初中九年级(初三)数学课件 一元二次函数

數列1
-40
y
數列1
-50
-50
-50
-60
-60
-60
-70
-70
-70
-80
-80
-80-90 x源自-90 x-90 x
一元二次函數圖像和系數關係的 解說
Y=ax2+bx+c =a(x2+b/a x+c/a) =a[x2+2(b/2a)x+(b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a] =a[(x+b/2a)2-(b/2a)2+c/a)] =a(x+b/2a)2+a[-(b/2a)2+c/a] =a(x+b/2a)2+a[-b2/4a2 +c/a] =a(x+b/2a)2 + a[-b2+4ac/4a2] =a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a
▪ 作出比較 a=-1，b=36，c=0，可見在 x=b/2a 時，即x=-36/2(-1)=18，Y有最大值
▪ 此結果與用圖解方法所獲得的答案相同
40
在 x=18 cm 的時候，Y有最大
-100
值，也是拐點的坐標
-200
❖ 就是說：給予一定邊長矩形的 -300
條件下，正方形的面積最大。
x
一元二次函數例子的解答(II)
36-x
▪ Y = -x2+36x x
▪ 一元二次函數普遍表達式 Y=ax2+bx+c==a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a
y=2x2-5x+3 90 80 70 60 50 y 40 30 20 10 0 -10 -5 x0 5
數列1 10
一元二次函數圖像和系數的關
係
▪ 右圖顯示的是函數 y = 2x2+5x+3 的圖 像它和前述的y =2x25x+3 比較，也只有 一符號的差別，但這 y 條曲條的拐點，卻落 在y-軸的左邊。
▪ Y =x(36-x) =36x – x2
▪ 這是典型的一元二次函數例子
一元二次函數的例子
▪ 周長為72 cm 的長方形，當面積 最大時，各邊長應為若干?
▪ 解答 : ▪ 此長方形的面積 y 和 x 的關係
既然已找到:
▪ Y =x(36-x) =36x – x2= -x2+36x
36-x x
▪ 怎樣的 x 才可以找到最大值的 Y ? 這有賴我們對一元二次函數 的認識
一元二次函數圖像和系數關係
的表解
y=ax*x+bx+c
a>0
a<0
拋物線開口向上
拋物線開口向下
b*b-4ac=D
b*b-4ac=D
D>0
D=0
D<0
D>0
D=0
D<0
拋物線與x-軸有二交點 拋物線與x-軸有一交點 拋物線與x-軸沒有交點 拋物線與x-軸有二交點 拋物線與x-軸有一交點 拋物線與x-軸沒有交點
▪ 解答可以在隨後有關一元二次函 數的解說中獲得
一元二次函數的專有名辭
▪ 一元二次函數有著普遍的表達式 Y=ax2+bx+c ▪ 它表示了ｘ(自變量) 和ｙ(因變量) 的關係 ▪ 在等式右邊只有一變量 x，所以稱為一元 ▪ X自乘的最高次數是二，所以稱為二次 ▪ 函數的意思是每次選定一個 x 的數值，只會產生
y=-2x2+5x+1
y=-2x2+5x-2
10
10
10
0
0
0
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-20
-20
-20
-30 y
-40
數列1
-30
y
-40
-30
數列1 y
-40
數列1
-50
-50
-50
-60
-60
-60
-70
-70
-70
b/a 是 +，拐點在y-軸 左邊
b/a 是-，拐點在y-軸右 邊
y=-2x2-5x+3
20
0
-5 -20 0
5
-40
-60
-80
-100
-120
-140 x
10 數列1
一元二次函數圖像和系數的關 係
曲線的左右移動决定於 a、b 的符號
曲線的上下移動决定於 a、b、c 的符號及數值 -10 的大小
右圖顯示的是函數 y y =- 2x2+5x+c 的圖像， 隨著 c 值 由 3 遞減至 – 7，曲線也在同一位置由 上向下滑動。
y=-2x2+5x+3 10 0 -5 -10 0 5 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 x
10 數列1
一元二次函數圖像和系數的關 係
y=-2x2+5x+2
y=-2x2-5x+3 20
0
-10
-5
0
-20
-40
y
-60
-80
-100
-120
-140 x
數列1
5
10
一元二次函數圖像和系數的關
係
一元二次函數基本是一 條抛物線，但隨著系數 的變化而改變開口端向 上、下或整條曲線向 左、 、右、上、下 移動
右圖顯示的是函數
y = 2x2-5x+3 的圖像， 它和前述的y =-2x2-5x+3 比較，只有一符號的差 別， ，但曲線向上開口， 可見開口端是曲系數a 的符號决定的，a 是正 數、向上，a 是負數、 向下
一個 y 的數值 ▪ a、b、 c 在這裡代表一些數值，稱為函數的系數
一元二次函數圖像的普遍式樣
▪ 右圖顯示的是函數
y = -2x2-5x+3 的圖像
▪ 所有的一元二次函數都 有相似的圖像
▪ 這樣形式的圖像稱為抛 物線
▪ 每條抛物線都有一最高 或最低的點稱「拐點」
▪ 此函數的系數是-2，曲 線向下開口
總結: 不管a 的符號是+或-, D = 0 有 一 交點, D>0 有二交點, D<0沒有交點
❖一元二次函數例子的解答(I)
36-x
y=-x2+36x x
400
300
❖ Y = -x2+36x
200
✓ 怎樣的 x 才可以找到最大值的
100
Y?
y
0
❖ 右邊的圖表給了解答，它說明
-10
0
10
20
30
-80
-80 x
-80 x
-90 x
一元二次函數圖像和系數的關 係
y=-2x2+5x-3
y=-2x2+5x-4
y=-2x2+5x-7
0
0
0
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-20
-20
-20
-30
-30
-30
-40 y
數列1 y
-40
一元二次函數
Ｙ＝ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ
性質及應用
一元二次函數的例子
▪ 周長為72 cm 的長方形，當面積 最大時，各邊長應為若干?
▪ 解答 :
▪ 此長方形周長的一半是36cm， 設它的一邊長為x cm， 則另一 邊長為 (36-x) cm
36-x x
▪ 此長方形的面積 y 和 x 的關係 可以表達成:
-10
y=2x2+5x+3
160 140 120 100 80 60 40 20
0 -5 0 x 5
數列1 10
一元二次函數圖像和系數的關
係
✓ 右圖顯示的是函數
y =- 2x2-5x+3 的圖像
它和前述的 y=2x2+5x+3 比較，有二 -10 個符號不一樣。
✓ 但這兩條曲條的拐點同 樣在 y-軸的左邊，可見 y 拐點是由系數 b/a決定 的: