6.21, S 2 5.12 , S3 4.34 , 2
样本含量均为20，试对3个样本所在总体的方差 的同质性进行检验。 解：假设H 0为各个总体的方差相等。
检验统计量 F
2 S max 2 S min
6.21 1.43 4.34
2 2 式 中 的S k 是 第k 个 样 本 的 方 差S max是 最 大 ，
的 样 本 方 差 临界值: 根据样本的个数及自由
度附表 8，如果样本含量相等, 则自由度=样 本容量-1; 如果样本含量不相等, 则自由度= 样本容量的调和平均数-1 。
例. 设有5个样本的方差分别为
2 2 2 2 S 1 26 , S 2 51, S3 40 , S4 24 , S5 28 , 2
2 .05 ( 2) 5.99 , 0.731 5.99 , 认 为3个 总 体 方 差 同 质 0
小结：方差分析的基本假定
• 独立、正态、等方差
为什么要进行数据转换？
• 通常，数据的非正态性和方差的不同质相 伴出现，因为往往正是经过适当的数据转 换，两者都可以得到改善。
6.7.2 方差的稳定性转换 当各个总体的方差有显著的差异（不同质）时， 对数据进行稳定性转换，可以使转换后的数据 的方差近似于同质。
转换前，均数大，标准差也大，CV接近
转 换 后
人员 1 2 3 4 平均 标准差 变异系数
对数转换
测