n阶行列式的计算方法
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
#线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论、线性方程组的求解等方面都有着重要的应用。
在本文中，我们将讨论n阶行列式的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握行列式的相关知识。
首先，我们来回顾一下行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|或det(A)，定义为：|A| = Σ(−1)^σ(σ) a1σ(1) a2σ(2) ... anσ(n)。
其中，σ是1~n的一个排列，a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n)表示排列σ对应的n个元素的乘积，Σ表示对所有可能的排列求和。
接下来，我们将介绍n阶行列式的计算方法。
对于一个n阶方阵A，我们可以使用以下方法来计算它的行列式：1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种经典的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，aij表示A的第i行第j列的元素，Aij表示它的代数余子式，即去掉第i行第j列后得到的n-1阶子式的行列式。
2. 拉普拉斯展开法。
拉普拉斯展开法是另一种常用的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：|A| = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n。
其中，Cij表示A的第i行第j列的元素的代数余子式，即去掉第i行第j列后得到的n-1阶子式的行列式，而Cij的计算可以通过递归地应用相同的方法来完成。
3. 数学归纳法。
数学归纳法是一种较为抽象但十分有效的计算行列式的方法。
通过递归地应用n-1阶行列式的计算方法，我们可以最终得到n阶行列式的值。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的计算方法来计算行列式，以便更高效地完成计算任务。
除了以上介绍的计算方法，还有一些特殊的行列式计算技巧，比如利用行列式的性质进行变换、化简等操作，以便更快地求得行列式的值。
[理学]线性代数技巧行列式的计算方法
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[理学]线性代数技巧行列式的计算方法计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式0010020100000n D n n =-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijji aa =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nnn a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)00n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
N阶行列式的计算方法
N阶行列式的计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵的线性变换的特征。
N阶行列式的计算方法可以通过多种途径实现，包括展开法、性质法、三角法等。
下面将详细介绍N阶行列式的计算方法。
1.展开法：展开法也是最常用的计算N阶行列式的方法。
N阶行列式可以根据其中的其中一行或其中一列展开成N个N-1阶行列式之和。
以N阶行列式A为例，可以通过以下公式计算：det(A) = a1j * C1j + a2j * C2j + ... + anj * Cnj其中，a1j, a2j, ..., anj 分别是矩阵A第j列的N个元素；C1j,C2j, ..., Cnj 分别是对应元素的代数余子式。
2.性质法：性质法是通过行列式的性质来计算N阶行列式。
行列式有很多性质，包括换行换列、行列秩相等、其中一行列乘以一个常数等。
利用这些性质，可以将N阶行列式变换成简化形式，进而计算行列式的值。
例如，可以通过初等行变换将行列式变换为上（下）三角形，而上（下）三角形行列式的计算非常简单。
此外，还可以使用性质法计算N阶行列式的公式，例如：det(A) = (-1)^(i+j) * Mij，其中，A是一个N阶矩阵，Mij是A删除第i行和第j列后的N-1阶矩阵。
3.三角法：三角法是一种用于计算N阶行列式的简便方法。
它将矩阵进行初等行变换，将其化为上三角阵或下三角阵，然后通过对角线上元素的乘积得到行列式的值。
具体步骤如下：（1）将行列式按其中一行或其中一列展开；（2）通过初等行变换，将行列式化为上三角形或下三角形；（3）计算对角线上元素的乘积，得到行列式的值。
4.克拉默法则：如果N阶行列式的其中一行或其中一列可被向量等式左边的向量线性表出，那么可以使用克拉默法则来计算行列式的值。
克拉默法则通过求解N个方程组，其中每个方程组都将一个未知量用行列式展开的形式表示，最后求解这N个方程组得到行列式的值。
但是，克拉默法则的计算复杂度高，对于大规模的行列式来说，不太适用。
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例1计算二阶行列式4231=D 。
解：223414231−=×−×==D 例2计算三阶行列式210834021−−=D 。
解：)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D 14−=2．利用n 阶行列式的定义n 阶行列式==nnn n nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋮⋮⋯⋯212222111211nn np p p p p p a a a ⋯⋯212121)()1(∑−τ其中)(21n p p p ⋯ττ=，求和式中共有!n 项。
显然有上三角形行列式nnnn nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋱⋯⋯221122211211==下三角形行列式nnnnn n a a a a a a a a a D ⋯⋯⋱⋮⋮221121222111==对角阵nnD λλλλλλ⋯⋱2121==另外nn n nD λλλλλλ⋯⋰212)1(21)1(−−==例3计算行列式001002001000000n D n n=−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n −−−=⋯.该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)2n n −−，故(1)(2)2(1)!.n n n D n −−=−3．利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即TD D =。
N阶行列式的计算
例4： = = =…
练习：(1) 【160】(2) 【 】
(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）
例5： =…=0
例6：
= 。
练习： 【 】
(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）
例7： = + =
题设行列式正是 ，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为
所以： = 。
7、观察一次因式法
例13：计算 =
解：当 时，第一、第二行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式， ，当 时，第三、第四行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式 。
由于 中关于 的最高次数是4，所以
中含 的项是 ，
比较上面两式中 的系数，得 ，故 。
N阶行列式的计算
N阶行列式的计算方法主要有以下几种：
1、直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）
例1：计算 = 解：由定义知 = ，因为 ，所以 的非零项中 只能取2或3，同理，有 = = =0，可推出 只能取2或3，又因为 要求各不相同，故 项中至少有一个必须取零，所以 =0.
练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1， ， 0， 0】
例14：解方程 =0
解：当 =0,1,2， 时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行列式可写成 ，
于是原方程变为 ，
所以原方程的解为 。
8、利用数学归纳法进行证明或计算。
例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性
+ =0练习:证明 =
3、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）非零元素较少。
N阶行列式的计算方法
N 阶行列式的计算方法
常见方法:
1 加边法
把n 阶行列式变为和与之相同的n+1阶行列式，再通过行列式的性质化简 2 把各行（各列）统一加到某一行（列）上，一般可以把那行（列）提出来 3 逐行（列）相加减
4 行列式 按某行或者某列展开
5 数学归纳找到 n D 和1n D +的关系 转化为 数列问题
6 裂项 把某行（列）拆成2行（列）的和，之后行列式变为两个行列式之和
7 构造 比如利用 如果C AB =，那么C AB A B ==，把行列式里面的矩阵写为两个矩阵的乘积，非别求那两个矩阵的行列式。
常见公式，把行列式化为如下2种形式计算，或基于这两种形式的乘积。
()121111121
11n
j i i j n n n n n a a a a a a a a ≤<≤---=-∏
注意结果的顺序，大角标减小角标，如果忘了的可以写一个2阶的看一下。
（推导过程书上有）
1
232
22233122000000n n n n n n n x a a a b x a b a b b x x x x x x b x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
推导思路
这是一个n 阶行列式，对于除第1列外的2,
,n 列，都进行如下操作 把第j 列的j j b x -倍，加到第1列上，之后会发现第一列中的2,
,n b b 都是0，这
个行列式化为了上三角的形式，直接对角线乘积就好了。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和向量运算中起着关键作用。
行列式的计算方法有多种，接下来将介绍几种常用的计算方法。
1. 代数余子式法代数余子式法是最基本的行列式计算方法之一。
对于一个n阶行列式A，我们可以通过以下公式进行计算：Det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1na11是矩阵A的元素，A11是a11的代数余子式。
代数余子式的计算方法是对矩阵A的每个元素求其代数余子式，然后再按照公式相加，得到最终的行列式值。
代数余子式法的优点是直观易懂，适用于任意阶数的行列式。
但是当阶数比较大时，计算量较大，需要进行大量的矩阵代数运算，因此效率较低。
2. 初等变换法初等变换法是另一种常用的行列式计算方法。
该方法通过对矩阵进行一系列的初等变换，将矩阵化简为上三角矩阵或对角矩阵，然后再通过对角线元素的乘积得到行列式的值。
初等变换包括三种操作：互换两行（列）、某一行（列）乘以一个非零数、某一行（列）加上另一行（列）的若干倍。
通过这三种操作，我们可以将矩阵变换为三角形式，从而更容易计算行列式的值。
初等变换法的优点是可以有效地简化矩阵，使得行列式的计算更加简单。
但是这种方法对于高阶矩阵来说，计算量仍然较大，且需要一定的技巧和经验。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种利用矩阵的逆矩阵来计算行列式的方法。
对于一个n阶行列式A，其公式如下：Det(A) = (A^-1) * Adj(A)A^-1表示矩阵A的逆矩阵，Adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵。
利用克拉默法则进行行列式的计算，首先需要求出矩阵A的逆矩阵，然后再求出伴随矩阵，最后通过矩阵相乘得到行列式的值。
克拉黫法则的优点是适用于任意阶数的行列式，且对于n阶行列式的计算只需要进行一次逆矩阵的运算和一次矩阵相乘，计算量较小。
4. 三角阵法三角阵法是通过将矩阵化成上三角形式或下三角形式，来简化行列式的计算。
对于一个n阶行列式A，我们可以通过初等变换将矩阵A化为上（下）三角矩阵T：然后再通过上（下）三角矩阵T的对角线元素的乘积得到行列式的值。
n阶行列式的若干计算方法
n 阶行列式的若干计算方法n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例计算行列式001002001000000n D n n=-L LMM M M L L解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=L .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算 例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ijji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=， 1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
行列式的运算法则举例
行列式的运算法则举例行列式是线性代数中的重要概念，它具有多种运算法则。
下面将列举10个行列式的运算法则，并进行详细解释。
1. 行列式转置法则：行列式的转置等于行列式本身。
即，若A为一个n阶行列式，则A^T = A。
2. 行列式交换法则：行列式中交换两行（或两列）的位置，行列式的值不变。
即，若A为一个n阶行列式，将第i行与第j行交换，则A' = A，其中A'为交换后的行列式。
3. 行列式倍乘法则：行列式的某一行（或某一列）的元素乘以k，行列式的值也乘以k。
即，若A为一个n阶行列式，将第i行的所有元素都乘以k，则A' = kA，其中A'为变换后的行列式。
4. 行列式加法法则：行列式中的某一行（或某一列）的元素与另一行（或另一列）的元素相加，行列式的值不变。
即，若A为一个n 阶行列式，将第i行的所有元素都加上第j行的对应元素，则A' = A，其中A'为变换后的行列式。
5. 行列式相等法则：行列式具有相等的性质，即两个行列式的对应元素都相等，则它们的值也相等。
即，若A、B为两个n阶行列式，且A(ij) = B(ij)，其中A(ij)表示A的第i行第j列元素，B(ij)表示B的第i行第j列元素，则A = B。
6. 行列式乘法法则：两个行列式的乘积等于它们对应元素的乘积的和。
即，若A、B为两个n阶行列式，则它们的乘积C为：C(ij) = Σ(A(ik) * B(kj))其中，Σ表示求和符号，k的范围为1到n。
7. 行列式分解法则：对于n阶行列式，可以通过对其中一行（或一列）进行展开，将行列式分解为n个n-1阶行列式的乘积之和。
即，若A为一个n阶行列式，展开第i行，则有：A = Σ((-1)^(i+j) * A(ij) * Mij)其中，Mij为A(ij)的代数余子式，(-1)^(i+j)表示(-1)的i+j次方。
8. 行列式的性质法则：行列式具有一些特殊的性质，如行列式的任意两行（或任意两列）互换，行列式的值取相反数；行列式的某一行（或某一列）中的元素全为0，行列式的值为0；行列式的某一行（或某一列）中的元素成比例，行列式的值为0等。
习题课：n阶行列式的计算
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
特征题4. “三线型”行列式. 除某一行，某一列以及对角 线（或次对角线）元素非零歪，其余元素均为 0的行列式， 主要求法是化为三角形行列式计算. 例4:
a0 1 Dn 1 1 1
n
1 a1 0 0
1 0 a2 0
1 0 0 (ai 0) an
1 n 答案：(a0 ) ai i 1 ai i 1
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
3．发展
(1)原因：
①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 ②修路成为中国人 (2)成果：1909年 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 修筑权 。
x2 x2 m x2
xn xn xn m
xn m)
答案 : Dn (m)n1 ( x1
特征3：“两条线型”的行列式，直接展开降阶. 例3.
a1 Dn
b1 a2 b2 an 1 bn 1 an
bn
答案：Dn a1a2
an (1) b1b2
n1
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
计算n阶行列式的若干方法举例
计算n阶行列式的若干方法举例例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nn n a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b b a b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n ba bb D a n bb a b a n bb ba +-+-=+-+- 11[(1)]11b b ba b b a n b b a b b ba=+- 100[(1)]000bb b a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例 1 计算二阶行列式D= 13。
24解：D= 13= 1× 4 − 3 ×2 = −224例 2 计算三阶行列式D= 1204− 38。
0−12解：D = 1204 − 38= 1× (−3) × 2 + 2 × 8 × 0 + 0 × 4 × (−1) −0 ×(−3) × 0 − 2 × 4 × 2 −1× 8 × (−1)0−12= −142．利用 n 阶行列式的定义a a ⋯a1nn阶行列式 D = a a⋯a2n=∑(−1)τa1a2⋯a n⋮⋮⋮12na a⋯a其中τ=p2⋯ p n)，求和式中共有n!τ(p1项。
显然有a a ⋯a1n上三角形行列式D=a⋯a=aa⋯a⋱⋮aa下三角形行列式D=a a⋱=aa⋯a⋮⋮a a⋯av1.0 可编辑可修改λ对角阵D= λ2=λ1λ2⋯λn ⋱λ另外D=λ2λ1= (−1)2λλ2⋯λn ⋰λn例 3计算行列式0⋯ 0100⋯ 200D n= ⋮⋮⋮⋮n−1⋯0000⋯ 00n 解D n中不为零的项用一般形式表示为aa⋯aa=n!.该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1 n）等于(n−1)(n−2)，故2D n= (−1)n! .3．利用行列式的性质计算性质 1行列式与它的转置行列式相等, 即D=D T。
注由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。
性质 2交换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。
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n 阶行列式的计算方法徐亮（西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ）摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运．关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式The Calculating Method of the N-order DeterminantXu Liang(College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ，Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a )Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples.Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法．1． 定义法应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a π=-∑LL L L L M M L M L．这里12nj j j ∑L 表示对1,2,,n L 构成的所有排列12,,,n j j j L 求和．例1．计算n 阶行列式111212122212n n n n n n na b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++L L M M L M L．解：当1n =时，11D a b =+ ；当2n =时，()()1221D a a b b =-- ； 当3n ≥时，12,,i r r n i nD -=====L 111212121211110n n n n a b a b a b a a a a a a a a a a a a +++---=---L L M M L M L1()i r r -表示第一行乘(1)-加到各行上．故1112121()()203n a b n D a a b b n n +=⎧⎪=--=⎨⎪≥⎩．由定义知n 阶行列式的展开式有!n 项，计算量很大，它主要应用于行列式中许多元素为零的情况．2． 提公因式法根据行列式的性质，把一个行列式中某行（列）所有元素的公因子提到列式符号的外边的方法称为提公因式法．即11121111211212123123n n i i in i i in n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλ=LL M M L M M M L M L L M M L M M M L M LL例2．计算n 阶行列式n a b b b b a b bD b b a b b b b b a=L L LM M M L L． 解：[][][]121(1)(1)(1)1111100000(1)(1)0000(1)()n n n a b b ba nb a n b a n bb a b br r r b a bD b b a bb b a b b b a b a b b b a ba nb a n b b b a b ba b b b b aba ba nb a b -+-+-+-+++=-=+-=+---=+--L LL L L LM M LM M M M L MLLL L LL LL M M M L M M M M L M LL3．化三角形法利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角行列式，然后再计算行列式的值的方法称为化三角形法．此种方法是把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积．所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式，三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的n 阶行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n 阶行列式等于次对角线上的元素之积且带符号()12(1)n n --．总结如下：（1） 100na a O = 1na a *O =10na a *O = 12n a a a ⋅⋅⋅．（对角形） （上三角形） （下三角形）（2）10a a nN=1na a *N=1na a *N= ()()12121n n n a a a --⋅⋅⋅．（次对角形） （次上三角形） （次下三角形） 例3．计算n 阶行列式n a b b b a b D b b a=L L M M L M L．解：将行列式的第i 列都加到第1列，()2,3,,i n =L ，可知第1列元素都相同，再提出公因式()1a n b +-⎡⎤⎣⎦，得()()()1100101n n b ba b D a n b a ba nb a b --=+-⎡⎤⎣⎦-=+--⎡⎤⎣⎦LLM M LM L例4．计算n 阶行列式123123123123n n n n x m x x x x x m x x D x x x m x x x x x m--=--L L LMM M L M L．解：将行列式的第i 列都加到第1列，()2,3,,i n =L ，第1列元素都相同，再提出公因式1n i i x m =⎛⎫- ⎪⎝⎭∑，得()2312312312312323231232311111111000000000ni n i ni n i ni n i ni n i n n n i n i n nn i i n n i i x mx x x x mx m x x D x mx x m x x mx x x m x x x x mx x x m x x m x x x x mx x x m x m m mm x m ======-=---=-----⎛⎫=-- ⎪⎝⎭--⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-⎛=--⎝∑∑∑∑∑∑∑L LL MM M L M LL LL M M M L M LLL L M M M L M L⎫⎪⎭4．降阶法利用行列式的性质，将行列式的阶数化低；然后再计算行列式之值的方法称为降阶法．根据行列式按行（列）展开法则：n 阶行列式D 等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和．即()()112211221,2,,1,2,,i i i i in in j j j j nj njD a A a A a A i n D a A a A a A j n =+++==+++=L L L L值得注意的是在使用时应先利用行列式性质，将某一行（列）元素尽可能多地化成零，然后再展开，使计算简便． 例5．计算n 阶行列式0000000000000000n x y xy x D x y y x=L LL M M M L M M L L． 解：将行列式按第一列展开，得()()()()11110000000000100000000001n n n n n n nx y y x x y D x y x y y xxyx y +--+=+-=+-L L LL M M LM M M M LM M LLL L例6．计算n 阶行列式12323413452121n D n n =-L L LM M M L M L解：将行列式的第i 列都加到第1列，()2,3,,i n =L ，再从第1列中提出公因式()12n n +，得 ()12313411145221121n n n D n +=-LL L M M M L M L从第()1n -行开始，各行乘()1-加到下1行，得：()()()()()()()()112211231110111111110111221110111112n n n n n n n n n n D n n n n D -----++==--+=-⋅*L L L L L MM LM MMM LM LL其中()11111111111n nn D n---=-L L M M L M L．将1D 用三角形法各行减去第1行，得()()()()()()1111112111111101100111211010.1n n n n n n n n n n n n n nD n n nn n n n n n n n n --------------==---------=-=-⋅LL L L M M L M M M L M L LL L M M L M L将1D 代入()*式，得()()()()()()()1211212211111.22n n n n n n n n n n D n n ------++=-⋅⋅-⋅=-⋅⋅5．升阶法前面介绍了在计算行列式时利用依行（列）展开定理使行列式降阶，从而使问题简化．有时与此相反，即在原行列式的基础上添加一行（列），使其升阶构造一个容易计算的新行列式，从而求出原行列式的值，这种计算行列式的方法称为升阶法．凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行元素成比例．升阶时，新行（列）由哪些元素组成，添加在那个位置，这要根据原行列式的特点作出适当的选择． 例7．计算n 阶行列式2112122122212n n n n n nc a a a a a a a c a a a D a a a a c a ++=+LL M M L ML．解：将原行列式添加1行1列，得1221121221222121000n nn n n n na a a c a a a a a D a a c a a a a a a a c a +=++L L L M M M L M L， 将第1行乘()i a -后，加到第()1i +行，得12121000000n na a a a c D a c a c-=--L L L M M M L M L， 将行列式的第j 列分别乘11j c a --，()2,3,,1j n =+L ，加到第1列，就可以变为上三角形行列式，其对角线上的元素为1211,,,,nii cac c c -=+∑L ．得 1212111n nnn n n i i i i D c c a c c a --==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑．例8．计算n 阶行列式1231111111111111111na a D a a ++=++LL LMM M L M L．解：将原行列式添加1行1列，得1231111101111011110111101111na a D a a ++=++L L L LM M M M L M L，将第1行乘()1-加到其余各行上去，得1231111110001000100010na a D a a --=--L L LL M M M M LM L，将第i 列分别乘1ia ，()2,3,,1i n =+L ，全部加到第1列，得 11231111110000000000000ni ina a D a a a =+=∑L L L L M M M M L M L， 变化为上三角形行列式，得12111nn i i D a a a a =⎛⎫=+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭∑．例9．计算n 阶行列式123123123123n nn nx a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a ++=++L L L M M M L M L． 解：将原行列式添加1行1列，得12312312312312310000n n n n na a a a x a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a ++=++L L L LM M M M L M L，将第i 行，()2,3,,i n =L ，减去第1行，得123110001000100010n a a a a xxD x x--=--L L L L M M M M LM L， 将第j 列乘1x，()2,3,,j n =L ，加到第1列，得 123111000000000000nini a a a a a x x x D x x=+=∑L L L L M M M M LM L111n ni i x a x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑11nn i i x x a -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑．若0x =，显然0D =，故上式对一切x 都成立．6．递推法利用行列式的性质，把某一行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式（称为递推关系），根据所得到的递推关系式及低阶某初始行列式的值，便可递推求得所需的结果，这种方法称为递推法． 例10．计算n 阶行列式000100010000001n a b ab a b aba b D a b ab a b+++=++L LL M M M L M M L L． 解：将行列式按第1行展开，得()()1121000000001n n n n aba b D a b D ab a b ab a ba b D abD ---+=+-++=+-LLM M MMML L于是得到一个递推关系 ()12n n n D a b D abD --=+- 变形得 ()112n n n n D bD a D bD ----=-则 ()112n n n n D bD a D bD ----=-()223n n a D bD --=-()221n a D bD -==-L()()22n n a a b ab b a b a -⎡⎤=+--+=⎣⎦所以 1n n n D a bD -=+ ，据此再递推，得 ()11222n n n n n n n D a b a bD a a b b D ----=++=++=L 12211n n n n a a b a b b D ---=++++L 1221n n n n n a a b a b ab b ---=+++++L７．拆开法利用行列式的性质，按某一行（列）将已知行列式拆为易于求值的若干行列式的和的方法，称为拆开法．即把某一行（列）的元素写成两个元素的和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化，易于计算．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和．即11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nn n n nn n n nna a a a a a a a a ab a b a b a a a b b b a a a a a a a a a +++=+LLLM M L M M M L M M M L M L L L M M L M M M L M M M L M LLL例11．计算n 阶行列式0000n a a a b a a D b b a b b b =L L LM M M L M L． 解：将第n 列元素写成两个元素的和，即000000n a a a b a a D b b a b b b a a++=+-L L LM M M L M L， 根据行列式的性质，得0000000000100010001001n a a a a a b a a b a D bb a b b bb b a b b b a a a a a b a b a a bb b b b bbbbb a=-=⨯-L L L L L L M M M L M M M M L M L L L L L L L L M M M L M M M M L M LL对上面的第一个行列式，将第n 列乘()b -加到其余各列上；对第二个行列式按第n 列展开，得：()()()11111001000100001n n nn n n n b a b a b a a a b a b b a a D a a b b b a b b b a b aD ⨯-⨯--------=⨯-⨯-=--LL L L L LMM M L M M M M LM LL于是获得第一个递推关系 ()11n n n D a b aD --=--如果将n D 按下面方式拆项，又得到00000000000000n b b a a a b a a a b a a a b a a b a a a a D b b a b b a b a b b b b b b b b -+==-++L L L L L L LL L M M M L M M M M L M M M M L M LLL又得到另一个递推关系 ()11n n n D b a bD --=--故有递推关系式 ()()1111n nn n n n D a b aD D b a bD ----⎧=--⎪⎨=--⎪⎩ 当a b ≠时，解得()()()1233211111n n a n n n n n n D ab a a b ab b a b aba b--------=-++++-=--L当a b =时，解得()()()()1222221111n n a n n n n nD a a a a a n a------=-++++=--L例12．计算n 阶行列式n x a a a a x a a D a axa a a a x-=-----L L LM M M L M L． 解：将n D 的第n 行可写成0,0,,0,a a a x a a ----+L ，则：00n x a a a x a a a a x a a a x a a D a a x a a axa x aa a a a--=+--------L L L L LLM M M L M M M M L M LL， 对第一个行列式，按最后1行展开；对第二个行列式，将最后1列分别加到第1列，第2列，L ，第n-1列，再按最后1行展开，得：()()()111n n n D x a D a x a --=-++若将n D 的第n 列写成0,0,,0,a a a x a a ++++-L ，则()()()112n n n D x a D a x a --=+--由以上()()1,2两式，可解得()()12n nn D x a x a ⎡⎤=++-⎣⎦ ８．换元法将行列式的元素进行变换，然后再计算行列式之值的方法，称为换元法． 这种方法主要依赖于行列式的下述性质：111111111111n nnnnj kj j k n nn n n nna x a x a a x A a x a x a a ==++=+++∑∑L L MLM M L M LL ．其中kj A 为元素kj a 在行列式1111nn nna a a a LM LM L中的代数余子式． 特别的，如果12n x x x ===L ，则上式变为1111111111n nnnkj j k n nn n nna x a x a a x A a x a xa a ==++=+++∑∑L L MLM M L M LL．例13．计算行列式123n na x x x x a x xD xx a x xx x a =L L L M M M L M L． 解：将n D 的所有元素减去x ，得12300000000000n a x a x D a xa x--=--LL L M M M L M L， D 的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其余元素的积，则：()()()()()123111111n nn n iji j nn i i i i D a x a x a x a x x A x a x x a x =====----+⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭∑∑∑∏L9 利用德蒙（Vandermonde ）行列式著名的德蒙行列式，在线性代数中占有重要的地位，在计算行列式的时候，可以直接利用其结果． 德蒙行列式的形式和结果为()1232222123111111231111n n ijj i nn n n n nx x x x x x x x x x x x x x ≤≤≤----=-∏L L LM MM L ML．例14．计算n 阶行列式()()()()()()()()()()()()112233222211223311111122331111111111111111n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x ------------=----LL L M M ML M L．解：将第1列元素变形拆开，得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1122331122332222112233111111223312311223322221122331111111111111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------=----------------=L L L M M ML M LL L LM M M LM()()()()1111122331111n n n n n x x x x x x x --------L()()()()()()()()()()()()123112233222211223311111122331111111111111111n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------+----LL L M M ML M L把第一个行列式从第1行起依次将第i 行加到第()1i +行；第二个行列式的第i 列提取()11,2,,i x i n -=L ，得()()()12322221231233333222212312311111123123111111111n n n nn n i ni nn n n n n n n n nn ni i i j i i j i nx x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =----==≤<≤=+-⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∏∏∏∏L L L L L L M M M L M M M M L M LL综上所述，我们介绍了计算n 阶行列式的9种常见方法，最后指出：计算一个n 阶行列式常常有多种方法，有时需要多种方法配合使用，对于给定的n 阶行列式，究竟选择何种计算方法最简便，还需在实践中积累经验．参考文献:[1] 禾瑞，郝炳新．高等代数[M]．第四版．：高等教育，1999． [2] 毛纲源．线性代数解题方法技巧归纳[M]．：华中理工大学，2000．。