第二讲 数论和代数初步
数论初步PPT课件
04 素数与合数
素数的定义与性质
素数的定义
素数是大于1的自然数，且只能被 1和它自身整除的数。
素数的性质
素数是无穷多的，最小的素数是2， 所有偶数（除了2）都不是素数， 任何素数的因数都只有两个。
合数的定义与性质
合数的定义
合数是除了1和它自身以外，还有其 他整数能够整除的整数。
合数的性质
合数一定是大于2的偶数或大于3的奇数， 最小的合数是4，合数的因数除了1和它 自身外，至少还有一个其他的因数。
素数的分布与猜想
素数的分布
素数在自然数中的分布比较稀疏，它们的出现似乎有一定的规律性，但尚未被完全证明。
素数的猜想
哥德巴赫猜想和孪生素数猜想是关于素数的两个著名数学猜想，至今仍未被解决。哥德巴赫猜想是猜想任何一个 大于2的偶数都可以写成两个素数之和；孪生素数猜想是猜想存在无穷多对相邻素数，它们之间的距离不超过一 个给定的常数。
代数数域的构建
代数数域的定义
代数数域是具有某种代数结构的域，通常是由有理数域通 过添加代数数得到的。
代数数域的构建方法
通过添加代数数，可以得到不同的代数数域，如添加二次 方程的根可以得到二次数域，添加更高级的方程的根可以 得到更高级的代数数域。
代数数域的性质
代数数域具有一些重要的性质，如封闭性、完备性等，这 些性质对于研究代数数论和数学其他分支都有重要的意义。
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05 代数数论基础
代数数论简介
代数数论的定义
代数数论是数学的一个重要分支，主 要研究代数数域和代数整数环的理论。
代数数论的发展历程
代数数论的基本概念
代数数论涉及到许多基本概念，如代 数数域、代数整数环、素数、分解整 环等。
数论基础(六讲)
数论基础（六讲）第一讲：数的概念数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质和结构。
在数论中，我们需要理解一些基本概念。
整数：整数是数学中最基本的概念之一，包括正整数、负整数和零。
正整数是自然数，可以用来表示数量；负整数是自然数的相反数，用来表示缺少或债务；零是整数中的中性元素。
自然数：自然数是正整数的集合，通常用0, 1, 2, 3, 表示。
自然数是数论研究的核心，许多数论问题都与自然数有关。
有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
有理数在数论中也有重要应用，例如研究整数分解和数论函数。
素数：素数是大于1的自然数，除了1和它本身以外，没有其他因数。
素数在数论中有着重要的地位，许多数论问题都与素数有关。
整除：如果一个整数a能够被另一个整数b整除，即a/b是一个整数，我们说a被b整除。
整除是数论中的基本概念，许多数论问题都涉及到整除关系。
同余：两个整数a和b，如果它们除以同一个整数m的余数相同，即a%m = b%m，我们说a和b同余。
同余是数论中的基本概念，许多数论问题都涉及到同余关系。
在数论中，我们还需要了解一些基本的运算规则，如加法、减法、乘法和除法。
这些运算规则是数论研究的基础，我们需要熟练掌握它们。
第二讲：数的分解数的分解是数论中的一个重要问题，涉及到将一个整数分解为素数的乘积。
这个问题在密码学、计算机科学和数学的其他领域中都有广泛的应用。
素数分解：素数分解是将一个整数分解为素数的乘积的过程。
例如，将60分解为2×2×3×5。
素数分解是数论中的基本问题，也是密码学中 RSA 算法的基础。
最大公约数：最大公约数（GCD）是两个或多个整数共有的最大的因数。
例如，12和18的最大公约数是6。
最大公约数在数论中有着重要的应用，例如求解线性丢番图方程。
最小公倍数：最小公倍数（LCM）是两个或多个整数共有的最小的倍数。
例如，12和18的最小公倍数是36。
数学中的数论与代数
数学中的数论与代数数学作为一门学科，包含了众多的分支，其中数论和代数是两个重要的领域。
本文将探讨数学中的数论与代数，并分析它们在数学研究和实际应用中的作用。
一、数论数论是研究整数的性质和结构的数学分支。
它从整数的基本性质出发，探索了诸多数学规律。
数论的发展可以追溯到古希腊时期，早期的数论研究主要关注素数与因数分解等基本性质。
而随着数学的发展，数论逐渐涉及到更加深入的领域。
1. 亲和数与完全数亲和数是指两个数，其中一个数的因子之和等于另一个数，而另一个数的因子之和也等于第一个数。
例如，220和284就是一对亲和数。
完全数是指一个数的因子之和恰好等于它本身。
例如，6是一个完全数，因为1+2+3=6。
亲和数与完全数是数论中的重要研究对象，研究这些数的性质不仅有助于深入理解整数的结构，还有实际应用价值。
2. 素数与素数分解素数是只有1和自身两个正因数的整数，如2、3、5、7等。
素数的研究一直是数论的一个重要方向。
素数分解是将一个合数表示为若干个素数的乘积，它在加密算法、因数分解和组合数学等领域具有广泛的应用。
通过素数分解，我们可以了解一个数的因子结构，进而应用于密码学、编码理论等实际问题中。
二、代数代数是研究数学结构及其运算规则的一门学科，它通过使用符号和代数表达式来研究数学对象。
代数可以分为多个分支，如线性代数、群论、环论等。
在数学中，代数在解决各种实际问题时具有重要的作用。
1. 线性代数线性代数是研究向量空间和线性映射的代数学科。
它广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
通过线性代数，我们可以对线性方程组进行求解，进而解决实际问题。
线性代数在图像处理、数据分析和机器学习等领域都有着广泛的应用。
2. 群论群论是研究代数结构中的群的性质和结构的分支。
群论在密码学、量子力学和几何学等领域有重要应用。
例如，密码学中的公钥密码体制就是基于群论的数学原理设计出来的。
3. 环论环论是研究环的性质和结构的分支。
高一数学中的代数数论初步怎么入门
高一数学中的代数数论初步怎么入门对于刚刚踏入高一的同学们来说，代数数论可能是一个全新且具有挑战性的领域。
但别担心，只要掌握了正确的方法和思路，入门并非难事。
首先，要理解代数数论的基本概念。
代数数论主要研究数的代数性质，其中涉及到整数、有理数、无理数等的相关理论。
我们需要明确什么是代数数，什么是超越数。
代数数是满足整系数代数方程的数，而超越数则不满足这样的方程。
例如，√2 是代数数，因为它满足方程x² 2 ＝ 0；而π 则是超越数。
掌握数的基本运算和性质是关键。
在代数数论中，加减乘除这些基本运算的规则仍然适用，但可能会有一些特殊的情况和技巧。
比如，同余的概念就非常重要。
同余是指两个整数除以一个正整数所得的余数相同。
通过同余，我们可以简化很多问题的计算和分析。
接下来，要熟悉一些常见的定理和结论。
比如，费马小定理就是一个重要的工具。
它指出如果 p 是一个质数，a 是一个整数且与 p 互质，那么 a^（p 1) ≡ 1 （mod p)。
这个定理在解决很多数论问题时都能发挥很大的作用。
数学是一门需要大量练习的学科，代数数论也不例外。
通过做练习题，可以加深对概念和定理的理解，提高解题能力。
可以从课本上的例题和课后习题入手，逐步掌握解题的方法和技巧。
在做练习的过程中，要注意总结归纳，找出不同类型问题的共性和规律。
学习代数数论还需要培养逻辑思维能力。
在证明定理和解决问题时，需要有清晰的思路和严谨的推理。
要学会从已知条件出发，逐步推导出结论，注意每一步推理的合理性和正确性。
如果遇到困难，可以多思考、多尝试不同的方法，或者向老师和同学请教。
另外，建立数学模型也是很有帮助的。
将实际问题转化为数学模型，用代数数论的知识去解决，可以更好地理解和应用所学的内容。
例如，在密码学中，就用到了很多代数数论的知识来保证信息的安全传输。
数学的学习不是孤立的，代数数论也与其他数学分支有着密切的联系。
比如，它与代数、几何等都有交叉的部分。
代数初步认识
代数初步认识一、知识点概述本节课复习代数初步知识。
代数初步知识包括用字母表示数，解简易方程，列方程解文字题。
至于列方程解应用题则放在下一节复习课，以便与用算术方法解应用题进行联系对比。
考虑到比例既属算术知识，也属代数知识，而且教材中关于正比例、反比例的意义与代数中的一致，并且出现用字母表示，列比例式也带有列方程的性质，因此复习时把比例知识放在这一节里。
着重使同学们分清比和比例、正比例和反比例概念间的联系和区别。
至于用比例知识解应用题，也放在下一节。
二、重点知识归纳及讲解1、用字母表示数用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。
如a＋b＝b＋a，S＝vt，V＝abh。
2、简易方程（1)等式与方程。
a.表示相等关系的式子，叫做等式。
b.含有未知数的等式，叫做方程。
(2)方程的特征。
a.方程必须是等式。
b.方程必须含有未知数。
(3）方程的解和解方程。
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
求方程的解的过程，叫做解方程。
(4)解方程的方法。
在小学，主要是应用加、减、乘、除法中各部分间的关系来解方程。
被减数＝差＋减数，减数＝被减数一差一个加数＝和一另一个加数，一个因数＝积÷另一个因数被除数＝商×除数，除数＝被除数÷商3、比和比例(1）比的意义和性质。
比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
比的基本性质：比的前项和后项都乘上或除以相同的数（零除外），比值不变。
(2）比例的意义和性质。
比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
(3）求比值与化简比。
求比值：根据比值的意义，用前项除以后项。
结果是一个数，可以是整数、小数或分数。
化简比：根据比的基本性质：把比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外）。
结果是一个比，它的前项和后项是互质数。
（4）比例尺。
图上距离和实际距离的比，叫做这幅地图的比例尺。
即：图上距离∶实际距离＝比例尺线段比例尺是有一条标有数目的线段来表示和地面上相对应的实际距离。
数论2
但是5^6546640仍旧有400多万位
但是我们可以利用同余模定理 在o（n）的时间里算出来
在这里介绍求元素的幂 X^n （ X和 n均为非负整数）的两种 算法，一个是递归求解，另外一个是用反复平方法
递归求解：
当我们计算 X^n 时，当n=0，结果为 1，这可以看做递归的 基准情况，当n为偶数时，X^n=(X^2)^(N/2)，当n是基数时， X^n=(X^2)^((n-1)/2)*X。
将其改变形式为：
X mod lcm(m[1], m[2]) = x。
令M = lcm(m[1], m[2]), R = x，则有新的模方程X mod M = R。 此时，可以发现我们将x mod m[1] = r[1]，x mod m[2] = r[2]合 并为了一个式子X mod lcm(m[1], m[2]) = x。满足后者的X一定 满足前两个式子。 每两个式子都可以通过该方法化简为一个式子。那么我们只要 重复进行这个操作，就可以将 n个方程组化简为一个方程，并 且求出一个最后的解了。
若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。
(2)mn型欧拉函数
设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数， 称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。 (3)特殊性质: 若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。 对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等 于)此公式即 欧拉定理 当n=p 且 a与素数 p 互质 ( 即 :gcd(a,p)=1) 则上式有 : a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理
05
元素的幂
数学中的代数与数论
数学中的代数与数论数学是一门研究数量、结构、空间以及变化等概念的学科。
在数学的世界里，代数和数论作为两个重要的分支，对于解决问题和探索数学规律起着至关重要的作用。
本文将从代数和数论的基本概念、理论和应用等方面，介绍数学中的代数与数论。
一、代数的基本概念与理论代数是数学的一门重要分支，研究由数及其间的加减乘除运算及其规律、方程与函数关系等。
它以数的一般性质为基础，研究代数运算法则，如加、减、乘、除和幂的运算规则等。
同时，代数还研究方程与函数的关系，探索数学中的各种规律与性质。
1.1 代数基本概念在代数学中，我们首先需要了解一些基本的代数概念。
其中，最基本的是数字、符号和运算等。
数学中的代数运算包括加法、减法、乘法和除法，它们是数学中最基础的运算法则。
此外，还有幂、开平方、对数等数学运算，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
1.2 代数的理论代数的理论是代数学的重要组成部分，它主要研究代数结构的性质和规律。
在代数理论中，我们研究的对象包括群、环、域等代数结构。
其中，群是代数最基础的结构之一，它包括了一组集合和一种二元运算，同时满足封闭性、结合律、单位元和逆元等条件。
另外，环和域作为群的扩展，更加复杂而丰富。
二、数论的基本概念与理论数论是研究整数性质和整数运算的一门学科，它用于研究数的性质、数的奇偶性、素数、因数分解等问题。
数论在密码学、编码和密码破译等领域有着重要的应用。
2.1 数论基本概念在数论中，我们首先需要了解素数、整除、最大公因数、最小公倍数等基本概念。
素数是最基本的数学概念之一，它只能被1和自身整除，不能被其他数整除。
整除是指某个数能够整除另一个数，即没有余数。
最大公因数是指一组数中能够整除所有数的最大数，最小公倍数是指能够整除这组数中的所有数的最小数。
2.2 数论的理论数论的理论研究了各种数学性质和规律，如素数分布、费马小定理、欧拉定理等。
其中，素数分布是研究素数的数量和分布规律的理论，它对于解决一些计算问题和密码学问题非常重要。
理解数学中的数论与代数
理解数学中的数论与代数数论与代数是数学的两个重要分支，它们在数学体系中各自扮演着不可或缺的角色。
数论主要研究整数的性质和它们之间的关系，而代数则探究结构和变换的性质。
本文将对数论和代数进行详细解析，帮助读者更好地理解数学中的这两个领域。
一、数论数论是研究整数性质和整数之间关系的数学学科。
它起源于远古时代，人们对于数的特性和规律的探索。
数论研究的对象包括素数、约数、质因数分解、同余关系等等。
1.1 素数与合数素数指的是只能被1和本身整除的正整数，如2、3、5、7等。
而合数则是可以被除了1和本身以外的数整除的正整数。
素数是数论中很重要的概念，也是数学中最基础的构成元素之一。
1.2 约数与倍数在数论中，约数是指能够整除某一整数的小于或等于该整数的正整数，如6的约数有1、2、3和6。
而倍数则是某个数的整数倍，如12是6的倍数。
研究约数和倍数的规律能够帮助我们更好地理解数字之间的关系。
1.3 质因数分解与最大公因数质因数分解是将一个正整数写成一组质数相乘的形式。
例如：60=2×2×3×5。
这种分解方法不仅有理论研究的价值，也有实际计算的应用。
最大公因数指的是几个数中最大的公约数，它在解决数论问题和代数问题中都有举足轻重的作用。
二、代数代数是数学中研究数和运算关系的分支学科，它探究数和运算符号的性质以及它们之间的关系。
代数的研究对象包括各种数的集合，如实数、复数和向量，以及各种运算规则和运算法则。
2.1 代数结构代数结构是代数中非常重要的概念，它指的是一个集合和在集合上定义的一组运算所构成的系统。
常见的代数结构包括群、环、域等。
这些结构有着严格的定义和性质，通过研究它们的性质可以深入理解数学的抽象概念。
2.2 方程与等式方程和等式是代数中的基本概念，它们描述了数之间的关系。
方程是含有未知数的等式，通过解方程可以求得未知数的值。
解方程是代数中的重要技巧，它在实际问题的建模和解决中有广泛应用。
高中数学教案数论初步
高中数学教案数论初步高中数学教案——数论初步一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解数论的基本概念和性质；2. 掌握数论中的常用定理和方法；3. 运用数论知识解决实际问题。
二、教学内容本节课的教学内容如下：1. 引入介绍数论的定义和作用，并与学生共同探讨数论在现实生活中的应用。
2. 素数与合数2.1 素数的定义及性质，介绍素数的概念，并进行数学证明；2.2 合数的定义及性质，区分素数和合数，并进行实例演练。
3. 最大公约数与最小公倍数3.1 最大公约数的定义及性质，介绍最大公约数的概念，并进行实例演练；3.2 最小公倍数的定义及性质，区分最大公约数和最小公倍数，并进行实例演练。
4. 同余关系4.1 同余的定义及性质，介绍同余的概念，并进行实例演练；4.2 同余关系的应用，讨论同余在密码学中的应用，并进行相关案例分析。
5. 素数分解5.1 素因数分解的定义及性质，介绍素数分解的概念，并进行实例演练；5.2 素数分解在实际问题中的应用，探讨素数分解在数据加密和解密中的作用。
三、教学方法为了更好地实现教学目标，本节课将采用以下教学方法：1. 情境教学法通过设置情境，引发学生的学习兴趣和积极性，提高学生的主动学习能力。
2. 探究式学习法引导学生通过观察、实验等方式主动探索、发现数论中的规律和性质。
3. 讨论与合作学习法利用小组讨论或合作学习的方式，培养学生的思辨能力和团队合作意识。
4. 数学建模法借助数学建模思想，将数论知识与实际问题相结合，提升学生的应用能力和解决问题的能力。
四、教学过程本节课的教学过程分为以下几个环节：1. 引入环节：通过引入数论的定义和作用，激发学生对数论的兴趣，让学生了解数论在现实生活中的应用，并与学生一同思考数论的重要性。
2. 知识讲解环节：以素数与合数为主要内容，依次介绍素数和合数的定义、性质，通过实例演练使学生掌握相关概念。
3. 理论拓展环节：在最大公约数与最小公倍数、同余关系、素数分解等内容上，引导学生进一步理解数论的基本概念和性质，并将其应用于实际问题的解决中。
初等数论第二章课件
建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系 统研究。 秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联 系起来。 百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一， 值钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、 雏各几何？”。 这是一个三元不定方程组问题。 1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 近年来，这个领域更有重要进展。 但从整体上来说，
故方程37x 107 y 25的一解是： y x 9 25, x y 26 25,
则原方程111x 321y 75的一切整数解是： x 26 25+107t , y 9 25 37t (t 0, 1, 2,)
3、下面通过具体例子介绍一种判定方程是否有
证：（必要条件）设x0 , y0为（）的一组整数解，则 1 ax0 by0 c (a, b) a, (a, b) b, (a, b) ax0 by0 c,
( a, b) a,
(a, b) b,
(a, b) ax0 by0 c.
（充分条件）若( a, b) c, 设c c1 ( a, b), c1 Z , 而对a, b Z , 且a 0，b 0，则存在s, t Z , 使得 as bt (a, b) (2)
x 4 y 1
可以直接解出。 再依次反推上去，就得到原方程的通解。 为了减少运算次数，在用带余除法时，总取绝对值最小 余数。 下面我们来讨论当二元一次不定方程（1）可解时， 它的非负解和正解问题。 由通解公式知这可归结为去确 定参数t的值，使x,y均为非负或正。显见，当a,b异号时， 不定方程（1）可解时总有无穷多组非负解或正解，
第二章
不定方程
不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有
数论初步精品文档
整除具有传递性、加减性、倍数性等基本性质。
最大公因数和最小公倍数
最大公因数
两个或多个整数共有约数 中最大的一个。
最小公倍数
两个或多个整数的公倍数 中最小的一个。
性质与关系
两数的乘积等于它们的最 大公因数与最小公倍数的 乘积。
素数与合数的概念及性质
素数
大于1的自然数，除了1和它本身 以外不再有其他因数的数。
近年来，随着计算机技术的飞速发展，数学家们得以对更大范围内的数进行验证 和计算。同时，一些新的数学方法和理论的提出也为解决这些未解之谜提供了新 的思路。虽然仍有许多问题等待解决，但数学家们对数论的研究热情从未减退。
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数论函数的应用
数论函数在数论、组合数学、密码学等领域 都有着广泛的应用，如利用欧拉函数可以求 解同余方程、利用莫比乌斯函数可以研究素 数的分布规律等。同时，随着计算机科学的 发展，数论函数也在算法设计和优化中发挥 着越来越重要的作用。
06
数论中的著名问题
哥德巴赫猜想与孪生素数猜想
哥德巴赫猜想
任一大于2的偶数都可表示成两个质数之和。虽然至今仍未被证明或证伪，但数学家们 已经验证了许多大偶数都符合这一猜想。
03
同余理论
同余式的定义与性质
定义
若两个整数a和b除以正整数m所得的余数相同，则称a和b对 模m同余，记作$a equiv b pmod{m}$。
性质
同余式满足自反性、对称性、传递性，以及加法、乘法等运 算性质。
剩余类与完全剩余系
剩余类
模m的剩余类是指模m同余的整数集合，即形如$bar{a} = { x mid x equiv a pmod{m} }$的集合，其中$0 leq a < m$。
数论初步精品文档
性质：最大公约数 与最小公倍数之间 存在一定的关系， 即最大公约数乘以 最小公倍数等于这 两个数的乘积。
求法：最大公约数 可以通过辗转相除 法或更相减损法求 得，最小公倍数可 以通过最大公约数 求得。
应用：最大公约数 与最小公倍数在数 论中有广泛的应用 ，如求解线性方程 、分解因式等。
同余与模运算
20XX
数论初步
汇报人：XX
目录
01
数论的基本 概念
02
数论中的重 要定理
03
数论的应用
04
数论的进一 步学习
1
数论的基本概念
整数的性质
整数的定义：自然 数、零和负整数的
统称
整数的分类：奇数、 偶数、质数、合数、
正数、负数等
整数的运算：加法、 减法、乘法、除法
等
整数的性质：整除 性、余数性、分配
数论在数学竞 赛中的重要性
数论在数学竞 赛中的常见题 型和解题方法
数论在数学竞 赛中的创新应
用
数论在数学竞 赛中的发展趋
势和挑战
在日常生活中的应用
密码学：数论在密码学中有广泛应 用，如RSA加密算法
游戏：数论在游戏中也有应用，如 数独游戏
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
计算机科学：数论在计算机科学中 也有广泛应用，如算法分析和设计
添加标题
添加标题
添加标题
数论与几何的联系：数论中的许多 问题可以通过几何方法来解决，例 如用几何方法求解面积、体积等。
数论与分析的析方法求解极限、导数等。
数论在物理学中的应用
数论在量子力学中的应用：量子数、角动量等概念与数论紧密相关
数论在弦理学中的应用：弦理学中的对称性与数论中的群论有密切联系
第2章数论简介
18
2.5 欧几里得算法 Extended_ Euclid(f, d){ （设 f >d） ） 1.(X1,X2,X3)←(1,0,f); (Y1,Y2,Y3)←(0,1,d); 2. if Y3=0, no inverse; 3. if Y3=1,Y2=d-1mod f; 4.Q= X 3 ；
12
试求模9乘 试求模 乘 法运算中哪 些元素有逆 元，逆元是 什么？ 什么？
2.3 费尔玛定理和欧拉定理 1. 费尔玛定理
例如： 7是个素数，在Z7中，3是正整数且gcd(3,7)=1
7 −1
3
mod 7（试求）
Fermat定理 若p是素数，a是正整数且 定理: 是素数， 是正整数且 是正整数且gcd(a, p)=1， 定理 是素数 ， 则ap-1≡ 1 mod p 。
n = 5 ×3 ×2
n5 = 2, n3 = 3
m5 = 4, m3 = 2
(1)
k = mn = ( 5 4 × 3 2 )( 5 2 × 3 3 × 2 ) = 5 6 × 3 5 × 2
k 5 = 6, k 3 = 5
由（1）和（2）式得：
(2)
k5 = m5 + n5 k 3 = m 3 + n3
13
2.3 费尔玛定理和欧拉定理 2. 欧拉函数 是一正整数， 且与n互素的正整数的个数称 设n是一正整数，小于 且与 互素的正整数的个数称 是一正整数 小于n且与 为n的欧拉函数，记为 的欧拉函数，记为φ(n)。 。 例如： 例如： φ(3)=2 ，φ(7)=6 ，φ(8)=4。 。 是素数， 若n是素数，则显然有 是素数 则显然有φ(n)=n-1。 。
初等数论第三版答案初等数论第三版初等数论第二版答案朝花夕拾第一章简介瓦尔登湖第一章简介骆驼祥子第一章简介水浒传第一章简介朝花夕拾第二章简介草房子第四章简介初等数论
数论专题（二）数论基础知识
数论专题（⼆）数论基础知识⼆、数论基础知识1、欧⼏⾥德算法(辗转相除法)2、扩展欧⼏⾥德定理a.线性同余b.同余⽅程求解c.逆元3、中国剩余定理（孙⼦定理）4、欧拉函数a.互素b.筛选法求解欧拉函数c.欧拉定理和费马⼩定理5、容斥原理⼆、数论基础知识1、欧⼏⾥德定理（辗转相除法）定理：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)。
证明：a = kb + r = kb + a%b，则a % b = a - kb。
令d为a和b的公约数，则d|a且d|b 根据整除的组合性原则，有d|(a-kb)，即d|(a%b)。
这就说明如果d是a和b的公约数，那么d也⼀定是b和a%b的公约数，即两者的公约数是⼀样的，所以最⼤公约数也必定相等。
这个定理可以直接⽤递归实现，代码如下：int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a%b) : a;}这个函数揭⽰了⼀个约定俗成的概念，即任何⾮零整数和零的最⼤公约数为它本⾝。
【例题8】f[0] = 0, 当n>1时，f[n] = (f[n-1]+a) % b，给定a和b，问是否存在⼀个⾃然数k (0 <= k< b)，是f[n]永远都取不到的。
永远有多远？并不是本题的范畴。
但是可以发现的是这⾥的f[...]⼀定是有循环节的，如果在某个循环节内都⽆法找到那个⾃然数k，那么必定是永远都找不到了。
求出f[n]的通项公式，为f[n] = an % b，令an = kb + r，那么这⾥的r = f[n]，如果t = gcd(a, b)，r = an-kb = t ( (a/t)n -(b/t)k )，则有t|r，要满⾜所有的r使得t|r,只有当t = 1的时候，于是这个问题的解也就出来了，只要求a和b的gcd，如果gcd(a,b) > 1，则存在⼀个k使得f[n]永远都取不到，直观的理解是当gcd(a, b) > 1，那么f[n]不可能是素数。
数论和代数知识初步共16页文档
0
j m 1；
(2) 两个整数 x， y属于同一类的充分必要 条件是
x y (mod m ) 。
定义3
在模 m 的剩余类
C
，
0
C
1，
， C m 1中各取一个数
a
j
C
，
j
j
Hale Waihona Puke 0 ，1，， m 1，此
m 个数
a
，
0
a1，
，
a
m
称为模
1
m 的一组完全剩余系。
由定义立即得到：
定理6 m 个整数成为模 m 的完系的充要条件为两 两对模 m 不同余。
(1) ax y bx y (mod m )，其中 x ， y 为任意整数； ( 2 ) a b (mod m )；
(3 ) a n b n (mod m )；
( 4 ) f ( a ) f (b )(mod m )， f ( x )为任意给定整系数多项
式。
好运动者健，好思考者智，好助人
n1
1 p1
1
1 p2
1
1 pk
。
好运动者健，好思考者智，好助人
8
者乐好读书者博，好旅游者悦，好
4 一次同余式
定义6 设f (x) an xn an1xn1 a1x a0，其中 n 0，ai (i 0，1， ，n)是整数，又设 m 0，则
f (x) 0(mod m) 叫模m的同余式。若 an 0(mod m)，则n叫次数。如果 x0满足 f (x0 ) 0(mod m)，则x x0 (mod m)叫同余式的解。不同的 解是指 互不同余的解。 定理17 设(a，m) 1，m 0，则同余式
2 剩余类和完全剩余类
021数论与代数
设p∈Z，p≥2，如果p只有正因子1和p，则称p为一 个素数，否则称p为一个合数。
定义5
设n≥1， n表示在区间[1,n]中与n互素的整数的数目， 函数 n 称为Euler函数。
关于Euler函数有以下性质:
(1)如果p是素数，则 p ＝p-1。
(2)Euler函数是一个积性函数，也就是说，如果
if (b == 0) {
return a; } return GCD(b, a % b); }
欧几里得算法和扩展欧几里德算法
扩展欧几里德定理
对于与不为 0 的非负整数 a,b，gcd(a,b)表示 a,b 的 最大公约数。那么存在整数 x,y 使得 gcd(a,b)=ax+by。
若gcd(a,b)=1, ax+by=1于是得 ax≡1(mod b) by≡1(mod a) x为a模b的乘法逆元，y为b模a的乘法逆元。
a+b≡a1+b1(mod n), ab≡a1b1(mod n)。
对模的理解
模就是周而复始，螺旋上升，到了终点就是回 到了起点。
比如钟表，模为12：
1≡13 (mod12) 23≡11 (mod12) -1 ≡11 (mod12) -5 ≡ 7 (mod12)
欧几里得算法和扩展欧几里德算法
将这个最大公因子记为gcd(a,b)。
定义3
设a,b∈Z，a,b不全为0，如果a|D，b|D且D≥1，则称 D为a和b的公倍数。
特别地，我们把a和b的所有公倍数中最小的正的公 倍数，称为a和b的最小公倍数。a和b的最小公倍数 一定存在而且唯一，将这个最小公倍数记为lcm(a,b)。
对两个正整数a和b，必有ab=gcd(a,b)×lcm(a,b)。
数论中的初等数论与代数数论
初等数论在数学、物理学、工程学 等领域有广泛的应用。
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它主要包括整除理论、同余理论、 连分数理论和数论函数等内容。
通过对初等数论的学习，可以深入 了解整数的性质和结构，培养数学 思维和解决问题的能力。
初等数论的发展历程
早期数论：古希腊数学家对素数、合数等基本概念的研究 中世纪数论：主要研究整除、同余等数论问题，代表性成果有费马小定理 19世纪数论：研究范围扩大到代数数论，如高斯对二次域的研究 现代数论：研究更加深入，涉及的领域更加广泛，如解析数论、几何数论等
初等数论的基本概念
定义：初等数论 是研究整数的性 质和结构的数学 分支。
研究对象：整数、 整除性、最大公 约数、最小公倍 数等。
整数的性质：质 数、合数、完全 数等。
整数的结构：因 数分解、最大公 约数、最小公倍 数等。
初等数论的应用
密码学：初等数论在加密算法中的应用，如RSA算法 计算机科学：数论在计算机科学中的广泛应用，如哈希函数、数据压缩等 物理学：数论在物理学中的应用，如量子力学和弦理论中的模形式 数学教育：初等数论在数学教育中的应用，如数学竞赛和大学数学课程中的数论部分
数环的理论
代数数论的起 源：与代数几 何、代数数论 和算术代数等 数学分支密切
相关
代数数论的研 究对象：代数 数、代数整数、
理想等
代数数论的应 用：在密码学、 计算机科学等 领域有广泛应
用
代数数论的应用
密码学：代数数论在密码学中有广泛应用，如RSA公钥密码算法。 物理：代数数论在量子物理、统计物理等领域有重要应用，如分形结构、混沌理论等。 计算机科学：代数数论在计算机科学中也有广泛应用，如数据加密、网络安全等。 数学其他分支：代数数论在其他数学分支中也有应用，如代数几何、组合数学等。
代数数论的基础
代数数论的基础代数数论是数学中的一个重要分支，它研究的是数论问题与代数结构之间的关系。
代数数论的基础是代数和数论的基本概念和理论，它涉及到代数方程、代数域、代数整数等内容。
本文将从代数数论的基础概念、代数方程的解、代数域和代数整数等方面进行论述。
一、代数数论的基础概念代数数论的基础概念包括代数方程、代数域和代数整数等。
代数方程是指含有未知数和系数的方程，其中未知数和系数都是代数数。
代数域是指由一组代数数构成的数域，它包含有理数域、代数数域等。
代数整数是指代数域中满足特定性质的数，它是代数数域的整数环。
二、代数方程的解代数方程的解是指使方程成立的数值。
代数方程的解可以是有理数、无理数或复数。
代数方程的解的性质和结构是代数数论的研究对象之一。
代数方程的解的性质包括代数数的性质、代数方程的根的性质等。
代数方程的解的结构包括代数方程的根的个数、根的分布等。
三、代数域代数域是代数数论的重要研究对象，它是由一组代数数构成的数域。
代数域的性质和结构是代数数论的核心内容之一。
代数域的性质包括代数域的基本性质、代数域的扩张性质等。
代数域的结构包括代数域的元素、代数域的子域等。
四、代数整数代数整数是代数数论的重要研究对象，它是代数域的整数环。
代数整数的性质和结构是代数数论的重要内容之一。
代数整数的性质包括代数整数的整除性质、代数整数的唯一分解性质等。
代数整数的结构包括代数整数的生成元、代数整数的单位等。
五、代数数论的应用代数数论在数论、密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。
在数论中，代数数论可以用来研究数的性质和结构，解决一些数论问题。
在密码学中，代数数论可以用来设计和分析密码算法，保证信息的安全性。
在编码理论中，代数数论可以用来构造和分析纠错码，提高数据传输的可靠性。
六、总结代数数论是数学中的一个重要分支，它研究的是数论问题与代数结构之间的关系。
代数数论的基础是代数和数论的基本概念和理论，它涉及到代数方程、代数域、代数整数等内容。
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1 整除性(续)
定理设1a，b是两个整数， b0其 ，中 则存在两 个唯一的q整 及r， 数使得
abqr，0rb 成立 。
2 素数
定义 2 一个大于 1的正整数，如果它的正 因数只有 1和 它本身，就叫做素数， 否则就叫做合数。
定理2 素数的个数是无穷的。 证明.如果素数的个数是有限 的可令 p1 2，p2 3， ，pk
200以内的素数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199
(a1，a2， ，an ) dn。
定理11若a1，a2， ，an (n 2)是n个正整数，则存在整数x1，
x2， ，xn使得
a1x1 a2x2 an xn (a1，a2， ，an )。
4 最小公倍数
定义4 设a1，a2， ，an是n( 2)个整数。若 m是这n个数中 每一个的倍数，那么 m就叫这 n个数的一个公倍数。在 a1， a2， ，an的一切公倍数中最小的 整数叫做最小公倍数， 记作[a1，a2， ，an ]。
第二讲 数论与代数知识初步 (上)
现代密码系统中，消息都是事先转换成数 值进行加密传输。密码过程是一些输入输 出都是数值的数学操作，建立，分析，攻 击这些算法需要数学工具。其中在实践中 应用最为成功的数学理论当然是数论和代 数，特别是同余理论。
本讲提要
整数的基本概念
1 整除性
定 义对1于整 a0数 ，b。我 们说a整除 b，如果存在一个 k使得 b=， ka我 们把a叫做b的因b数 叫做 ， a的倍数 记为 ，a|。 b 如果 这个k不存在们 ，说我 a不整b，除 记为a|b。
定理12 设a，b是任意的两个整数，则
(1) a，b的所有公倍数就是 [a，b]的所有倍数。
(2)
[ a，b]
ab (a，b)
。
4 最小公倍数(续)
设n2，a1 0，a2 0， ，an 0， [a1，a2]m2， [m2，a3]m3， ， [mn2，an1]mn1， [mn1，an]mn，那么有下面的定 定理若 1 3a1，a2， ，an是n(n2)个正整数，则
性 质(11) 对于任a意0，a0|，a|a，对于任b， 意 1|b。 (2)如果a|b，b| c，则a| c。 (3)如果a|b，a|c，则a| (sbtc)，这里 s和t是任意整数。
证 明(.1)显而易见。 (2由 ) 定义存k和 在l，满足 bka，clb，所以c有kla。 (3)由定义可写b出k1a，ck2a，所以 sbtc(sk1 tk2)a 即a|sbtc。
3 最大公约数(续)
定理若8任给a整 0， 数b0，则存在两m个 ，n整数 使得
(a，b)manb。
例 子 1计算(1180，482)。 1180 2482216 482 221650 216 45016 50 3162 16 280。 因此， (1180，482) 2。 可以看到余数都经历：了剩余除数被除数忽略的过程。
1.310297，
因此，足够使用。
3 最大公约数
定 义 3设a1，a2， ，an是n个不全为零的整数。若整数d是 它们之中每一个的因数，那么d就叫a1，a2， ，an的一个 公因数。整数a1，a2， ，an的公因数中最大的一个叫最大 公因数，记作(a1，a2， ，an )，若(a1，a2， ，an ) 1，就说 a1，a2， ，an互素。
定 理 6设a，b，c是任意三个不全为零的整数，且 a bq c，
其中q是整数，则(a，b) (b，c)。
3 最大公约数(续)
Euclidean 算法的表述
不失一般性假定任意 a 0， b 0有
a bq 1 r1，0 r1 b b r1q 2 r2，0 r2 r1 r1 r2 q 3 r3，0 r3 r2
3 最大公约数(续)
根据 定理7 的证明 , 我们可以得到递推公式
:
x1
1，
x2
q
，
2
xj
q j x j1
x j2
y1
q
，
1
y
2
1
q1q
，
2
y
j
q j y j1
y j2
则 ax n by n ( a ， b )。 因此， x1 1， x 2 2， x 3 4 x 2 x1 9， x 4 3 x3 x 2 29 。 同样有 y 5 71，所以 1180 ( 29 ) 482 71 2 (1180 ，482 )。
rn 3 rn 2 q n 1 rn 1，0 rn 1 rn 2
rn 2 rn 1q n rn，0 rn rn 1
rn 1
rn q n 1
rn
，
1
rn
1
0。
定理7 任意 a 0， b 0，则 (a， b )就是上述过程中最后 一个不等于零的余数， 即 (a ， b ) rn。
这一过程被称为扩展
Euclidean 算法。
3 最大公约数(续)
定理9若a | bc，(a，b) 1，则a | c。
设n 2，a1 0，a2 0， ，an 0，(a1，a2 ) d2，(d2，a3) d3，
，(d n2，an1 )
dn1，(dn1，an
)
d
，那么有下面的定理。
n
定理10若a1，a2， ，an (n 2)是n个正整数，则
2 素数(续)
定 理 (素5数数)量 如定 果 (x)理 表示x小 的于 所有素数 (x) x ，也就x是 说 时当 ，比 (x)/率 (x/lnx)1。
lnx
在各种密码应用中 要经 求常 使3用00位左右的十进制, 素数 通过定理我 5 们可以估计
(10300)(10299)
10300 10299 ln10300ln10299
是全体素数。再令 p p1 p2 pk 1，知其必为合数， 而p不可为 p1，p2， ，pk之中任意一个整除，必 然存在 其它素数，因此，与素 数的个数是有限的假设 矛盾。
定理3 存在无穷多个形如 4n 1的素数。
2 素数(续)
定 理对 4 于任意给定 x0， 整不 数存在整系数 式f (x)anxn an1xn1a1xa0(an 0,n0)， 使得 x取所有 x0的整数时 f (x， )都表示素数。