华师大版八年级数学上册 等腰三角形.docx
华东师大版八年级：等腰三角形
等腰三角形教学目标1.通过观察发现等腰三角形的性质；2.掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；3.理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；4.能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；5.掌握等边三角形的特征和识别方法；6.掌握一般文字命题的解题方法学习内容知识梳理知识点一：等腰三角形、腰、底边有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．知识点二：等腰三角形的性质1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2、这两个性质证明如下：在△ABC中，AB=AC，如图所示．作底边BC的高AD，则有∴Rt△ABD≌Rt△ACD．∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．于是性质1、性质2均得证．3、说明：（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴BD=CD；或∵AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴AD⊥BC．②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．知识点三：等腰三角形的判定定理1、定理内容及证明如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则所以△ABD≌△ACD（AAS）．所以，AB=AC．2、注意：①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．知识点四：等边三角形1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形如图所示．2、注意：①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．知识点五：等边三角形的性质1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°2、理由如下：如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．而∠A+∠B+∠C=180°．则有∠A=∠B=∠C=60°． 注意：这条性质只有等边三角形具有． 知识点六：等边三角形的判定 1、等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 2、证明如下：(1)如下图所示，若∠A=∠B=∠C ，可由∠A=∠B 得，AC=BC ；由∠A=∠C 得，AB=BC ． 所以AB=AC=BC ．于是判定（1）成立．(2)如上图所示，在△ABC 中，AB=AC ，若∠A=60°，则有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C ． 由判定（1）得△ABC 是等边三角形；若∠B=60°，则∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C ． 由判定（1）得△ABC 是等边三角形。
新华师大版八年级上册初中数学 课时一 等腰三角形的性质 教学课件
则两个底角的度数都是 （180°-40°）=70°,
所以另外两个内角的度数分别为70°，70°. ②当已知角是等腰三角形的底角时，另外两个内角一个是底角，
一个是顶角. 则底角的度数都是40°，顶角度数为（180°-40°-40°）=100°, 综上所述，另外两个内角为70°，70°或40°，100°.
考虑所有可能的情况并分类讨论.
第八页，共二十六页。
新课讲解
知识点 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上
的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.
几何语言：如图，在△ABC中，
①∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD.
②∵AB=AC，AD⊥BC，
第二十三页，共二十六页。
拓展与延伸
（3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘米，这个
等腰三角形的周长最大是多少？
分析：等腰三角形的两条边的长度比是3:2，有一条边的长为12厘米，所以另外一条
边是8厘米或者18厘米.此时已经有两种情况需要讨论：
①12厘米，8厘米
②12厘米，18厘米
∠B=∠C，
∠ADB=∠ADC.
B
A
D
C
在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪 下来，请试试折叠，此时猜想仍然成立吗？
第六页，共二十六页。
新课讲解
知识点 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写
成“等边对等角”）.
A
几何语言：如图，在△ABC中，
华师大八年级数学上册《等腰三角形2.等腰三角形的判定》课件
13.3.2 等腰三角形的判定
活动2 教材导学 1．认识等角对等边 完成下列填空，想一想判定三角形为等腰三角形有什 么方法？ 如图 13－3－16 所示，已知△ABC 中，∠B＝∠C.如果 作高 AD，则△ABD 与△ACD 满足全等的条件有∠__B＝_∠_，C _∠__ADB＝∠AD_C， _ AD＝AD___ ， 根 据 _A_.A.S_._ ， 得 到 △ABD≌△ACD，从而 AB＝__ AC __，因此，△ABC 是_等__腰_ 三角形． 你能说出这种判定三角形为等腰三角形的方法吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
图 13－3－16
13.3.2 等腰三角形的判定
2．判定等边三角形 (1)三边都相等的三角形是__等边__三角形； (2)△ABC 中，如果∠A＝∠B＝∠C，那么 AB＝__BC__＝ AC，△ABC 是__等边__三角形； (3)等腰三角形中，如果有一个角为 60°，那么其余两个角 分别是_60°_和_60°_，这样的等腰三角形是_等__边_三角形； (4)如果三角形有两个角为 60°，那么第三个角等于__6_0_°， 这样的三角形是等__边__三角形； 拓展：等腰直角三角形的两个锐角都等于_4_5_°_；有一个锐 角为_4_5_°_的直角三角形是等腰直角三角形． ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点二
13.3.2 等腰三角形的判定
重难互动探究
探究问题一 等腰三角形的判定 例 1 [课本例 5 变式题] 如图 13－3－6，在△ABC 中，已知 D 是 BC 的中点，DF⊥AB 于点 F，DE⊥AC 于点 E，且 DF＝ DE.求证：AB＝AC.
图 13－3－据点 D 是△ABC 中 BC 边的中点，DE⊥AC 于 点 E ， DF ⊥ AB 于 点 F ， 且 DE ＝ DF. 利 用 H.L. 证 明 △BFD≌△CED，可得∠B＝∠C，即可证明 AB＝AC.
华师大版八年级数学上册《等腰三角形的判定》课件1
A
D
B
C
练习4
2.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，两底角的 平分线BE和CD相交于 点O，那么△OBC是什 D 么三角形？为什么？
B
A
E O
C
小结
名 称
图
形
概念
性质与边角关系
判
定
等 腰 三 角 形B
1.两腰相等 1.两边相等
有两边 A 相等的
三角形 2.等边对等角 2.等角对等边
是等腰
三角形。 3. 三线合一
A
A
A
E
D
N MQ
P
●
●●
B ● C ●● B
CB
C
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午6时22分28秒18:22:2822.4.12
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午6时22分22.4.1218:22April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二6时22分28秒18:22:2812 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
N北
C
80°
B 40°
解：∵∠NBC=∠A+∠C ∴∠C=80°- 40°= 40° ∴ BA=BC（等角对等边）
∵AB=20（12-10）=40
A
∴BC=40
答：B处到达灯塔C40海里
例3：如果三角形一个角的外的角平分线平行 于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰 三角形吗？为什么？
数学华东师大版八年级上册13.3.1等腰三角形的性质习题课件
9．如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与
BE相交于点P，则∠APE的度数是( C )
A．45° B．55° C．60° D．75°
【点拨】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB ＝BC.在△ ABD 与△ BCE 中，A∠BA＝BBDC＝，∠C，∴△ABD≌
BD＝CE， △BCE(S.A.S.)．∴∠BAD＝∠CBE.∴∠APE＝∠ABE＋ ∠BAD＝∠ABE＋∠CBE＝∠ABD＝60°.故选 C.
【点拨】本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和底 角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况而漏解．
12．【中考·苏州】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O. (1)求证：△AEC≌△BED；
证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE. 又∵∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2. 又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO. ∴∠AEC＝∠BED.
10 ． 如 图 ， △ABC 是 等 边 三 角 形 ， AD 是 角 平 分 线 ， △ADE 是 等 边 三 角 形 ， 下 列 结 论 ： ① AD ⊥ BC ； ② EF＝FD；③BE＝BD，其中正确结论的个数为( A ) A．3 B．2 C．1 D．0
11．已知等腰三角形的一个外角等于110°，则这个等 腰三角形的一个底角的度数为( D ) A．40° B．55° C．70° D．55°或70°
13 ． 如 图 ， 在 △ABC 中 ， AB＝ AC ， AD ⊥ BC 于 点 D ，
CE⊥AB于点E，AE＝CE.求证：
(1)△AEF≌△CEB； 证明：∵AD⊥BC，∴∠B＋∠BAD＝90°. ∵CE⊥AB，∴∠B＋∠BCE＝90°. ∴∠EAF＝∠ECB. 在△ AEF 和△ CEB 中，∠AEA＝ECF＝E，∠CEB＝90°，
新华师大版八年级上册初中数学 课时一 等腰三角形的性质 教案
第十三章全等三角形13.3等腰三角形1.等腰三角形的性质课时一等腰三角形的性质【知识与技能】(1)理解并掌握等腰三角形的性质.(2)利用角的平分线的定义进行简单的证明与计算.(3)观察等腰三角形的对称性，发展形象思维.【过程与方法】(1)通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，培养学生的推理能力.(2)通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度与价值观】引导学生对图形进行观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心.等腰三角形的性质及应用.等腰三角形的性质的证明.多媒体课件、剪刀、尺子教师出示一些几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等.让学生抢答哪些是轴对称图形，并且提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形.教师引入：我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形.(板书课题)探究：等腰三角形的性质教师让学生完成活动1：如图13-3.1-1，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？图13-3.1-2学生动手操作，观察剪出的△ABC的特点，可以发现AB=AC.然后教师让学生回顾等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角，如图13-3.1-2.并指出：在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角.教师让学生继续完成活动2：把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论、交流，从表中总结等腰三角形的性质.接着教师引导学生归纳，并板书：性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).教师归纳：等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法.教师让学生完成活动3：你能用所学的知识验证上述性质吗？已知：如图13-3.1-3，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的方法，要证明∠B=∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.教师提示：可以作辅助线构造两个三角形.作BC边上的中线AD，证明△ABD 和△ACD全等即可.根据条件，利用“边边边”可以证明.学生给出证明过程：证明：作BC边上的中线AD，如图13-3.1-4，所以BD=CD.所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠B=∠C.这样，就证明了性质1.然后教师让学生类比性质1的证明，证明性质2.由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，从而得出AD⊥BC.这就证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角∠A且垂直于底边BC.学生通过讨论、交流可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴.最后教师拓展补充等腰三角形还有以下性质：(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等.(2)等腰三角形两个底角的平分线相等.(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.教师出示教材P76例1：如图13-3.1-5，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.师生共同分析：根据“等边对等角”的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.把∠A设为x，那么∠ABC，∠C都可以用x来表示.再由三角形的内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角的度数.分析完之后，学生口述过程，教师板书：解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.接着教师让学生独立完成：教材P77练习第1-3题.1.等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).注意：等边对等角只限在同一个三角形中运用.2.等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).说明：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的对称轴.【正式作业】教材P81习题13.3第1-3题【家庭作业】《高效课时通》P48-P49。
华师大版八年级数学上册《等腰三角形的判定》赛课课件
习 两条边相等的三角形叫做等腰
一
概 三角形
A
起 回
念
Байду номын сангаас
顶
忆
腰
角
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
等腰三角形的性质：
性质1: 等腰三角形的两个底角相等 (简写成“等边对等角”)
A
AB=AC
∠B= ∠C
B
C
性质2： 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和 底边上的高互相重合，简称“三线合一” 。
三、数学思想： ①分类讨论的思想 ② 转化的思想
名图 称
等 腰 三 角 形
B
形 概念
有两边 A 相等的
三角形 是等腰 三角形。
C
性质与边角关系 判 定
1.两腰相等. 1.两边相等。 2.等边对等角, 2.等角对等边, 3. 三线合一。 4.是轴对称图形.
名 图形 称
等
边
三
角
A
形
概念
三边相 等的三 角形是 等边三 角形。
E B
A
若ABAC
F
0
E
C
B
A
F 0
C
小结：
一、在等腰三角形中求角
在具体计算时利用：① 等边对等角 ② 三角形的内角和 ③ 三角形的外角的性质
二、等腰三角形的识别 方法： ①两边相等（定义） ②在同一个三角形中，有两个角相等 注：说明两角相等的途径： ①等边对等角 ②在两条平行线中的同位角，内错角。 ③角平分线的定义 。 ④利用等量代换。
A
华东师大版八年级：等腰三角形
等腰三角形1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．一、等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,△A是顶角，△B、△C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.△A＝180°－2△B，△B＝△C＝1802A︒-∠.2. 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3. 等腰三角形的性质的作用性质1：证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2：用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．教学目标学习内容知识梳理4. 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5. 等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2. 等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3. 等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．例题讲解类型一、等腰三角形中的分类讨论例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图△，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；(3)顶角为钝角如图△，则顶角度数为120°，故此题应选D．【变式】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：△3，3，7 △5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．△ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．类型二、等腰三角形的操作题例2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：△A与△B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图△△ABC中，△C＝90°，△A＝24°；猜想：（2）如图△△ABC中，△C＝84°，△A＝24°；猜想：【答案与解析】（1）作图：猜想：△A＋△B＝90°，（2）作图：猜想：△B＝3△A.【变式】直角三角形纸片ABC中，△ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的△B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设△B为x度△1＝45°，△2＝△A＝90°－x△当BD＝BE时△3＝1802x︒-，45°＋90°－x＋1802x︒-＝180°，x＝30° .△经计算ED ＝EB 不成立. △当DE ＝DB 时 △3＝180°－2x45°＋90°－x ＋180°－2x ＝180°，x ＝45°.综上所述，△B ＝30°或45°. 类型三、等腰三角形性质判定综合应用例3、如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F.求证：AF ＝EF证明：延长AD 到H 使DH ＝AD ，连接BH 。
华师大版八年级数学上册《等腰三角形的性质》优课件(共22张PPT)
解：
B
D
C
(1) ∵AB = AC，D是BC边上的中点（已知）
∴AD⊥BC, ∠BAD =∠CAD(等腰三角形 “三线合一”)
∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义)
(2) ∵∠BAD +∠B +∠ADB=180° （三角形内角和等于180°）
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB =180°-30°-90°=60°
练习1
(1)已知等腰三角形的一个底角是70º，则 其余两角为__7_0_º、__4_0_º__.
(2)已知等腰三角形的一个角为70º，则其 余两角为___7_0_º_、__4_0º__或__5_5_º、__5_5_º__.
(3)已知等腰三角形的一个角为110º，则 其余两角为__3_5_º_、__35_º____.
又∵ AP ＝ AQ，AD⊥BC，
∴ DP ＝ DQ
(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
∴ PB=QC．
等边三角形是特殊的等腰三角形， 由等腰三角形等边对等角的性质得到 ∠A＝∠B＝ ∠ C， 又由∠A＋∠B＋∠C＝180°， 从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.
也就是说：等边三角形的各个角都相等， 并且每一个角都等于60°.
13.3.1 等腰三角形的性质
下面有几个三角形(有三边不等的、只有两 边相等的、三边全相等的各类三角形纸片若干 个)请大家对这些三角形分类.想一想你分类的 理由是什么？
按边来分
不等边三角形 三条边都不相等
三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
三条边都相等的等边三角形
(也叫正三角形）
1.请同学们在练习本上画一个等腰三角形，标 出字母.
华东师大版八年级上册 13.3 等腰三角形(2) 讲义
等腰三角形（2）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解等腰三角形的概念；2、掌握等腰三角形的性质；3、培养学习数学的兴趣，应用等腰三角形的性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题1．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：_ ___ _】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③判定定理在同一个三角形中才能适用．2. 等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是特殊的_ __三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于__ _°．等边三角形是轴对称图形，它有__ _对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．3. 等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备__ ___ _的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．4．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的_ _．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．参考答案：1. 等边对等角2.（1）等腰；（2）60三条3.（1）三线合一4.（1）一半1.等腰三角形的判定．【例1】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．练1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【解析】由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180°得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得．解：设CE与BD的交点为点O，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和定理知，∠ABC=∠ACB==72°，∵BD是∠ABC的角的平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∴AD=BD，同理，∠A=∠ACE=∠BCE=36°，AE=CE，∵∠DBC=36°，∠ACB=72°，根据三角形内角和定理知，∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°，∴BD=BC，同理CE=BC，∵∠BOC=180°﹣36°﹣36°=108°，∴∠ODC=∠DOC=∠OEB=∠EOB=72°，∴△ABC，△ADB，△AEC，△BEO，△COD，△BCE，△BDC，△BOC都是等腰三角形，共8个．故选D．练2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【解析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．2+（3﹣1）+（3﹣1）=6，∴符合条件的点有六个．故选C．2. 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【例2】如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．综上所述，符合条件的点P的个数共4个．故选C．总结：本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．．练3.在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案．解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，﹣2）（0，4）．故选B．3.等边三角形的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质．【例3】如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A．60° B．45° C．40° D．30°【解析】因为△ABC为等边三角形，所以∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC=AC，根据SAS易证△ABD ≌△CAE，则∠BAD=∠ACE，再根据三角形内角和定理求得∠DFC的度数．解：∵△ABC为等边三角形∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°∴AB=BC=AC在△ABD和△CAE中BD=AE，∠ABD=∠CAE，AB=AC∴△ABD≌△CAE∴∠BAD=∠ACE又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°∴∠ACE+∠DAC=60°∵∠ACE+∠DAC+∠AFC=180°∴∠AFC=120°∵∠AFC+∠DFC=180°∴∠DFC=60°．故选A．练4.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A． B． C． D．不能确定【解析】过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．解：过P作PM∥BC，交AC于M；∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；又∵PE⊥AM，∴AE=EM=AM；（等边三角形三线合一）∵PM∥CQ，∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；又∵PA=PM=CQ，在△PMD和△QCD中∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD=DM=CM；∴DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选B．4．等边三角形的判定与性质．【例4】如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25° B．30° C．45°D．60°【解析】先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC=CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B=60°，∴∠A=30°，故选：B．练5.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里【解析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．解：由题意得∠ABC=60°，AB=BC∴△ABC是等边三角形∴AC=AB=40海里．故选B．5．平移的性质；等边三角形的性质．【例5】如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解析】根据平移的性质，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等计算出四边形ABFD各边的长度．解：AC与DF是对应边，AC=2，则DF=2，向右平移一个单位，则AD=1，BF=3，故其周长为2+1+2+3=8．故选B．形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60【解析】因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．解：设AB=x，∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，∵AF=2AB，即x+6=2x，∴x=6cm，∴周长为7 x+18=60cm．总结：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．1．如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是cm．2．在△ABC中，AB=AC，高线AD=BC，AE为∠BAC的平分线，则∠CAD的度数为．3．如图，△ABC中，AB=AC，若BC=CD=DE=EF=FA，则∠A= °．4．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．5．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D，E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形有个．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC﹣BD，则∠B：∠C的值是．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号（把你认为正确结论的序号都填上）4．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN=（）A．58° B．32° C．36° D．34°5．在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的大小关系是（）A．AC＞2AB B．AC=2AB C．AC≤2AB D．AC＜2AB6．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．7．如图，直线CF垂直且平分AD于点E，四边形ADCB是菱形，BA的延长线交CF于点F，连接AC．（1）图中有几对全等三角形，请把它们都写出来；（2）证明：△ABC是正三角形．8．已知：如图△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE、CD．（1）求证：△AGE≌△DAC；（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．9．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．（1）求证：AD=CE；（2）求∠DFC的度数．参考答案：当堂检测BCA=（（（∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，，家庭作业考点：全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．DBC=∠CAN）解答即可．∴△AEF≌△CDE（SSS）．由（1）知△AGE≌△DAC得到AE=CD，∠AED=∠ACD，从而可得到EF=AE，∠AEF=60°，（2）解：课程顾问签字： 教学主管签字：。
华师版八年级数学上册13.3 等腰三角形2
13.3 等腰三角形学习目标、重点、难点【学习目标】1、 等腰三角形的概念及性质.2、 等边三角形的概念及性质.3、 等腰三角线、等边三角形的识别【重点难点】1、 等腰三角形、等边三角形的概念及性质.2、 等腰三角线、等边三角形的识别.知识概览图⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧合一底边上的高及中线三线顶角的平分线角的性质边的性质等腰三角形的性质的有关概念等边三边形等腰三角形等腰三角形、）（新课导引如下图所示，位于海上A ，B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A =∠B .如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点？（不考虑风浪因素）【问题探究】如果两艘船以同样的速度同时出发，并且同时赶到出事地点，说明两艘船的航程相同，即OA =OB ，那么由∠A =∠B ，能否直接判断出OA =OB 呢？教材精华知识点1 等腰三角形的概念及性质等腰三角形的概念两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.如图10-79所示，在等腰三角形中ABC 中，AB =AC ，则AB 和AC 是腰，BC 是底边，∠A 是顶角，∠B 和∠C 是底角.拓展（1）顶角是指两腰的夹角，并不是位置在上面的角，如图10-80所示，在△DEF中，DF=EF，则顶角是∠F，而不是上面的∠D.（2）在定义等腰三角形时，不能说成是“两腰相等的三角形叫做等腰三角形”.等腰三角形的性质等腰三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质可以得出等腰三角形的边、角、三线、对称性这四个方面的性质分别如下：（1）边：等腰三角形的两腰相等.（2）角：等腰三角形的两底角相等，简称为“等边对等角”.（3）三线：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为“三线合一”.（4）对称性：等腰三角形具有轴对称性，底边垂直平分线是它的对称轴.知识点2 等边三角形的概念及性质等边三角形的概念三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形的性质等边三角形是特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形的所有性质外，还具有如下一些特殊的性质：（1）边：等边三角形的三边相等.（2）角：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.（3）三线：等边三角形每个角的平分线都是其对边上的中线和高.（4）对称性：等边三角形具有轴对称性，它有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线.知识点3 等腰三角形的识别识别方法：（1）两边相等的三角形是等腰三角形.（2）两角相等的三角形是等腰三角形，简称为“等角对等边”.（3）如果一个三角形一边上的高、中线和该边所对的角的平分线中的有任意两条互相重合，那么这个三角形的就是等腰三角形.“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中.“等边对等角”是等腰三角形的性质，“等角对等边”是等腰三角形的识别.它们之间的关系是互逆的.知识点4 等边三角形的识别识别方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）有两个角都为60°的三角形是等边三角形.（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.拓展在判断一个三角形是否是等边三角形时，我们可从边的角度去考虑，也可从角的角度去考虑.在使用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”时应注意其前提条件必须是“等腰三角形”，此时不论60°的角是顶角还是底角，都可说明此三角形为等边三角形.课堂检测基础知识应用题1、若等腰三角形的一边长为6，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（）A．10 B．14 C．16 D．14或162、若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角为（）A．40°B．70°C．100°D．40°或100°3、等边三角形有_______条对称轴.综合应用题4、如图10-95所示，已知△ABC为等边三角形，BD=AB，交于点E，当E在AC上运动时，∠ADC的度数是否发生变化？如果变化，说明变化范围；如果不变，求出∠ADC的度数.探索创新题5、图10-106所示，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上的一点，DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N.（1）试说明DM+DN=定值（一腰上的高）；（2）若点D在BC的延长线上，其他条件不变，此结论是否仍然成立？说明理由.体验中考1、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A ．50°B ．80°C ．65°或50°D ．50°或80°2、若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为______.学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 如果腰长为6，那么三边长分别为6，6，4，符合三角形的三边关系，此时三角形的周长为16；如果腰长为4，那么三边长分别为4，4，6，符合三角形的三边关系，此时三角形的周长为14.故正确答案为D.解题策略 在没有指明腰和底边时，一定要分类讨论.2、分析 此题主要考查等腰三角形的两底角相等的性质.当140°的角为顶角的外角时，顶角为180°-140°=40°；当140°的角为底角的外角时，底角为40°，顶角为180°-2×40°=100°.故正确答案为D.3、分析 此题考查等边三角形的性质.由等边三角形的性质可得出等边三角形有三条对称轴.故正确答案为三.4、解：∠ADC 的度数不变.设∠ABD =α，则∠DBC =60°-α.在△ABD 中，由AB =DB ，得∠ADB =21×（180°-α）=90°-2α. 因为△ABC 是等边三角形，所以AB =BC ，故BD =BC ，所以在△BDC 中，∠BDC =21×（180°-∠DBC ）= 21×[180°-（60°-α）]=60°+2α. 所以∠ADC =∠ADB +∠BDC =（90°- 2α）+（60°+ 2α）=150°. 即当点E 在AC 上运动时，∠ADC 的度数不变，为150°.5、解：（1）如图10-106所示，过点C 作CH ⊥AB 于H ，连结AD ，则S △ADB +S △ADC = S △ABC .因为S △ADB =21DM ·AB ，S △ADC =21DN ·AC ，S △ABC =21AB ·CH ，所以21DM ·AB +21DN ·AC =21AB ·CH . 因为AB =AC ，所以DM +DN =CH.因为△ABC 一定，所以一腰上的高一定，所以DM +DN =定值.（2）结论不成立.理由如下：如图10-107所示，过点C 作CH ⊥AB 于H ，连接AD ，则S △ADB =S △ABC +S △ACD . 所以21DM ·AB =21AB ·CH +21DN ·AC . 因为AB =AC ，所以DM =CH +DN .体验中考1、分析 本题考查等腰三角形的性质.50°的角可能是顶角，也可能是底角，当50°的角是底角时，顶角为180°-50°×2=80°，所以顶角为50°或80°.故正确答案为D.2、分析 本题考查等腰三角形的性质.因为等腰三角形的一个外角为70°，所以与它相邻的内角为110°.因为110°>90°，因此110°这个角只能是顶角，所以它的底角为2110180︒-︒=35°.故正确答案为35°.。
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等腰三角形专题一 与等腰三角形有关的探究题1. 设a 、b 、c 是三角形的三边长，且ca bc ab c b a ++=++222，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中真命题的个数是（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2. 如图，已知：∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3……在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4……均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 2013B 2013A 2014 的边长为（ ） A.2013 B. 2014 C.20122 D. 201323. 如图,在△AB 1A 中, ∠B ＝20°,AB ＝1A B ，在1A B 上取一点C,延长1AA 到2A ,使得12A A ＝1A C ; 在2A C上取一点D,延长12A A 到3A ,使得23A A ＝2A D ;……，按此做法进行下去,求∠n A 的度数.4. 如图，点O 是等腰直角三角形ABC 内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转90°得△BDC ，连接OD ． （1）试说明△COD 是等腰直角三角形；（2）当α=95°时，试判断△BOD 的形状，并说明理由．5. 如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．专题二等腰（边）三角形中的动点问题6. 已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.就下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M、N的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论.测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______.7. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．8. 阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：12AB•r1+12AC•r2=12AB•h，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _____．若不存在，请说明理由．状元笔记[知识要点]1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；（2）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分重合（简称为“三线合一”）；（3）等腰三角形的两底角相等（简称“等角对等边”）．2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°．3．等腰三角形的判定：（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”．（2）三个角都是60°的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【方法技巧】1．等边对等角或等角对等边必须在同一个三角形中．2．判断一个三角形的形状一般要考虑：①等腰三角形；②直角三角形；③等边三角形；④等腰直角三角形．3．“等边对等角”和“等角对等边”成为今后证明角或边相等又一新方法．参考答案1. C 【解析】 由ca bc ab c b a ++=++222得：222()()()0a b b c a c -+-+-=，所以000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，所以a b c ==，所以②、③是真命题，故选C. 2. C 【解析】 ∵△A 1B 1A 2是等边三角形， ∴A 1B 1=A 2B 1，∠1=60°. ∵∠MON=30°， ∴∠2=30°=∠MON ， ∴A 1B 1 =OA 1=1= A 1A 2.同理可证：A 2B 2 =OA 2 =2，A 2A 3=OA 2 =2，A 3A 4=OA 3 =4=22，A 4A 5=OA 4 =8=32. 以此类推：A 2013B 2013A 2014=22012． 故选C ．3. 解：如图，在△AB 1A 中， ∵∠B ＝20°,AB ＝1A B ， ∴∠1AA B ＝80°. 在△12A A C 中， ∵12A A ＝1A C ，∴∠12A A C ＝112AA B ∠＝1802⨯＝211802-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝40°. 在△23A A D 中, ∵23A A ＝2A D ,∴∠23A A D ＝1212A A C ∠＝118022⨯⨯＝311802-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝20°. 依此类推, 得∠n A 的度数为11802n -⎛⎫⎪⎝⎭.故∠n A 的度数为1n-11808022n -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或.4. 解：（1）∵△AOC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转90°得△BDC ， ∴∠OCD=90°，CO=CD ， ∴△COD 是等腰直角三角形；（2）△BOD 为等腰三角形． 理由如下：∵△COD 是等腰直角三角形， ∴∠COD=∠CDO=45°，而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，∠BDO=95°-45°=50°， ∴∠OBD=180°-80°-50°=50°． ∴△BOD 为等腰三角形． 5. 解：（1）△ODE 是等边三角形， 其理由是：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°， ∴△ODE 是等边三角形； （2）BD=DE=EC ，其理由是： ∵OB 平分∠ABC ，且∠ABC=60°， ∴∠ABO=∠OBD=30°， ∵OD ∥AB ，∴∠BOD=∠ABO=30°， ∴∠DBO=∠DOB ，同理可证EC=EO. ∵DE=OD=OE ， ∴BD=DE=EC ． 6. 60°，60°，60°.证明: ∵BM=CN ；∠ABM=∠BCN=60°；BA=BC.ΔABM ≌ΔBCN(SAS),∠BAM=∠CBN;∴∠BQM=∠BAM +∠QBA=∠CBN+∠QBA=∠ABC =60°.7. 解：（1）∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°； 从图中可以得知，点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变小； 故答案为：25°；小．（2）当△ABD ≌△DCE 时,DC=AB, ∵AB=2， ∴DC=2，∴当DC 等于2时，△ABD ≌△DCE ； （3）∵AB=AC ，∴∠B=∠C=40°， ①当AD=AE 时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED ＞∠C ，∴此时不符合； ②当DA=DE 时，即∠DAE=∠DEA=12（180°-40°）=70°， ∵∠BAC=180°-40°-40°=100°， ∴∠BAD=100°-70°=30°. ∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；③当EA=ED 时，∠ADE=∠DAE=40°， ∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°. ∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE 是等腰三角形．8. 解：（1）证明：连结AP ，BP ，CP.则=ABC BPC APC APB S S S S ++△△△△，即12311112222BC h BC r AC r AB r ⋅=⋅+⋅+⋅， ∵AB=BC=AC ，∴r 1+r 2+r 3=h （定值）． （2）存在；2.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。