浙大第四版概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
浙江大学概率论与数理统计第4版复习笔记详解
浙江大学概率论与数理统计第4版复习笔记详解|才聪学习网浙江大学《概率论与数理统计》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解文章来源：才聪学习网/概率论与数理统计内容简介本书是浙江大学盛骤等主编的《概率论与数理统计》（第4版）的学习辅导书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。
本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。
因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的知识精华。
（2）详解课后习题，巩固重点难点。
本书参考大量相关辅导资料，对盛骤主编的《概率论与数理统计》（第4版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
（3）精选考研真题，培养解题思路。
本书从历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对之做了详尽的解析。
所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。
目录第1章概率论的基本概念1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 考研真题详解第2章随机变量及其分布2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 考研真题详解第3章多维随机变量及其分布3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 考研真题详解第4章随机变量的数字特征4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 考研真题详解第5章大数定律及中心极限定理5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 考研真题详解第6章样本及抽样分布6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 考研真题详解第7章参数估计7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 考研真题详解第8章假设检验8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 考研真题详解第9章方差分析及回归分析9.1 复习笔记9.2 课后习题详解9.3 考研真题详解第10章bootstrap方法10.1 复习笔记10.2 课后习题详解10.3 考研真题详解第11章在数理统计中应用Excel软件11.1 复习笔记11.2 课后习题详解11.3 考研真题详解第12章随机过程及其统计描述12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 考研真题详解第13章马尔可夫链13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 考研真题详解第14章平稳随机过程14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 考研真题详解复习笔记详解第1章概率论的基本概念1.1 复习笔记在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象．一、随机试验1．定义试验包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验．2．试验的特点（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机试验．二、样本空间、随机事件1．样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点．2．随机事件一般地，称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件．在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生．特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件．样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集：（1）在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件．（2）空集不包含任何样本点，也是样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件．3．事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理．设试验E的样本空间为S，而A，B，A k（k＝1，2，…）是S的子集．（1）包含关系①若，则称事件B包含事件A，即事件A发生必导致事件B发生；②若且，即A＝B，则称事件A与事件B相等．（2）和事件事件A∪B＝{x|x∈A或x∈B）称为事件A与事件B的和事件．当且仅当A，B 中至少有一个发生时，事件A B发生．称为n个事件A1，A2，…，A n的和事件；称为可列个事件A1，A2，…的和事件．（3）积事件事件A∩B＝{x|x∈A且x∈B）称为事件A与事件B的积事件．当且仅当A，B 同时发生时，事件A∩B发生.A∩B也记作AB．称为n个事件A1，A2，…，A n的积事件；称为可列个事件A1，A2，…的积事件．（4）差事件事件A-B＝{x|x∈A且x B）称为事件A与事件B的差事件．当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生．（5）互斥若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的．即事件A与事件B不能同时发生．基本事件是两两互不相容的．（6）逆事件若A∪B＝S且，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件．对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生．A的对立事件记为．（7）定律设A，B，C为事件，则有：①交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；②结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；③分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A ∩C）；④德摩根律：；．。
理学概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
9
§2 样本空间·随机事件
(一)样本空间
定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}，
例：
➢ ➢
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
第十二章 平稳随机过程
• 12.1 平稳随机过程的概念 • 12.2 各态历经性 • 12.3 相关函数的性质 • 12.4 平稳过程的功率谱密度
5
概率论
第一章概率论的基本概念
6
第一章 概率论的基本概念
关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性
7
§1 随机试验
确定性现象
解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次 试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由 怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者， 即认为其接待时间是有规定的。
概率论与数理统计(浙大_第四版简明本--盛骤) 第一章
解：
S={1,2,…,8} A={1,2,3}
P
A
3 8
22
例2：从上例的袋中不放回的摸两球，
记A={恰是一红一黄}，求P(A)．
解：
P( A)
C31C51
/ C82
15 28
53.6%
例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件，
记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)．
解：P(
• 7.1 参数的点估计 • 7.2 估计量的评选标准 • 7.3 区间估计
第八章
假设检验
• 8.1 假设检验 • 8.2 正态总体均值的假设检验 • 8.3 正态总体方差的假设检验 • 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 • 8.5 样本容量的选取 • 8.6 分布拟合检验 • 8.7 秩和检验
自然界与社会生活中的两类现象
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定
明天天气状况
——不确定
买了彩票会中奖 ——不确定
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概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
第九章 方差分析及回归分析
• 9.1 单因素试验的方差分析 • 9.2 双因素试验的方差分析 • 9.3 一元线性回归 • 9.4 多元线性回归
5
概率论
第一章概率论的基本概念
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第一章 概率论的基本概念
关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性
概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分
浙江大学 盛骤
2019/3/16
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概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
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第一章
• • • • • • 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
概率论的基本概念
随机试验 样本空间 概率和频率 等可能概型（古典概型） 条件概率 独立性
第二章
• • • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
第九章 方差分析及回归分析
• • • • 9.1 9.2 9.3 9.4 单因素试验的方差分析 双因素试验的方差分析 一元线性回归 多元线性回归
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第十章 随机过程及其统计描述
• 10.1 随机过程的概念 • 10.2 随机过程的统计描述 • 10.3 泊松过程及维纳过程
第十一章 马尔可夫链
15
§3 频率与概率
(一)频率 n A； f ( A ) 定义：记 n n 其中 nA—A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称fn ( A)为A在这n次试验中发生的频率。 例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
1 n； 一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为
nH
251 249 256 253 251 246 244 258 262 247
fn(H)
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
表 2
实验者
德·摩根 蒲丰
K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
nH
fn(H)
2048 4040
12000 24000
关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性
概率论与数理统计浙大第四版
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
概率论与数理统计(第4版)浙江大学 盛聚编
对同一个参数，我们(wǒ men)可以构造许多置信区间.
1.在概率密度为单峰且对称(duìchèn)的情形，当a =-b 时求得的置信区间的长度为最短.
2.即使在概率密度不对称的情形，如 分布， F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的 置信区间.
17
共十八页
内容(nèiróng)总结
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本(yàngběn)算得的一个值去 估计未知参数. 但是，点估计值仅仅。X1,X2,。可靠度与精度是一对 矛盾，一般是。按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,。个区间, 使得 U取值于该区间的概率为置信水平.。从例1解题的过程，我们归纳出 求置信区间的一般步骤如下:。T(X1,X2,。的分布为已知, 不依赖于任何 未知参数 .。而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是。17
7
共十八页
2、置信区间的求法 在求置信区间时，要查表求分位点.
若 X 为连续型随机变量(suí jī biàn liànɡ) , 则有
所求置信区间为
8
共十八页
同样 对 (tóngyàng) 于
所求置信区间为
共十八页
由此可见，置 信水平为 的置信区间是 不唯一的。
9
例 设X1,…Xn是取自
的样本，
共十八页
第四节 区间 估计 (qū jiān)
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个 (yī ɡè)值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计 的这个缺陷 .
1
共十八页
1、 置信区间定义(dìngyì)
3. 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数 U(T, ),且其分布为已知.
(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件 的概率。
（8）古典概型
1° ，
2° 。
设任一事件 ，它是由 组成的，则有
P(A)= =
（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，
（4）
（5）对于
.
（4）离散型与连续型的关系
（5）边缘分布
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
。
连续型
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
（6）条件分布
离散型
在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为
在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为
连续型
在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
；
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为
Z=X+Y
根据定义计算：
对于连续型，fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
，
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：
分布
设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
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（7）概率 的公理化 定义
Ai Ai
德摩根率： i1
i1
AB AB，AB AB
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：
件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
An 1) 。 ①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独 立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有
A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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概率论与数理统计 公式（全）
知识点总结
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同
时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不 相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示
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概率论与数理统计 公式（全）
知识点总结
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
浙江大学概率论与数理统计(盛骤第四版)——概率论部分1-90页精品文档
# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
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n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
i1
i1
i1
i1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来}
都不来}
A BAB{甲、乙至少有一人不来}
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§3 频率与概率
例：
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
S={0,1,2,…}； 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 记录一批产品的寿命x S={ x|a≤x≤b }
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(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且 仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
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第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…} S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ 为不可能事件，Φ 不包含
概率论与数理统计(浙大_第四版简明本--盛骤) 第一章
则 P(A)=90% 而P(B)=85.5% 记：P(B|A)=95%
解：（1）放回抽样，显然有 P(B)=a/(a+b).
(2) 不放回抽样，各人取一只球，每种取法是一个基本事件。共 有P(k,a+b)个基本事件，且由对称性知每个基本事件发生的可能 性相同。当事件B发生时，第i人取的是白球，有a种取法。其余被 取的k-1只可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只，共有P(k-1,a+b1)种取法。于是
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足：
1. S中样本点有限(有限性) 2. 出现每一样本点的概率相等(等可能性)
P A
A所包含的样本点数 S中的样本点数
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
21
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
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第四章
随机变量的数字特征
• 4.1 数学期望 • 4.2 方差 • 4.3 协方差及相关系数 • 4.4 矩、协方差矩阵
第五章
大数定律和中心极限定理
• 5.1 大数定律 • 5.2 中心极限定理
第六章 数理统计的基本概念
• 6.1 总体和样本 • 6.2 常用的分布
4
第七章
参数估计
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
# 3。的推广：
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
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(NEW)浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 概率论的基本概念1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 考研真题详解第2章 随机变量及其分布2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 考研真题详解第3章 多维随机变量及其分布3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 考研真题详解第4章 随机变量的数字特征4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 考研真题详解第5章 大数定律及中心极限定理5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 考研真题详解第6章 样本及抽样分布6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 考研真题详解第7章 参数估计7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 考研真题详解第8章 假设检验8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 考研真题详解第9章 方差分析及回归分析9.1 复习笔记9.2 课后习题详解9.3 考研真题详解第10章 bootstrap方法10.1 复习笔记10.2 课后习题详解10.3 考研真题详解第11章 在数理统计中应用Excel软件11.1 复习笔记11.2 课后习题详解11.3 考研真题详解第12章 随机过程及其统计描述12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 考研真题详解第13章 马尔可夫链13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 考研真题详解第14章 平稳随机过程14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 考研真题详解第1章 概率论的基本概念1.1 复习笔记在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象．一、随机试验1．定义试验包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验．2．试验的特点（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机试验．二、样本空间、随机事件1．样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点．2．随机事件一般地，称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件．在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生．特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件．样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集：（1）在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件．（2）空集不包含任何样本点，也是样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件．3．事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理．设试验E的样本空间为S，而A，B，A k（k＝1，2，…）是S的子集．（1）包含关系①若，则称事件B包含事件A，即事件A发生必导致事件B发生；②若且，即A＝B，则称事件A与事件B相等．（2）和事件事件A∪B＝{x|x∈A或x∈B）称为事件A与事件B的和事件．当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件A B发生．称为n个事件A1，A2，…，A n的和事件；称为可列个事件A1，A2，…的和事件．（3）积事件事件A∩B＝{x|x∈A且x∈B）称为事件A与事件B的积事件．当且仅当A，B同时发生时，事件A∩B发生.A∩B也记作AB．称为n个事件A1，A2，…，A n的积事件；称为可列个事件A1，A2，…的积事件．（4）差事件事件A-B＝{x|x∈A且x B）称为事件A与事件B的差事件．当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生．（5）互斥若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的．即事件A与事件B不能同时发生．基本事件是两两互不相容的．（6）逆事件若A∪B＝S且，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件．对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生．A的对立事件记为．（7）定律设A，B，C为事件，则有：①交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；②结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；③分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）；④德摩根律：；．三、频率与概率1．频率（1）定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值n A/n称为事件A发生的频率，并记成．（2）基本性质①；②；③若A1，A2，…，A k是两两互不相容的事件，则2．概率（1）定义设E是随机试验，S是它的样本空间．对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数满足下列条件：①非负性：对于每一个事件A，有P（A）≥0；②规范性：对于必然事件S，有P（S）＝1；③可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于，i≠j，i，j＝1，2，…，有P（A1∪A2∪…）＝P（A1）＋P（A2）＋…．（2）性质①；②（有限可加性）若A1，A2，…，A n是两两互不相容的事件，则有P（A1∪A2∪…∪A n）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（A n）③设A，B是两个事件，若，则有P（B－A）＝P（B）－P（A）与P（B）≥P（A）④对于任一事件A，P（A）≤1；⑤（逆事件的概率）对于任一事件A，有；⑥（加法公式）对于任意两事件A，B有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；一般，对于任意n个事件A1，A2，…，A n，可以用归纳法证得四、等可能概型（古典概型）1．定义如果一个试验具有以下两个特点：（1）试验的样本空间只包含有限个元素；（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同.则这种试验称为等可能概型，又称古典概型．2．等可能概型的计算公式若事件A包含k个基本事件，即A＝，这里，是1，2，…，n中某k个不同的数，则有五、条件概率1．条件概率（1）定义设A，B是两个事件，且P（A）＞0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．（2）性质①非负性：对于每一事件B，有P（B|A）≥0；②规范性：对于必然事件S，有P（S|A）＝1；③可列可加性：设B1，B2，…是两两互不相容的事件，则有2．乘法定理（1）设P（A）＞0，则有P（AB）＝P（B|A）P（A），又称乘法公式．（2）一般，设A1，A2，…，A n为n个事件，n≥2，且，则有3．全概率公式和贝叶斯公式（1）样本空间划分的定义设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，B n为E的一组事件．若①，i≠j，i，j＝l，2，…，n；②B1∪B2∪…∪B n＝S，则称B1，B2，…，B n为样本空间S的一个划分．若B1，B2，…，B n是样本空间的一个划分，则对每次试验，事件B1，B2，…，B n中必有一个且仅有一个发生．（2）全概率公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，B n为S的一个划分，且（i＝1，2，…，n），则P（A）＝P（A|B1）P（B1）＋P（A|B2）P（B2）＋…＋P（A|B n）P（B n）（3）贝叶斯公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，B n为S的一个划分，且，（i＝1，2，…，n），则注：在n＝2的情况下，全概率公式和贝叶斯公式分别成为六、独立性1．两个事件独立（1）定义设A，B是两事件，如果满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立．（2）两个定理①设A，B是两事件，且P（A）＞0，若A，B相互独立，则P（B|A）＝P（B）．反之亦然．②若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立A与，与B，与2．三个事件独立设A，B，C是三个事件，如果满足等式则称事件A，B，C相互独立．3.n个事件独立（1）定义设A1，A2，…，A n是n（n≥2）个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1， A2，…，A n相互独立．（2）两个推论①若事件A1，A2，…，A n（n≥2）相互独立，则其中任意k（2≤k≤n）个事件也是相互独立的．②若n个事件A1，A2，…，A n（n≥2）相互独立，则将A1，A2，…，A n 中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立．1.2 课后习题详解1．写出下列随机试验的样本空间S：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0，1，2，3，…，100n，试验的样本空间为（2）设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为或写成 （3）采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为（4）取一直角坐标系，则有，若取极坐标系，则有2．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中至少有一个发生；（4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C中不多于一个发生；（7）A，B，C中不多于两个发生；（8）A，B，C中至少有两个发生．解：以下分别用表示（1），（2），…，（8）中所给出的事件．一个事件不发生即为它的对立事件发生，例如事件A不发生即为发生．（1）A发生，B与C不发生，表示A，，同时发生，故或写成；（2）A与B都发生而C不发生，表示A，B，同时发生，故或写成；（3）①方法1 由和事件的含义知，事件即表示A，B，C中至少有一个发生，故；②方法2 事件“A，B，C至少有一个发生”是事件“A，B，C都不发生”的对立事件，因此，；③方法3 事件“A，B，C中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，又可写成（4）；（5）；（6）“A，B，C中不多于一个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C 中恰有一个发生，因此，；又“A，B，C中不多于一个发生”表示“A，B，C中至少有两个不发生”，亦即，，中至少有一个发生，因此又有；又“A，B，C中不多于一个发生”是事件G＝“A，B，C中至少有两个发生”的对立事件．而事件G可写成，因此又可将写成（7）“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C 中恰有一个发生或A，B，C中恰有两个发生．因此又“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C中至少有一个不发生，亦即中至少有一个发生，即有；又“A，B，C中不多于两个发生”是事件“A，B，C三个都发生”的对立事件，因此又有；（8），也可写成．3．（1）设A，B，C是三个事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝0，P（AC）＝，求A，B，C至少有一个发生的概率．（2）已知P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（AB）＝，P（AC）＝，P（BC）＝，P（ABC）＝，求，，，，，的概率．（3）已知P（A）＝，（i）若A，B互不相容，求；（ii）若P（AB）＝，求．解：（1）由，已知，故，得，所求概率为．（2）记，由加法公式（3）（i）；（ii）．4．设A、B是两个事件（1）已知，验证A＝B；（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）＋P（B）-2P（AB）．解：（1）假设，故有，则,即AS＝SB，故有A＝B．（2）A，B恰好有一个发生的事件为，其概率为5．10片药片中有5片是安慰剂（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率；（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率．解：（1）p＝1-P（取到的5片药片均不是安慰剂）-P（取到的5片药片中只有1片是安慰剂），即p（2）．6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率．解：在房间里任选3人，记录其佩戴的纪念章的号码，10人中任选3人共有＝种选法，此即为样本点的总数．以A记事件“最小的号码为5”，以B记事件“最大的号码为5”．（1）因选到的最小号码为5，则其中一个号码为5且其余两个号码都大于5，它们可从6～10这5个数中选取，故，从而；（2）同理，，故．7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客．问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：以S表示：在17桶油漆中任取9桶给顾客．以A表示事件“顾客取到4桶白漆、3桶黑漆与2桶红漆”，则有，，故事件A发生的概率为8．在1500件产品中有400件次品、1100件正品．任取200件．（1）求恰有90件次品的概率；（2）求至少有2件次品的概率．解：总数S：从1500件产品中任取200件产品．以A表示事件“恰有90件次品”，以B i表示事件“恰有i件次品”，i＝0，1，以C表示事件“至少有2件次品”．（1）故 ；（2），其中，，互不相容，所以因,故，因此有9．从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：总数S：从5双不同的鞋子中任取4只．以A表示事件“所取4只鞋子中至少有两只配成一双鞋子”，则表示事件“所取4只鞋子无配对”．先计算P（）较为简便．以下按N（）的不同求法，列出本题的3种解法，另外还给出一种直接求P（A）的解法．解法一：考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的，从5双（10只）鞋子中任取4只共有10×9×8×7种取法，N（S）＝10×9×8×7．现在来求N（）：第一只可以任意取，共有10种取法，第二只只能在剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的8只鞋子中任取一只，共8种取法；同理第三只、第四只各有6种、4种取法，从而N（）＝10×8×6×4．故解法二：从10只鞋子中任取4只，共有种取法，即．为求N（），先从5双鞋子中任取4双共有种取法，再自取出的每双鞋子中各取1只（在一双中取一只共有2种取法），共有种取法，即．故解法三：现在来求N（）．先从5只左脚鞋子中任取k只（k＝0，1，2，3，4），有种取法．而剩下的4-k只鞋子只能从（不能与上述所取的配对的）5-k只右脚鞋子中选取，即对于每个固定的k，有种取法．故，故解法四：以A i表示事件“所取4只鞋子中恰能配成i双”（i＝1，2），则，，故，因为4只恰能配成2双，它可直接从5双鞋子中成双地取得，故，的算法是：先从5双中取1双，共有种取法，另外两只能从其他8只中取，共有种取法，不过这种取法中将成双的也算在内了，应去掉．从而．N（S）仍为解法二中的种，故10．在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率．解：解法一：总数S：自11个字母中随机地接连抽7个字母并依次排列．将11个字母中的两个b看成是可分辨的，两个i也看成是可分辨的，．以A记事件“排列结果为ability”，则N（A）＝4（因b有两种取法，i也有两种取法），因而解法二：本题也可利用乘法定理来计算．以，，，，，，依次表示取得字母a，b，i，l，i，t，y各事件，则所求概率为11．将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．解：总数S：将3只球随机地放人4个杯子中去，易知共有43种放置法．以A i表示事件“杯子中球的最大个数为i”，i＝1，2，3．对于A3，只有当3只球放在同一杯子中时才能发生，有4个杯子可以任意选择，于是，故对于事件A1，只有当每个杯子最多放一只球时才能发生．因而，故对于A2，因，，故，从而12．50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太弱．每个部件用3只铆钉．若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱．问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解：将部件自1到10编号，随机试验E：随机地取铆钉，使各部件都装3只铆钉．以A i表示事件“第i号部件强度太弱”．由题设，仅当3只强度太弱的铆钉同时装在第i号部件上，才能发生，由于从50只铆钉中任取3只装在第i号部件上共有种取法，强度太弱的铆钉仅有3只，它们都装在第i号部件上，只有种取法，故又知，，…，两两互不相容，因此，10个部件中有一个强度太弱的概率为13．一俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生．（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率；（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率．解：（1）共有5＋2＋3＋2＝12名学生，在其中任选4名共有种选法，其中每年级各选1名的选法有种选法，因此，所求概率为；（2）在12名学生中任选5名的选法共有种，在每个年级中有一个年级取2名，而其他3个年级各取1名的取法共有（种）于是所求的概率为．14．（1）已知，求条件概率；（2）已知，试求．解：（1）；由题设得故（2）15．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）．解：随机试验E：掷两颗骰子，观察其出现之点数．以A记事件“两骰子点数之和为7”，以B记事件“两颗骰子中有一颗出现1点”．解法一：按条件概率的定义式：来求条件概率，设想两颗骰子是可分辨的，样本空间为事件A为事件AB为现在，因此解法二：按条件概率的含义来求．样本空间原有36个样本点，现在知道了“A已经发生”这一信息，根据这一信息，不在A中的样本点就不可能出现了，因而试验所有可能结果所成的集合就是A，而A中共有6个可能结果，其中只有两个结果（1，6）和（6，1）有一颗骰子出现1点，因此．16．据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P{孩子得病}＝0.6，P{母亲得病|孩子得病}＝0.5P{父亲得病|母亲及孩子得病}＝0.4求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率．解：以A记事件“孩子得病”，以B记事件“母亲得病”，以C记事件“父亲得病”，按题意需要求，已知．由乘法定理得17．已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样．求下列事件的概率：（1）两件都是正品；（2）两件都是次品；（3）一件是正品，一件是次品；（4）第二次取出的是次品．解：随机实验E：在10件产品中（其中有2件次品）任取两次，每次取1件，作不放回抽样．以A i（i＝1，2）表示事件“第i次抽出的是正品”．因为是不放回抽样，所以：（1）两件都是正品的概率为（2）两件都是次品的概率为（3）一件是正品，一件是次品的概率为（4）第二次取出的是次品的概率为18．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：解法一：以表示事件“第i次拨号拨通电话”，i＝1，2，3．以A表示事件“拨号不超过3次拨通电话”，则有．事件，，发生的概率如下所以该人拨号不超过三次而接通所需电话的概率为（2）当已知最后一位数是奇数时，所求概率为．解法二：沿用解法一的记号．（1）该人拨号不超过三次而接通所需电话的概率为：（2）当已知最后一位是奇数时，所求概率为．19．（1）设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M 只红球．今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球．先从第一盒中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒中任取一只球，求取到白球的概率．解：解法一：（1）随机实验E：从甲袋任取一球放人乙袋（试验），再从乙袋任取一球观察其颜色（试验）．试验E是由和合成的．以R表示事件“从甲袋取得的是红球”，以W表示事件“从乙袋取得的是白球”，即有而，在计算时，注意在试验中，乙袋球数为N＋M＋1只；在求P（W|R）时，乙袋白球数为N，但在求时，乙袋白球数为N ＋1，故从乙袋取到白球的概率为（2）随机实验E：从第一盒中任取2只球放入第二盒（），再从第二盒任取一球观察其颜色（）．以（i＝0，1，2）表示事件“从第一盒中取得的球中有i只是红球”，以W表示事件“从第二盒取得一球是白球”．由于，，两两互不相容，且，故从而而在试验E2中第二盒球的个数为11，故所以解法二：（1）以A表示事件“最后取到的是白球”，以B表示事件“最后取到的是甲袋中的球”，因于是而又有故（2）以A表示事件“最后取到的是白球”，以B表示事件“最后取到的是甲袋中的球”，因故20．某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率．解：以，，，，依次表示事件“脱落M、M”，“脱落A、A”，“脱落M、A”，“脱落X、A”，“脱落X、M”，以G表示事件“放回后仍为MAXAM”，所需求的是P（G）．可知，，，，两两不相容，且．已知而由全概率公式得，放回后仍为“MAXAM”的概率为21．已知男子有5％是色盲患者，女子有0.25％是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少？解：以A表示事件“选出的是男性”，则表示事件“选出的是女性”，以H 表示事件“选出的人患色盲”，则表示“选出的人不患色盲”．由题设可知所需求的概率是P（A|H），由贝叶斯公式得22．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率；（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．解：E：一学生接连参加一门课程的两次考试．以A i表示事件“第i次考试及格”，i＝1，2；以A表示“他能取得某种资格”．（1）按题意，且由已知条件故（2）根据贝叶斯公式可知，在第二次及格的条件下，该人第一次及格的概率为23．将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B 的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01．信息A与信息B传送的频繁程度为2：1．若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：以D表示事件“将信息A传递出去”，则表示事件“将信息B传递出去”，以R表示“接收到信息A”，则表示事件“接收到信息B”，按题意需求概率为,已知得由贝叶斯公式得到，在接受到信息A的情况下，原发信息是A的概率为24．有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品．今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样．求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率．解：以H表示事件“从第一箱中取零件”，则表示事件“从第二箱中取零件”．由已知条件知又以A i表示事件“第i次从箱中（不放回抽样）取得的是一等品”，i＝1，2．（1）由条件，故（2）需要求的是．因，而由条件概率的含义，表示在第一箱中取两次，每次取一只零件，作不放回抽样，且两次都取得一等品的概率．因第一箱共有50只零件，其中有10只一等品，故有；同理．故有25．某人下午5：00下班，他所积累的资料表明：某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率．解：以H表示事件“乘地铁回家”，则表示事件“乘汽车回家”．因到家时间为5:47，它属于区间5:45～5:49，以T记“到家时间在5:45～5:49之间”，则需要求的是概率P（H|T）．已知，又因他是由掷硬币决定乘地铁还是乘汽车，因此，．由贝叶斯公式得26．病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8．若浇水则树死去的概率为0.15，有0.9的把握确定邻居会记得浇水．（1）求主人回来树还活着的概率．（2）若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率．解：（1）记A为事件“树还活着”，记W为事件“邻居记得给树浇水”，即有（2）根据贝叶斯公式可得，在树已死的条件下，邻居忘记浇水的概率为27．设本题涉及的事件均有意义，A，B都是事件：（1）已知P（A）＞0，证明；（2）若P（A|B）＝1，证明；（3）若C也是事件，且有P（A|C）≥P（B|C），，证明P（A）≥P（B）．证：（1）若P（A）＞0，要证，该不等式左边等于P（AB）／P（A），右边等于．因为，，故有（2）由，即．所以（3）由假设，即．同样由就有，即，得或 因为，得P（A）≥P（B）．28．有两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立．求（1）这两颗花籽都能发芽的概率；（2）至少有一颗能发芽的概率；（3）恰有一颗能发芽的概率．解：以A，B分别表示事件第一颗、第二颗花籽能发芽，即有P（A）＝0.8，P（B）＝0.9．（1）由A，B相互独立，得两颗花籽都能发芽的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0．8×0．9＝0．72（2）至少有一颗花籽能发芽的概率．即事件的概率为（3）恰有一颗花籽能发芽的概率，即为事件的概率，由第4题（2）得29．根据报导美国人血型的分布近似地为：A型为37％，O型为44％，B 型为13％，AB型为6％．夫妻拥有的血型是相互独立的．（1）B型的人只有输入B、O两种血型才安全．若妻为B型，夫为何种血型未知，求夫是妻的安全输血者的概率；（2）随机地取一对夫妇，求妻为B型夫为A型的概率．（3）随机地取一对夫妇，求其中一人为A型，另一人为B型的概率；（4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是0型的概率．解：（1）由题意知夫血型应为B、O才为安全输血者．因两种血型互不相容，故所求概率为（2）因夫妻拥有血型相互独立，于是所求概率为（3）所求概率为（4）有三种可能，即夫为O，妻为非O；妻为O，夫为非O；夫妻均为O；所求概率为30．（1）给出事件A、B的例子，使得（i）P（A|B）＜P（A）；（ii）P（A|B）＝P（A）；（iii）P（A|B）＞P（A）．（2）设事件A，B，C相互独立，证明：（i）C与AB相互独立；（ii）C 与相互独立．（3）设事件A的概率P（A）＝0，证明对于任意另一事件B，有A，B相互独立．（4）证明事件A，B相互独立的充要条件是．解：（1）举例（i）设试验为将骰子投掷一次，事件A“出现偶数点”，B为“出现奇数点”，则（ii）设试验为将骰子掷一次，A同上，B为“掷出点数≥1”，则P（A|B）＝，而P（A）＝，故P（A|B）＝P（A）（iii）设试验为将骰子掷一次，A同上，B为“掷出点数≥4”，则P（A|B）＝2/3，而P（A）＝，故P（A|B）＞P（A）（2）因A，B，C相互独立，故P（AB）＝P（A）P（B），P（BC）＝P（B）P（C）P（CA）＝P（C）P（A），P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）。
概率论与数理统计(浙江大学_第四版--盛骤)——概率论部分(1)
第三章 多维随机变量及其分布
• 3.1 二维随机变量
• 3.2 边缘分布
• 3.3 条件分布
3
• 3.4 相互独立的随机变量
第四章
随机变量的数字特征
– 12.1 平稳随机过程的概念 – 12.2 各态历经性 – 12.3 相关函数的性质 – 12.4 平稳过程的功率谱密度
6
概率论
第一章概率论的基本概念
7
第一章 概率论的基本概念
关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会生活中的两类现象
解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎 是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性， 从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。
11
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当源自所包含的一个样本点发生称事件A发 生。
例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…}S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不包含 任何样本点。
浙江大学概率论与数理统计盛骤第四版数理统计部分
为什么？
答：只有(4)不是统计量。
17
随机变量独立性的两个定理
定理6.1：设X1, X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，
又设y gi x1, , xni , x1, , xni Rni , i 1, 2, k是k个连续函数，
且有n1 n2 nk n, 则k个随机变量：
[说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)，
则样本（X1,X2,…,Xn）具有联合密度函数：
n
fn x1, x2, xn f xi
i 1
16
统计量：样本的不含任何未知参数的函数。
常用统计量：设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的样本
1.
样本均值
n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
n
9
定理5.5 德莫佛--拉普拉斯定理
解：设机器出故障的台数为X,则X b400,0.02，分别用三种方法计算：
1. 用二项分布计算
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.98400 4000.020.98399 0.9972
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969
浙江大学概率论与数理统计第4版复习笔记详解
浙江大学概率论与数理统计第4版复习笔记详解|才聪学习网浙江大学《概率论与数理统计》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解文章来源：才聪学习网/概率论与数理统计内容简介本书是浙江大学盛骤等主编的《概率论与数理统计》（第4版）的学习辅导书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。
本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。
因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的知识精华。
（2）详解课后习题，巩固重点难点。
本书参考大量相关辅导资料，对盛骤主编的《概率论与数理统计》（第4版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
（3）精选考研真题，培养解题思路。
本书从历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对之做了详尽的解析。
所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。
目录第1章概率论的基本概念1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 考研真题详解第2章随机变量及其分布2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 考研真题详解第3章多维随机变量及其分布3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 考研真题详解第4章随机变量的数字特征4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 考研真题详解第5章大数定律及中心极限定理5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 考研真题详解第6章样本及抽样分布6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 考研真题详解第7章参数估计7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 考研真题详解第8章假设检验8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 考研真题详解第9章方差分析及回归分析9.1 复习笔记9.2 课后习题详解9.3 考研真题详解第10章bootstrap方法10.1 复习笔记10.2 课后习题详解10.3 考研真题详解第11章在数理统计中应用Excel软件11.1 复习笔记11.2 课后习题详解11.3 考研真题详解第12章随机过程及其统计描述12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 考研真题详解第13章马尔可夫链13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 考研真题详解第14章平稳随机过程14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 考研真题详解复习笔记详解第1章概率论的基本概念1.1 复习笔记在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象．一、随机试验1．定义试验包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验．2．试验的特点（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机试验．二、样本空间、随机事件1．样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点．2．随机事件一般地，称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件．在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生．特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件．样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集：（1）在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件．（2）空集不包含任何样本点，也是样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件．3．事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理．设试验E的样本空间为S，而A，B，A k（k＝1，2，…）是S的子集．（1）包含关系①若，则称事件B包含事件A，即事件A发生必导致事件B发生；②若且，即A＝B，则称事件A与事件B相等．（2）和事件事件A∪B＝{x|x∈A或x∈B）称为事件A与事件B的和事件．当且仅当A，B 中至少有一个发生时，事件A B发生．称为n个事件A1，A2，…，A n的和事件；称为可列个事件A1，A2，…的和事件．（3）积事件事件A∩B＝{x|x∈A且x∈B）称为事件A与事件B的积事件．当且仅当A，B 同时发生时，事件A∩B发生.A∩B也记作AB．称为n个事件A1，A2，…，A n的积事件；称为可列个事件A1，A2，…的积事件．（4）差事件事件A-B＝{x|x∈A且x B）称为事件A与事件B的差事件．当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生．（5）互斥若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的．即事件A与事件B不能同时发生．基本事件是两两互不相容的．（6）逆事件若A∪B＝S且，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件．对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生．A的对立事件记为．（7）定律设A，B，C为事件，则有：①交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；②结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；③分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A ∩C）；④德摩根律：；．。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结1. 概率论基础- 随机事件：一个事件是随机的，如果它可能发生也可能不发生。
- 样本空间：所有可能事件发生的集合。
- 事件的概率：事件发生的可能性的度量，满足0≤P(A)≤1。
- 条件概率：在另一个事件发生的条件下，一个事件发生的概率。
- 贝叶斯定理：描述了随机事件A和B的条件概率和边缘概率之间的关系。
- 独立事件：两个事件A和B是独立的，如果P(A∩B) = P(A)P(B)。
- 互斥事件：两个事件A和B是互斥的，如果它们不能同时发生，即P(A∩B) = 0。
2. 随机变量及其分布- 随机变量：将随机事件映射到实数的函数。
- 离散随机变量：取值为有限或可数无限的随机变量。
- 连续随机变量：可以在某个区间内取任意值的随机变量。
- 概率分布函数：描述随机变量取值的概率。
- 概率密度函数：连续随机变量的概率分布函数的导数。
- 累积分布函数：随机变量取小于或等于某个值的概率。
- 期望值：随机变量的长期平均值。
- 方差：衡量随机变量取值的离散程度。
3. 多维随机变量及其分布- 联合分布：描述两个或多个随机变量同时取特定值的概率。
- 边缘分布：通过联合分布求得的单个随机变量的分布。
- 条件分布：给定一个随机变量的值时，另一个随机变量的分布。
- 协方差：衡量两个随机变量之间的线性关系。
- 相关系数：协方差标准化后的值，表示变量间的线性相关程度。
4. 大数定律和中心极限定理- 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值以概率1收敛于总体均值。
- 中心极限定理：独立同分布的随机变量之和，在适当的标准化后，其分布趋近于正态分布。
5. 数理统计基础- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
- 总体：研究对象的全体。
- 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
- 点估计：给出总体参数的一个具体估计值。
- 区间估计：给出一个包含总体参数可能值的区间。
- 假设检验：对总体分布的某些假设进行检验。
- 显著性水平：拒绝正确假设的最大概率。
概率论与数理统计浙大四版 第一章 第一章3讲
例5 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 解 64 个人生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 . 64 365
故64 个人中至少有2人生日相同的概率为
例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？
可以有 3 2 种打扮
加法原理和乘法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
三、排列、组合的几个简单公式 排列和组合的区别：
顺序不同是 不同的排列 而组合不管 顺序
3把不同的钥匙的6种排列
C 3
2 3
从3个元素取出2个 的排列总数有6种
从3个元素取出2个 的组合总数有3种、排列: 从n个不同元素取 k个
（1k n)的不同排列总数为：
n! p n( n 1)( n 2)( n k 1) ( n k )!
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n 个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定 义事件A的概率为： A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ S中的样本点总数
称此概率为古典概率(Classical Probabilities). 这种确定概率的方法称为古典方法 . 这样就把求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 .
次品
正品
M件 次品
N-M件
正品
这是一种无放回抽样.
……
例4 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆， 每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的 概率是多少？
概率论与数理统计知识重点及复习计划
（第113页）3、5、6、7、8、9、11、14、15、18、20、22、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35.
第五章大数定律及中心极限定理
4小时
三个大数定律（切比雪夫(Chebyshev)大数定律，伯努利(Bernoulli)大数定律，辛钦(Khinchine)大数定律），两个中心极限定理（独立同分布的中心极限定理、棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理）.
注意
本章属于潜在考点只需参考考研资料即可.
第六章样本及抽样分布
4小时
总体、个体、简单随机样本和统计量的定义，样本均值、样本方差和样本矩的定义，几个常用统计量的分布（ 分布， 分布， 分布，正态总体的样本均值与样本方差的分布）， 分位数的概念.
1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.
3小时
两个随机变量的函数的分布.
3小时
总结回顾，本章是的复习应从以下几个方面(1)联合密度与边缘密度,条件密度之间的关系与转化；(2)分布函数与概率密度的关系；(3)利用联合密度求概率；(4)独立性的判断与应用；(5)随机变量的简单函数的分布.
课后习题
（第84页）1、2、3、4、5、7、8、9、15、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、31、32、34、35（记住结论即可）、36.
第二章随机变量及其分布
4小时
随机变量，离散型随机变量及其分布律，0-1分布，伯努利试验、二项分布，泊松分布.
1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．
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（7）概率 的公理化 定义
Ai Ai
德摩根率： i1
i1
AB A B，A B AB
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：
An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独 立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都 相互独立。
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
2 / 28
（ 12 ） 条 件概率 （ 13 ） 乘 法公式
（ 14 ） 独 立性
（ 15 ） 全 概公式
（ 16 ） 贝 叶斯公式
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条 P( A)
件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
P(A)= (1 ) (2 ) (m ) = P(1) P(2 ) P(m )
m n
A所包含的基本事件数 基本事件总数
（9）几何 概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
（6）事件 的关系与 运算
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种 方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个 步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2, , Bn 满足
1° B1, B2, , Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2, , n) ，
P( A) L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 L()
（ 10 ） 加 法公式
（ 11 ） 减 法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有
P Ai P(Ai) i1 i1
常称为可列（完全）可加性。
则称 P(A)为事件 A 的概率。
（8）古典 概型
1° 1, 2 n ，
2°
P(1 )
P(2 )
P(n )
1 n
。
设任一事件 A ，它是由1, 2 m 组成的，则有
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）： A B
如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用
大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定 是必然事件。 ①关系：
A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同
时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不 相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示
第 1 章 随机事件及其概率
（1）排列 组合公式
Pmn
m! (m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数
Cmn
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数
（2）加法 和乘法原 理
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样 本空间和 事件