韦达定理及其应用
韦达定理及其应用
韦达定理及其应用内容综述设一元二次方程有二实数根,则, ;这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a,b,c的关系,称之为韦达定理;其逆命题也成立;韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用;本讲重点介绍它在五个方面的应用;要点讲解1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换,可以求出一元二次方程两根的对称式的值;★★例1若a,b为实数,且,,求的值;思路注意a,b为方程的二实根；隐含;说明此题易漏解a=b的情况;根的对称多项式,,等都可以用方程的系数表达出来;一般地,设,为方程的二根,,则有递推关系;其中n为自然数;由此关系可解一批竞赛题;附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a,b值进而求出所求多项式值,但计算量较大;★★★例2若,且,试求代数式的值;思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解,也可以借助于代数变形来完成;2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积,则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程;★★★★例3设一元二次方程的二实根为和;1试求以和为根的一元二次方程；2若以和为根的一元二次方程仍为;求所有这样的一元二次方程;3．证明等式或不等式根据韦达定理或逆定理及判别式,可以证明某些恒等式或不等式;★★★例4已知a,b,c为实数,且满足条件：,,求证a=b;说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧;另外在求得c=0后,由恒等式可得,即a=b;此方法较第一种烦琐,且需一定的跳跃性思维;4．研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合,可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等;关于方程的实根符号判定有下述定理：⑴方程有二正根,ab<0,ac>0；⑵方程有二负根,ab>0,ac>0；⑶方程有异号二根,ac<0；⑷方程两根均为“0”,b=c=0,；★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件,试求实数a 的范围;⑴二根均大于1；⑵一根大于1,另一根小于1;思路设方程二根分别为,,则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1,另一根小于是等价于和异号;说明此例属于二次方程实根的分布问题,注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法,请参照后继相关内容;此例若用二次函数知识求解,则解题过程极为简便;5．求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程组中也有着许多巧妙的应用;★★★例6解方程;强化训练A 级★★1.若k为正整数,且方程有两个不等的正整数根,则k的值为________________;★★2.若,,则_______________;★★★3 .已知和是方程的二实根,则_____________;★★★4.已知方程m为整数有两个不等的正整数根,求m的值;Ｂ级★★★★5.已知：和为方程及方程的实根,其中n为正奇数,且;求证：,是方程的实根;★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足,试求k的值;。
韦达定理及其变式的应用
韦达定理及其变式的应用韦达定理的定义与推导过程对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若x1,x2是它的两个实数根，则：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a这就是一元二次方程根与系数关系，常称为"韦达定理"，韦达定理体现了整体思想。
韦达定理的应用⑴已知一根，求另一根及方程中所含参数的问题⑵已知方程中两根满足的关系，确定方程中字母系数的值或者取值范围⑶利用韦达定理，判断根的正负性练习：1.①已知x1,x2是方程x2-3x+2=0的两根，则x1+x2=（），x1x2=（）②已知x1,x2是一元二次方程x2+6=5x的两个根，则x1+x2+x1x2=（）2.已知x1,x2是方程2x2-5x-4=0的两个根求：①(x1-2)(x2-2)；②x12+x223.⑴已知x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m-2=0的一个根，m的值（）及方程的另一个根（）⑵已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+b=0的两个实数根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（）4.已知关于x的一元二次方程8x2-(m-1)x+m-7=0⑴m为何值时，方程有一根为零？⑵m为何值时，方程的两个根互为相反数？⑶是否存在m，使方程的两个根互为倒数？若存在，请求出m的值；不存在，请说明理由。
5.⑴已知a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2-b+2019的值是（）A.2023B.2021C. 2020D.2019⑵已知x1，x2是一元二次方程x2-3x+1=0的两实数根，则1/(1-3x1)+1/(1-3x2)的值是（）A.-7B.-1C. 1D.7小练习解析1. ①3，2；②112. ①解：原式=x1x2-2(x1+x2)+4=-4/2-2×5/2+4=-3②解：原式=(x1+x2)2-2x1x2=(5/2)2-2×(-2)=41/43. ⑴-8，-5；⑵a=-3/2，b=14. ⑴给解代入，把x=0代入原方程得：m=7⑵x1+x2=0，-b/a=(m-1)/8=0，则m=1.验证：此时△=02-4×8×(-6)＞0，所以m=1⑶x1x2=1，c/a=(m-7)/8=1，m=15，验证：此时△=142-4×8×8＜0，则m=15不成立，不存在满足条件的m值5. ⑴∵a是根∴a2+a-3=0∴a2=3-a则原式=3-a-b+2019=2022-(a+b)=2023，选A ⑵x1+x2=3，x1x2=1原式=(1-3x2+1-3x1)/(1+9x1x2-3(x1+x2))=(2-3(x2+x1))/(1+9x1x2-3(x1+x2))=(2-3×3)/(1+9-9)=-7，则选A。
认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？
**韦达定理的认识与应用**一、韦达定理的定义与来源韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。
韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：1. x₁ + x₂ = -b/a2. x₁ × x₂ = c/a韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。
二、韦达定理的详细阐述1. 根与系数的关系韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。
具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。
2. 定理的证明韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。
通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。
三、韦达定理的应用场景1. 解一元二次方程韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。
通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。
2. 判断根的情况通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。
例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。
3. 解决其他问题除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。
例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。
专题12 韦达定理及其应用(解析版)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。
【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． 【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7 所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝（x 1+x 2）2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，=−2．∴x1•x2=ca∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
韦达定理的推广及应用论文
韦达定理的推广及应用论文韦达定理，又称为魏尔斯特拉斯定理，在数学中是一个重要的定理之一。
它描述了若一个函数在一个闭区间上连续，在开区间上可导，则在这段区间上存在某个点，使得该点的导数等于该函数在这个区间内的平均变化率。
韦达定理的推广是数学研究中一个重要的课题，研究者们在推广韦达定理的过程中，不仅仅证明了更一般的定理，而且也发现了一些新的定理和应用。
下面将详细讨论几个比较重要的推广及应用：1. 高阶韦达定理：高阶韦达定理给出了函数的高阶导数与函数在闭区间上的平均变化率之间的关系。
具体地说，对于一个连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上存在一个点c，使得f^{(n)}(c)等于函数f(x)在[a,b]上的平均变化率。
高阶韦达定理的推广证明相对复杂，但有很多应用，特别是在数学分析和物理学中。
2. 广义韦达定理：广义韦达定理对原定理的条件进行了一定的放宽，并得到了一般函数的连续性及可导性的推广。
具体地说，广义韦达定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上是Riemann可积的，并且在开区间(a,b)上可导，则存在某个点c，使得f^\prime(c)等于f(x)在[a,b]上的平均变化率。
广义韦达定理的应用非常广泛，尤其在微积分、积分学和实际问题的研究中。
3. 韦达替代法则：韦达定理的推广还涉及到微积分中的一类重要的积分替代法则，即韦达替代法则。
韦达替代法则是一种可以将积分问题转化为求导问题的方法。
具体地说，如果我们要求解某个定积分，韦达替代法则告诉我们，可以通过找到一个合适的函数g(x)，使得该函数的导数g^\prime(x)等于被积函数f(x)，然后用g(x)替代原函数f(x)，从而将定积分转化为不定积分，从而更容易求解。
韦达定理的推广及应用在数学研究和应用中都起到了重要的作用。
通过推广韦达定理，使其适用于更一般的场景，并且发展出了许多新的定理和方法，为数学分析、微积分、实际问题的研究和解决提供了有力的工具。
韦达定理的原理应用是什么
韦达定理的原理应用是什么1. 韦达定理简介韦达定理（Vieta’s theorem）是一个用于解二次方程的定理，它通过多项式的系数与根之间的关系，揭示了根与系数之间的重要特征。
这个定理是以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名的，他在16世纪首次提出了这个定理。
2. 韦达定理的表述如果我们有一个二次方程：ax2+bx+c=0其中a、b、c是实数，x是未知数。
韦达定理给出了与这个二次方程相关的根之间的关系：如果r1和r2是方程的两个实数根，那么他们满足以下关系：r1 + r2 = -b / ar1 * r2 = c / a这些关系将帮助我们解决二次方程并找到其根的值。
3. 韦达定理的应用韦达定理有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1. 求二次方程的根韦达定理为我们提供了一个实用的方法来求解二次方程的根。
我们只需要根据方程的系数，计算出和与积的值，然后利用韦达定理的关系式即可得到方程的两个根。
例如，对于方程 2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以使用韦达定理计算出： - 和的值：-3 / 2 - 积的值：-5 / 2这样我们就得到了方程的两个根。
3.2. 寻找根与系数之间的关系韦达定理不仅仅是一个用于解二次方程的工具，它还揭示了根与系数之间的重要关系。
通过韦达定理，我们可以发现以下一些有趣的规律：•和的值与一次项系数的相反数成比例：根的和与一次项系数的相反数成正比。
即 r1 + r2 = -b / a•积的值与常数项成比例：根的积与常数项成正比。
即 r1 * r2 = c / a这些规律对于我们研究多项式方程的性质以及根的特性都非常有用。
3.3. 解决实际问题韦达定理可以应用于解决一些实际的问题。
例如，假设我们正在研究一个投掷物体的运动，我们希望知道在什么时候物体落地。
我们可以将物体的运动模型建立为二次方程，然后通过韦达定理求解出方程的根。
初中数学 一元二次方程的韦达定理有什么应用
初中数学一元二次方程的韦达定理有什么应用一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算一元二次方程根的和与积的方法。
韦达定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将详细介绍一些常见的应用场景。
1. 判定方程根的性质：韦达定理可以用来判定方程的根的性质。
通过计算根的和与积，我们可以得到关于根的一些信息。
例如，当根的和与根的积都为正数时，说明方程的两个根都是正数；当根的和为负数而根的积为正数时，说明方程的两个根一个为正数一个为负数。
这种信息对于解决实际问题非常有用，可以帮助我们了解方程的解的情况。
2. 求解方程的根：韦达定理可以用于求解一元二次方程的根。
通过将方程的系数带入韦达定理的公式，我们可以计算出方程的根的和与积。
进一步求解根的具体数值，可以使用一些代数方法，如配方法、因式分解或求根公式。
韦达定理为我们提供了一个快速计算根的和与积的方法，从而更方便地解决一元二次方程。
3. 拟合数据：韦达定理可以用于数据的拟合。
通过找到满足给定数据点的一元二次方程，我们可以使用韦达定理计算方程的根的和与积。
根的和与积可以提供关于数据的整体趋势和特征的信息。
这种方法在统计学和数据分析中非常有用，可以帮助我们找到最佳拟合曲线并预测未知数据的值。
4. 解决实际问题：韦达定理在解决实际问题中起到重要的作用。
例如，在物理学中，我们可以使用韦达定理来计算自由落体运动中物体的最大高度和落地时间；在经济学中，韦达定理可以用来分析成本和收益之间的关系，帮助我们做出合理的决策；在工程学中，韦达定理可以用于计算电路中的电流和电压，从而设计合适的电路。
总结：一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算方程根的和与积的方法。
韦达定理在判定方程根的性质、求解方程的根、拟合数据以及解决实际问题等方面有着广泛的应用。
了解韦达定理及其应用可以帮助我们更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题，同时也可以在实际生活中应用这些知识来解决各种问题。
韦达定理应用复习
a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根，
则
(1)
x2
x1
x1 x2
(2)(x1 2)(x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
+
b a
的值.
11.已知一元二次方程ax2-√2 bx+c=0的两个根满足|x1x2|=2-√2,a、b、c分别是 △ABC中∠A、∠B、∠C 的对边,并且c=√2a,试判断 △ABC是什么三角形?并证 明.
韦达定理及 其应用(一）
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
m-2=0；当m
时，有两
个互为相反数的实根；当m
时，有一种根为零.
6.若有关x的方程x2+(2k+1)x+k2-
2=0的两根的平方和是11，则
k=
.
7.若方程x2+2x+m=0的两根之差 为√6,则m= .
韦达定理的分类应用
韦达定理的分类应用引言韦达定理，也被称为平面解析几何的圆锥曲线定理，是数学中重要的定理之一。
它揭示了平面上一条直线与一个圆锥曲线的关系，具有广泛的应用价值。
本文将介绍韦达定理的分类应用，包括判断直线与圆锥曲线的位置关系，求解直线与圆锥曲线的交点等。
定理表述韦达定理的一般表述为：平面上一条直线与一个圆锥曲线相交点的数量等于该直线与曲线的方程的次数之和。
应用场景1. 判断直线与圆锥曲线的位置关系利用韦达定理，可以通过判断直线与圆锥曲线的交点数量来确定它们的位置关系。
如果交点数量为零，则说明直线与圆锥曲线没有交点，两者不相交；如果交点数量为一个，则说明直线与圆锥曲线相切；如果交点数量为两个，则说明直线穿过圆锥曲线。
2. 求解直线与圆锥曲线的交点除了判断位置关系，韦达定理还可以帮助求解直线与圆锥曲线的交点坐标。
首先，根据直线与曲线的方程构成一个方程组，然后通过解方程组可以求得交点的坐标。
案例分析下面通过一个简单的案例来说明韦达定理的应用。
案例：求解直线与椭圆的交点坐标。
已知椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$直线的方程为：$y = mx + c$将直线的方程代入椭圆的方程，得到：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(mx + c)^2}{b^2} = 1$$整理后可得二次方程：$$(a^2m^2 + b^2)x^2 + 2a^2mcx + (a^2c^2 - a^2b^2) = 0$$利用韦达定理，可以求解该二次方程的解，即直线与椭圆的交点坐标。
结论韦达定理是一项重要的数学工具，可以方便地判断直线与圆锥曲线的位置关系，以及求解它们的交点坐标。
在实际问题中，对于涉及圆锥曲线的分析和计算，韦达定理具有广泛的应用价值。
韦达定理在实际问题中的应用
韦达定理在实际问题中的应用韦达定理是一个非常有用的几何定理，它被广泛应用于各种实际问题中，包括工程学、物理学和金融学等领域。
本文将讨论韦达定理的定义、证明和一些实际应用。
一、韦达定理的定义韦达定理是一个三角形内部的一个重要定理，它阐述了三角形内任意一点到三边的距离之积等于这个点到三边的三条距离之积。
图1：韦达定理示意图设三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，三角形内任意一点P到三条边的距离分别为d1、d2和d3，则根据韦达定理有：AB × PC × d1= BC × PA × d2= AC × PB × d3二、韦达定理的证明韦达定理的证明可以使用相似三角形和割线定理来完成。
首先，我们利用相似三角形证明了韦达定理在三角形底边上的一个特殊情况。
例如，在图1中，我们可以通过相似三角形证明： PB/AB = PC/AC令 d1 = h1、d2 = h2，则 h1/h2 = PB/PC因此，韦达定理的底边情况成立。
接下来，我们可以使用割线定理继续证明韦达定理。
在图1中，我们从点P引一条平行于AB的直线，它与BC和AC的交点分别为Q和R。
根据割线定理，有：PB/PC = BQ/CR又因为三角形PAB和PCQ相似，三角形PAR和PRB相似，因此有以下等式成立：PA/PC = AB/BQRA/RB = AP/PB将上述等式代入割线定理公式中得：PB/PC = AB/BQ = AP/CR = RA/RB = h3/h4因此，有以下等式成立：AB × PC × d1 = BC × PA × d2 = AC × PB × d3 = h1 × h2 × h3/h4由此可知，韦达定理成立。
三、韦达定理在许多实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些例子。
1.测量塔的高度韦达定理可以用于测量一座塔的高度，方法是测量一个与塔底线平行的直线段和它到塔顶的距离，以及一个与塔底线垂直的直线段和它到塔顶的距离。
韦达定理及运用
韦达定理及运用韦达定理是法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理应用中的一个技巧在解有关一元二次方程整数根问题时，若将韦达定理与分解式αβ±(α＋β)＋1＝(α±1)(β±1)结合起来，往往解法新颖、巧妙、别具一格．例说如下．例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得x1＋x2＝－p，x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．注意到x1－1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．故有m＝6或7．例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．因为x1－1、x2－1均为整数，所以例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．(97四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得α＋β＝p，αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．。
韦达定理及其应用
韦达定理及其应用
韦达定理是一种基本的数学定理，它描述了一个三角形中两条边的长度与第三边的夹
角之间的关系。
它可以用来求解一个三角形的性质，甚至解决更复杂的几何问题。
韦达定理由法国数学家查尔斯·韦达提出，于1806年于科学期刊《乌拉法叶斯特》
上发表。
它首先被用来证明三角形的直角性质，然后被扩展用来证明更多其它的相关性质。
韦达定理可以用下面的公式表示：
a^2+b^2=c^2-2*c*a*cos(B)
其中a,b,c分别表示三角形ABC的3条边的长度，B表示边AC与BC之间的夹角。
由于韦达定理可以用来求解三角形的特性，因此它可以用来解决几何问题。
例如，如
果我们有一个三角形ABC，我们想求解它的外角A、边BC的长度和边AB的长度，则可以
用韦达定理：
假设a=3,c=4,B°=30°，根据韦达定理，
即 b^2= 16-24*cos(30°)=16-24*3^(1/2)/2
所以b=√5
另外，由余弦定理可以求出A°=60°
因此，三角形ABC的三角形性质为a=3,b=√5,c=4,A=60°,B=30°。
此外，韦达定理还有许多额外的应用。
例如，它可以用来求解由全等三角形的边来确
定的三角形的外角的性质，用来解决椭圆的几何上的直角形之间的关系等等。
它的应用非常广泛，几乎每一门数学和几何课程中都会涉及到它。
韦达定理不但可以
帮助我们在解决几何问题中取得关键性的进展，而且还多次提供了无穷多有用的解法。
韦达定理的应用及推广
韦达定理的应用及推广 一、 韦达定理概述根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。
法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出了一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。
在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。
韦达定理：在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当∆≥b 2−4ac 时，则原方程的两根满足以下规律{x 1+x 2=−bax 1x 2=ca 韦达定理的逆定理：如果x 1，x 2满足{x 1+x 2=−ba x 1x 2=c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根 二、 韦达定理的证明 1.求根公式法：根据将ax 2+bx+c=0（a ≠0）配方得到的x 1,2=−b±√b 2−4ac2a可得x 1+x 2=−b +√b 2−4ac 2a +−b −√b 2−4ac 2a =−2b 2a =−bax 1×x 2=(−b +√b 2−4ac 2a ×−b −√b 2−4ac 2a )=b 2−（b 2−4ac)4a 2=4ac 4a 2=ca2. 同解方程法 ： 若ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，那么知道ax 2+bx+c=a(x −x 1)(x −x 2)左边=ax 2−ax ×x 1−ax ×x 2+ax 1x 2=ax 2−a(x 1+x 2)x +ax 1x 2 比较系数知：−a (x 1+x 2)=b ax 1x 2=c ⟹ x 1+ x 2=−ba ，x 1×x 2=c a与韦达定理有关的推论：|x 1−x 2|=√b 2−4ac |a|三、 韦达定理的应用1. 已知A 、B 为一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根A ≠B (1)求A 2+B 2，A 3+B 3，1A2+1B 2，A −B（2）求以1A、1B 为根的方程和以(A 2+A +1)、(B 2+B +1)为根的方程解(1)：由韦达定理知{A +B =−b aA ×B =c a∴A 2+B 2=(A +B)2−2AB =b 2a2−2c a=b 2−2ac a 2A ３+B ３=(A +B)3−3AB (A +B )=−b 3a 3+3bc a 2=−b 3+3abca 31A 2+1B 2=A 2+B 2A 2B 2=b 2−2ac a 2÷c 2a 2=b 2−2acc 2A −B =|√(A −B )2|=|√A 2+B 2−2AB|=|√b 2−2ac a 2−2ca|=√b 2−4ac a 2=√b 2−4ac|a |解(2)：由韦达定理知{A +B =−ba A ×B =c a⟹ A 2+A +1+B 2+B +1=b 2−2ac a 2−ba+2=b 2−2ac−ab+2a 2a 2(A 2+A +1)(B 2+B +1)=c 2a 2+ac −bc a 2−b a +1+b 2−2ac a 2=a 2+b 2+c 2−ab −bc −caa 2∴此方程为a 2x 2−(b 2+2a 2−2ac −ab )x +(a 2+b 2+c 2−ab −bc −ca)=02. 证明恒等式：x 1n+1+x 2n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 2n )−x 1x 2(x 1n−1+x 2n−2) 证明：设x 1+x 2=A x 1x 2=B ,则x 1、x 2为方程x 2+Ax+B=0的两根∴{x 12=Ax 1−B x 22=Ax 2−B ⟹{x 1n+1=Ax 1n −Bx 1n−1x 2n+1=Ax 2n −Bx 2n−1⟹x 1n+1+x 2n+1=A (x 1n +x 1n)−B(x 1n−1+x 2n−1) ⟹x 1n+1+x 2n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 1n)− x 1x 2(x 1n−1+x 2n−1)3. 已知A 、B 是方程4ax 2−4ax +a +4=0的两个实数根○1适当选取实数a 的值，问能否使(A −2B)(B −2A)的值等于54 ○2求使A 2B2+B 2A 2的值为整数的整数a解○1:此必为一元二次方程，那么a ≠0 △=16a 2-16a(a+4)=-64a ≥0⟹a ≤0由韦达定理知{A +B =−1A ×B =a+44a 若(A −2B )(B −2A )= 54 ⟹ 9AB −2(A +B )2=54⟹9×a+44a−2=54⟹ 52a =36a +36⟹ a =9∵a ≤0又∵a =9>0∴无满足条件的a解○2 原式=(A+B )3−3AB (A+B )AB=1a+44a−3=4a a+4−3a+12a+4=1−16a+4所以a+4被16整除 所以a+4=±1、±2、±4、±8、±16且a ≤0所以满足条件的a=-3，-5，-2，-6，-8，-12，-204. 求证：不存在整数a 、b 、c 使得方程ax 2+bx +c =0与方程(a +1)x 2+(b +1)x +(c +1)=0都有两个整数根。
韦达定理及其综合应用
青田二中
何跃伟
请同学们谈谈对韦达定理的认识！ 请同学们谈谈对韦达定理的认识！
韦达定理的应用： 韦达定理的应用：
1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数 5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次 x 方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0 x (x 6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c ax a(x- )(x= a(x- x1)(x- x2)
Байду номын сангаас
题 2： 已知:等腰三角形的两条边 是方程 已知 等腰三角形的两条边a,b是方程 等腰三角形的两条边 x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根 另 的两个实数根,另 （ ） 的两个实数根 一条边c=1， ， 一条边 的值。 求:k的值。 的值
已知关于x的一元二次方程x +3x+1题3：已知关于x的一元二次方程x2+3x+1-m=0 （1）请为m选取一个你喜爱的数值，使方程 请为m选取一个你喜爱的数值， 有两个不相等的实数根。 有两个不相等的实数根。 （2）设x1,x2是（1）中方程的两个根，不解方程 ） ）中方程的两个根，不解方程 求：①（x1-2）（ 2 –2） ）（x ）（ ） ② （ x1 - x2 ) 2 选取的m 因式分解： （3）请用（1）中所选取的m值，因式分解：x2+3x+1-m ）请用（ ）中所选取的 的值。 （4）若已知 12+ x22=10，求此时 的值。 ）若已知x ，求此时m的值 是否存在符合条件的m，使得x （5）问：是否存在符合条件的 ，使得 12+ x22=4？ ） ？ 若存在，求出m，若不存在，请说明理由。 若存在，求出 ，若不存在，请说明理由。
高中数学韦达定理公式
高中数学韦达定理公式高中数学韦达定理公式韦达定理是高中数学中常用的一个公式，它常常被用来解决一元二次方程的根的问题，在这里我们将详细介绍韦达定理及其应用。
一、韦达定理的概念韦达定理，又称韦达公式，是解决一元二次方程的根的公式。
它的全称为“韦达-斯特拉斯定理”，由意大利建筑师、数学家吉拉尔莫·韦达于1545年发现，后由奥地利数学家约瑟夫·斯特拉斯于1750年独立发现证明，因此得名韦达-斯特拉斯定理。
二、韦达定理的公式一元二次方程的一般式为ax²+bx+c=0，其中a≠0。
则韦达定理的公式为：x1 + x2 = (-b) / ax1 * x2 = c / a其中，x1、x2为方程的两个根。
三、韦达定理的推导韦达定理的推导可以用“完全平方公式”来证明。
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，我们将其配方得到a(x+b/(2a))²=c-(b²/4a)，即(x+b/(2a))² = (b²-4ac)/(4a²)再对两边取根号，有x+b/(2a) = (±√(b²-4ac))/(2a) (∵√a²=a或-a)解出x后再移项，有x1,2 = (-b±√(b²-4ac))/(2a)根据方程的求根公式算出来的x1和x2，应该满足韦达定理的条件。
即x1 + x2 =(-b) / a，x1 * x2 = c / a。
四、韦达定理的应用韦达定理常常被用来求解一元二次方程的根，有两种情况：1、对于已知的方程的系数a、b、c，利用韦达定理求得方程的根。
例：已知2x²-5x+3=0，求方程的根。
解：根据韦达定理，我们有x1 + x2 = (-b) / a = 5/2，x1 * x2 = c / a = 3/2。
需要求出x1和x2，再代入公式，有x1 = 1/2, x2 = 3因此方程的根为1/2和3。
韦达定理适用范围
韦达定理适用范围摘要：一、引言二、韦达定理的定义及基本概念三、韦达定理的适用范围四、韦达定理在各领域的应用案例五、结论正文：一、引言韦达定理，又称Vieta定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（FranoisViète）提出的一个有关多项式的定理。
它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，为我们解决复杂数学问题提供了一种方法。
本文将详细介绍韦达定理的适用范围及其在各领域的应用案例。
二、韦达定理的定义及基本概念韦达定理是指：若多项式f(x) = a0 + a1x + a2x + ...+ anx^n 的根为x1, x2, ..., xn，那么有：x1 + x2 + ...+ xn = -a1/a0x1x2 + x1x3 + ...+ xn-1xn = a2/a0x1x2x3 + ...+ xn-2xn-1xn = (-1)^(n-1)a3/a0...x1...xn-1xn^2 + x1...xn-1xn^3 = (-1)^nan^2/a0三、韦达定理的适用范围1.求多项式的根：当已知多项式的系数时，可以通过韦达定理求出多项式的根。
2.求解方程组：已知方程组的系数矩阵为A，可以将其看作一个多项式，利用韦达定理求出方程组的解。
3.线性代数中的行列式：利用韦达定理可以求解线性方程组，进而计算行列式。
4.复数域中的应用：在复数域中，韦达定理可以用于求解复多项式的根，以及分析复数域中的代数结构。
5.密码学：在密码学中，韦达定理可用于解决线性同余方程组，从而破解加密算法。
四、韦达定理在各领域的应用案例1.数学：求解三次方程、四次方程等复杂多项式方程；求解线性方程组；计算行列式。
2.物理：在电路分析中，利用韦达定理求解节点电压；在力学系统中，求解受力平衡问题。
3.工程：在控制系统、通信系统中，利用韦达定理分析系统的稳定性、动态性能等。
4.计算机科学：在编译器构造中，利用韦达定理求解文法产生的语法树；在程序优化中，利用韦达定理分析程序的性能。
多次方程的韦达定理定律
多次方程的韦达定理定律引言：多次方程是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
而韦达定理则是解多次方程的一种常用方法。
本文将介绍韦达定理的原理和应用，并通过实例演示其解题过程。
一、韦达定理的原理：韦达定理是基于多次方程的根与系数之间的关系。
对于一个m次多次方程a0x^m + a1x^(m-1) + ... + am-1x + am = 0，其根为x1、x2、...、xm，韦达定理可以表示为以下形式：x1 + x2 + ... + xm = -a1/a0x1x2 + x1x3 + ... + x1xm + x2x3 + ... + x2xm + ... + xm-1xm = a2/a0...x1x2...xm = (-1)^m * am/a0二、韦达定理的应用：韦达定理可以帮助我们求解多次方程的根，尤其是当方程次数较高时，使用韦达定理可以简化计算过程。
下面通过一个实例来说明韦达定理的应用。
实例：假设有一个三次方程2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 = 0，我们可以使用韦达定理来计算其根。
根据韦达定理，我们可以得到以下等式：x1 + x2 + x3 = 5/2x1x2 + x1x3 + x2x3 = 3/2x1x2x3 = 1/2通过观察方程系数，我们可以猜测方程的根为1、1/2和-1/2。
将这些根代入韦达定理的等式中，可以验证等式的成立。
我们得到了方程的三个根。
在实际应用中，我们可以通过韦达定理来找到多次方程的根，从而解决各种问题。
三、总结：韦达定理是解多次方程的一种常用方法，它通过根与系数之间的关系，简化了多次方程的求解过程。
通过本文的介绍和实例演示，我们了解了韦达定理的原理和应用。
在实际应用中，我们可以灵活运用韦达定理来解决各种与多次方程相关的问题。
结语：多次方程的韦达定理定律是数学中的重要知识点，通过学习和应用韦达定理，我们可以更好地理解和解决多次方程相关的问题。
希望本文能够对读者有所启发，加深对韦达定理的理解和运用能力。
M09JA04第四讲：韦达定理及应用 2
第四讲：韦达定理及应用【知识要点】1、维达定理： x 1, x 2是一元二次方程的实根，则：ac x x a b x x =-=+2121. ★：应用一元二次方程根与系数的关系式时，0≥∆是前提，这一点易被忽视.2、运用韦达定理可不解方程，求含x 1,x 2的代数式值，常见变形如下：X 12+X 22=(X 1+X 2)2-2X 1X 2 |X 1-X 2|=221)(x x -=212214)(x x x x -+11x +21x =2121x x x x + 3、已知一元二次方程和一个根，求另一个根.（1）．当二次项系数为1时，如21,x x 是方程02=++c bx x 的两个根时，则b x x -=+21，c x x =21.（2）．由本例的两个解法进行比较，可知应用根与系数求解要比应用根的定义求解简捷.4、 若1x , 2x 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(1x +2x )x+1x 2x =0. 【经典例题】例1.写出下列方程的两根和与两根积.（1）1532=+x x （2）0122=++x x （3）32=+-m mx x （4）0232=-x x例2、已知：方程12212+=x x 的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值： (1)()221x x -； (2) 321231x x x x +例3．已知03422=-+x x ，不解这个方程，求：（1）两根的倒数和；（2）两根的平方和.例4．已知方程022=++kx x 的一个根是-1，求k 的值与另一根.例5．已知关于x 的方程()00122≥=-++m m x x . （1）求证：方程有两个实数根；（2）设方程的两个实数根为21,x x ，且有22221=-x x ，求m 的值.例6．已知方程0232=--x x 不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程使它的根分别是：（1）已知方程各根的倒数； （2）已知方程各根的平方；【随堂练习】1．如果一元二次方程0752=--x x 的两个根为βαβα+则.,的值为（ ）A 、-5B 、5C 、-7D 、72.若21,x x 是一元二次方程2x 2-3x+1=0的两个根，则2221x x +的值是 ( )A.5/4B.9/4C.11/4D.73．若方程0122=--x x 的两个实数根为21,x x ，则代数式2112x xx x +的值为（ ）A 、2B 、-2C 、6D 、-65．若方程042=+-m x x 的一个根是6，则另一个根和m 分别是（ ）A 、2，12B 、-2，-12C 、-6，12D 、6，-126.下列一元二次方程中，两根分别为51,51--+-的是（ ）A 、0422=++x xB 、0422=-+x xC 、0422=+-x xD 、0422=--x x 7.已知关于x 的一元二次方程2x -mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是 () A.5 B.-1 C.5或-1 D.-5或18.已知：a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，那么方程cx 2+(a+b)x+c/4=0的根的情况是 ( )A.无实数根B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根D.有两个异号的实根9．已知一元二次方程0822=-+x x 的一个根 2，则另一个根是 .10、写出以4，－5为根且二次项系数为1的一元二次方程是 _；11.已知：已知关于x 的方程x 2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 .12．已知方程02)21(2=--+x x 的两根为21,x x ，求2221x x +的值.13.已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x .（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设方程的两实根分别为21,x x ，当012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值.【课后强化】1．方程02222=-+x x 的解的情况是（ ）A 、没有实数根B 、两根之和为22C 、两根之积为2D 、有一根为22-2．已知方程0)7()1(2=++--m x m x 有一个正根，一个负根，那么（ ）A 、7>mB 、1>mC 、1<mD 、7-<m3．若两数和为-7，积为12，则这个两个数是（ ）A 、3和4B 、2和6C 、-3和-4D 、2和-94．如果方程0422=--mx x 的两根为21,x x ，且2111x x +=2，那么实数m 的值等于（ ） A 、4 B 、-4 C 、8 D 、-85．若b a ,是关于x 的方程012=--mx x 的两个实数根，则2)(b a -= . 6．已知方程032=++k x x ．（1）若方程两根之差为5，求k 的值；（2）若方程一根是另一根的2倍，求这两根之积．。
韦达定理及其应用
第三讲韦达定理及其应用【趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
你能利用韦达定理解决下面的问题吗？已知：①a2+2a-1=0,②b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求(221ab ba++)2004的值。
解析由①知1+21a-21a=0,即(1a)2-2·1a-1 =0,③由②知(b2)2-2b2-1=0,④∴1a,b2为一元二次方程x2-2x-1=0的两根.由韦达定理,得1a+b2=2,1a·b2=-1.∴221ab ba++=[(1a+b2)+2ba]2004=(2-1)2004=1.点评本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,•难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解.【知识延伸】例1已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为714,求a的值.解析 设方程的两实根为x 1,x 2,根据韦达定理,有1212,221.2a x x a x x ⎧+=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩于是,x 2212x x +=(x 1+x 2)2-2x 1·x 2=(-2a )2-2·212a -+ =14（a 2+8a -4） 依题设,得14(a 2+8a -4)=714. 解得a=-11或3.注意到x 1,x 2•为方程的两个实数根,则△≥0,但a=-11时,△=(-11)2+16×(-11)-8=-63<0;a=3时,△=32-4×2×(-6+1)=49>0,故a=3.点评韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式△≥0,本题容易忽视的就是求出a 的值后,没有考虑a 的值满足△≥0这一前提条件.例2 已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0,求:(1)m 为何值时,•方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m 为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m 为何值时,•方程的两个根一个大于1,另一个小于1.解析 (1)据题意知,m 应当满足条件21244(2)0,20.m m x x m ⎧∆=-+>⎨=+<⎩ 即 (1)(1)0,2.m m m -+>⎧⎨<-⎩ 由①,得m>2或m<-1,∴m<-2.(2)m 应当满足的条件是2121244(2)0,20,20.m m x xm x x m ⎧∆=-+≥⎪+=->⎨⎪=+>⎩即21,0,2.m m m m ≥≤-⎧⎪<⎨⎪>-⎩或∴-2<m<-1.(3)m 应当满足的条件是21244(2)0,(1)(1)0.m m x x ⎧∆=-+>⎨--<⎩即21,2(2)10.m m m m ><-⎧⎨+--+<⎩或 ∴21,1.m m m ><-⎧⎨<-⎩或 ∴m<-1.点评若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解.【好题妙解】佳题新题品味例 已知△ABC 的边长分别为a,b,c,且a>b>c,2b=a+c,b 为正整数,若a 2+b 2+c 2=84,求b 的值.解析 依题设,有a+c=2b, ①a 2+b 2+c 2=84. ②②可变为(a +c)+2-2ac=84-b 2, ③①代入③,得 ac=25842b -, ④ ∴a 、c 是关于x 的一元二次方程x 2-2bx+25842b -=0的两个不相等的正实数根. 222584440,25840.2b b b ⎧-∆=-⨯>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩即16<b2<28.又b为正整数,故b=5. 点评韦达定理的逆定理是:如果x1,x2满足x1+x2=-ba，x1·x2=ca,那么x1·x2•是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将a2+b2+c2=84•转变为ac=25842b,从而构造韦达定理逆定理所需的条件.中考真题欣赏例1(2001年河南省)已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,•y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,.解析∵关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,∴△=(4b)2-4×4×7b=0,即b2-7b=0.∴b1=0,b2=7.当b=0时,,关于y的方程化为y2+2y+4=0,因△=4-16=-12<0,方程无解.当b=7时,关于y的方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=4,y2=1.∴y2-3y+2=0.点评本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视.例2(2001年四川省)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0•的两个非零实数根,问x1与x2能否同号?若能同号,求出相应的m的取值范围;•若不能同号,请说明理由.解析∵关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两个非零实数根,∴△=[4(m-1)]2-4×4m2=-32m+16≥0,∴m≤1 2 .又x1,x2是方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个实数根.∴x 1+x 2=-(m-1),x 1·x 2=14m 2 假设x 1,x 2同号,则有两种可能:①若x 1>0,x 2>0,则12120,0.x x x x +>⎧⎨>⎩ 即2(1)0,10.4m m -->⎧⎪⎨>⎪⎩ ∴m<1且m≠0,此时,m≤12且m≠0; ②若x 1<0,x 2<0则有 12120,0.x x x x +<⎧⎨>⎩即2(1)0,10.4m m --<⎧⎪⎨>⎪⎩ 而m≤12时方程才有实数根, ∴ 此种情况不可能. 综上所述,当m 的取值范围为m≤12且m≠0时,方程的两实根同号. 点评存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,•反之则存在.竞赛样题展示例 (1998年江苏初中数学竞赛题)求满足如下条件的所有k 值:使关于x•的方程kx 2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.解析 (1)当k=0时,方程为x -1=0,有整数根1;(2)当k≠0时,所给方程是一元二次方程,设该方程两整数根为x 1,x 2,则1212111,111.k x x k k k x x k k +⎧+=-=--⎪⎪⎨-⎪==-⎪⎩由①-②,得x 1+x 2-x 1·x 2=-2,即(x 1-1)(x 2-1)=3.∵x 1,x 2为整数,∴1211,13,x x -=⎧⎨-=⎩或1211,13,x x -=-⎧⎨-=-⎩或1213,11,x x -=⎧⎨-=⎩或1213,1 1.x x -=-⎧⎨-=-⎩ 解得122,4,x x =⎧⎨=⎩或120,2,x x =⎧⎨=-⎩或124,2,x x =⎧⎨=⎩或122,0.x x =-⎧⎨=⎩ 代入①得k= -17或k=1. 又∵△=(k+1)2-4k(k -1)=-3k 2+6k+1,当k= -17,k=1时都大于0. ∴满足条件的k 值为k=0或k= -17或k=1. 点评注意到方程二次项系数是参变数k 所以方程可能是一次方程,也可能是二次方程应分别讨论.求参数时,通常由根与系数的关系列出关于k 的式子,消去k,然后因式分解及因数分解求出整数根,从而求参数k.全能训练A 卷1.已知方程x 2+3x+m=0的两根之差为5,求m 的值.2.已知x 1,x 2是方程3x 2-mx-2=0的两个根,且11x +21x =3,求3312x x +的值.3.已知方程x2-4x+2-k2=0,且k≠0,不解方程证明:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)一个根大于1,另一根小于1.4.利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两根分别比方程3x2+2x-3=0的两个根的平方多1.5.关于x的方程x2-4nx-3n-1=0 ①,x2-(2n+3)x-8n2+2=0 ②,若方程①的两根的平方和等于方程②的一个整数根,求n的值.6.若a2+11a+16=0,b2+11b+16=0,A 卷答案1.-42.-12∵x 1、x 2为方程3x 2-mx-2=0的两根,∴x 1+x 2=3m ,x 1·x 2=-23 而11x +21x =3,∴m=-6. 因此x 13+x 23=(x 1+x 2)(x 12-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)[(x=1+x 2)2-3x 1x 2]=-12.3.(1)∵△=(-4)2-4(2-k 2)=4k 2+8>0,∴方程有两个不相等的实数根;(2)(x 1-1)(x 2-1)=x 1·x 2(x 1+x 2)+1=2-k 2-4+1=-k 2-1<0,∴x 1-1,x 2-1中必有一个正数,一个负数.即x 1,x 2中必有一个大于1,另一个小于1.4.9y 2-40y+40=0.设方程3x 2+2x -3=0的根为x 1,x 2,所求方程的根为y 1,y 2,而x 1+x 2=-23,x 1·x 2=-1, ∴y 1+y 2=(x 12+1)+(x 22+1)=(x 1+x 2)2-2x 1x 2+2=(-23)2-2×(-1)+2=409 y 1·y 2=(x 12+1)(x 22+1)=(x 1·x 2)2+(x 12+x 22)+1=(x 1·x 2)+(x 1+x 2)2-2x 1x 2+1=409∴所求方程为y 2-409y+409=0, 即9y 2-40y+40=0.5.0.提示:设方程①的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=4n,x 1·x 2=-3n -1.∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(4n)2-2(-3n-1)=16n 2+6n+2.解方程②得x 1=4n+2,x 2=1-2n.(1)当16n 2+6n+2=4n+2时,n 1=0,n 2=-18, 把n 1=0,代入x 1=4n+2,得x 1=2;把n 2=-18 代入x 1=4n+2,得x 1=32不是整数, ∴n=-18舍去;(2)当16n2+6n+2=1-2n时,n1=n2=-1 4 .把n=-14代入x2=1-2n,得x2=32不是整数,∴n=-14舍去.当n=0时,方程①的△1=4>0,∴n的值为0.6.0(1)当a=b时, -1=0;(2)当a≠b时,a、b是方程x2+11x+16=0两实根，从而有11,16.a bab+=-⎧⎨=⎩14(b-a)=±14=±14B卷1.已知α,β, 是方程x2-7x+8=0的两根,且α>β,不解方程,求2α+3β2的值.2.已知两数之积ab≠1,且2a2+12234 567 890a+3=0,3b2+1234 567 890b+2=0,求a b .3.已知x 1,x 2是方程x 2-2(k -2)x+(k 2+3k+5)=0(k 为实数)的两实根,求2212x x 的最小值.4.如果方程(x -1)(x 2-2x+m)=0的三个实根可以作为一个三角形的三条边,•求实数m 的取值范围.5.若方程(x 2-1)(x 2-4)=k 有四个非零实根,•且它们在数轴上对应的四个点等距排列,求k 值.6.已知a,b,c,d 是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值.B 卷答案1. 18(403-由题意知α+β =7, αβ=8.于是α2+β2=(α+β)-2αβ=33,(α-β)2=( α+β)2-4αβ=17,又α>β,故α-.令A=2α+3β2,B=2β+3α2,则 A+B=2α+2β+3(α2+β2) =2()αβαβ+ +3(α2+β2)= 278⨯+3×33=4034, ① A- B==2α-2β+3β2 -3α2=2()βααβ-+3(β-α)(β+α)=(β-α)[2αβ+3(β+α)]=28+3×7)=- 4. ②①,②两式相加,得A=18(403-). 2. 32. 设1 234 567 890=m,则有2a 2+ma+3=0,3b 2+mb+2=0,即2(1b )2+m·1b+3=0 ,又a≠1b, 故a 与1b 是二次方程2x 2+mx+3=0的两个不等实根,故a b =a·1b =32. 3.45049 .由韦达定理得, x 1+x 2=2(k -2),x 1·x 2=k 2+3k+5.∴x 12+•x 22=•(•x 1+•x 2)2-2x 1x 2=4(k -2)2-2(k 2+3k+5)=2(k -112)2-1092 又△=4(k -2)2-4(k 2+3k+5)=-28k-4≥0,即k≤-17, 故只有k=-17时,x 12+x 22取最小值为45049. 4. 34<m≤1.由已知x 1=1, 设另两根为x 2,x 3且x 2≤x 3,x 2+x 3=2,x 2·x 3=m.又x 1>•x 3-x 2即23x =解得m>34. 又△=(-2)2-4m≥0,∴m≤1, ∴34<m≤1. 5. 74. 设x 2=y,原方程变为y 2-5y+(4-k)=0,设此方程有实根α,β(0<α<β) , 则原方程的四个实根为, 由于它们在数轴上等距排列,即β=9α,① 又54kαβαβ+=⎧⎨=-⎩ 由此求得k=74且满足△=25+k -16>0. 6.-1.∵ (a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,∴a 、b(a≠b)是方程(x+c)(x+d)=1的两个不同实根,即为方程x 2+(c+d)x+cd -•1=0的两个实根,∴a+b=-(c+d),ab=cd -1.∴(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c 2=(cd-1)-(c+d)c+c2=-1.。
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韦达定理及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
韦达定理及其应用
【内容综述】
设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】
1．求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a，b为实数，且，，求的值。
思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。
说明此题易漏解a=b的情况。
根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。
一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若，且，试求代数式的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
2．构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和为根的一元二次方程；
（2）若以和为根的一元二次方程仍为。
求所有这样的一元二次方程。
3．证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。
说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。
另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。
此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。
4．研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。
关于方程的实根符号判定有下述定理：
⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；
⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；
⑶方程有异号二根，ac<0；
⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；
★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。
⑴二根均大于1；
⑵一根大于1，另一根小于1。
思路设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于和
同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。
说明此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。
此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。
5．求参数的值与解方程
韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。
★★★例6解方程。
强化训练
A 级
★★1.若k为正整数，且方程有两个不等的正整数根，则k的值为________________。
★★2.若，，则
_______________。
★★★3 .已知和是方程的二实根，则
_____________。
★★★4.已知方程（m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。
Ｂ级
★★★★5.已知：和为方程及方程的实根，其中n为正奇数，且。
求证：，是方程的实根。
★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足，试求k 的值。