高一数学函数的单调性PPT优秀课件
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函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
3.会利用单调性求参数取值范围．(重点)
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
新教材高中数学第三章函数的单调性课件新人教B版必修第一册ppt
【解析】选 C.对于 A，y＝－2x 在定义域上无单调性，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上 是增函数，所以 A 错误； 对于 B，y＝x2＋1 1 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以 B 错误； 对于 C，y＝－3x2－6x 图像是抛物线，对称轴是 x＝－1，所以函数在[－1，＋∞)上是 减函数，所以 C 正确； 对于 D，a>0 时，y＝ax＋3 在(－∞，＋∞)上为增函数，a<0 时，y＝ax＋3 在(－∞， ＋∞)上是减函数，所以 D 错误．
A．[1，2]
B．12，2
C．(1，2]
D．21，2
【思路导引】分别考虑 x>0，x<0，分界点三个方面的因素求范围．
【解析】选 A.因为函数 f(x)＝（ －2x2b＋－（1）2－x＋b）b－x，1，x≤x0>，0， 2b－1>0，
在 R 上为增函数，所以 2－2 b≥0， 解得 1≤b≤2. b－1≥0，
3．函数 y＝|x－1|的单调增区间是____________． 【解析】作出函数的图像，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像； (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【补偿训练】 画出函数 y＝|x|(x－2)的图像，并指出函数的单调区间． 【解析】y＝|x|(x－2)＝x－2－x22＋x＝2x（ ＝x－－（1）x－2－1）1，2＋x≥1，0，x<0， 函数的图像如图所示． 由函数的图像知：函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1).
类型三 函数单调性的应用(数学运算、逻辑推理) 利用单调性解函数不等式 【典例】已知函数 f(x)的定义域为[－2，2]，且 f(x)在区间[－2，2]上是增函数， f(1－m)＜f(m)，则实数 m 的取值范围为________． 【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围．
3.2.1函数的单调性与最值(教学课件)——高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
即y＝
−2 − 2 + 1, ＜0，
−（ + 1）2 + 2, ＜0，
函数图像如图所示,单调递增区间为（-∞，-1］和［0，1］,单调递减区间为
［-1,0］和［1,+∞）.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
方法感悟
利用图像法判断函数单调性的注意点
凡是能作出函数图像的单调性问题，都可用图像法解决.此法主要用于
利用定义证明函数单调性的方法
注意：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因
式乘积的形式.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
2.用图像法证明函数的单调性
例2
求下列函数的单调区间：（1）y＝|x2+2x-3|；（2）y＝-x2+2|x|+1.
解（1）令f（x）＝x2+2x-3＝（x+1）2-4，作出f（x）的图像，保留其在x轴上方
从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23.
提示 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以3≤3x≤18，
2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
1.用定义法证明函数的单调性
图像可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即
1
y随着x的增大而增大；从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）
和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小.
高中数学
必修第一册
−2 − 2 + 1, ＜0，
−（ + 1）2 + 2, ＜0，
函数图像如图所示,单调递增区间为（-∞，-1］和［0，1］,单调递减区间为
［-1,0］和［1,+∞）.
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方法感悟
利用图像法判断函数单调性的注意点
凡是能作出函数图像的单调性问题，都可用图像法解决.此法主要用于
利用定义证明函数单调性的方法
注意：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因
式乘积的形式.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
2.用图像法证明函数的单调性
例2
求下列函数的单调区间：（1）y＝|x2+2x-3|；（2）y＝-x2+2|x|+1.
解（1）令f（x）＝x2+2x-3＝（x+1）2-4，作出f（x）的图像，保留其在x轴上方
从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23.
提示 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以3≤3x≤18，
2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
高中数学
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题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
1.用定义法证明函数的单调性
图像可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即
1
y随着x的增大而增大；从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）
和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小.
高中数学
必修第一册
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
【思考3】这样的变化过程能写完吗?
怎么借助字母符号表示上述具体例子的共同点？
分析：
只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
新知探究
1
函数的单调性
【问题2】请同学们在草稿本上用列表法画出 = 图像.
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
【思考5】模仿上述方法，给出“在区间 ， + ∞ 上，随的增大而增
大”的符号语言刻画.
2 2 2 2 2 x1 x2
则 f x1 f x2
.
x1 x2 x2 x1
x1 x2
x1 , x2 (, 0) ， x1 x2 0 .
又 x1 x2 ， x1 x2 0 .
f x1 f x2 0 ，即 f x1 f x2 .
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
新知探究
函数单调性与最值(第1课时)-课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
2
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；
高一数学精讲(人教版)第七讲函数的基本性质—单调性课件
y
y＝x＋1
1
-1 O x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
y
y＝x＋1
1
-1 O x
y y y＝－x2＋2x
O
12 x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
y
y＝x＋1
1
-1 O x
y y y＝－x2＋2x
O
12 x
yy
2 2 y＝－2x＋2
11 x
O
x
y y1 x
Ox
y
y x2
x O
y f ( x1 )
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
____[_2_1_,_4_9_].
m 16, f (x) 4x2 16x 1
4(x 2)2 15.
练习4
【1】已知函数y=f(x)在定义域R上是单调 减函数,且f(a+1) > f(3-a),求实数a 的取值范围
【2】函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函 数,若f(2-a) > f(3-a),求实数a 的取值范围
如何用x与f(x)来描述降落的图象？
y y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
3.1.2函数的单调性(第1课时)课件-高一数学(人教B版必修第一册)
的斜率都大于 0 ,函数递减的充要条件是其图像上任意两
点连线的斜率都小于 0.
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
一般地, 若 是函数
的定义域的子集, 对任意
且
,记
(1) 恒成立; (2) 成立.
，
, 则:
在 上是增函数的充要条件是
在上
在 上是减函数的充要条件是
在 上恒
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
【训练 1】(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是( )
A.y＝－1 B.y＝2x－1 C.y＝1－2x D.y＝(2x－1)2 x
【解析】对于 A，y＝－1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调
递增；对于 B，y＝2x－1 在 R 上单调递增；对于 C，y＝1
－2x 在 R 上单调递减；
对于
＝（x2－x1x）21（x22x2＋x1）.当 x1<x2<0 时，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数.当 0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)>f(x2).∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数.
【解析】∵f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)， ∴2m>－m＋9，即 m>3，故选 C.
课堂练习
【训练 3】定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x1，x2∈R(x1
≠x2)，有f（x2）x2－－fx（1 x1）<0，则(
)
A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)
函数单调性说课稿PPT(共25张PPT)
19
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
高一数学必修一单调性与最大(小)值课件PPT
上,你同意这个说法吗?
2.你曾经做过哪些努力,来让自己的教 学活动 显得对 学生有 意义?
3.在下面的教学活动中,你觉得哪种教 学方式 对学生 来说更 有意义
A.在课堂上,让学生在给定的句子里用下划线标记 出其中的名词 B.在课堂上,让学生自由造句,但不许在句子中出现 名词。 C.在课堂上,教师给学生讲解牛顿运动定律。
答：烟花冲出后1.5s是它爆 裂的最佳时刻，距地面的 高度约为29m。
➢复习回顾
P32-5、设 f(x) 是定义在区间[-6,11]上的函数。如果 f(x)
在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出 f(x)
的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2) 是函数
f(x)的一个
.
y
2、函数的最值是“全局性质”
3、若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取
最值时的自变量可以有多个。有些函数不一定有最值， 有最值的不一定同时有最大值最小值。
4、求单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的 单调性。
1.3.1 单调性与最大（小）值 （第3课时）
➢复习回顾
1、增函数/减函数:
I.在课堂上,让学生利用概率论(和天气有关的)来规 划哪几个月的哪几周适合班级出游
03
现在,请写出四到五条你在当前教学中的实际经验。 写出五条你曾在课堂中使用过的教学方法,并努
力将其改进得更加有意义。之后,将这五条教学法全 体教师一起分享。
谢谢观看
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最 佳时刻， 纵坐标就是这时距地面的高度。
解：由二次函数的知识，
ht 4.9t 2 14.7t 18 4.9(t 1.5)2 116.1
4
由图象可得：当t 14.7 1.5时，函数有最大值为 2 (4.9)
2.你曾经做过哪些努力,来让自己的教 学活动 显得对 学生有 意义?
3.在下面的教学活动中,你觉得哪种教 学方式 对学生 来说更 有意义
A.在课堂上,让学生在给定的句子里用下划线标记 出其中的名词 B.在课堂上,让学生自由造句,但不许在句子中出现 名词。 C.在课堂上,教师给学生讲解牛顿运动定律。
答：烟花冲出后1.5s是它爆 裂的最佳时刻，距地面的 高度约为29m。
➢复习回顾
P32-5、设 f(x) 是定义在区间[-6,11]上的函数。如果 f(x)
在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出 f(x)
的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2) 是函数
f(x)的一个
.
y
2、函数的最值是“全局性质”
3、若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取
最值时的自变量可以有多个。有些函数不一定有最值， 有最值的不一定同时有最大值最小值。
4、求单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的 单调性。
1.3.1 单调性与最大（小）值 （第3课时）
➢复习回顾
1、增函数/减函数:
I.在课堂上,让学生利用概率论(和天气有关的)来规 划哪几个月的哪几周适合班级出游
03
现在,请写出四到五条你在当前教学中的实际经验。 写出五条你曾在课堂中使用过的教学方法,并努
力将其改进得更加有意义。之后,将这五条教学法全 体教师一起分享。
谢谢观看
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最 佳时刻， 纵坐标就是这时距地面的高度。
解：由二次函数的知识，
ht 4.9t 2 14.7t 18 4.9(t 1.5)2 116.1
4
由图象可得：当t 14.7 1.5时，函数有最大值为 2 (4.9)
函数的单调性优质课课件pptx
04 复合函数与反函 数单调性分析
复合函数单调性判定方法
同增异减原则
内外层函数单调性相同时 ，复合函数为增函数；内 外层函数单调性相反时， 复合函数为减函数。
求导判断法
对复合函数求导，根据导 数的正负判断函数的单调 性。
图像判断法
画出内外层函数的图像， 通过观察图像的升降来判 断复合函数的单调性。
参变量变化对实际问题解 决的影响分析
案例分析：参变量在实际 问题中的具体应用
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果对于区间I内的任意两个数x1, x2，当x1<x2时， 都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数f(x)在区间I上是单调递增 （或单调递减）的。
判断函数单调性的方法
通过求导判断函数的单调性，若f'(x)>0，则f(x)在对应区间内单调递增 ；若f'(x)<0，则f(x)在对应区间内单调递减。
03
单调性与函数图像的关系
单调递增函数的图像从左到右呈上升趋势，单调递减函数的图像从左到
右呈下降趋势。
易错难点剖析及解题技巧分享
易错点
在求导过程中忽略定义域的限制 ，导致判断错误；将函数的局部
极值点处的一阶偏导数必须为零，即 驻点。
案例分析：多元函数单调性应用
01
02
03
经济学中的应用
在生产函数中，通过判断 多元函数的单调性可以确 定生产要素的投入量对产 出的影响。
工程学中的应用
在优化设计中，利用多元 函数的单调性可以找到最 优的设计方案。
数学建模中的应用
在解决实际问题时，通过 建立多元函数模型并利用 其单调性进行分析，可以 得到问题的解决方案。
3.2.1函数的单调性与最值课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
归纳总结
我们证明函数在定义域D的某个区间I上的单调性方法如下：
取 , ∈ ,设 <
若 − ( )>0 则在I上单调递增；
若 − < 则在I上单调递减。
−( )
−
或者我们用“差商法”若
−( )
−
认I是一个区间）
最大值与最小值
统称为最值
（1）函数的最大值：如果有 ∈ 使不等式 ≤ 对一切 ∈
，就说f(x)在x=a处取得最大值M=f(a),称M为f(x)的最大值，a为f(x)的
最大值点。
（2）函数的最小值：如果有 ∈ 使不等式 ≥ 对一切 ∈
，就说f(x)在x=a处取得最小值M=f(a),称M为f(x)的最小值，a为f(x)的
新知讲授
【例】证明函数f x = x
1
+
x
x > 0 在区间（0，1]上单调递减，在区间 1, +∞ 上
单调递增，并指出 0, +∞ 的最值点和最值。
解：设 和 是区间（0，1]上的任意实数，且满足 < ,则
− ( ) + − ( + )
即要保证 − ≥
所以： ≤ −
所以a的取值范围是(−∞, −]
巩固练习
例二、若f(x)在 0, +∞ 单调递减，比较 f
解：因为
且
>
−+= −
a2
−a+1
− += −
因为f(x)在 , +∞ 单调递减 所以
函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
y
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
k
反比例函数 y k 0的单调性：
x
,0 0,
k
y k 0
x
y
k>0
O
减函数
减函数
增函数
增函数
x
y
k<0
O
x
2
y
ax
bx c(a 0)的单调性：
二次函数
b
y ax bx c(a 0) 的对称轴为 x
2a
2
y ax 2 bx c
3.用定义证明单调性的步骤：
(1)取值；（2）作差；（3）变形；（4）定号；（5）下结论.
作业：
1
证明函数 () = + 在区间 (0,1) 上单调递减.
一次函数 y kx bk 0的单调性：
函数f(x)＝kx＋b(k>0)在R上是增函数。
函数f(x)＝kx＋b(k<0)在R上是减函数。
1）图
.）（
那么就称函数f ( x)在区间I上单调递增（如图（1））
.
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
k
反比例函数 y k 0的单调性：
x
,0 0,
k
y k 0
x
y
k>0
O
减函数
减函数
增函数
增函数
x
y
k<0
O
x
2
y
ax
bx c(a 0)的单调性：
二次函数
b
y ax bx c(a 0) 的对称轴为 x
2a
2
y ax 2 bx c
3.用定义证明单调性的步骤：
(1)取值；（2）作差；（3）变形；（4）定号；（5）下结论.
作业：
1
证明函数 () = + 在区间 (0,1) 上单调递减.
一次函数 y kx bk 0的单调性：
函数f(x)＝kx＋b(k>0)在R上是增函数。
函数f(x)＝kx＋b(k<0)在R上是减函数。
1）图
.）（
那么就称函数f ( x)在区间I上单调递增（如图（1））
.
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，
3.2.1函数的单调性(第二课时) 高一数学 精品 课件(人教A版2019必修第一册)
.
解：由题意知函数 f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,
又 f(m-1)<f(2m-3),
-1>2 -3,
所以 -1< -1<1, 解得 1<m<2.
-1<3-2 < 1,
故实数 m 的取值范围是(1,2).
( 1)-f( 2 )
<0(x1≠x2),若
1 2
概念讲解
练习：已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
y
解：由函数图像可知，函数的单调递减区间
是(-∞,-1]
1
-1 O
x
概念讲解
注意:
(1)函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定都是单调递增
1
(减).如函数 = ( ≠ 0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,但是在整个定义
域上不具有单调性.
(2)当一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用
第 三 章 函数的概念及其表示
3.2.1
函数的单调性（第二课时）
人教A版2019必修第一册
目录
教学目标
1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调
性.（数学抽象）
2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.（逻辑推理）
3.会求一些具体函数的单调区间.（数学运算）
解：由题设知，当 x<1 时，f(x)单调递减；当 x≥1 时，f(x)单调递增，x＝1 为
3
1
1
1
1＋
1－
1 1 2
图象的对称轴，所以 f 2 ＝f
3.2.1函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版【04】
题型一：根据图像与函数性质求单调区间
练：函数 f (x) log2 (x2 2x)的单调递增区间为 _______ 解析：首先考虑函数的定义域为(,2) (0,)，所以其单调 递减区间即为x2 2x的单调递增区间，为(,2)
题型二：根据函数的单调性求最值
解析：根据函数的奇偶性，令f (1) f (1),即可得出a a1 ,a 2， 33
提示：分段函数的单调性，除了要满足在每一段单调，在分界点也要呈现上升或下降的趋势
(3a 1)x 4a(x 1)
例1.已知函数f
(x)
a x
(
x
1)
,满足对任意的实数x1, x2且x1 x2 ,
都有[ f (x1) f (x2 )](x1 x2 ) 0,则实数a的取值范围是_______
3a 1 0
解析：由题意得，函数为减函数。可得：a 0 3a 1
4a
, a
解得：a
[
1 6
,
1) 3
例2.若函数 f
(x)
log
a
(x3
ax)(a
0且a
1)在区间(
1 2
,0)内单调递增，
则a的取值范围是 _________.
解析：函数f (x)在( 1 ,0)内有意义，则( 1)3 1 a 0,a 1
2
f (x)
1
,令( 2)x t(t (0,)),t 1 [2,)
( 2)x 1
t
( 2)x
f (x) (0, 1] 2
题型二：根据函数的单调性求最值 练.若函数f (x) 2x m 在区间[0,1]上的最大值为3，则实数m ________
x 1
解析：f (x) 2 m 2 ,当m 2时，最大值为 f (0) m 3; x 1
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4. 函数f (x)= 2x+1, (x≥1)
5 － x, (x＜1)
则f (x)的递减区间为( B )
A. [1, ＋∞) B. (－∞, 1)
C. (0, ＋∞) D. (－∞, 1]
5. 若函数f (x) 在区间[a, b]单调
且 f(a).f(b)＜0, 则方程f(x)=0在区
间[a, b]上( D ).
问题探究
1. 教材P29：例1、2.
2. 证明函数f (x)=－2x+3在R
上是减函数.
3.
讨论函数f (x) =
k x
( k≠0 )
在(0, ＋∞)上的单调性.
方法小结
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)－f(x2) ; (3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号:
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
-20
-40
-60
-80
图2-16
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演讲人: XXX
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2021/02/25
13
① 分解因式, 得出因式x1－x2 .
② 配成非负实数和.
(4). 作结论.
练习实践
1. 判断函数 f (x) = x2+1在
(0, ＋∞)上是增函数还是减函数? 2. 若函数f (x) 在区间[a, b]及 (b, c]上都单调递减, 则f (x)在区间 [a, c]上的单调性为 ( D )
A. 单调递减; B. 单调递增; C. 一定不单调; D. 不确定.
A.至少有一实根; B.至多有一实根; C.没有一实根; D.必有唯一实根.
小结
1. 概念 2. 方法
定义法 图象法
思考交流
• 若f(x) = a ┃ x-b ┃ +2在[0， + ∞ ）上为增函数，则a,b的取 值范围是————————。
作业
教材P39 1、2
y
100
80
60
40
20
-2.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ读与思考
1、思考问题 （1）从图2-15 （北京从20039每日新
增非典病例的变化统计图）看出，形势 从何日开始好转？
（2）从图2-16你能否说出y随x如图何变 化？
图
（3）什么是增函数、减函数、单调函 数、函数的单调性、函数的单调区间？
1. 自变量取值的任意性.
2. 增函数、减函数、单调函数是 对整个 定义域而言。有的函数不 是单调函数，但在某个区间上可 以有单调性。