变分法原理与技术

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第二章
变分法及其在最优控制中的应用

有趣的是，在1690年约翰· 伯努利的哥哥雅可比· 伯努利曾提 出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向数学 界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂 下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项 链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的 蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链 线（catenary）。
0 1
例如
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第二章
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几点说明： 1、泛函是映射，是从函数空间到数域的映射。 2、泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为泛函的 宗量。 3、容许函数空间：满足泛函的规定条件的宗量的全 体所构成的函数空间。 4、求函数的极值时，微分或导数起着重要的作用。 求泛函的极值时，变分起着类似的作用。我们将求泛 函的极值问题称为变分问题，其相应的方法称为变分 法。
d2 y dy a 1 ( )2 dx dx 2 y(0) y0 y (0) 0
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解此方程并适当选取参数，得
1 y (e ax e ax ) 2a
即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比· 贝努利 随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所 有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”， 有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
Δ xi A(t a,x a) Δ ti 图 2－ 1
B(t b,x b)
x(t)
当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ， x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点 o 间的弧长为： n n 2 (t ) x i J ti 2 xi 2 (t ) 1 t i t i 2 i 1 i 1
最优控制
中南大学 信息科学与工程学院 韩华 2008.03
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
第二章 变分法及其 在最优控制中的应用

2.1 变分法简介 2.2 泛函的变分 2.3 欧拉方程 2.4 横截条件 2.5 泛函局部极值的充分条件 2.6 等式约束条件下的变分问题 2.7 利用变分法求解最优控制问题 小结
2、二次型泛函
连续泛函如果满足下列条件： （1） J[x1(t)]+ J[x2(t)]=1/2[J[x1(t)+x2(t)]+ J[x1(t)-x2(t)]] （2） J[cx(t)]=c2J[x(t)] 就称为*****二次型泛函*****。例如
1 1 J xT ( t f )Fx( t f ) xT ( t )Qx( t )dt 2 2 t0
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伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链 线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。 惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经 由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出 答案。 到1691年，也就是雅可比· 伯努利提出悬链线问题的第二年， 莱布尼兹、惠更斯（62岁）与约翰· 伯努利各自得到了正确答 案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求 解一个二阶常微分方程


时，存在 ∣J[x(t)]－J[x0(t)]∣< (2.1.8) 那么，就说泛函J在点x0(t)处是连续的。 根据所采用的函数之间距离定义的不同，是按式 （2.1.5）还是式（2.1.6），其对应的泛函分别称为零阶连 续泛函或k阶连续泛函。
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是关于x(t)的二次型泛函，其中F、Q均为对称矩阵。

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tb ta
t
dx 1 dt dt
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2
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例2.1.3 函数的不定积分
y x ( )d
0 t
不是泛函。
泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛函的情况：
J [ x (t ) y (t )]dt
• •
d[ x(t ), x0 (t )] max x(t ) x0 (t )
a t b
(2.1.5）
在函数空间Ck[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的k阶导 数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离 定义为： (k ) (t ) x 0 ( t ) , , x ( k ) ( t ) x0 d[ x(t ), x0 (t )] max x(t ) x0 (t ) , x (t ) （2.1.6）
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从例2.1.2可以知道，连接A、B两点的曲线之弧长的泛函，其 2 是未知函数导数的函数。在一般情况下，被 被积函数 1 x ( t )的函数。所以最 积函数是自变量t，未知函数x(t)及其导数 x 简单的一类泛函可表示为：
泛函的变分
一、泛函的定义
如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都 有一个确定的值与之对应，那么就称变量J为依赖于函 数x(t)的泛函，记为：J=J[x(t)]。
x(t ) R n , J R 函数 泛函 x(t ) J x(t ) tx x(t ) J ; x(t )又称为泛函的宗量
2. 离散系统
J x 2 (i ) 2u2 (i )
i 1
q
都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。
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例2.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa) x 和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如 图2-1所示。
说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而 泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛 函理解为“函数的函数”。
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例2.1.1
函数的定积分
1.连续时间系统：
J x( t )dt
0
1
是泛函 吗？
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现实生活中的许多现象可以表达为泛函求极值问题， 称为变分问题。 变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函 数的普通微积分相对。
什么叫泛函？
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2.1

o
图2－4 注意：一阶相近的两个函数，必然是零阶相近，反之不成立。
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t1
t2
t
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k阶接近：
当
(k ) (t ) x 0 (t ) , x( k ) (t ) x0 x(t ) x0 (t ) , x (t )
tf
( t ), t ]dt J [ x( t )] L[ x( t ), x
t0
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二、泛函宗量的变分
泛函J[x(t)]的宗量x(t)的变分 是指在同一函数类中的两个函数 间的差：
x
x (t)
x 0(t)
x(t ) x(t ) x0 (t ) （2.1.1）
0 t1 图2－2 t2
t
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三、泛函的连续性

函数相近 零阶相近
当函数x(t)与x0(t)之差的绝对值，即: ∣x(t)-x0(t)∣, t1 t t2 (2.1.2) 对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，称函数 x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。如图2-3所示。
at b


显然，式（2.1.5）定量地表示两个函数之间的零阶相近度，而 式（2.1.6）定量地表示两个函数之间的k阶相近度。
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泛函的连续性

如果对于任意给定的正数，可以找到这样一个>0， 当 d[x(t)，x0(t)] < （2.1.7）
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四、泛函的常见形式
1、线性泛函 连续泛函如果满足下列条件： （1） J[x1(t)+ x2(t)]= J[x1(t)]+ J[x2(t)] （2） J[cx(t)]=cJ[x(t)]
其中，c是任意常数，就称为线性泛函。例如
( t )]dt J [ x(t )] [tx( t ) (sin t ) x
x
x (t)
x 0(t)
o
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图 2－ 3
t2
t
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一阶相近
当函数 x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导 0 ( t ) 之差的绝对值，即 ( t )和 x 数 x (t ) x 0 (t ) t1 t t 2 (2.1.3) x(t ) x0 (t ) , x 都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的，如图2-4 所示。 x (t) x x 0(t)
t1 t t 2 (2.1.4)
都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是k 阶相近的。
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函数间距离
•
在不同的函数空间，函数间的距离也不同。 在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体构成的 函数空间）中，通常采用下式定义距离：
t1 t2
( t )]dt J [ x( t )] [ p( t ) x( t ) q( t ) x
t1
t2
J[ x(t )] x(t ) t 2
都满足上述两个条件，故均为线性泛函。
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2.1

变分法简介

作为数学的一个分支，变分法(calculus of variations)的诞生，是现实世界许多现象不断探索的 结果: 约翰· 伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直 平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自 较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下 滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题 （The Brachistochrone Problem）。
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它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它要求出 一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖 和别出心裁引起了很大兴趣. 罗比塔（1661-1704）、雅可比· 伯努利（1654-1705）、莱布 尼茨（1646-1716）和牛顿（1642—1727）都得到了解答。 约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却 更为一般化. 欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从 而确立了数学的一个新分支——变分学。