第二讲 数论和代数初步

(a1，a2， ，an ) dn。
定理11若a1，a2， ，an (n 2)是n个正整数，则存在整数x1，
x2， ，xn使得
a1x1 a2x2 an xn (a1，a2， ，an )。
4 最小公倍数
定义4 设a1，a2， ，an是n( 2)个整数。若 m是这n个数中 每一个的倍数，那么 m就叫这 n个数的一个公倍数。在 a1， a2， ，an的一切公倍数中最小的 整数叫做最小公倍数， 记作[a1，a2， ，an ]。
rn 3 rn 2 q n 1 rn 1，0 rn 1 rn 2
rn 2 rn 1q n rn，0 rn rn 1
rn 1
rn q n 1
rn
，
1
rn
1
0。
定理7 任意 a 0， b 0，则 (a， b )就是上述过程中最后 一个不等于零的余数， 即 (a ， b ) rn。
2 素数(续)
定 理 (素5数数)量 如定 果 (x)理 表示x小 的于 所有素数 (x) x ，也就x是 说 时当 ，比 (x)/率 (x/lnx)1。
lnx
在各种密码应用中 要经 求常 使3用00位左右的十进制, 素数 通过定理我 5 们可以估计
(10300)(10299)
10300 10299 ln10300ln10299
这一过程被称为扩展
Euclidean 算法。
3 最大公约数(续)
定理9若a | bc，(a，b) 1，则a | c。
设n 2，a1 0，a2 0， ，an 0，(a1，a2 ) d2，(d2，a3) d3，
பைடு நூலகம்
，(d n2，an1 )
dn1，(dn1，an
)
d
，那么有下面的定理。
n
定理10若a1，a2， ，an (n 2)是n个正整数，则
1 整除性(续)
定理设1a，b是两个整数， b0其 ，中 则存在两 个唯一的q整 及r， 数使得
abqr，0rb 成立 。
2 素数
定义 2 一个大于 1的正整数，如果它的正 因数只有 1和 它本身，就叫做素数， 否则就叫做合数。
定理2 素数的个数是无穷的。 证明.如果素数的个数是有限 的可令 p1 2，p2 3， ，pk
3 最大公约数(续)
根据 定理7 的证明 , 我们可以得到递推公式
:
x1
1，
x2
q
，
2
xj
q j x j1
x j2
y1
q
，
1
y
2
1
q1q
，
2
y
j
q j y j1
y j2
则 ax n by n ( a ， b )。 因此， x1 1， x 2 2， x 3 4 x 2 x1 9， x 4 3 x3 x 2 29 。 同样有 y 5 71，所以 1180 ( 29 ) 482 71 2 (1180 ，482 )。
第二讲 数论与代数知识初步 (上)
现代密码系统中，消息都是事先转换成数 值进行加密传输。密码过程是一些输入输 出都是数值的数学操作，建立，分析，攻 击这些算法需要数学工具。其中在实践中 应用最为成功的数学理论当然是数论和代 数，特别是同余理论。
本讲提要
整数的基本概念
1 整除性
定 义对1于整 a0数 ，b。我 们说a整除 b，如果存在一个 k使得 b=， ka我 们把a叫做b的因b数 叫做 ， a的倍数 记为 ，a|。 b 如果 这个k不存在们 ，说我 a不整b，除 记为a|b。
200以内的素数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199
是全体素数。再令 p p1 p2 pk 1，知其必为合数， 而p不可为 p1，p2， ，pk之中任意一个整除，必 然存在 其它素数，因此，与素 数的个数是有限的假设 矛盾。
定理3 存在无穷多个形如 4n 1的素数。
2 素数(续)
定 理对 4 于任意给定 x0， 整不 数存在整系数 式f (x)anxn an1xn1a1xa0(an 0,n0)， 使得 x取所有 x0的整数时 f (x， )都表示素数。
1.310297，
因此，足够使用。
3 最大公约数
定 义 3设a1，a2， ，an是n个不全为零的整数。若整数d是 它们之中每一个的因数，那么d就叫a1，a2， ，an的一个 公因数。整数a1，a2， ，an的公因数中最大的一个叫最大 公因数，记作(a1，a2， ，an )，若(a1，a2， ，an ) 1，就说 a1，a2， ，an互素。
定 理 6设a，b，c是任意三个不全为零的整数，且 a bq c，
其中q是整数，则(a，b) (b，c)。
3 最大公约数(续)
Euclidean 算法的表述
不失一般性假定任意 a 0， b 0有
a bq 1 r1，0 r1 b b r1q 2 r2，0 r2 r1 r1 r2 q 3 r3，0 r3 r2
性 质(11) 对于任a意0，a0|，a|a，对于任b， 意 1|b。 (2)如果a|b，b| c，则a| c。 (3)如果a|b，a|c，则a| (sbtc)，这里 s和t是任意整数。
证 明(.1)显而易见。 (2由 ) 定义存k和 在l，满足 bka，clb，所以c有kla。 (3)由定义可写b出k1a，ck2a，所以 sbtc(sk1 tk2)a 即a|sbtc。
3 最大公约数(续)
定理若8任给a整 0， 数b0，则存在两m个 ，n整数 使得
(a，b)manb。
例 子 1计算(1180，482)。 1180 2482216 482 221650 216 45016 50 3162 16 280。 因此， (1180，482) 2。 可以看到余数都经历：了剩余除数被除数忽略的过程。
定理12 设a，b是任意的两个整数，则
(1) a，b的所有公倍数就是 [a，b]的所有倍数。
(2)
[ a，b]
ab (a，b)
。
4 最小公倍数(续)
设n2，a1 0，a2 0， ，an 0， [a1，a2]m2， [m2，a3]m3， ， [mn2，an1]mn1， [mn1，an]mn，那么有下面的定 定理若 1 3a1，a2， ，an是n(n2)个正整数，则