高数一总复习

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第一章函数1. 1预备知识一元二次函数、方程和不等式不等式： 1大于取两边，大于大的，小于小的； 2 小于取中间。

绝对值不等式：|x|>a(a>0) x>a 或x<-a|x|<a 等价于 -a<x<a一元二次方程的两个根分别为x1,x2则有韦达定理：x 1+x 2= b a - x 1*x 2= c a 2b a-为曲线对称轴不等式：算术平均值大于等于几何平均值：2a b+≥ a=b 时才相等. 因式分解与乘法公式22222222332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2)n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 等差数列和等比数列()()()11111 22n n n n a a n d n a a n n n S S na d=+-+-==+1.等差数列　通项公式：　前项和公式或()()1100n n n GP a a qa q -=≠≠2.等比数列通项公式，()()()11.1111n n n a q q S qna q ⎧-⎪≠=-⎨⎪=⎩前项和公式求定义域：1:分式的分母不能为0 2:根号内的大于等于0 3:对数内的要大于0 （对数为分母时真数不等于1）y=sinx, 奇函数 y=cosx, 偶定义域（-∞，+∞）值域：-1 <= x <= 1y=tanx, 定义域{x | x ∈R, X ≠k π+2π} k 为整数值域：（-∞，+∞）奇函数y=cotx 定义域{x | x ∈R, X ≠k π} k 为整数值域：（-∞，+∞）奇函数判断奇偶性：f(-x)=f(x) 偶cosx,secx F(-x)=- f(x) 奇 sinx tanx cotx 等反函数：1先解出一个干净的Y ， 2 再把Y 写成X ，X 写成Y 就成了，复合函数要会看，谁是外衣，谁是内衣，P36页的公式要记住，初等函数的几个常见的图形要记住，初等数学基础知识一、三角函数1．公式同角三角函数间的基本关系式：·平方关系： sin 2(α)+cos 2 (α)=1; tan 2 (α)+1=sec 2 (α); cot 2 (α)+1=csc^2(α) ·商的关系：tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα ·倒数关系：tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式：sin(2x)=2sinx·cosxcos(2x)=cos 2(x)-sin 2 (α)=2cos 2(x)-1=1-2sin 2 (x) tan(2x)=2tanx / [1-tan^2(x)] ·半角公式：sin 2 (α/2)=(1-cosα)/2 cos 2 (α/2)=(1+cosα)/2tan 2 (α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan 2 (α/2)] cosα=[1-tan 2 (α/2)]/[1+tan 2 (α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan 2 (α/2)] ·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]六边形记忆法：1：对角线上两个函数的乘积为12：阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点三角函数值的平方如：tan 2x+1= sec 2x 3:任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值和乘积。

高数大一必考知识点归纳

高数大一必考知识点归纳高数是大一必考的一门重要课程，全面掌握其中的知识点对于大家的学习和未来的学习生涯都至关重要。

为了帮助大家更好地备考高数，本文将对大一必考的高数知识点进行归纳总结，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质：函数的定义、函数的图像、函数的奇偶性、函数的周期性等。

1.2 极限的概念与性质：函数极限的定义、左极限和右极限、极限的四则运算性质等。

1.3 无穷大与无穷小：无穷小的定义、无穷小的性质、无穷大的定义、无穷大的性质等。

2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算方法：导数的定义、导数的基本公式、常见函数的导数、高阶导数等。

2.2 微分的概念与计算方法：微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。

2.3 高阶导数与泰勒展开：高阶导数的概念、泰勒展开式的定义与应用等。

3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与计算方法：不定积分的定义、基本积分法、换元积分法等。

3.2 定积分的概念与计算方法：定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算方法等。

3.3 微积分基本定理：微积分基本定理的概念、反导数与不定积分、定积分与面积计算等。

4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念：微分方程的定义、微分方程的阶、常微分方程与偏微分方程等。

4.2 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。

4.3 高阶线性微分方程：二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程等。

5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质：多元函数的定义、多元函数的图像、多元函数的极限、多元函数的连续性等。

5.2 偏导数的概念与计算方法：偏导数的定义、偏导数的几何意义、偏导数的运算法则等。

5.3 高阶偏导数与全微分：高阶偏导数的概念、全微分的定义与计算方法等。

综上所述，以上列举的知识点是大一必考的高数知识点的主要内容。

大家在备考过程中可以根据这些知识点进行系统性的学习和复习，理解每个知识点的概念、性质和计算方法，并通过大量的练习题加深对知识点的理解和掌握。

高数期末必考知识点总结大一

高数期末必考知识点总结大一高数期末必考知识点总结高等数学是大一学生必须学习的一门重要课程，它在培养学生的数学思维、分析问题和解决问题的能力方面起着重要的作用。

期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，因此掌握必考的知识点至关重要。

本文将对高数期末必考的知识点进行总结和梳理，以帮助大家更好地备考。

一、函数与极限1. 函数的基本概念和性质：定义域、值域、奇偶性等。

2. 极限的定义与性质：极限存在准则、无穷大与无穷小、夹逼定理等。

3. 重要极限的求解方法：基本初等函数的极限、无穷小的比较、洛必达法则等。

二、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的几何意义、导数的四则运算、高阶导数等。

2. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

3. 隐函数与反函数的导数：隐函数求导、反函数的导数等。

4. 微分的定义与性质：微分的几何意义、微分中值定理等。

三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的线性性质、换元积分法等。

2. 基本初等函数的不定积分：幂函数的不定积分、三角函数的不定积分等。

3. 定积分的定义与性质：定积分的几何意义、定积分的性质等。

4. 定积分的计算方法：换元法、分部积分法、定积分的性质等。

四、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶数、解的概念等。

2. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程等。

3. 高阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。

4. 常微分方程的初值问题：初值问题的存在唯一性、解的连续性。

五、级数1. 数项级数的概念与性质：数项级数的定义、级数的收敛与发散、级数的性质等。

2. 常见级数的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法等。

3. 幂级数：幂级数的收敛半径、收敛域的判定、幂级数的和函数等。

综上所述，高数期末必考的知识点主要包括函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及级数等。

在备考期末考试时，同学们要重点复习这些知识点，并通过大量的练习题来巩固和提高自己的理论水平和解题能力。

高数大一复习总结

高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）（★）第二节数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >，∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()A x f x =∞→lim第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ）1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；）2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<（特别地，当()()0limx x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →-- 【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()2333331limlim lim 9333x x x x x x x x x →→→--====-+-+其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()00233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【题型示例】求值：93lim23--→x x x 【求解示例】36x →=== 第六节极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sin lim0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→xxx（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-） ○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x【求解示例】第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +-2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→【求解示例】第八节函数的连续性○函数连续的定义（★）○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ）4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ第二章导数与微分第一节导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=bax e x f x 1 ，>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b 【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=|2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=-法线方程：()()()1y f a x a f a -=--'第二节函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=±2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f 1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11f x f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】第四节高阶导数○()()()()1n n f x f x -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n nnn d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★）【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ……第五节隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111 法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】()()t t dx dy ϕγ''=.()22dy d y dx dx t ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭='第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理○引理（费马引理）（★）○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，x e e x >⋅【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，x e e x >⋅【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈，∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，x e e x >⋅第二节罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 【求解示例】()()()()00002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim x x x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan1limx x x→⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x=-+-的单调区间【求解示例】1．∵函数()f x在其定义域R上连续，且可导∴()261812f x x x'=-+2．令()()()6120f x x x'=--=，解得：121,2x x==3．（三行表）4．∴函数()f x的单调递增区间为(][),1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x>时，1xe x>+【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10x x e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1x e x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩3．（四行表）4．⑴函数2313y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-=3．（三行表）4．又∵()()()12,12,318f f f -=-==-∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====-第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★★）⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）第二节换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）【题型示例】求221dx a x+⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：：令t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctanxt a=，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：a令sin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsinxt a=，则原式可化为cos a t ； b令sec x a t =（02t π<<），于是arccosat x=，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求⎰（一次根式）【求解示例】2221tx tdx tdttdt dt t C Ct=-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求【求解示例】第三节分部积分法○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x=，()v g x=udv uv vdu=-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：幂、三、指”本步骤：积函数排序；⑵就近凑微分：（v dx dv'⋅=）⑶使用分部积分公式udv uv vdu=-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx'=⋅⎰⎰，判断a．若v u dx'⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b．若v u dx'⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C2xe x dx⋅⎰sinxe xdx⋅⎰()1sin sin cos2x xe xdx e x x C⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式 ○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数na m=-则参数,b cp q a a==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：其中参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法）【求解示例】第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质○定积分的定义（★）（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰⑵()0aa f x dx =⎰⑶()()bba a kf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ⑷（线性性质）⑸（积分区间的可加性）⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0ba f x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x-→⎰【求解示例】第三节定积分的换元法及分部积分法○定积分的换元法（★★★）⑴（第一换元法）【题型示例】求2121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足：a ．,αβ∃，使得()(),ab ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求4⎰【求解示例】⑶（分部积分法）○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立：⑴若()()f x f x -=，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0a a f x dx -=⎰ 第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan 1dx x C x=++⎰的证明。

高数(一) 复习题

高等数学复习题一、填空题：1、=-+∞→1632lim x x x2、=-→xx x 20)22(lim 3、如果⎩⎨⎧>+≤+==1ln 112)(1)(x x a x x x f x x f 处连续且在，则=a4、曲线32x y =在点（1，1）出的切线方程5、设 y xe y +=1，则=dxdy6、设为参数）t y e x tt (3⎩⎨⎧==-，则=dx dy7、设)('2)(x f e y x f =存在且，则=dy 8、曲线x x y ln 2=的拐点是9、dx xx x⎰-sin cos 2cos =10、=+⎰dx x x 2111、=-+∞→x x x x 7833lim 32 12、=+∞→x x x2)21(lim13、如果⎩⎨⎧>+≤==πππx x a x x x f x x f 处连续且在cos )()(，则=a14、曲线x y sin =在点π=x 处的切线方程 15、设 xy e y x =+，则=dxdy16、函数221213)(xx x f --+=的全部原函数为17、x →=___________.18、函数3212--+=x x x y 的连续区间是 .19、曲线y =(1，1)处的切线方程 .20、设为参数）t tt y t t x (3232⎩⎨⎧-=-=，则=dx dy . 21、若)0(f '存在，且0)0(=f 则=∆∆→∆xx f x )2(lim 0. 22、函数()3x f x e =的全部原函数为： .23、若()ln 2f x dx x x C =+⎰，则()f x = .24、2tan xdx =⎰.25、若23ln tan )(++=x x x f ，则=')(x f 。

26、已知：)(x f 是奇函数，且30=')(x f 则=-')(0x f 。

27、函数x x y ln -=22在区间是单调减少。

考研高数一复习计划基础

考研高数一复习计划基础复习计划一：1. 完整复习基础知识：高等数学一的基础知识是考研数学的重要基础，包括函数、极限、导数与微分、积分等内容。

建议先从教材中系统复习这些基础概念和公式。

2. 解题技巧强化：高等数学一的考点较多，因此需要掌握解题的技巧和方法。

可以通过做大量的习题，熟悉各类题型，并注意总结解题思路和方法。

3. 练习真题：考研高数一的真题是复习的重点。

每年都会有一些重复的考点和题型，熟悉真题可以对考试形式有更好的把握，建立信心。

4. 知识联结：高等数学一的知识点之间有一定的联系，比如导数和极限的关系，积分的应用等。

在复习过程中，要注意将知识点相互关联，形成知识体系。

5. 制定时间表：制定一个合理的复习时间表，将每天的学习时间分配给不同的模块，确保每个知识点都得到充分的复习。

同时，要合理安排休息时间，避免过度劳累。

6. 提取重点难点：根据教材和历年真题，提取出重点和难点知识点，重点攻克这些内容。

可以结合教材和参考书籍，寻找更多的例题和习题进行练习。

7. 制作复习资料：可以整理一些复习笔记、思维导图、公式总结等复习资料，方便日后查阅和复习。

8. 划定优先复习范围：由于高等数学一的内容较多，不可能面面俱到地进行复习。

可以根据历年真题和备考资料，划定优先复习的范围，集中精力进行复习。

9. 多维度练习：除了做高等数学一的试题，还可以尝试做一些相关的试题，比如工程数学、概率论等。

这样可以提高解题能力和对数学的理解。

10. 考前模拟冲刺：考研高数一的复习最后阶段，要进行模拟冲刺，做大量的模拟考试，熟悉考试形式和节奏，提高应试能力。

同时，要注意针对性地进行错题整理和巩固。

高数大一期中知识点

高数大一期中知识点（此处应该是“高数大一期中知识点”的内容，请根据题目自行判断并按照合适的格式写出文章。

以下是一个示范的高数大一期中知识点的文章。

）在大一期中考试中，高等数学是必考科目之一。

本文将对高数大一期中考试的重点知识点进行梳理和总结，供同学们复习备考之用。

一、极限与连续在极限与连续的章节中，重要的知识点有极限的定义、基本性质以及常见函数的极限计算方法。

在计算极限时，需要掌握使用代数运算、夹逼定理、洛必达法则等方法。

同时，连续函数与间断函数的判断也是重中之重。

二、导数与微分导数与微分是高等数学中的重要概念。

在导数与微分的章节中，需要熟悉导数的定义、基本性质、常见函数的导数计算方法以及高阶导数的求解。

此外，微分的定义和微分中值定理也需要掌握。

三、函数与曲线函数与曲线是高等数学的核心内容之一。

在函数与曲线的章节中，需要熟悉函数的性质、函数图像的绘制方法、函数的分类与变化规律等。

此外，掌握常见函数图像的特征和方程变换的方法也是必要的。

四、定积分与不定积分定积分与不定积分是高等数学的重点内容。

在定积分的章节中，需要掌握定积分的定义、性质、计算方法以及定积分的几何和物理应用。

同时，在不定积分的章节中，需要掌握不定积分的定义、基本性质、换元积分法和分部积分法等计算方法。

五、多元函数与偏导数多元函数与偏导数是高等数学的扩展内容。

在多元函数与偏导数的章节中，需要熟悉多元函数的定义、性质、偏导数的计算方法以及二元函数的极值判定方法。

此外，对累次积分的概念和计算方法也需要有一定的了解。

综上所述，以上列举了高数大一期中考试的重点知识点。

希望本文对同学们的复习备考有所帮助。

祝大家取得优异的成绩！。

高数总复习1

(4) lim( x→ 0 (6) lim x→ ∞
x 1 ctg x
1 x
( a>0 , a≠1 )
(7) lim(1+ ln sin )x x→ 2 x
π
1+3x − 1+ x (8) lim x→ 0 2x
tan x2 (9) lim x→ 0 x 1−cos 2
(ex −1 ctgx ) (10) lim x→ 0 cos x
在（，两线） 7. 求曲线 xey + y =1 点 10 处切，
法的程线方
x = cos(t2) 1 d2 y , cosudu,求 8. 设 , t2 2 dx y = tan x(t ) −∫ 2 u 1
9. 已知 y = f (x
x
[
1 2 x
)] , 其中f为可微正值函数,求 dy
15. 一、填空
定积分的几何意义
1 x
lim lim 1、设f(x)=cosx+ e ，则 x→0 f(x)= 0, x→0+ f(x)= +∞。 1 ⋅ sin x 的水平渐近线为 y = 0 ， 2、曲线y = x −1 垂直渐近线为 x =1。
−
n 3、已知 lim b 3 =A（A =A A ≠ 0 ，A A n→ n −(n −1 k ∞ )
ln cos x dx 2. ∫ 2 cos x 1 x dx 3. ∫ 2 1+ x
1 dx 4. ∫ 2 x(1+ ln x) 1 dx 5. ∫ 2 2 (1+ x )
6. ∫ 0 7.
ln2
ex −1 dx
∫
π
2 0
xsin 2 xdx

高等数学高数期末总复习题

高数第一学期总复习题函数、极限、连续选择题1、下列函数中为偶函数的是（）。

A.2x xey -= B. x x y cos 2+= C. 2x x e e y --= D. 21sin xx+ 2、下列各对函数中是相同函数的是（）。

A.22)(,x y x y ==； B.1,112+=--=x y x x y ； C.)sin (cos ,22x x x y x y +== D.x y x y lg 2,lg 2==3、=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=→），则设x f x x x x x x f x (lim 0,10,00,1)(0（） A. 1- B. 0 C.1 D. 不存在4、,0()1sin 1,0x e x f x x x x ⎧>⎪=⎨+<⎪⎩,则0lim ()x f x →= ( ) A ．不存在 B ． 1 C ． 2 D ． 0 5、=-→2102lim x x （）A ．0B ．1C ．∞+D ．∞- 6、=+∞→xxx x sin lim（）A.0B. 1C.不存在D.∞7、=∞→xx x 1sinlim （） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在 8、下列等式正确的是（） A ．01sinlim =∞→x x x B ．11sin lim =∞→xx x C ．1sin 1lim =∞→x x x D ．0sin 1lim 0=→x x x9、下列各式正确的是（）。

A.e x xx =+∞→1)1(lim B. e x xx =+→)1(lim 0 C. e xx x =+∞→)11(lim D. e x x x =+∞→1)11(lim10、=→x xx 2sin lim0( ) A ．21B ．0C ．1D ．211、的是时，下列函数为无穷小当+→0x ( )A. x x 1sin ；B. x e 1； C. x ln ； D. x xsin 1；12、在指定变化过程中，（）是无穷小A. )0(,1sin →x xB.)0(,1→x e x C. )0(),1ln(→+x x D. )3(,932→--x x x13、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,,3sin 1)(x a x x x x f 在),(+∞-∞上是连续函数，则a=（）A. 0 ；B. 1 ；C. 31； D. 3 ；14、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+-=2,2,223)(2x a x x x x x f 在处x=2处连续，则a=（） A. 0 ； B. 1 ； C.2； D. 任意值；15、函数)1ln(2)(x x x f ++-=的连续区间是（）A ．]2,1[- B.]2,1(- C.)2,1(- D.)2,1[-2)2()(1611--=-x e x x f x 、的连续区间是（）A.),2()2,(+∞⋃-∞B. ),1()1,(+∞⋃-∞C.),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞D. )2,1()1,(⋃-∞填空题1、已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则=)(x f 2、=====)(,tan ,,32x f y x v v u y u则复合函数 3、函数⎩⎨⎧>≤+=0cos 02)(x xx ax x f 在0=x 处连续,则=a4、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x xx x f ，在0=x 处连续，则=k ． 5、432lim 23=-+-→x k x x x 存在，则ｋ＝，6、2lim(1)xx x→∞-=7、=++-+∞→552lim 32x x x x x ，=++∞→424532lim x x x x8、=++-→11sin)1(lim 1x x x 9、函数)2)(1(2)(++-=x x x x f 的连续区间是__________．10、函数2312+--=x x x y 的间断点为计算题1、1)1sin(lim 21+--→x x x2、x x x x x +-→20sin lim3、⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→1311lim 31x x x 4、()x x x x x --++∞→22lim5、xx x 11lim 0--→ 6、x x xx tan cos 1lim 0-→ 7、521lim5---→x x x 8、 xx x 311lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→9、()xx x 1051lim +→ 10、x x x 2)41(lim -∞→ 11、 1231lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 12、 )2sin(11lim 0x x x -+→导数与微分选择题1、设函数)(x f 在0x x =处可导，且2)(0'=x f ，则hx f h x f h )()(lim000--→=（）A ．21 B ． 2 C ． 21- D ． 2- 2、曲线x y =在点（4 , 2）处的切线方程为（）A.044=+-y xB. 044=++y x C ． 044=++y x D ． 044=+-y x 3、若x x x f cos sin )(+=，则='])3([πf （）A ．21+23 B ．0 C ．21-+23 D ．2123-4、设2cos y x =，则dy =( )；Ａ、22cos x x dx - Ｂ、22cos x x dx Ｃ、22sin x x dx - Ｄ、22sin x x dx 5、设函数=y )(2x f -，则=dy （）A ．dx x f )(2-'B ．dx x f x )(22-' C ．)(22x f x -'- D ．dx x f x )(22-'-6、设函数12)(-=x ex f ，则f （x ）在0=x 处的二阶导数)0(f ''为（）A ．0B ．1-eC ．41-e D ． e7、若)1ln()(2xex f -+=，则=')0(f （）A ．1-B ．1C ．21 D ．21- 8、已知一质点作变速直线运动的位移函数223,tS t e t =+为时间，则在时刻2t =处的速度和加速度分别为（）A 、44122,64e e ++ B 、44122,122e e ++ C 、4464,64e e ++ D 、4412,6e e ++ 9、曲线x x y 32-=上一点（1，-2）处的切线方程为（）（A ） 01=+-y x （B ）01=--y x （C ） 01=-+y x （D ） 01=++y x填空题1、曲线26322-+=x x y 上一点M 的切线斜率为15，则点M 的坐标为． 2、曲线x y ln =上点（1，0）处切线方程为． 3、曲线x e x y +=在x=0处的切线方程是； 4、已知处可导，在0)(x x f ，则 =∆-∆-→∆xx f x f x )()x (lim 000．5、已知y xe y -=1，则dx dy= ． 6、已知函数2x e y -=，则该函数的微分dy =7、设ln ,xy e x =则_______;dy =8、当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T=T （t ），则该物体在时刻t 的冷却速度为_____； 9、设在[0，t]这段时间内通过导线横截面的电荷为Q=Q(t),则在0t 时刻的电流为 10、一个质量非均匀的细杆放在x 轴上，在[0，x]上的质量为kg x m 23=，则当x=1m 时的线密度为计算题 A 、求导数1.x x x y cos 413-+=, 2.1123+-=x y x , 3. 4cos tan 2π+=x x y 4. 23cos 2y x x =+5.3)(l n x y =，6、)ln(ln x y =，7、xy 1cos=，8、x e y x 5sin = ， 9、21arcsin x x x y --= 10、)ln(3x x y +=， 11、210(25)y x x =-+ ， 12、)2(tan 23+=x yB.求微分1、x x y 31+=2、x e y cos =3、x e x y 22=4、21xx y +=C. 求下列隐函数的导数y '1. 0922=+-xy y 2. yxe y -=1 3. y e y x xsin 2=- 4.已知076333=--++y xy x y ，求2=x dxdy导数的应用选择题1、函数21)(x xx f +=（） A ．在),(+∞-∞内单调增加 B ．在),(+∞-∞内单调减少 C ．在)1,1(-内单调增加 D ．在)1,1(-内单调减少 2、的单调增加区间是函数)1ln()(2x x f +=（）A.)5,5(-B.)0,(-∞C. ),0(+∞D.).(∞+-∞ 3、函数()y f x =在点0x 处取极值，则必有（）；A 、0()0f x '=,B 、 0)(≠'x f ，C 、0()0f x '=或0()f x '不存在，D 、0()f x '不存在4、若()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0,()0,f x f x '''><则()y f x =在(,)a b 内（）：5、A 、单调增加且凸 B 、单调增加且凹 C 、单调减少且凸 D 、单调减少且凹曲线16)(23++-=x x x x f 的凹区间是( )A ．(-∞,2)B ．( 2,+∞)C ．( -∞,-2)D ．(-2,2)6、设函数()f x 在[1,2]上可导，且()0,f x '<(1)0,(2)0f f ><，则()f x 在（1，2）内（）。

(完整版)高数一试题库

南京工业大学继续教育学院南京高等职业技术学校函授站《高等数学一》课程复习题库一．选择题1. 0sin 3limx xx→=（）A.0B. 13C.1D.32. 0sin lim 22x axx→=，则a =（）A.2B. 12C.4D. 143. 0sin 5sin 3lim x x x x →-⎛⎫⎪⎝⎭=（） A.0 B.12 C.1 D.2 4. 极限0tan 3lim x xx→等于（）A 0B 3C 7D 5 5.设()2,0,0x x x f x a x ⎧+<=⎨≥⎩，且()f x 在0x =处连续，则a =（）A.0B. 1-C.1D.26. 设()21,10,1ax x f x x ⎧+<=⎨≥⎩，且()f x 在1x =处连续，则a =（）A.1B. 1-C.-2D. 27. 设()21,02,0,0x x f x a x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处连续，则a =（）A.1B. 1-C.0D. 128．设2cos y x =，则y '=（）A. 2sin xB. 2sin x -C. 22sin x x -D. 22sin x x9. 设21y x -=+，则y '= （） A.32x - B.12x -- C.32x -- D.121x --+ 10．设5sin y x x -=+则y '=（）A ．65cos x x --+B 45cos x x --+C.45cos x x ---D.65cos x x ---11. 设51y x =，则dy =（） A.45x - .B.45x dx -- C. 45x dx D.45x dx - 12. 设1cos 2,y x =-则dy =（）A ．sin 2xdxB sin 2xdx - C.2sin 2xdx D.2sin 2xdx - 13. 设()2ln 1,y x =+则dy =（）A ．21dx x + B 21dx x -+ C.221xdx x + D.221xdxx-+ 14. ()1lim 1xx x →-=（）A. eB. 1e -C. 1e --D. e - 15．()xx x 2121lim +→ =（） A0 B∞ Ce D2e16. 01lim 1xx x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A. eB. 1e -C.0D. 117.226lim 2x x x x →+--=（）A. 1B. -2C.5D. -118.2231lim2x x x x x →∞++=- （） A. 32- B. 23- C. 23 D. 3219.2lim 43x x x →∞+=- （）A. 14B.0C. 23-D. 1220. 设()01f x '=，则()()0002limh f x h f x h→+-=（）A.2B.1C. 12D.0 21. 设()102f '=，则()()020limh f h f h →-=（） A.2 B.1 C.12D.0 22.设1sin 3xy =+，则()0y '=（）A.0B. 13C.1D. 13-23. .设()2ln 1y x =+，则()1y '=（） A.0 B.12 C.1 D. 12- 24. 设x y e -=，则()1y ''=（） A. e B. 1e - C.0 D. 1 25.设y z x y =+，则(,1)e zy∂=∂（）A ，1e +B ，11e+ C ， 2 D ， 126. sin xdx =⎰（）A ．sin x C +B sin xC -+ C. cos x C + D.cos x C -+27. 21xdx x =+⎰（） A ．()2ln 1x C ++ B ()22ln 1x C ++C. ()21ln 12x C ++ D. ()ln 1x C ++28. ()2x x dx +=⎰（）A ．32x x C ++B 3212x xC ++ C. 321132x x C ++ D. 32x x C -+29. 112x dx =⎰（）A.2B.32 C. 23D.0 30. 1x e dx -=⎰（）A. 1e -B. 11e --C. 1e --D. 11e -- 31. ()1213xx dx --=⎰（）A . 0 B. 1 C .12 D . 2332.设2101()212x x f x x ⎧+≤≤=⎨<≤⎩，则20()f x dx ⎰=（）A . 1 B. 2 C . 83 D . 10333.设23z x y x =+-，则zx∂=∂（）A. 21x +B. 21xy +C. 21x +D. 2xy34.设e sin xz x y =，则22zx∂∂=（）A.e (2)sin x x y +B. e (1)sin x x y +C. e sin x x yD. e sin x y35.设3233z x y x y =-，则2zx y∂∂∂=（）A. 22318x xy -B. 366xy y -C. 218x y -D. 3229x x y -36.设函数()2sin z xy =，则22zx∂=∂（）42.cos()A y xy 42.cos()B y xy - 42.sin()C y xy 42.sin()D y xy -37.设xyz e =，则2zx y∂=∂∂（） ().1xy A xy e + ().1xy B x y e + ().1xy C y x e + .xy D xye 38.微分方程0y y '-=，通解为（）A.x y e C =+B. x y e C -=+C. x y Ce =D. x y Ce -= 39. 微分方程20y x '-=，通解为（）A.2y x C =+B. 2y x C -=+C. 2y Cx =D. 2y Cx -= 40. 微分方程0xy y'+=，通解为（） A.22y x C =+ B. 22y x C =-+ C. 22y Cx = D. 2y x C -=+41.幂级数02nn n x ∞=∑的收敛半径=（）A ．12B.1C.2D. +∞ 42. 幂级数0n n x ∞=∑的收敛半径为（）A.1B.2C.3D.443.设0i n u ∞=∑与0i n v ∞=∑为正项级数，且i i u v <，则下列说法正确的是（）A.若0i n u ∞=∑收敛，则0i n v ∞=∑收敛B. 若0i n u ∞=∑发散，则0i n v ∞=∑发散C.若0i n v ∞=∑收敛，则0i n u ∞=∑收敛 B. 若0i n v ∞=∑发散，则0i n u ∞=∑发散44. 设函数()2x f x e =，则不定积分2x f dx ⎛⎫⎪⎝⎭⎰=（）A. 2x e C +B. x e C +C. 22x e C +D. 2x e C +45. 设()f x 为连续函数，则()ba d f x dx dx =⎰（）A. ()()f b f a -B. ()f bC. ()f a -D.0 46.设()0()sin ,xf t dt x x f x =⎰则=( )A ，sin cos x x x +B ，sin cos x x x -C ，cos sin x x x -D ，(sin cos )x x x -+ 47. 方程0x y z +-=表示的图形为（） A.旋转抛物面 B.平面 C.锥面 D.椭球面48. 如果()f x 的导函数是，则下列函数中成为()f x 的原函数的是（）49. 当0x →时，与变量2x 等价的无穷小量是（）50. 当0x →时，21x e -是关于x 的（）A ．同阶无穷小B ．低阶无穷小C ．高阶无穷小D ．等价无穷小51. 当+→0x 时，下列变量中是无穷小量的是（） A 、x 1 B 、x xsin C 、1-x e D 、x1 52.当0x →时，kx 是sin x 的等价无穷小量，则k =（）A.0B.1C.2D.353.函数33y x x =-的单调递减区间为（）A. (,1]-∞-,B. [1,1]-C. [1,)+∞D. (,)-∞+∞ 54.曲线3y x -=在点（1，1）处的切线的斜率为（）A.-1B.-2C.-3D.-455.1x =是函数()211x f x x -=-的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点二、填空题1.()10lim 1sin xx x →+= ．2. 若0sin lim2sin x mxx→=，则=m3. 0tan lim ______21x xx →=+4. xx x sin 121lim--→=5. 21lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ .6. ()()2x 35lim 5321x x x →∞+=++7. 2241lim21x x x x →-+=+ 8. 201cos limx xx→-= 9. 30tan sin limx x xx →-= 10. arctan limx xx→∞=11．22lim 1xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭12.设函数2ln y x x =，则y '=13.已知tan y x =，则y ''= ．14.已知112+=x y ，则y '= 15.已知1=+xy e x ，则dydx= 16. 已知)12(sin 2-=x y ，则dydx=17.设20,()0,0xe x xf x x ⎧≠⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，则)(f 0'=___________。

高数一工科复习题

高数一工科复习题一、选择题1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的导数是：A. 3x^2 - 6x + 2B. x^3 - 3x^2C. 3x^2 - 6xD. x^3 - 3x3. 积分∫(2x - 1)dx的结果是：A. x^2 - x + CB. x^2 - xC. 2x^2 - x + CD. 2x^2 - x4. 函数y = ln(x)的定义域是：A. x > 0B. x ≥ 0C. x < 0D. x ≤ 05. 函数f(x) = x^2 + 1的极小值点是：A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. 没有极值点二、填空题6. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5的极值点是______。

7. 若f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2，则f'(x) = ______。

8. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期是______。

9. 函数y = e^x的导数是______。

10. 若∫f(x)dx = x^2 + C，则f(x) = ______。

三、简答题11. 请简述导数的几何意义。

12. 解释什么是不定积分，并给出一个例子。

13. 阐述函数的连续性与可导性之间的关系。

14. 简述泰勒公式在数学中的应用。

15. 请说明如何利用定积分求曲边梯形的面积。

四、计算题16. 求函数f(x) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 - x + 2在x = 2处的导数和二阶导数。

17. 计算定积分∫[0,1] (3x^2 + 2x - 1)dx。

18. 求函数y = x^3 - 2x^2 + x的极值。

19. 利用换元积分法计算∫[0,1] (x^2 + 1)^5 dx。

20. 求函数f(x) = ln(x) + x在区间[1, e]上的最大值和最小值。

大一经典高数复习资料经典经典全面复习

高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<o第二节数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311limlim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】3x →===第六节极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第七节无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +- 2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节函数的连续性 ○函数连续的定义（★）()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章导数与微分第一节导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛ ⎝第四节高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★）【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ⋅'=第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ== 即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+；2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，xe e x >⋅第二节罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解：（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim xx x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln limlimlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导 ∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1xe x >+ 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩x (,0)-∞ 0 (0,1)1 (1,2)2 (2,)+∞y ' - 0 + + 0 - y '' + + - - y 1 (1,3) 54．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈o，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈o，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-= x1- ()1,1-1 (]1,3()f x ' 0+- ()f x极小值Z极大值]4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求221dx a x +⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】()()121212x x C=+=+=○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ；⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式）【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd ee x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分 ○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m =-22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：()()()()()()122k lP x P x P x Q x x a x px q =+-++其中()()()()1122...k kkP x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法）【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0a af x dx =⎰ ⑶()()b ba akf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）()()()()1212b b ba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】()2211cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x--'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x xxx x x e ex x e xxdx e dx x x ex ex xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第三节定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）()()()()b baa f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求40⎰ 【求解示例】()2210,43220,1014,332332311132213111332223522933解：t t x x t x t t dx t t t dt t dt t x t =-====+−−−−−−→+⎛⎫=⋅⋅=+=+ ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰ ⑶（分部积分法）()()()()()()()()()()()()bba ab bb aaau x v x dx u x v x v x u x dxu x dv x u x v x v x du x ''=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0aaf x dx -=⎰第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan 1dx x C x =++⎰的证明。

高数大一知识点总结专升本

高数大一知识点总结专升本高等数学是大一学生必修的一门重要的课程，对于专升本考生来说，掌握好高数知识点是顺利通过考试的关键。

本文将从大一学年的角度，对高数知识点进行总结，以帮助专升本考生复习巩固。

1. 限制与极限在高等数学的学习中，限制与极限是一个非常重要的概念。

限制可以理解为取某种程度上符合条件的数值，而极限则是指某个变量趋向于无穷大或无穷小时的数值。

2. 函数与导数函数是一个非常常见的数学概念，它描述了输入与输出之间的关系。

导数是函数的一个重要性质，表示函数在某一点的变化率，常被用来求解函数的极值问题。

3. 积分与微分积分是一个重要的数学工具，表示了函数曲线下的面积或者某种累积效应。

微分则是积分的逆运算，表示小区间内函数的线性近似。

4. 二元函数与多元函数除了研究一元函数，高等数学也会涉及到二元函数和多元函数的研究。

这些函数中，存在多个输入变量和一个输出变量，对于专升本考生来说，需要理解函数的偏导数和全导数的概念。

5. 常微分方程常微分方程是描述自然界中变化规律的数学模型，也是工程问题中常使用的方法。

掌握常微分方程的解法，对于专升本考生来说非常关键。

6. 空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、直线、平面和曲线的一门学科。

掌握三维空间中坐标表示、距离计算和方向余弦等知识点对于解决几何问题非常重要。

7. 数列与级数数列与级数是数学中的一种重要数学工具，常常被应用于各个学科中。

掌握等差数列、等比数列和调和数列的性质，以及级数的概念和判断级数敛散的方法对于专升本考生来说都非常重要。

以上所列的知识点只是对高等数学中的一部分进行了简要的总结，不过对于专升本考生来说，这些知识点是基础且重要的。

要想在考试中取得好成绩，除了理解这些知识，还需要多做习题进行巩固。

希望本文的总结能够帮助专升本考生们更好地复习高数知识，取得优异的成绩。

高数总复习重点,大一

三、导数的几何意义
K切=f ′(x0) 切线方程：切线方程：y-f(x0)= f ′(x0)(x-x0) 在点（，）如求y=x3在点（1，1）处的切线方程在点x=1处的切线方程求y= −x2+7在点在点处的切线方程
四、基本求导公式和导数的四则运算法则基本求导公式和导数的四则运算法则五、复合函数的导数复合函数的导数
第二章导数与微分
一、导数的定义
f ′(x0)= lim
∆x → 0
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆x
二、连续与可导的关系
f ( x + ∆x) − f ( x) lim f ′ (x)= ∆x →0 ∆x
可导必定连续，但连续未必可导典型 y=|x|在x=0处即函数在一点可导是函数在该点连续的充分不必要条件充分不必要条件反之函数在一点连续是函数在该点可导的必要不充分条件必要不充分条件
π
小结
熟练掌握各章的重点内容、解题的方法和技巧，关键是能熟练运用所学的知识解决具体问题。
作业
• 认真复习，准备考试 • 祝大家成功
八、高阶导数高阶导数九、微分 dy 微分
1.求导数或微分（1）
y=
x 2
重点是概念和二阶导数
= f ′( x ) dx
（2）y
x sin x −5x log ，求y′
2
= sin(ln x )求dy
x （3）y = tan 求dy 5
（4）设 f ( x) = sin x + cos x求dy
[2x+xy−sin(x+ey)] ′ x =(0) ′
2x ⋅ln2+1⋅y+x⋅y′ x−cos(x+ey) ⋅ (1+ey ⋅y ′ x) =0

高数(一)复习答案学生版(2)(1)

高等数学复习要点一、概念理解，简单的结论1．初等函数连续区间(1)函数()211x f x x +=-连续区间为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞。

(2)函数x x x f ln 11)(2+-=连续区间为()()0,11,⋃+∞。

(3)函数1()1f x x =++[)(]2,11,2--⋃-。

2．无穷小、无穷大识别(1) 函数()11x f x x +=-，当1x →-时为无穷小；当1x →时为无穷大；(2) 函数()2x f x =，当x →-∞时为无穷小；当x →+∞时为无穷大；(3) x 0→时，无穷小2+x x ，sin x ，1-cos x 中高阶无穷小为1cos x -；低阶无(4) x 1→时, 无穷小()2tan -x x 21x x x --或; 无穷小()1-cos -1x ()2112x -;. 2. 两个重要极限(1) 0sin lim x ax x →=a ； (2) lim sin x ax x →∞=a ；(3) 21lim(1)n n n →∞+=2e； (4) 20lim(1)xx x →+=2e(5) 0lim sin x ax x →=0；（6) 22lim(1)x x x →+33．分段函数在定义域分隔点的连续性、可导性练习：（1）函数⎩⎨⎧>+≤+=0,120,1)(2x x x x x f 连续区间为(),-∞+∞（2）若函数 ⎩⎨⎧>+≤+=0,120,)(2x x x a x x f 在0x =点连续，则a =1；（3）若函数 2,0()1,0x a x f x bx x +≤⎧=⎨+>⎩在0x =点连续，则a =1，b =任意常数；(4) 若函数1sin 2,0(),01sin ,0x x x f x a x x b x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在0x =点连续，则a b ，的关系为a=b _（5）a 为（C ）时，若函数sin ,02,0xx y x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0=x 处连续？（A ）,0=a （B ）,1=a （C ）21=a （D ）1-=a（6）函数()1sin 000x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处()f x 有（ C ）。

高数一试题及答案

x + 2 B. y = - x + 2 C. y = x + 3 D. y = - x + 3《高等数学(一) 》复习资料一、选择题1. 若 lim x →3x 2 - x + k x - 3= 5 ，则 k = （）A. -3B. -4C. -5D. -62. 若 lim x →1 x 2 - k x - 1= 2 ，则 k = （）A. 1B. 2C. 3D. 43. 曲线 y = e x - 3sin x + 1 在点（0，2）处的切线方程为()A. y = 2 x + 2B. y = -2 x + 2C. y = 2 x + 3D. y = -2 x + 34. 曲线 y = e x - 3sin x + 1 在点（0，2）处的法线方程为( )A. y = 1 1 1 12 2 2 25. lim x →1 x 2 - 1 sin x= ( )A. 0B. 3C. 4D. 56.设函数 f ( x ) = ⎰ x (t + 1)(t - 2)dt ，则 f '(3) =（）A 1B 2C 3D 47. 求函数 y = 2 x 4 - 4 x 3 + 2 的拐点有（）个。

e x C.x2-1D.arctan x2h=(2B.2C.x2B.xC.xD.A1B2C4D08.当x→∞时，下列函数中有极限的是（）。

A.sin xB.19.已知f'(3)=2，limf(3-h)-f(3)h→0x+1 )。

A.3-31 D.-110.设f(x)=x4-3x2+5,则f(0)为f(x)在区间[-2,2]上的（）。

A.极小值B.极大值C.最小值D.最大值11.设函数f(x)在[1,2]上可导，且f'(x)<0,f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)内()A.至少有两个零点B.有且只有一个零点C.没有零点D.零点个数不能确定12.⎰[f(x)+xf'(x)]dx=().A.f(x)+CB.f'(x)+CC.xf(x)+CD.f2(x)+C13.已知y=f2(ln x2)，则y'=(C)A.2f(ln x2)f'(ln x2)4f'(ln x2)4f(ln x2)f'(ln x2)2f(ln x2)f'(x)x214.d⎰f(x)=(B)B. f '(ln x)C. f (ln x)D.A. f '(x) + CB. f ( x )C. f '( x )D. f ( x ) + C15. ⎰ 2ln x xdx = ( D )A. 2x ln x + CB.ln xx+ C C. 2ln x + C D. (ln x )2 + C16. lim x →1 x 2 - 1 ln x= ( )A. 2B. 3C. 4D. 517. 设函数 f ( x ) = ⎰ x (t - 1)(t + 2)dt ，则 f '(-2) =（）A 1B 0C -2D 218. 曲线 y = x 3的拐点坐标是( )A.(0,0)B.( 1,1)C.(2,2)D.(3,3)19. 已知 y = f (ln x) ，则 y ' = ( A )A.f '(ln x) f (ln x)x x20. d ⎰ df ( x ) = ( A)A. df ( x )B. f ( x )C. df '( x )D. f ( x ) + C21. ⎰ ln xdx = ( A )A. x ln x - x + CB. ln x - x + CC. ln x - xD. ln x二、求积分（每题8分，共80分）1．求⎰cos x sin xdx．2.求⎰34+3ln xxdx．3.求⎰arctan xdx．4.求⎰e3x dx5.求⎰x+3dx．x2-5x+66.求定积分⎰8dx1+3x．7.计算⎰πx2cos xdx．8.求⎰1dx．x2+2x-89.求⎰dx1+3x+2．11.求⎰22x e-x2dx112.求⎰3x23-x3dx13.求⎰e1ln2x xdx14.求⎰x3-x2dx2.讨论函数 f ( x ) = x 3- 2 x 2 + 3x - 3 的单调性并求其单调区间y = b sin t⎩3. 求函数 f ( x ) =的间断点并确定其类型1( )5. 求 y = 的导数．7. 函数 f ( x ) = ⎨1, x = 0 在 x = 0 处是否连续？8. 函数 f ( x ) = ⎨1, x = 0 在 x = 0 处是否可导？三、解答题1. 若 lim 3x - ax 2 - x + 1 = ,求 ax →∞61 3x 2 - x - 2x - 24. 设 xy 2 + sin x = e xy , 求y '.( x + 1)3 x + 2( x + 3)5⎧ x = a cos t6. 求由方程 ⎨ 确定的导数 y ' .x⎧ 1⎪e x , x < 0 ⎪⎪tan x, x > 0 ⎪⎩⎧ 1⎪e x , x < 0⎪ ⎪tan x, x > 0 ⎪⎩9. 求抛物线 y = x 2 与直线 y = x 所围成图形 D 的面积 A .10. 计算由抛物线 y 2 = 2 x 与直线 y = x - 4 围成的图形 D 的面积 A .11. 设 y 是由方程 y = sin y + xe y 确定的函数，求 y '12.求证：ln x<x-1,x>113.设y是由方程y=1+xe y确定的函数，求y'14.讨论函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调性并求其单调区间15.求证：e x>2x-1,16.求函数f(x)=x(1-x)x-x3的间断点并确定其类型五、解方程1.求方程y2d x+(x2-xy)dy=0的通解.2.求方程yy''+y'2=0的通解.3.求方程y''-2y'+y=x2的一个特解.4.求方程y''-5y'+9y=5xe-3x的通解.高数一复习资料参考答案一、选择题1-5：DABAA6-10：DBCDD11-15：BCCBD16-21：ABAAAA解： ⎰ cos x sin xdx = ⎰ 224 + 3ln x 1 dx = ⎰ (4 + 3ln x) 3 d (ln x) = ⎰ (4 + 3ln x) 3 ⋅ d (4 + 3ln x)1= x arctan x - ln(1+ x 2 ) + C ．3t d t = 3⎰ t dt = 3t 二、求积分1．求 ⎰ cos x sin xdx．3sin xd (sin x) = sin 2x + C = sin 3 x + C3 32. 求 ⎰34 + 3ln x xdx ．解： ⎰31 1 x 34 = (4 + 3ln x) 3 + C ． 43. 求 ⎰ arctan xdx ．解：设 u = arctan x ， dv = dx ，即 v = x ，则124. 求 ⎰ e 3x dx解： ⎰e 3x d xx = t 3⎰ e t22e t2et- 3⎰ e t ⋅ 2t dt = 3t 2e t - 6⎰ t e t d t= 3e 3x ( 3 x 2 - 2 3 x + 2) + C ．5. 求 ⎰ x + 3dx ．x 2 - 5x + 6解：由上述可知 x + 3 -5 6 = +x 2 - 5x + 6 x - 2 x - 3，所以6. 求定积分 ⎰ 8⎰=⎰2=3t 2-t +ln(1+t)2=3ln 3．3t 2d t0 ⎦ 解： ⎰ 1 dx = ⎰ = -5ln x - 2 + 6ln x - 3 + C ．dx 0 1 + 3 x．解：令 3 x = t ，即 x = t 3 ，则 dx = 3t 2dt ，且当 x = 0 时， t = 0 ；当 x = 8 时， t = 2 ，于是8 dx⎡ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎦ 07. 计算 ⎰ π x 2 cos xdx ．解：令 u = x 2 ， dv = cos xdx ，则 du = 2xdx ， v = sin x ，于是⎰ π x2cos xdx = ⎰ πx 2d sin x = ( x 2 sin x)π 0- ⎰ π2 x sin xdx = -2⎰ πx sin xdx ．0 0再用分部积分公式，得= 2 ⎡⎣( x cos x) π 0- sin x π ⎤ = -2π ．8. 求 ⎰1dx ．x 2 + 2 x - 81 1 3 - ( x + 1)d ( x + 1) = ln + Cx 2 + 2 x - 8 ( x + 1)2 - 9 6 3 + ( x + 1)1 2 - x= ln6 4 + x+ C ．9. 求 ⎰dx1 + 3 x + 2．解：令 u = 3 x + 2 ，则 x = u 3 - 2 ， dx = 3u 2du ，从而有d (3 - x 解： ⎰ln 2 x 1 1 1dx = ⎰ ln 2 xd (ln x) = ln x = ln e = 11 12 1() 12.讨论函数 f ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 3x - 3 的单调性并求其单调区间11. 求 ⎰ 2 2 x e - x 2dx1解： ⎰ 2 2 x e - x 2 dx = ⎰ 2 e - x 2 dx 2 = e - x 2 2 = e -4 - e -11 112. 求 ⎰ 3x 2 3 - x 3 dx1解： ⎰ 3x2 3 - x 3dx = -⎰23 - x 33 ) = - (3 - x 33 3 ) 2 + C13. 求 ⎰ e1ln 2 xxdxe 1e e x 3 3 3 114.求 ⎰ x 3 - x 2 dx解： ⎰ x 3 - x 2dx = -⎰3 3 3 - x 2 d (3 - x 2 ) = - ⋅ (3 - x 2 ) 2 + C = - (3 - x 2 ) 2 + C2 23 3三、解答题1. 若 lim 3x - ax 2- x + 1 = ,求ax →∞6解：因为 3x - ax 2 - x + 1 = 9 x2 - ax 2 + x - 1 3x + ax 2 - x + 1，所以 a = 9否则极限不存在。

高数大一(上)复习题(按章节分)

第一章函数与极限一、无穷小的应用1、 (09)设0x →时,tan e e x x -与n x 是同阶无穷小,则n =_________3______；2、(07) [3分] 设()572xxf x =+-，则当0x →时（B ）A.()f x 与x 是等价无穷小量B. ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量C. ()f x 是比x 高阶的无穷小量D. ()f x 是比x 低阶的无穷小量二、求定义域、极限、特殊极限、连续性 1．(06)[3分] 函数1arcsin3x y -=的定义域是[]{}2,40⋃ 2、(06) [3分]201cos3limx x x →-=923、(06) [3分] 极限lim 23x x →∞+ （D ）A. 2=B.2=-C.2=±D. 不存在4、(08) [5分] 设)sin n a n n π=，求lim n n a →∞解：lim lim n n n n n a n π→∞→∞====5、(07) [3分]()20lim 1sin xx x →+=2e6、(08) [5分]求极限011cos lim 12xx x x →⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式22ln cos22000ln cos 112lim cos1lim 1lim 2ln102xxx x x x xx x e x x x→→→⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-===⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦7、(07) [3分]在下列函数中，在定义域上连续的函数是（B ）(A) ()sin ,00,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ (B) ()1sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ (C)()00,0x f x x ≠=⎪=⎩(D) ()1,00,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩三、间断点的判断及类型 1、(08) [3分] 设()()21lim1n n x f x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为0x =，它是第二类间断点2、(09)已知)1(||)(22--=x x xx x f ，指出函数的间断点及其类型． 1230,1,1x x x ===-为间断点……….2分222200(00)lim 1,(00)lim 1,(1)(1)x x x x x xf f x x x x →-→+---==-+==---2222101011(10)lim ,(10)lim ,(1)2(1)2x x x x x x f f x x x x →-→+---==+==-- ()221010(1)(10)lim ,(10)lim ,(1)1(1)x x x x x x f f x x x x x →--→+----==+∞-+==-∞--+--………3分从而10x =为第一类跳跃间断点，21x =为第一类可去间断点，31x =-为第二类无穷型间断点………………………………………………………………………………..1分3、(06) [本小题8分]设)()()()()1b x b f x x a x -=--有无穷间断点10x =，有可去间断点21x =，求,a b 的值解由()()()1(1)lim01x a f x b b →--==--，得0,0,1a b b =≠≠ 因()1lim x f x →存在，故()()())()()11lim 1lim120x x x b b x f x b b x→→--==--=从而2b =第二章导数与微分导数、定义、高阶导数2．(06) [3分]设x ey x π=+，则y '=1ln x e ex ππ-+2．(08) [3分]若()()()()()1232008f x x x x x x =----，则()0f '=2008!2．(09)设x y 211+=，则=)()6(x y 76)21(!6)2(x +-；2、(08) [5分] 已知()f x 有一阶连续导数，且()()001f f '==，求极限()()sin 1limln x f x f x →-解：原式=()()()()()()0sin 0sin 11lim011ln ln 0sin 0ln 0x x f x f x f f x f x x f x x →=-'=⋅⋅=--'⎡⎤⎣⎦-2(07)求曲线x y xe -=在拐点处的切线方程解：()()11xx x y exe x e ---'=+-=-，()()(1)12x x x y e x e x e ---''=-+--=-令0,2y x ''=⇒=，由于2x >时0y ''>，2x <时0y ''<，2(2,2)e -为拐点故要求的切线为：()222222,4y ee x y e e x -----=--=-2、(07) [3分] 设()()()2,d f x g x h x x dx ==，则()()d f h x dx=（D ） A. ()2g x B. ()2xg x C. ()22x g x D. ()22xg x微分2．(07) [3分]设y =0x dy==4dx 2．(06) [3分] 设()220xy a a x =≠+，则=dy ()22222a x dx a x-+2．(08) [3分]设()f u 可微，且()2sin3y fx =，则dy =()()6sin3sin3cos3f x f x xdx '2．(09)由方程02=+-y x x y 确定了隐函数)(x y y =，求微分d y ．()()ln ln 2ln ln 20y x y x d e x y e xdy yd x dx dy -+=+-+=……………5分即()2ln 20,1ln y y y y x y x xdy x dx dx dy dy dx x x x x -+-+==+……………1分隐函数方程2(08)设函数()y y x =)0,0x y =>>确定，求dydx解：对方程两边求导书ln ln ,ln ln y xy y x x x y=⇒= 两边求导书，得ln 1(ln 1)ln 1,ln 1x y y x y y +''+=+⇒=+参数方程2(08)设函数()y y x =由参数方程3292x t ty t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定，求曲线()y y x =向下凸的x 的取值范围解：()22222223222322239,39399(3)t t t dy t d y t dx t dx t t '-⎛⎫ ⎪+--+⎝⎭===+++ 曲线下凸要求()0y x ''>，即()()()232310,1,3t t t t t +-=-+>∈-因此对于()39,10,54x t t x =+∈-，由于在端点连续，可取x 的取值范围为[]10,54-2．(09)求由参数方程⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 所确定函数的二阶导数22d d y x ． )1)(23(++=t t dxdy……………3分 t t t dxy d )1)(56(22++=…………….3分 2(07) 设参数方程()2220ln 11t x t u y du u ⎧=+⎪⎨=⎪+⎩⎰，求22d y dx 解：2221221t dy t t t dx t +==+，222211122241d y d dy d t dt t t dxdx dx dt dx t t +⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+2(06)设(ln sin x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩确定了y 是x 的函数，求22d y dx解sin t t y dx dy dy t dt dt dx x '====='()()221s i n s i n c o s i nd y d d y d d d t t t t t dx dx dx dx dx dt dxdt⎛⎫===⋅=⋅= ⎪⎝⎭分段函数的连续性、可导性2(07) [本小题8分] 确定常数,a b 的值，使函数(),0()arcsin ,0xe b xf x ax x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续且可导解：()()()000lim lim arcsin 0x x f f x ax →+→++===，()()000lim lim ()1xx x f f x e b b →-→--==+=+()001f e b b =+=+，由()f x 在0x =处连续知()()()000,10,1f f f b b +=-=+==-()()()()0000110lim lim lim 10x x x x x f x f e b b e f x x x-→-→-→--+-+-'====-()()()()0000arcsin 00limlim lim 0x x x f x f ax axf a x xx +→+→+→---'====- 由()f x 在0x =处可导知()()00,1f f a +-''=⇒=2(08)设()x ϕ具有二阶连续导数，且()00ϕ=，若()(),0,0x x f x x a x ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（1）确定a ，使()f x 在(),-∞+∞内连续；（2）求()f x '解：（1）连续则必有()()()()()000lim lim00x x x a f f x x ϕϕϕ→→-'====-(2)当0x ≠时()()()2x x x f x xϕϕ'-'=而()()()()()()()20000000limlim limx x x x f x f x x xf x x xϕϕϕϕ→→→'-'--'===--()()()001lim022x x xϕϕϕ→''-''== 所以()()()()2,010,02x x x x x f x x ϕϕϕ'-⎧≠⎪⎪'⎨⎪''=⎪⎩ 2(09)设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=-1,1e1,ln )()1(22x x a x x f x b 在点1x =处可导，求,a b 的值．()()()11010f f f =+=-从而()(1)1010(1)0lim lim e10,0b x x x f a -→+→-===-==…………3分()()()10101ln 11(1)limlim 111x x f x f x f x x +→+→+-+-'===--()()()1101011(1)lim lim 11b x x x f x f e f b x x --→-→+--'===--由可导知(1)(1)(1),1f f f b -+'''===……………………………………………………..2分2(06) [本题9分]设()21,0,2,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，讨论()f x 及()f x '在0x =处的连续性解因为()()2001lim lim20x x x e f x f x→→-===，故()f x 在0x =处的连续 ()()()2222000012012220lim lim lim lim 202x x x x x x x e f x f e x e x f x x x x→→→→------'=====- 当0x ≠时，()()22221x x xe e f x x--'=()()()22220214,lim limlim 202x x xx x x xe e xe f x f x x→→→--''==== 故()f x '在0x =处连续2 (06) [本题10分]设()f x 在(),a b 连续、可导且()f x '单调增，()0,x a b ∈，()()()()00000,.,f x f x x x x x x f x x xϕ-⎧≠⎪-=⎨⎪'=⎩证明：()x ϕ在(),a b 内也单调增解因()()()0lim 00x x f ϕϕ→'==，故()x ϕ在0x 处连续()()()()0020()()()f x x x f x f x x x x ϕ'---'=-记()()()()()()()()000,g x f x x x f x f x f x f x x ξξ'''=---=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦在x 与0x 之间当()()()00,,,0x x x x f x f g x ξξ''<<<<> 从而在()0,a x 内()0x ϕ'>。

高数总复习题一答案

高数总复习题一答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是（）A. RB. (-∞, +∞)C. {x|x≠0}D. {x|x≠-3/2}答案：A2. 函数f(x)=1/x的值域是（）A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)D. R答案：C3. 若f(x)=x^2，求f'(x)=（）A. 2xB. x^2C. 2D. x答案：A4. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,4)处的切线斜率是（）A. -6B. -12C. 0D. 6答案：D5. 函数f(x)=sin(x)的周期是（）A. πB. 2πC. π/2D. π/4答案：B二、填空题6. 若f(x)=x^3-2x^2+x+5，则f'(x)=______。

答案：3x^2-4x+17. 函数y=x^2+2x+3的极小值点是______。

答案：x=-18. 若曲线y=x^3与直线y=6x-9相切于点P，则点P的坐标为______。

答案：(1,0)9. 函数f(x)=ln(x)的导数是______。

答案：1/x10. 函数y=x^2-4x+7在区间[2,5]上的最大值是______。

答案：7三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。

答案：首先求导f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。

在区间[1,3]内，x=1是极小值点，f(1)=0；x=11/3不在区间内，所以区间端点处的值也需要比较，f(3)=12。

因此，最大值为12，最小值为0。

12. 已知某函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求其在x=2处的切线方程。

答案：首先求导f'(x)=3x^2-6x+2，然后计算f'(2)=2，f(2)=2。

切线方程为y-2=2(x-2)，即y=2x-2。

四、证明题13. 证明函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是严格递增的。