正十七边形作图
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1. 如圖, 以 O 為圓心作圓，過 O 作直徑 AC; 2. 過 O 作 AC 的垂線，交圓於 B; 3. 在 OB、OC 上 分別 截 取 I、D 使 得 OI = 1 1 OA, OD= OA; 4 16 4. 以 D 為 圓 心, DI 為 半 徑 作 圓,分 別 交 OA、OC 於 W1 , W2 ; 5. 以 W1 為 圓 心, W1 I 為 半 徑 作 弧,交 W1 A 於 E1 ; 6. 以 W2 為 圓 心, W2 I 為 半 徑 作 弧,交 W1 A 於 E3 ; P5
Biblioteka Baidu
高斯在哥延根的墓地
4.2
等分圓周問題
3. n = 2m p1 p2 · · · pk , v−pk 22 + 1 型的素數,如正 六、十二、二十四邊形。
r
僅用尺規把圓周 n 等分，當且僅當 n 為以下其中 的一種整數時才可以： 1. n = 2m , m 2， 如 正 四 、 八 、 十 六 、 三 十 二、六十四邊形。 2. n = 22 + 1, 且 n 為 素 數, 如 正 三 、 五 、 十 七邊形。
正 十 七 邊 形 作 圖 :方法(一 )
7. 以 CE3 為直徑作弧,交 OB 於 K ; 8. 以 OE1 為 直 徑 作 弧,以 O 為 圓 心, OK 為 半 徑作弧, 兩弧交於 H ; 9. 以 E1 為圓心, E1 H 半徑作弧, 交E1 A於 N1 ; 10. 過點 N1 作 OA 的垂線交圓於 P1 , AP1 就是 1 圓周的 。 從 P1 出 發 在圓 周 上以 AP1 為 17 半徑截取 P2 , P3 , · · · , P16 作為正十七邊形的 各頂點。 B P4
m
4. 在邊數不超過 100 的正多邊形中，僅用尺規 作 圖 的 有 24 個 。 它 們 分別 是: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96 邊形。 1
4.3
1 3. 如圖, 作∠OIE = ∠OIA, ∠EIF = 45◦ 使得 E, F 在 AC 上; 4 4. 以 AF 直徑作圓交 OB 於 K ; 5. 以 E 為圓心, EK 為半徑交 AC 於 N3 , N5 ; 6. 如圖, 過 N3 , N5 作 CA 的垂線交圓於 P3 , P5 ; 7. 以 P3 為圓心, P3 P5 為半徑,在圓周上靠 A 的一邊截取 P1 點; 8. 從 P1 出發在圓周上以 AP1 為半徑截取 P2 , P3 , · · · , P16 作為正十七邊形的各頂點。 P5 P6
4
正十七邊形作圖
等分圓周的尺規作圖,是一道非常著名的作圖問題。能夠等分圓周就能夠作正多邊形,所以等分圓周問 題就是正多邊形作圖問題。長久以來，僅用尺規來等分圓周是數千年來的大難題。
4.1
高斯與正十七邊形
有 數 學 王 子 之 稱 的 高 斯 （C.F.Gauss,1777-1855),他 1795 年 進 入 哥 廷 根 大學，初期, 少年的高斯還在考慮攻讀古代語言和數學之間猶疑,在大學 的第一年(18 歲)，他發明了二次互反律,在大學的第二年(19 歲)又找到 正十七邊形(Heptadecagon, hepta 即 7，deca 即 10)的尺規作圖方法。 據說,高斯之所以完成正十七邊形的工作,源於老師的小許大意,因為高斯 當時已表現出出眾的數學能力,老師不經意的給了高斯這道難題,最後高 斯熬了整晚來解決這道千年難題,到交答案給老師的時候,還不好意思地 向 老 師 道 歉 交 得 太 晚 了 。 之 所 以令 高斯 最後 選 擇了以數 學作 為 發展 的 對象,而後對現代數學作出的貢獻和發展,正十七邊形尺規作圖應該記上 一功。 高斯的遺願亦正好反影正十七邊形尺規作圖問題對他的影嚮,他希望在 他死後,在他墓碑的基石刻上一個正十七邊形,可惜,石匠發現正十七邊形 與圓差不了多少,最後以一個十七角星來代替了正十七邊形。 1989年 第30屆 國 際 數 學 奧 林 匹 克 (IMO) 在 高 斯 執 教 的 哥 廷 根 大 學 舉 行 ， 當 年 中 國 代 表 隊 首 次 參 加 是 項 比賽 ，大 獲 全勝 ，自 此多 次 蟬聯 冠 軍，這一次比賽， 大會就採用了高斯的十七邊形作會徽。
+
P3
+
P6
+
P2
+
P7
+
P1 P8 C P9
+
K+ I + W2 O
H W1
+
E1
+
+
+
+ +
+
D
+
E3
N1
+ +
A
+
P16 P10
+ +
P11
+ + +
P15 P14
P12
+
P13
2
4.4
正 十 七 邊 形 作 圖 :方法(二 )高斯的作 圖方法
1 ; 4
1. 如圖, 以 O 為圓心作單位圓，過 O 作直徑 AC; 過 O 作 AC 的垂線，交圓於 B; 2. 在 OB 上截取 I 使得 OI =
+
B P4
+ +
P3 P2
+
P7
+
P1 K P8 C P9
+ + + + + + + P11 + P12 + + +
I
+
N5 F
+
O E
N3
+
A
P16
P10
P15
+
P14
P13
3
4.5
正 十 七 邊 形 作 圖 :方法(三 )
1. 如圖, 以 O 為圓心作圓，作兩條彼此正交的直徑 AB 和 CD; 2. 過 A 與 D 分別作切線交於 S; 1 3. 在 AS 上取點 E 使得 AE = AS ; 4 4. 以 E 為圓心, OE 為半徑,作弧交 AS 於 F, F’; 5. 以 F 為圓心, OF 為半徑,作弧交 AS 於 H; 6. 以 F’ 為圓心, OF’ 為半徑,作弧交 AS 於 H’; 7. 過 H 作 AH 的垂線交 OC 的延線於 T; 8. 延長 HT 至 Q, 使得 TQ = AH’; 9. 以 BQ 為直徑,作圓交 CT 於 M; 10. 作 OM 的中垂線, 交圓於 P; 11. 以 P 為圓心, PC 為半徑,在圓周上靠 B 的一邊截取 P1 點; 12. 從 P1 出發在圓周上以 P P1 為半徑截取 P2 , P3 , · · · , P15 作為正十七邊形的各頂點。 B
1. 如圖, 以 O 為圓心作圓，過 O 作直徑 AC; 2. 過 O 作 AC 的垂線，交圓於 B; 3. 在 OB、OC 上 分別 截 取 I、D 使 得 OI = 1 1 OA, OD= OA; 4 16 4. 以 D 為 圓 心, DI 為 半 徑 作 圓,分 別 交 OA、OC 於 W1 , W2 ; 5. 以 W1 為 圓 心, W1 I 為 半 徑 作 弧,交 W1 A 於 E1 ; 6. 以 W2 為 圓 心, W2 I 為 半 徑 作 弧,交 W1 A 於 E3 ; P5
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高斯在哥延根的墓地
4.2
等分圓周問題
3. n = 2m p1 p2 · · · pk , v−pk 22 + 1 型的素數,如正 六、十二、二十四邊形。
r
僅用尺規把圓周 n 等分，當且僅當 n 為以下其中 的一種整數時才可以： 1. n = 2m , m 2， 如 正 四 、 八 、 十 六 、 三 十 二、六十四邊形。 2. n = 22 + 1, 且 n 為 素 數, 如 正 三 、 五 、 十 七邊形。
正 十 七 邊 形 作 圖 :方法(一 )
7. 以 CE3 為直徑作弧,交 OB 於 K ; 8. 以 OE1 為 直 徑 作 弧,以 O 為 圓 心, OK 為 半 徑作弧, 兩弧交於 H ; 9. 以 E1 為圓心, E1 H 半徑作弧, 交E1 A於 N1 ; 10. 過點 N1 作 OA 的垂線交圓於 P1 , AP1 就是 1 圓周的 。 從 P1 出 發 在圓 周 上以 AP1 為 17 半徑截取 P2 , P3 , · · · , P16 作為正十七邊形的 各頂點。 B P4
m
4. 在邊數不超過 100 的正多邊形中，僅用尺規 作 圖 的 有 24 個 。 它 們 分別 是: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96 邊形。 1
4.3
1 3. 如圖, 作∠OIE = ∠OIA, ∠EIF = 45◦ 使得 E, F 在 AC 上; 4 4. 以 AF 直徑作圓交 OB 於 K ; 5. 以 E 為圓心, EK 為半徑交 AC 於 N3 , N5 ; 6. 如圖, 過 N3 , N5 作 CA 的垂線交圓於 P3 , P5 ; 7. 以 P3 為圓心, P3 P5 為半徑,在圓周上靠 A 的一邊截取 P1 點; 8. 從 P1 出發在圓周上以 AP1 為半徑截取 P2 , P3 , · · · , P16 作為正十七邊形的各頂點。 P5 P6
4
正十七邊形作圖
等分圓周的尺規作圖,是一道非常著名的作圖問題。能夠等分圓周就能夠作正多邊形,所以等分圓周問 題就是正多邊形作圖問題。長久以來，僅用尺規來等分圓周是數千年來的大難題。
4.1
高斯與正十七邊形
有 數 學 王 子 之 稱 的 高 斯 （C.F.Gauss,1777-1855),他 1795 年 進 入 哥 廷 根 大學，初期, 少年的高斯還在考慮攻讀古代語言和數學之間猶疑,在大學 的第一年(18 歲)，他發明了二次互反律,在大學的第二年(19 歲)又找到 正十七邊形(Heptadecagon, hepta 即 7，deca 即 10)的尺規作圖方法。 據說,高斯之所以完成正十七邊形的工作,源於老師的小許大意,因為高斯 當時已表現出出眾的數學能力,老師不經意的給了高斯這道難題,最後高 斯熬了整晚來解決這道千年難題,到交答案給老師的時候,還不好意思地 向 老 師 道 歉 交 得 太 晚 了 。 之 所 以令 高斯 最後 選 擇了以數 學作 為 發展 的 對象,而後對現代數學作出的貢獻和發展,正十七邊形尺規作圖應該記上 一功。 高斯的遺願亦正好反影正十七邊形尺規作圖問題對他的影嚮,他希望在 他死後,在他墓碑的基石刻上一個正十七邊形,可惜,石匠發現正十七邊形 與圓差不了多少,最後以一個十七角星來代替了正十七邊形。 1989年 第30屆 國 際 數 學 奧 林 匹 克 (IMO) 在 高 斯 執 教 的 哥 廷 根 大 學 舉 行 ， 當 年 中 國 代 表 隊 首 次 參 加 是 項 比賽 ，大 獲 全勝 ，自 此多 次 蟬聯 冠 軍，這一次比賽， 大會就採用了高斯的十七邊形作會徽。
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P1 P8 C P9
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K+ I + W2 O
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E1
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E3
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P16 P10
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4.4
正 十 七 邊 形 作 圖 :方法(二 )高斯的作 圖方法
1 ; 4
1. 如圖, 以 O 為圓心作單位圓，過 O 作直徑 AC; 過 O 作 AC 的垂線，交圓於 B; 2. 在 OB 上截取 I 使得 OI =
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B P4
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P3 P2
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P1 K P8 C P9
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P16
P10
P15
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P14
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4.5
正 十 七 邊 形 作 圖 :方法(三 )
1. 如圖, 以 O 為圓心作圓，作兩條彼此正交的直徑 AB 和 CD; 2. 過 A 與 D 分別作切線交於 S; 1 3. 在 AS 上取點 E 使得 AE = AS ; 4 4. 以 E 為圓心, OE 為半徑,作弧交 AS 於 F, F’; 5. 以 F 為圓心, OF 為半徑,作弧交 AS 於 H; 6. 以 F’ 為圓心, OF’ 為半徑,作弧交 AS 於 H’; 7. 過 H 作 AH 的垂線交 OC 的延線於 T; 8. 延長 HT 至 Q, 使得 TQ = AH’; 9. 以 BQ 為直徑,作圓交 CT 於 M; 10. 作 OM 的中垂線, 交圓於 P; 11. 以 P 為圓心, PC 為半徑,在圓周上靠 B 的一邊截取 P1 點; 12. 從 P1 出發在圓周上以 P P1 為半徑截取 P2 , P3 , · · · , P15 作為正十七邊形的各頂點。 B