2021-2022年高考数学二轮复习 攻克圆锥曲线解答题的策略 新人教版

2021-2022年高考数学二轮复习 攻克圆锥曲线解答题的策略 新人教版

摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、

方法储备、思维训练、强化训练。

关键词：知识储备 方法储备 思维训练 强化训练

第一、知识储备：

1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容

①倾斜角与斜率

②点到直线的距离 ③夹角公式：

（3）弦长公式

直线上两点间的距离：

=或

（4）两条直线的位置关系

①=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且

2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

标准方程：22

1(0,0)x y m n m n m n

+=>>≠且

2a =

参数方程：

(2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：

距离式方程：2a =

(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22

222b b p a a

椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M 满足则动点M 的轨迹是（ ）

A 、双曲线；

B 、双曲线的一支；

C 、两条射线；

D 、一条射线

(5)、焦点三角形面积公式：122tan

2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S 122cot 2

F PF P b θ∆=在双曲线上时，S （其中222

1212121212||||4,cos ,||||cos ||||

PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，

上加下减”。

（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为

（3）11||,||22

p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？

第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题）

设、，为椭圆的弦中点则有

，；两式相减得

()()03422212221=-+-y y x x ()()()()

3

421212121y y y y x x x x +--=+-= 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数

的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消

元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、

B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线

为，就意味着k 存在。

例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程;

（2）若角A 为，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第

二问抓住角A 为可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出

点D 的轨迹方程；

解：（1）设B （,）,C(,),BC 中点为(),F(2,0)

则有 两式作差有 016

))((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x (1)

F(2,0)为三角形重心，所以由，得

由得，

代入（1）得

直线BC 的方程为

2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2）

设直线BC 方程为8054,2

2=++=y x b kx y 代入，得 080510)54(222=-+++b bkx x k

，

22

22122154804,548k

k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 ，解得或

直线过定点（0，，设D （x,y ）

则

1494-=-⨯+

x

y x y 即 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9

20()916(222≠=-+y y x 。 4、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，双曲线过C 、D 、E 三点，

且以A 、B 为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运

算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设C ，代入，求

得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采

取设而不求的解题策略,

建立目标函数，整理,化繁为简.

解法一：如图，以AB 为垂直平分线为轴，直线AB 为轴，建立直角坐标系，则CD ⊥轴因为双曲线经过点C 、

D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于轴对称

依题意，记A ，C ，E ，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高

由定比分点坐标公式得

，

设双曲线的方程为，则离心率

由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和代入双曲线方程得

， ①