中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)

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2005中国数学奥林匹克的不等式题

3 2
n m
3 2n +3
2
1
m
m-
2 3
n ( m - 1) m
・ m≤
m - 1 . m - n +1
2
④
式④ 的证明如下 : ② 设 f ( n) =
3 2
n m
<
m - 1 . m - n +1
( m - n + 1) .
解这道题当然是先求出பைடு நூலகம்{ a n } 的通项 , 即由式 ① 得
2 an + 3 2n+3 = 3 an - 1 + 3 2n +2
n - 1
2
n -1
4
; 若 n 为奇数 , kmin =
4
.)
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12
中等数学
由于 f ( n) 递减 , 要证式 ④ 只须证 f ( 2) ≤
g ( n) = ( m + 1 - n)
3 2
m-
2 3
是单调递减的 ( 从而 , 问题化为式 ⑥ 的证明) . 这也要利用导数 . 因为
mn m n ( m - 2) m
2 3
m2 - 1 < . m
⑥
( n) = g′
3 2 3 2
n m
m-
2 3 2 3
+ ( m - n + 1) ・
m- 2 3 ln , m 2
2
n
即经过 A1 、 A 2 中至少一点的直线至多只有 n - 1 条

中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)

+
√
3 6 2 i, z
= 1, |z | = 1.
√ 3 2 i)
−e
iπ 3
− 1 = (1 2 −
− (− 1 2 −
√
3 2 i)
− 1 = 0.
− z − 1 = 0有模为1的复根.
若z n+1 − z n − 1 = 0有模为1的复根eiθ = cos θ + i cos θ. 则z n+1 − z n − 1 = (cos(n + 1)θ − cos nθ − 1) + i(sin(n + 1)θ − sin nθ) = 0.
中国数学奥林匹克 (CMO) 历届试题及解答
1986-2005
第一届中国数学奥林匹克(1986年)
天津南开大学
1.已知 a1 , a2 , . . . , an 为实数, 如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 x1 + x2 + · · · + xn = 1 的任意非负实数 x1 , x2 , . . . , xn , 有不等式 a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 成立.请证明上述命题及其逆命题. 证明:原命题的证明:由0 (1)若ai 以ai + a1 xi 1, xi − x2 i 0, xi x2 i (i = 1, 2, . . . , n).
过P2 作平行于BC 的直线
EP2 P3 . ABC .证毕.
DP2 P3 ,也就不大于S
5.能否把1,1,2,2,. . . ,1986,1986这些数排成一行, 使得两个1之间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,. . . , 两个1986之间夹着1986个数.请证明你的结论. 解:不能.假设可以做出这样的排列,将已排好的数按顺序编号为1,2,. . . ,3972. 当n为奇数时,两个n的编号奇偶性相同;当n为偶数时,两个n的编号奇偶性不同. 而1到1986之间有993个偶数,所以一共有2k + 993个编号为偶数的数.(k ∈ N∗ ) 但是1到3972之间有1986个偶数,k = 496.5.矛盾.所以不能按要求排成这样一行. √ 6.用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色. 求证:一定存在一个边长为1或 3的正三角形,它的

解析2005全国数学奥林匹克决赛试题

2005全国数学奥林匹克决赛试题(A)1. 计算＝_____．2. 计算＝_____．3. 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？4. 设M、N都是自然数，记PM是自然数M的各位数字之和，PN是自然数N的各位数字之和。

又记M*N是M除以N的余数。

已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是多少？5. 如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG的面积是？6. 某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？7. 已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。

如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了多少升？8. 在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。

那么“新年好”所代表的三位数是多少？9. 有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。

那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的多少倍？10. 从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。

如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是多少？11. 有A、B、C、D、E五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。

当比赛快要结束时，统计到的成绩如下：队名获胜场数平局场数失败场数进球个数失球个数A 2 1 0 4 1B 1 2 0 4 2C 1 1 1 2 3D 1 0 3 5 5E 0 2 1 1 5已知A与E以及B与C都赛成平局，并且比分都是1：1，那么B与D两队之间的比分是多少？12. 一辆客车和一辆面包车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题1987第二届年中国数学奥林匹克1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。

2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。

已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。

ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。

试求3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。

4.所有结点上数的总和S。

3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。

结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。

4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。

5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。

如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。

6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成立，求r1, r2, ... , r n的值。

2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案

2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案1、计算：11024 +1512 +1256 + (12)+1+2+4+8+……+1024= 2、计算：1+10+41035 +22463 +15199 +17143= 3、有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是（）。

4、设M 、N 都是自然数，记PM 是自然数M 的各位数字之和，PN 是自然数N 的各位数字之和。

又记M*N 是M 除以N 的余数。

已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是（）。

5、如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB 将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG 的面积是（）。

6、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是（）。

7、已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。

如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了（）升。

8、在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。

那么“新年好”所代表的三位数是（）。

9、有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。

那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的（）倍。

10、从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。

如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是（）。

11、有A 、B 、C 、D 、E 五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。

当比赛快要结束时，统计到的成绩如下：队名获胜场数平局场数失败场数进球个数失球个数A 2 1 0 4 1B 1 2 0 4 2C 1 1 1 2 3D 1 0 3 5 5E 0 2 1 1 5已知A 与E 以及B 与C 都赛成平局，并且比分都是1：1，那么B 与D 两队之间的比分是（）。

中国数学奥林匹克竞赛(cmo)试题

中国数学奥林匹克竞赛(cmo)试题中国数学奥林匹克竞赛（简称CMO）是一个面向中学生的数学竞赛，旨在选拔和培养中国数学领域的优秀人才。

CMO试题往往难度较高，涉及多个数学领域的知识和技巧，要求选手在有限的时间内解决一系列复杂的问题。

CMO试题通常包括几个部分，涵盖了代数、几何、概率论等数学领域。

这些试题往往需要选手拥有较为全面而深入的数学知识，以及灵活运用这些知识的能力。

因此，参加CMO需要选手具备扎实的数学基础，强大的推理能力和问题解决能力。

CMO试题的难度较高，它们不仅要求选手深入理解数学概念和原理，还要求选手具备独立思考和分析解决问题的能力。

选手在解答CMO试题时，需要有清晰的思路和条理，灵活运用数学方法，寻找解题的关键。

与其他数学竞赛不同的是，CMO更加注重选手的创新思维和问题解决能力的培养。

CMO试题的特点是多样化，既包括经典的数学问题，也包括拓展性较强的探索性问题。

这些问题往往需要选手运用某种推理或连接的技巧，以及一定的发散和创新的思维方式。

因此，CMO试题在引导学生提高数学思维方式和解决问题的能力方面有着积极的作用。

CMO试题的撰写和审定非常严格，由一批经验丰富的知名数学教师和专家进行。

他们依据数学学科的发展前沿，选择一些有挑战性的问题，试图激发和培养选手对数学的兴趣和热爱。

通过参加CMO竞赛，选手不仅可以检验自己的数学能力，还可以更加深入地了解数学学科的发展和应用。

CMO是中国数学竞赛中的重要组成部分，对于促进青少年数学素养的提高具有重要意义。

CMO试题的难度和深度，要求选手具备较高的数学能力和解题能力。

通过参加CMO竞赛，学生可以提升自己的数学水平，培养自己的创新思维和探索精神，为将来的数学研究和学习打下扎实的基础。

CMO竞赛已经举办了多年，并取得了显著的成绩。

许多CMO的参赛者在竞赛结束后，获得了各类国内外数学竞赛的荣誉和奖项。

他们也成为了中国数学领域的佼佼者，有些人甚至走上了数学研究的道路。

1986年全国高中数学联合竞赛试题及解答

1986年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)1986*1、设01<<-a ，a arcsin =θ，那么不等式a x <sin 的解集为()A．{}Z n n x n x ∈-+<<+,)12(2θπθπB．{}Zn n x n x ∈++<<-,)12(2θπθπC．{}Zn n x n x ∈-<<+-,2)12(θπθπD．{}Zn n x n x ∈+<<--,2)12(θπθπ◆答案：D★解析：02<<-θπ，在()0,π-内满足a x <sin 的角为θθπ<<--x ，由单位圆易得解为D ．1986*2、设x 为复数，{}221)1(-=-z z z ，那么()A．{}纯虚数=M B．{}实数=M C．{}实数⊂≠M ⊂≠{}复数D．{}复数=M ◆答案：B★解析：即()()011)1(2=----z z z ，即()0)1(=--z z z ，所以1=z 或z z =，总之，z 为实数．选B 1986*3、设实数c b a ,,满足⎩⎨⎧=+-++=+--066078222a bc c b a bc a ，那么，a 的取值范围是（）A.()+∞∞-, B.()+∞∞-,9[]1, C.()7,0 D.[]9,1◆答案：D ★解析：第一式×3+第二式：027*******=+-+-+a a bc c b ，得()0)9)(1(32=--+-a a c b ，进而0)9)(1(≤--a a ，所以91≤≤a ．选D ．1986*4、如果四面体的每一个免都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为（）A.3B.4C.5D.6◆答案：A★解析：不妨取等腰四面体，其棱长至多2种长度．棱长少于3时，必出现等腰三角形．选A ．1986*5、平面上有一个点集M 和七个不同的圆721,,,C C C ，其中圆7C 恰好经过M 中的7个点圆6C 恰好经过M 中的6个点，…圆1C 恰好经过M 中的1个点，那么M 中的点数最少为（）A.11B.12C.21D.28◆答案：B★解析：首先，7C 经过M 中7个点，6C 与7C 至多2个公共点，故6C 中至少另有4个M 中的点，5C 至少经过M 中另外1个点，共有至少7+4+1=12个点．1986*6、边长为c b a ,,的三角形，其面积等于41，而外接圆半径为1，若c b a s ++=，cb a t 111++=，则s 与t 的大小关系是（）A.t s > B.t s = C.t s < D.不确定◆答案：C ★解析：R abc C ab S 4sin 21==∆，由1=R ，41=∆S ，知1=abc ．且三角形不是等边三角形．∴s c b a abc c b a accb ab c b a t =++=++=++≥++=111111．(且等号不成立)．选C ．二、填空题(本题满分28分，每小题7分)：本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在上．1986*7、在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是．◆答案：25★解析：易得13125.66cos ==α，于是椭圆长轴为13，短轴为12．所求和为25．1986*8、已知x x f 21)(-=，[]1,0∈x ，那么方程x x f f f 21)))(((=的解的个数是．◆答案：8★解析：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-≤<-≤≤-=--=143,344321,432141,14410,412121))((x x x x x x x x x x f f ，同样)))(((x f f f 的图象为8条线段，其斜率分别为8±，夹在0=y 与1=y ，0=x ，1=x 之内．它们各与线段x y 21=(10≤≤x )有1个交点．故本题共计8解．1986*9、设4)(+=x x x f ，那么和式10011000()10013()10012()10011(f f f f ++++ 的值等于；◆答案：500★解析：代入可求得1)1()(=-+x f x f ．将所求的式子首尾配对（共500对），得所求和为5001500=⨯．1986*10、设z y x ,,为非负实数，且满足方程02562684495495=+-⨯-++++z y x z y x ，那么z y x ++的最大值与最小值的乘积等于．◆答案：4★解析：令t z y x =++4952，则得0256682=+-t t ，解得4=t 或64=t ．当4=t 时，即2495=++z y x ，即4495=++z y x ，故4544)(9≥++=++z x z y x ，所以94≥++z y x ；又454)(4≤--=++y x z y x ，得1≤++z y x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++1,94z y x ；当64=t 时，6495=++z y x ，得36495=++z y x ，故365436)(9≥++=++z x z y x ，所以4≥++z y x ；又36536)(4≤--=++y x z y x ，得9≤++z y x ．故，所求最大值与最小值的乘积为4994=⨯．1986年全国高中数学联合竞赛二试1986*一、(本题满分17分)已知实数列 ,,,210a a a ，满足i i i a a a 211=++-，( ,3,2,1=i )求证：对于任何自然数n ，n n n n n n n n n n n n n n x C a x x C a x x C a x x C a x C a x P +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(1112222111100 是一次多项式．(本题应增加条件：10a a ≠)★证明：由已知，得11-+-=-i i i i a a a a ，⇒故{}i a 是等差数列．设01≠=--d a a i i ．则kd a a k +=0．于是n n n n n n n n n n n n n n xC a x x C a x x C a x x C a x C a x P +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(1112222111100 ()()++-++-++-=-- 2220111000)1(2)1()1(n n n n n n x x C d a x x C d a x C a ()()()nn n n n n x C nd a x x C d n a ++--+--0110)1(1[]++-++-+-+-=----n n n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x C a )1()1()1()1(1122211100 ()[]n n n n n n n n n n x nC x x C n x x C x x C d +--++-+-----)1(1)1(2)1(11222111 (由11--=k n k n nC kC 继续化简)[]1112221111010)1()1()1()1(---------+-++-+-++-=n n n n n n n n n n n x C x x C x x C x C ndx x x a ()x a a a x x ndx a n n 0010)1(-+=+-+=-，此为一次多项式．证毕．1986*二、本题满分17分)已知锐角三角形ABC 的外接圆半径为R ，点F E D ,,分别在边AB CA BC ,,上，求证：CF BE AD ,,是ABC ∆的三条高的充要条件是()DE FD EF R S ++=（其中S 是ABC ∆的面积）★证明：连OA ，则由B F E C ,,,四点共圆，得C AFE ∠=∠，又在OAB ∆中，()C C OAF ∠-=∠-=∠009022180，∴EF OA ⊥．∴EF R OA EF S OEAF ⋅=⋅=22，同理，DF R S OFBD ⋅=，DE R S ODCE ⋅=，故得()DE DF EF R S ++⋅=．反之，由()DE DF EF R S ++⋅=2．得EF OA ⊥，DF OB ⊥，ED OC ⊥，否则()DE DF EF R S ++⋅<2．过A 作⊙O 的切线AT ，则ACB TAF AFE ∠=∠=∠，所以D E F B ,,,四点共圆，同理，C D F A ,,,共圆，B D E A ,,,共圆．ADC AFC ∠=∠，ADB AEB ∠=∠．∴0180=∠+∠=∠+∠ADB ADC AEB AFC ．但BEC BFC ∠=∠，即090=∠=∠AEB AFC ，于是E F ,为垂足，同理D 为垂足，所以CF BE AD ,,是ABC ∆的三条高。

中国数学奥林匹克竞赛试题

中国数学奥林匹克竞赛试题中国数学奥林匹克竞赛（China Mathematical Olympiad，CMO）是中国最高水平的中学生数学竞赛，也是参加国际数学奥林匹克竞赛的选拔赛之一。

以下是一些历年的CMO试题：2002年CMO试题：1）证明：$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n +2)}$。

2）已知三个球$A, B, C$，半径分别为$R, R, r$。

在三个球外接正四面体$ABCD$中，球$A$与面$BCD$相切，球$B, C$相切于点$E$，球$A, C$相切于点$F$。

求$R$和$r$之比。

3）设$a_0=0, a_1=1, a_{n+1}=\sqrt{2a_n+2\sqrt{a_n^2-1}}(n\ge1)$。

证明：$\lfloor a_{2^n}\rfloor$是$2^n$次整系数多项式的唯一正实数根。

2.2009年CMO试题：1）设$P(x)$为实系数多项式，且对于任意实数$x$，都有$P(x^2+1)=P(x)^2+1$。

证明：$P(x)$是一个偶多项式。

2）已知$n$个点按逆时针顺序排列为$P_1, P_2, \cdots,P_n$。

定义$A(P_i, P_{i+1}, P_{i+2})$为由三点$P_i, P_{i+1}, P_{i+2}$所组成的三角形的面积。

求$\sum_{i=1}^{n-2}A(P_i,P_{i+1}, P_{i+2})$。

3）设$S$为所有$n$元实数组$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$的集合，且满足对于任意$S$中的元素$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，都有$\sum_{i=1}^{n}x_i=0$，$\sum_{i=1}^{n}x_i^2=1$。

求$\sum_{(x_1, x_2, \cdots, x_n)\in S}x_1x_2x_3$。

2005中国数学奥林匹克

时间之后 , 青蛙便会在水池中大致分布均匀 . 注 :所谓大致分布均匀 , 就是任取其中一个 “格子” , 或者它里面有青蛙 , 或者它的三个邻格里都有青蛙 .
(苏淳供题)
第二天 ( 2005 - 01 - 23) 四、已知数列{ a n } 满足条件 :
a1 =
①
cos θ cos θ sin θ 3・ 4 - ( sin θ 3・ 4 - x) ≥ 0
2
即只须证
11.
n m +1
图3
图4
3 2
m-
2 3
n ( m - 1) m
< m -
首先证明 , 1 号扇形迟早会有青蛙跳入 . 假设 1 号扇形中永无青蛙跳入 , 那么 , 就不会有青蛙越过 1 号扇形与 n 号扇形之间的隔墙 . 我们来考察青蛙所在的扇形编号的平方和 . 由于没有青蛙跳入 1 号扇形 ( 尤其没有青蛙越过 1 号扇形与 n 号扇形之间的隔墙) , 所以 , 只能是有三只青蛙由某个 k ( 3 ≤k ≤n
- 1) 号扇形分别跳入 k - 1 , k 和 k + 1 号扇形各一
③ 首先估计 1 1n < m +1 n 的上界 . 由贝努利不等式 , 有 m +1
1n m +1
nm
1
m +1
m
n
.
所以 , 1 =
m m +1
< 11 1
m
1
m +1
n m
nm
Байду номын сангаас
只 . 因此 , 平方和的变化量为
( k - 1) 2 + k 2 + ( k + 1) 2 - 3 k 2 = 2 ,

2005年第4届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2005年女子数学奥林匹克第一天2005年8月12日上午8∶00～12∶00 长春我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础.——华罗庚1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证：22BF CE =F ··K AK JE AJ .2.求方程组的所有实数解.3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥ia .⎪⎩⎪⎨⎧=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,11311215zx yz xy z z y y x x2005年女子数学奥林匹克第二天2005年8月13日上午8∶00～12∶00 长春数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。

——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3x +3y =x -y ,求证：.1422＜y x +6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，⋯21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数；(2)问：2005是否为好数？7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证：.11121mn m a a a n ++⋯++＜8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的边至少为多长？【题1】证：如图，连接BK ，CJ.∠E =∠ABP —∠BPE ，而由A ，B ，P ，C 四点共圆，知∠BPE =∠A ，故 ∠E =ABP —∠A ，又由KA =KB ，知∠A =∠ABK,故 ∠E =∠ABP —∠ABK =∠KBF . ① 同理 ∠F =∠JCE . ② 由①，②得 △JEC ∽△KBF .由此，,AK JEKB JE BF CE == ③ .KFAJKF JC BF CE == ④ 将③，④两式的左端和右端分别相乘即得结论.【题2】解法一：①式可化为()()()22211311215z zy y x x +=+=+. ③ 显然x ，y ，z 同号.首先求正数解. 存在α，β，γ∈(0，π)，使得x =tan2α，y =tan 2β，z =tan 2γ，则sin α=212x x +, sin β=212yy+, sin γ=212z z +, ③即13sin 12sin 5sin γβ==α. ④ ②式可化为xyyx z -+=11, 即 2tan2cotβαγ+=.注意z ≠0,xy ≠1，因为α，β，γ∈(0，π)，所以222γπβα-=+, 即 α+β+γ=π.从而α，β，γ是某个三角形ABC 的三个内角.由④和正弦定理知，α,β,γ所对的边a ，b ，c 的比是5∶12∶13，所以，1sin 1312sin 135sin ===γβα，，.从而 x =tan2α=15或5， y =tan 23322或=β， z =tan 12=γ.将z =1代入②式，易知x 和y 均小于1.所以⎪⎭⎫⎝⎛13251，，是唯一正数解.故原方程组有两组解：⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛1325113251，，和，，. 解法二：显然x ，y ，z 同号. 由②得x =1yzy z-+，代入①得 ()()()()()()()()yz z y z y yz z y z y yz yz z y z y yz y y -+++=-+++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111511.511511222222，即5(z 2+1)y =12(y +z )(1-y z),同理 5(y 2+1)z =13(y +z )(1-yz ).整理得12y 2z +17yz 2=7y +12z , 18y 2z +13yz 2=13y +8z ,两式相加，得30yz (y +z )=20(y +z ),∴ yz =zy 32,32=,代入①解得z =±1. 故原方程组有两组解：.1,32,511,32,51⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛和【题3】解：存在，如下图所示。

历届中国数学奥林匹克(全国中学生数学冬令营)试题解答

P4,C移至
P3,三角形
ABC的
2
面积减小
,归为情形
(2).
(2)不妨设
P1在AB上,P2在AC上,P3;P4在BC上,P3在P4C上.
(2.1)若P1P2
.
BC,设
AP1
=
AP2
=
.,P1P2
=
.BC.P1P2到BC的距离为
=
|
.
xk
+i
.
yk|
.
.
xk
.
√
.
42
42
zk2Azk2Azk2Azk2Azk2A
√
而42
<
6,
∴
|
.
zk|
.
1
6
.
zk2A
即A中复数之和的模不小于
1
6
.证毕
.
+
￠￠·
+
anxn
.
a1x1
2
+
a2x2
2
+
￠￠·
+
anxn
2
;
(2)否则至少存在一个
ai
<
0,由对称性不妨设
a1
<
0.又因为
a1;a2;:::;an中任两数之和非负
,所
以ai
+
a1
.
0;ai
=
|
.
xk
+i
.

—中国数学奥林匹克竞赛试题

—中国数学奥林匹克竞赛试题1986-2002中国数学奥林匹克1986年第⼀届中国数学奥林匹克1.已知a1, a2, ... , a n为实数，如果它们中任意两数之和⾮负，那么对于满⾜x1+ x2+ ...+x n=1的任意⾮负实数x1, x2, ... , x n，有不等式a1x1+ a2x2+ ...+a n x n≧a1x12+ a2x22+ ...+a n x n2成⽴.请证明上述命题及其逆命题.2.在三⾓形ABC中，BC边上的⾼AD=12，∠A的平分线AE=13，设BC边上的中线AF=m，问m在甚么范围内取值时，∠A分别为锐⾓，直⾓、钝⾓？3.设z1, z2, ... , z n为复数，满⾜| z1|+ | z2 |+ ...+| z n|=1.求证：上述n个复数中，必存在若⼲个复数，它们的和的模不⼩于1/6.4.已知：四边形的P1P2P3P4的四个顶点位于三⾓形ABC的边上.求证：四个三⾓形△P1P2P3、△P1P2P4、△P1P3P4、△P2P3P4中，⾄少有⼀个的⾯积不⼤于ABC的⾯积的四分之⼀.5.能否把1, 1, 2, 2, ... , 1986, 1986这些数排成⼀⾏，使得两个1之间夹着⼀个数，两个2之间夹着两个数，....，两个1986之间夹着⼀千九百⼋⼗六个数.请证明你的结论.6.⽤任意的⽅式，给平⾯上的每⼀点染上⿊⾊或⽩⾊.求证：⼀定存在⼀个边长为1或3的正三⾓形，它的三个顶点是同⾊的.1987第⼆届年中国数学奥林匹克1.设n为⾃然数，求⽅程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除.2.把边长为1的正三⾓形ABC的各边都n等分，过各分点平⾏于其它两边的直线，将这三⾓形分成⼩三⾓形，和⼩三⾓形的顶点都称为结点，在第⼀结点上放置了⼀个实数.已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c.ii.在每个由有公共边的两个最负三⾓形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等.试求3.放置最⼤数的点积放置最⼩数的点之间的最短距离.4.所有结点上数的总和S.3.某次体育⽐赛，每两名选⼿都进⾏⼀场⽐赛，每场⽐赛⼀定决出胜负，通过⽐赛确定优秀选⼿，选⼿A被确定为优秀选⼿的条件是：对任何其它选⼿B，或者A胜B，或者存在选⼿C，C胜B，A胜C.结果按上述规则确定的优秀选⼿只有⼀名，求证这名选⼿胜所有其它选⼿.4.在⼀个⾯积为1的正三⾓形内部，任意放五个点，试证：在此正三⾓形内，⼀定可以作三个正三⾓形盖住这五个点，这三个正三⾓形的各边分别平⾏于原三⾓形的边，并且它们的⾯积之和不超过0.64.5.设A1A2A3A4是⼀个四⾯体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球⼼的球，它们两两相切.如果存在⼀点O，以这点为球⼼可作⼀个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作⼀个半径为R的球积四⾯体的各棱都相切，求证这个四⾯体是正四⾯体.6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最⼤值是多少？请证明你的结论.1988年第三届中国数学奥林匹克1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成⽴，求r1, r2, ... , r n的值.2.设C1、C2为同⼼圆，C2的半径是C1的半径的2倍，四边形A1A2A3A4内接于C1，将A1A4延长，交圆C2于B1.设A1A2延长线交C2于B2，A2A3延长线交圆C2于B3，A3A4延长线交圆C2于B4.试证：四边形B1B2B3B4的周长2(四边形A1A2A3A4的周长).并确定的号成⽴的条件.3.在有限的实数列a1, a2, ... , a n中，如果⼀段数a k, a k+1, ... , a k+l-1的算术平均值⼤于1988，那么我们把这段数叫做⼀条“龙”，并把a k叫做这条龙的“龙头”(如果某⼀项a n>1988，那么单独这⼀项也叫龙).假设以上的数列中⾄少存在⼀条龙，证明：这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定⼤于1988.4.(1)设三个正实数a、b、c满⾜(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4).求证：a、b、c⼀定是某个三⾓形的三条边长.(2)设n个正实数a1, a2, ... , a n满⾜(a12+ a22+ ... + a n2)2>(n-1)(a14+ a24+ ... + a n4)其中n≧3.求证：这些数中任何三个⼀定是某个三⾓形的三条边长.5.给出三个四⾯体A i B i C i D i(i=1, 2, 3)，过点B i、C i、D i作平⾯αi、βi、γi(i=1, 2, 3)，分别与棱A i B i、A i C i、A i D i垂直(i=1, 2, 3)，如果九个平⾯αi、βi、γi(i=1, 2, 3)相交于⼀点E，⽽三点A1、A2、A3在同⼀直线l上，求三个四⾯体的外接球⾯的放条(形状怎样？位置如何？).6.如n是不⼩于3的⾃然数，以f(n)表⽰不是n的因⼦的最⼩⾃然数，例如f(12)=5.如果f(n)3，⼜可作f(f(n)).类似地，如果，f( f(n) )≧3，⼜可作f( f( f(n)))等等.如果f( f(...f(n) ...)) =2，共有k个f，就把k叫做n的“长度”.如果l n表⽰n的长度，试对任意⾃然数n (n≧3)，求l n.并证明你的结论. 1989年第四届中国数学奥林匹克1.在半径为1的圆周上，任意给定两个点集A、B，它们都由有限段互不相交的弧组成，其中B的每段的长度都等于π/m，m是⾃然数.⽤A j表⽰将集合A反时针⽅向在圆同上转动jπ/m弧度所得的集合(j=1, 2, ...).求证：存在⾃然数k，使得L(A j∩B)≧L(A)L(B)/(2π).这⾥L(x)表⽰组成点集x的互⽰相交的弧段的长度之和.2.设x1, x2, ... , x n都是正数(n≧2)且x1+ x2+ ...+x n=1.求证：.3.设S为复平⾯上的单位圆同(即模为1的复数的集合)，f为从S到S的映射，对于任意S的元素z，定义f(1)(z)=f(z)，f(2)(z)=f( f(z))，...，f(k)(z)=f( f(k-1)(z) ).如果S的元素c，使得f(1)(z)≠c，f(2)(c)≠c，...，f(n-1)(c)≠c，f(n)(c)≠c.则称c为f的n─周期点.设m是⼤于1的⾃然数，f定义为f(z)=z m，试计算f的1989─周期点的总数.4.设点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上，且△AEF、△BFD、△CDE的内切圆有相等的半径r，⼜以r0的R分别表⽰△DEF 和△ABC的内切圆半径.求证：r+r0=R.5.空间中有1989个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何三个不同的组中各取⼀点为顶点作三⾓形.6.设f：(1, +∞)→(0, +∞)满⾜以下条件：对于任意实数x、y>1，及u、v>0，有f(x u y v)≦f(x)1/(4u) f(y)1/(4v).试确定所有这样的函数.1990年第五届中国数学奥林匹克1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平⾏，圆O1过A、B且与边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于E、F.求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD.2.设x是⼀个⾃然数，若⼀串⾃然数x0=1,x2, ... , x n=x满⾜x i-1{ x0 , x1 , ... , x n}为x的⼀条因⼦链.l称为该因⼦链的长度.L(x)与R(x)分别表⽰x的最长因⼦链的长度和最长因⼦链的条数.对于x=5k×31m×1990n，k、m、n都是⾃然数，试求L(x)与R(x).3.设函数f(x)对x>0有定义，且满⾜条件：i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)；ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M.求证：f(x)≦x2 .4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定⽅程组：x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3有整数解的充份必要条件(⽤A、B的关系式表⽰，并予以证明).5.设X是⼀个有限集合，法则f使的X的每⼀个偶⼦集E(偶数个元素组成的⼦集)都对应⼀个实数f(E)，满⾜条件：a.存在⼀个偶⼦集D，使得f(D)>1990；b.对于X的任意两个⽰相交的偶⼦集A、B，有f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990.求证：存在X的⼦集P、Q，满⾜iii.P∩Q是空集，P∪Q=X；iv.对P的任何⾮空偶⼦集S，有f(S)>1990v.对Q的任何偶⼦集T，有f(T)≦1990.6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对⾓线组成的图形称为⼀个剖分图.求证：当且仅当3|n时，存在⼀个剖分图是可以⼀笔划的圈(即可以从⼀个顶点出发，经过图中各线段恰⼀次，最后回到出发点). 1991年第六届中国数学奥林匹克1.平⾯上有⼀凸四边形ABCD.i.如果平⾯上存在⼀点P，使得ΔABP、ΔBCP、ΔCDP、ΔDAP⾯积都相等，问四边形ABCD应满⾜甚么条件？ii.满⾜(i)的点P，平⾯上最多有⼏个？证明你的结论.2.设I=[0,1]，G={ (x, y) | x、y为I的元素}，求G到I的所有映像f，使得对I的任何x、y、z有i.f( f(x,y), z) =f( x, f(y,z) )；ii.f(x, 1) =x，f(1,y)=y；iii.f(zx, zy) =z k f(x,y).这⾥，k是与x、y、z⽆关的正数.3.地⾯上有10只⼩鸟在啄⾷，其中任意5只⼩鸟中⾄少有4只在⼀个圆上，问有鸟最多的圆上最少有⼏只鸟？4.求满⾜⽅程x2n+1-y2n+1=xyz+22n+1的所有正整数解组(x, y, z, n)，这⾥n≧2，z≦5×22n.5.求所有⾃然数n，使得min⾃然数k( k2+[n/k2] )=1991.这⾥[n/k]表⽰n/k的整数部份.6.MO牌⾜球由若⼲多边形⽪块⽤三种⽰同颜⾊的丝线缝制⽽成，有以下特点：i.任⼀多边形⽪块的⼀条边恰与另⼀多边形⽪块同样长的⼀条⽤⼀种六⾊的丝线缝合；ii.⾜球上每结点，恰好是三个多边形的顶点，每⼀结点的三条缝线不相同.求证：可以在MO牌⾜球的每⼀结点上放置⼀个不等于1的复数，使得每⼀多边形的所有顶点上放置的复数的乘积都相等. 1992年第七届中国数学奥林匹克1.设⽅程x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+....+a1x+a0=0的系数都是实数，且适合条件0≦....≦a n-1≦1.已知λ为⽅程的复数根且适合条件|λ|>1，试证：λn+1=1.2.设x1, x2, ... , x n为⾮负实数，记x n+1= x1，a=min{x1, x2, ... , x n}，试证：n Σ i=11+x i_1+x i+1≦n+1(1+a)2nΣi=1(x i-a)2，3.且等式成⽴当且仅当x1 =x2= ...=x n.4.在平⾯上划上⼀个9x9的⽅格表，在这上⼩⽅格的每⼀格中都任意填⼊+1或-1.下⾯⼀种改变填⼊数字的⽅式称为⼀次变动；对于任意⼀个⼩⽅格有⼀条公共边的所有⼩⽅格(不包含此格本⾝)中的数作连乘积，于是每取⼀个格，就算出⼀个数，在所有⼩格都取遍后，再将这些算出的数放⼊相应的⼩⽅格中.试问是否总可以经过有限次变动，使得所有⽅⼩⽅格中的数都变为1？5.凸四边形内接于圆O，对⾓线AC与BD相交于P，ΔABP与ΔCDP的外接圆相交于P和另⼀点Q，且O、P、Q三点两两不重合.试证∠OQP=90.6.在有8个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的是⼤值是多少？7.已知整数序列{a1, a2, ...... }满⾜条件：1.a n+1=3a n-3a n-1+a n-2，n=2, 3, ......2.2a1= a0+a2-2.3.对任意的⾃然数m，在序列{a1, a2, ...... }中必有相继的m项a k, a k+1, ... , a k+m-1都为完全平⽅数.试证：序列{a1, a2, ...... }的所有项都是完全平⽅数.1993年第⼋届中国数学奥林匹克1.设n是奇数，试证明存在2n个整数a1, a2, ... , a n；b1, b2, ... , b n，使得对于任意⼀个整数k，02.给定⾃然数k及实数a>0，在下列条件k1+ k2+ ...+k n=k，k i为⾃然数其中1≦r≦k下，求a k1+ a k2+ ... + a kr的最⼤值.3.设圆K和K1同⼼，它们的半径分别为R和R1，R1>R.四边形ABCD内接于圆K，四边形A1B1C1D1内接于圆K1，点A1、B1、C1、D1分别在射线CD、DA、AB、BC 上，求证：S A1B1C1D1 /SABCD≧R12/R2.4.给定集合S={z1, z2, ... , z1993}，其中z1, z2, ... , z1993是⾮零复数(可看作平⾯试的⾮零向量).求证可以把S中的元素分成若⼲组，使得i.S中每个元素属于且仅属于其中⼀组；ii.每⼀组中任⼀复数与该组所有复数之和的夹⾓不超过90.；iii.将任意两组中复数分别求和，求得和数之间的夹⾓⼤于90..5.10⼈到书店买书，已知i.每⼈都买了三种书；ii.任何两⼈所买的书，都⾄少有⼀种相同.问购买⼈数最多的⼀种书最(⾄)少有⼏⼈购买？说明理由.6.设函数f：(0, +∞)→(0, +∞)满⾜以下条件：对于任意正实数x、y，有f(xy)≦f(x)f(y).试证：对任意的正实数x及⾃然数n，有f(x n)≦f(x)f(x2)1/2...f(x)1/n.1994年第九届中国数学奥林匹克1.设ABCD是⼀个梯形(AB//CD)，E是线段AB试⼀点，F是线段CD上⼀点，线段CE与BF相交于点H，线段ED与AF相交于点G，求证：S EHFG≦S ABCD/4.如果ABCD 是⼀个任意的凸圆边形，同样结论是否成⽴？请说明理由.2.n(n≧4)个盘⼦⾥放有总数不少于4的糖块，从任意的两个盘⼦各取⼀块糖，放⼊另⼀个盘⼦中，称为⼀次操作，问能可经过有限次操作，将所有的糖块集中列⼀个盘⼦⾥去？证明你的结论.3.求适合以下条件的所有函数f：[0, +∞)→[0, +∞)，i.f(2x)≦2(x+1)；ii.f(x+1) = [ f(x)2 -1]/x.4.已知f(z)=C0z n+C1z n-1+C2z n-2+....+C n-1z+C n是⼀个n次复系数多项式，求证：⼀定存在⼀个复数z0，|z0|≦1，满⾜|f(z0)|≧|C0|+|C n|.5.对任何⾃然数n，求证：，其中0C0=1，[(n-k)/2]表⽰(n-k)/2的整数部份.6.设M为平⾯试坐标为(Px1994,7Px1994)的点，其中P是素数，求满⾜下述条件的直⾓三⾓形的个数：i.三⾓形的三个顶点都是整点，⾯且M是直⾓顶点；ii.三⾓形的内⼼是坐标原点.1995年第⼗届中国数学奥林匹克1.设2n个实数a1, a2, ... , a n；b1, b2, ... , b n(n≧3)满⾜i.a1+ a2+ ...+a n=b1+ b2+ ...+b n；ii.0iii.0求证：a n-1+ a n≦b n-1+b n.2.设N为⾃然数集合，f：N→N适合条件：f(1)=1，对于任何⾃然数n都有o3f(n) f(2n+1) =f(2n) ( 1+3f(n) )；o f(2n) < 6 f(n).试求⽅程f(k) +f(l)=293，其中k3.试求的最⼩值，其中x和y是任意整数.4.空间有四个球，它们的半径分别为2、2、3、3，每个球都与其余3个球外切，另有⼀个⼩球与那圆球都外切，求该⼩球的半径.5.设a1, a2, ... , a10是10个两两不同的⾃然数，它们的和为1995，试求a1a2+a2a3+...+a9a10+a10a1的最⼩值.6.设n是⼤于1的奇数，已给.设，i=1, 2, .... , n 其中.记，k=1, 2, ....若正整数m满⾜，求证：m是n的倍数.1996年第⼗⼀届中国数学奥林匹克1.设H是锐⾓△ABC的垂⼼，由A向BC为直径的圆作切线AP、AQ，切点分别为P、Q.求证：P、H、Q三点共线.2.设S={1, 2, ... , 50}，求最⼩⾃然数k，使S的任⼀k元素中，都存在两个不同的数a和b，满⾜(a+b)整除ab.3.设R为实数集合，函数f：R→R适合条件f( x3+y3 )=(x+y)( f(x)2 -f(x)f(y) +f(y)2 )，x、y为实数.试证：对⼀切实数x，都有f( 1996 x ) = 1996 f(x).4.8位歌⼿参加艺术会，准备为他们安排m次演出，每次由其中4位登台表演.要求8位歌⼿中任意两位同时演出的次数都⼀样多，请设计⼀种⽅案，使得演出的次数m最少.5.设n为⾃然数，，且.求证：.6.在△ABC中，∠C=90.，∠A=30.，BC=1，求△ABC的内接三⾓形(三顶点分别在三边上的三⾓形)的最长边的最⼩值.1998年第⼗三届中国数学奥林匹克1.在⼀个⾮钝⾓△ABC中，AB>AC，∠B=45.，O和I分别是△ABC的外它和内⼼，且√2 OI =AB - AC，求sin∠A.2.对于给定的⼤于的正整数n，是否存在2n个两两不周的正整数，同时满⾜以下两个条件：1.a1+a2+....+a n =b1+b2+....+b n ；2..请说明理由.3.设S={1, 2, .... , 98}，求最⼩⾃然数n，使得S的任⼀n元⼦集中都可以选出10个数，⽆论怎样将这10个数均分成两组，总有⼀组中存在⼀个数与另外4个数都互质，⽽另⼀组总有⼀个数与另外4个数都不互质.4.求所有⼤于3的⾃然数n，使得得1+n C1+n C2+n C3整除22000.5.设D为锐⾓三⾓形ABC内部⼀点，且满⾜条件：DAxDBxAB + DBxDCxBC + DCxDAxCA=ABxBCxCA.试确定D点的⼏何位置，并证明你的结论6.设n≧2，x1, x2, ...., x n为实数，且.对于每⼀个固定的⾃然数k (1≦k≦n)，求| x k |的最⼤值.1999年第⼗四届中国数学奥林匹克1.在锐⾓△ABC中，∠C >∠B，点D是边BC上⼀点，使得∠ADB是钝⾓，H是△ABD的垂⼼，点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆周上.求证点F是△ABC垂⼼的充份必要条件是：HD平⾏于CF且H在△ABC的外接圆周上.2.给定实数a，设实数多项式序列{ f n(x) }满⾜f0(x)=1，f n+1(x)=xf n(x)+f n(ax)，其中n=0,1, ....1.求证：f n(x)=x n f n(1/x)，其中n=0, 1, ....2.求证：f n(x)的明显表达式.3.MO太空城由99个空间站组成，全两空间站之间有管形通道相联.规定其中99条通道为双向通⾏的主⼲道，其余通道严格单向通⾏，如果某四个空间站可以通过它们之间的通道从其中任⼀站到达另外任⼀站，则称这四个站的集合为⼀个互通四站组.试为MO太空城设计⼀个⽅案，使得互通四站组的数⽬最⼤(请具体算出该最⼤数，并证明你的结论).4.设m是给定的整数，求证：存在整数a、b和k，其中a、b均不能被2整除，k≧0，使得2m=a19+b99+k × 21999.5.求最⼤的实数λ，使得当实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是⾮负实数时，只要x≧0，就有f(x)≧λ(x - a)3.并问上式中等号何时成⽴？6.设4x4x4的⼤正⽅体由64个单位正⽅体组成.选取其中的16个单位正⽅体涂成红⾊，使得⼤正⽅体中每个由4个单位正⽅体椭成的1x1x4的⼩长⽅体中，都恰有1个红正⽅体.问16个红正⽅体共有多少种不同取法？说明理由.2001年第⼗六届中国数学奥林匹克1.给定a，. 内接于单位圆ABCD的凸四边形适合以下条件：1.圆⼼在这凸四边形内部；2.最⼤边长是a , 最⼩边长是.过点A、B、C、D依次作圆Γ的四条切线L A、L B、L C、L D.已知L A与L B、L B与L C、L C与L D、L D与L A分别相交于A'、B' 、C' 、D' 四点. 求⾯积之⽐S A'B'C'D' /S ABCD的最⼤值与最⼩值.2.设X={1,2,3, … 2001}, 求最⼩的正整数m，适合要求：对X的任何⼀个m元⼦集W, 都存在u、v ( u和v允许相同)，使得u+v是2的⽅幂.3.在正n边形的每个顶点上各停有⼀只喜鹊.偶受惊吓，众喜鹊都飞去. ⼀段时间后，它们⼜都回到这些顶点上，仍是每个顶点上⼀只，但未必都回到原来的顶点. 求所有正整数n，使得⼀定存在3只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三⾓形或同为锐⾓三⾓形，或同为直⾓三⾓形，或同为钝⾓三⾓形4.设a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c是7个两两不同的质数, 且a, b, c中有两数之和是800.设d 是这7个质数中最⼤数与最⼩数之差.求d的最⼤可能值.5.将周长为24的圆周等分成24段. 从24个分点中选取8个点，使得其中任何两点间所夹的弧长都不等于3和8.问满⾜要求的8点组的不同取法共有多少种？说明理由.6.记a=2001.设A是适合下列条件的正整数对(m，n)所组成的集合：1.m < 2a；2.2n | (2am-m2+n2)；3. n2-m2+2mn≦2a(n-m).令，求和.2002年中国数学奥林匹克上海1⽉27⽇-28⽇早上8:00-12:30，每题21分.1.三⾓形ABC的三边长分别为a、b、c，bBC上.1.求在线段AB、AC内分别存在点E、F(不是顶点)满⾜BC=CF 和∠BDE=∠CDF的充份必要条件(⽤⾓A、B、C表⽰)；2.在点E和F存在的情况下，⽤a、b、c表⽰BE的长.2.设多项式序列{ P n(x) }满⾜：P1(x)=x2-1，P2(x)=2x(x2-1)，且P n+1(x)P n-1(x)=( P n(x) )2-(x2-1)2，n=2, 3, .....设S n为P n(x)各项系数的绝对值之和，对于任意正整数n，求⾮负整数k n使得2-k n S n 为奇数.3.18⽀⾜球队进⾏单循环赛，即每轮将18⽀球队分成9组，每组的两队赛⼀场，下⼀轮重新分组进⾏⽐赛，共赛17轮，使得每队都与另外17⽀队各赛⼀场.按任意可⾏的程序⽐赛了n轮之后，总存在4⽀球队，它们之间总共只赛了1场.求n的最⼤可能值.4.对于平⾯上任意四个不同点P1、P2、P2、P4，求的最⼩值.5.平⾯上横纵坐标都为有理数的点称为有理点.证明平⾯上的全体有理点可以分为三个两两不相交的集合，满⾜条件：1.在以每个有理点为圆⼼的任⼀圆内⼀定包含这三个集个中每个集合的点.2.在任意⼀条直线上不可能有三个点分别属于这三个集合.6.给定实数c，1/2≦....≦a n，只要满⾜，总有，其中m不超过cn的最⼤整数.。

中国数学奥林匹克(cmo)的考试内容

中国数学奥林匹克(cmo)的考试内容中国数学奥林匹克（CMO）是一个旨在选拔和培养我国数学界人才的重要赛事。

其考试内容涵盖了许多高阶数学知识，考察参赛者的数学素养和解决问题的能力。

下面就来谈谈CMO的考试内容。

首先，CMO的试题不仅仅是简单的计算和题型练习，更加注重参赛者对数学原理和定理的理解和运用。

试题难度相对较高，涉及到许多抽象的数学概念和方法，需要参赛者具备深厚的数学基础和灵活的思维能力。

通过解答这些题目，可以考察参赛者对数学问题的分析和解决能力，以及在面对复杂问题时的反应和处理方式。

其次，CMO的考试内容还包括了一些较为实用和有趣的数学问题，如概率统计、数论和几何等。

这些问题旨在培养参赛者的数学兴趣和思维能力，让他们在解题过程中感受到数学的魅力和趣味。

在这些问题中，参赛者需要灵活运用数学知识，发挥自己的想象力和创造力，找到解题的独特方法和思路。

此外，CMO的考试内容还涉及到一定的数学推理和证明题目。

这些题目要求参赛者具备严密的逻辑思维和推理能力，能够清晰地表述自己的思路和观点，用数学语言和方法证明所给定的问题。

通过这类题目的解答，可以考察参赛者的数学思维和逻辑推理能力，培养他们的数学素养和思维能力。

总的来说，CMO的考试内容涵盖了广泛的数学领域，考察参赛者的数学基础和能力。

参加CMO考试不仅可以检验自己的数学水平，更可以提高自己的数学素养和解决问题的能力。

通过认真准备和练习，可以更好地应对CMO的考试内容，取得优异的成绩和表现。

希望广大数学爱好者和学生能够重视CMO的考试内容，不断提高自己的数学水平和能力，为我国数学事业的发展贡献自己的力量。

2005年中国数学奥林匹克试题及略解

2005年中国数学奥林匹克试题及略解
无
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2005(000)004
【摘要】@@ 第一天rn郑州1月22日上午8:00～12:30rn(每题21分)rn一、设θi∈(-π/2,π/2),i=1,2,3,4.证明:存在x∈R,使得如下两个不等式rncosθ1cosθ2-(sinθ1sinθ2-x)2≥0,①rncosθ3cos2θ4-(sinθ3sinθ4-x)2≥0,②
【总页数】4页(P47-50)
【作者】无
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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