三角函数的图像ppt课件
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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
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7
02 三角函数诱导公 式与变换
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8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)
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12
(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0时，－1＜tan x
＜0，∴ta1n x≤－1；
当0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x≥1.
即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝ta1n x的值域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞)．
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的性质与图象
2
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 2.通过正切函数的性质的应
渐近线．(易错点)
28
栏目导航
(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ， 关于原点对称， 又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．
29
栏目导航
30
正切函数单调性的应用 [探究问题] 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的 单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函 数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
用，提升逻辑推理素养.
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高中数学三角函数的图像与性质优秀课件
1
2 3
2
2
1 2
3 2
2
y cos x，x R
3 2
2
正、余弦函数的性质
y
2
sin
1 2
x
4
④周期性：形如y Asin x 或y Aco1sx 的
函数的周期T 2 .
2 1
3 2 5 3 7 4
2
2
2
2
y sin 2x 1
1
2 3 2
2 1
2
3 2
例1：已知函数y
Asin x A
0，
0，
2
，x
R
的部分图像，求函数解析式.
解：由图知A 2.
又 T 3 1 2，故T 8， 即 2 8， .
4
4
令 1 = 得= .
4
2
4
综上得，y
2sin
4
x
4
.
例2：函数f
x
Asin
x
0，
2
，x
R
的部分图像如图，则函数表达式为（
x
0
4
3
2
4
2x
0
3
2
2
2
y sin 2x
0
1
0
1
0
五点：0，0， 4 ，1， 2 ，0，
3
4
，1，，0.
1
3 2
2 1 2
2
五点作图法
例1：用“五点法”作y
2sin
1 2
x
4
，x
2
，7 2
的图像.
x
3
5
7
2
2
职高数学5.6三角函数的图像和性质 PPT课件
1．利用“五点法”作函数 y sin x 在 0, 2π 上的图像． 2．利用“五点法”作函数 y 2sin x 在 0, 2π 上的图像．
3．已知 sin 3 a , 求 a 的取值范围．
4．求使函数 y sin 4x 取得最大值的 x 的集合，并指
出最大值是多少?
计算器
动脑思考 探索新知
图像关于y轴对称
在 ((2k 1)π, 2kπ) (k Z) 内是增函数
在 (2kπ,(2k 1)π) (k Z) 内是减函数
周期
周期为 2π
三 角 函 数
巩固知识 典型例题
例 5 用“五点法”做出函数 y cosx , x 0,2π 上的图像
x
cos x
y cos x
0
π 2
π
3π 2π
2
1
演示
演示
余弦函数 y cos x, x R 的图像—余弦曲线．
三 角 函 数
动脑思考 探索新知
y
y cos x xR
1
－2π －π o
-1
π
2π 3π 4π x
定义域： 实数集R 值 域： [-1,1] 奇偶性：偶函数
单调性
当 x 2kπ(k Z) 时, ymax 1；
当 x (2k 1)π (k Z) 时, ymin 1
1
函－3π －2π －π
O -1
π
2π 3π 4π x
数
正弦函数是R内的有界函数．
动脑思考 探索新知
y
y sin x， xR
三
1
－3π －2π －π O
-1
π
2π 3π 4π x
角
定义域： 实数集R
函 数
3．已知 sin 3 a , 求 a 的取值范围．
4．求使函数 y sin 4x 取得最大值的 x 的集合，并指
出最大值是多少?
计算器
动脑思考 探索新知
图像关于y轴对称
在 ((2k 1)π, 2kπ) (k Z) 内是增函数
在 (2kπ,(2k 1)π) (k Z) 内是减函数
周期
周期为 2π
三 角 函 数
巩固知识 典型例题
例 5 用“五点法”做出函数 y cosx , x 0,2π 上的图像
x
cos x
y cos x
0
π 2
π
3π 2π
2
1
演示
演示
余弦函数 y cos x, x R 的图像—余弦曲线．
三 角 函 数
动脑思考 探索新知
y
y cos x xR
1
－2π －π o
-1
π
2π 3π 4π x
定义域： 实数集R 值 域： [-1,1] 奇偶性：偶函数
单调性
当 x 2kπ(k Z) 时, ymax 1；
当 x (2k 1)π (k Z) 时, ymin 1
1
函－3π －2π －π
O -1
π
2π 3π 4π x
数
正弦函数是R内的有界函数．
动脑思考 探索新知
y
y sin x， xR
三
1
－3π －2π －π O
-1
π
2π 3π 4π x
角
定义域： 实数集R
函 数
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
归纳法等方法推导出诱导公式。
03
诱导公式的应用
在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛
应用。例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量 取何值，等式都成立。
拓展延伸：反三角函数简介
01
02
03
04
反三角函数的定义
反正弦、反余弦、反正切等反 三角函数的定义及性质。
反三角函数的图像
反正弦、反余弦、反正切函数 的图像及其与对应三角函数的
关系。
反三角函数的应用
在几何、物理等领域中的应用， 如角度计算、长度测量等。
反三角函数的计算
利用计算器或数学软件进行计 算，求解三角方程等问题。
高中数学课件三角函 数ppt课件完整版
REPORTING
目录
• 三角函数基本概念与性质 • 三角函数诱导公式与恒等式 • 三角函数的加减乘除运算 • 三角函数在解三角形中的应用 • 三角函数在数列和概率统计中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
PART 01
三角函数基本概念与性质
REPORTING
三角函数的定义及性质
PART 05
三角函数在数列和概率统 计中的应用
REPORTING
三角函数在数列求和中的应用
利用三角函数的周期 性，将数列求和转化 为定积分计算
结合三角函数的图像 和性质，分析数列的 收敛性和求和结果
通过三角函数的和差 化积公式，简化数列 求和过程
三角函数在概率统计中的应用
利用三角函数表示周期性随机 变量的概率密度函数
正弦、余弦函数的图像和性质PPT课件
函数 y sin x , x 0 , 2 图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/
1P 1
p1
(3) 平移 (4) 连线
3
6
-
-
-
o1
M
-1 A
1
o
6
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 2
x
-1 -
正弦曲线
y
1-
6
-
2
3 3 2
2
2 2
xx
y sin x , x [ 0 , 2 ]
y cos x , x [ 0 , 2 ]
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图
(２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1） y
x
四川省天全中学数学组
-
图象的最高点
( 0 ,1 ) ( 2 ,1)
1-
与x轴的交点
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
( , 0 ) ( 32 , 0 ) 2
( , 1 )
-
图象的最低点
-1 -
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π] （2）y=－cosx , x∈[0,2π] 解:（1）列表 （2）
正 弦 函 数、余 弦
三角函数的图像与应用-课件
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质
函数 性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
xR
xR
x R且 x k, k Z
2
值 域 {y | 1 y 1} {y | 1 y 1}
R
函数 性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
单调性
在［ 2k, 2k］ 在［ 2k 1 , 2k］
解析： 1因为x 5 是函数y f x的一条对称轴，
8
则当x 5 时，y取最值，所以sin(2 5 ) 1，
8
8
所以 5 k (k Z)．
4
Байду номын сангаас
2
又 0，所以 3 .
4
解析： 2由f x为偶函数，
则当x 0时，y取最值，
所以sin(2 0 ) 1， 则 k (k Z)．又 0，
2
2
x k,k Z 无对称轴
2
2
y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ ＋π2(k∈Z)求得. y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ＋2π(k∈Z)时为奇函数；
当 φ ＝ kπ(k∈Z) 时 为 偶 函 数 ； 对 称 轴 方 程 可 由 ωx ＋ φ ＝ kπ(k∈Z)求得. y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
例 3 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A>0，ω>0)的 图像在 y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为 M(2,2 2)，与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0)，求这个 函数的解析式．
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
倍角公式
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
三角函数图像的画法 ppt课件
y 3sin(2x)
3
2020/12/27
19
思路1
y sin x
左移
3
个单位
y sin( x )
3
y sin( 2x ) 纵坐标不变
3 横坐标变为原来的 1
2
横坐标不变 纵坐标变为3倍
y 3sin( 2x )
3
2020/12/27
20
例4. 画出函数
y3sin2(x) xR
(0,0)
( ,1) ( ,0)
2
(3 ,1)
2
(2 ,0)
y
-
o
/2
-
3 /2
2
-
2020/12/27
7
思考：
？ 如何画出y=cosx的函数呢
2020/12/27
8
余弦函数 y=cosx
诱导公式
记 f(x)=sin（ x） ,
y=cosx = sin(x+ )
2
那 么 y=f(x+)=sin(x+)图 像 如 何 画 呢 ？
2π
x
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1 y=
sinx图象由y=sinx图象（横标不变），纵标伸长
倍而得。
2
15
水平伸缩变换
例3：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数 的图象？
(1)y=sin2x
(2)y=sin
1 2
x
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例3：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数 的图象？
2
2
左移
由y=sinx
2 y=cosx
左移 2
y=sinx
三角函数的图像与性质课件PPT
正解：因为 x∈π6，π，所以借助函数 y＝sin x 的图象可知， 此时 0≤sin x≤1.于是由 sin x＝2m－1，得 0≤2m－1≤1，解得 m 的取值范围12≤m≤1.
纠错心得：三角函数的取值范围与定义域有关，因此，在求解 有关范围问题时，一定要先看清定义域，再由定义域推得三角函数 的取值范围，最后求出正确答案．
思路点拨：要使函数有意义，则 sin x＞0 且 25－x2≥0，即 sin x＞0 且－5＜x＜5，结合图象求出在区间(－5,5)上满足 sin x＞0 的 x 的取值范围，即原函数的定义域．
解： 使函数有意义的条件是s2i5n－x＞x2≥0，0， 记 sin x＞0 的 x 取值为 集合 A,25－x2≥0 的 x 取值为集合 B，则 A＝(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z， B＝[－5,5]．用图象表示如下：
小结 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周 期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).
思考3 正弦函数y＝sin x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin x 的周期有哪些？ 答 正弦函数y＝sin x的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，… 都 是 正 弦 函 数 的 周 期 ， 事 实 上 ， 任 何 一 个 常 数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期.
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现 其理论依据是什么？ 答 诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整 数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻 画这种“周而复始”的变化规律.
思考2 设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？把函数 f(x)＝sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？ 答 f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ 时，函数值重复出现. 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝ f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.
正弦,余弦函数的图像PPT教学课件
y= sinx，x[0, 2]
和
y=
cosx，x[
2
,
3 2
]的简图：
x
0 2
20
csionsx
10
01
3
3
2
2
22
-01
0-1
10
向左y平移 个单位长度 22
1
o
2
-1
3
2
2
y= cosx，x[ , 3 ]
22
y=sinx，x[0, 2]
2
x
正弦、余弦函数的图象
几何画法
小 1. 正弦曲线、余弦曲线 五点法 结
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
正弦、余弦函数的图象
X
正弦、余弦函数的图象
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
-1
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有 向线段！
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
正弦,余弦函数的图像PPT课件
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
3
3
3
3
-1
y=sinx
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
x[0,2]
f(x2k)f(x)利用图象平移
y=sinx xR
正弦、余弦函数的图象
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
y
五点画图法
1
(2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
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4
.
所以 a m in
4
- 8
8
.
题型5 三角函数图象的应用 3. 设f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)的周期 T=π，最大值f( 1 2 )=4.
(1)求ω、a、b的值；
(2)若α、β为方程f(x)=0的两根，α、β的
终边不共线，求tan(α+β)的值.
解：(1)f(x)= a2b2sin(x). 因为T=π，所以ω=2. 又因为f(x)的最大值f( )=4，
相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在
圆x2+y2=R2上，则R的值为______.
解：由最高点( R ，3)，最低点(- R ，-3)在
圆x2+y2=R2上，即
R
2
2
3
R
2，得R=2.
2
4
点石成金
图象变换的两种途径的差异.
(1)先相位变换后周期变换：
y=sinx 向左平移φ(φ＞0)个单位长度 y=sin(x+φ)
12
所以4 a2 b2
,且 4
a
sin
2 12
b
cos
2 12
,
解得a=2,b= 2 3 .
(2) f(x)2sin2x2 3cos2x4sin(2x).
3
因为f(α)=f(β)=0，
所以4sin(2)4sin(2),
所以
232 3k23(k3 Z),或23
2k
-(2 )(kZ),
3
即k (此时，α、β共线，故舍去)，或
第四章
三角函数
4.4 三角函数的图象
第二课时
题型3
图象变换
1.
(1)将函数y=sin(2x+
3
)的图象向右平移
个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短
8
到原来的 1 (纵坐标不变)，求所得图象对应的函
3
数解析式.
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长
到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的 1 ，再将图
拓展练习
题型4 三角函数图象的对称性
2.
求函数y=sin(2x-
6
)的图象的对称中心和
对称轴方程.
解：从图象上可以看出每一个零值点都是对
称中心，
即有2x-
6
=kπ(k∈Z),所以
x k (k Z ), 2 12
所以对称中心的坐标为( k , 0 )( k Z ).
2 12
过每个最值点且与x轴垂直的直线都是对称轴,
C关于直线x= 对称，求a的最小值.
解：f(x)sin4 (x)cos(x)1sin(2x).
由
2xk(kZ),
8
得
x
8 k
2 (k
Z ).
4
42
28
所以函数y=f(x)的图象的对称轴方程是
x k (k Z ). 28
其中位于直线x= 左侧，且与该直线距离
4
最近的一条对称轴的方程是x=
所以 2x-k(kZ),
62
所以 xk(kZ),
23
所以对称轴方程为 xk(kZ).
23
点评：正弦曲线既是轴对称图形，又 是中心对称图形.函数y=Asin(ωx+φ)的对称 中心就是使Asin(ωx+φ)=0所对应的点；对 称轴方程与y=Asin(ωx+φ)取最值时的x的值 有关.
向右拓平展移练a(a习＞将0)函个数单位f(x长)度sin(得78曲-x)线cos(Cx ，8若)的曲图线象
k ,其中k∈Z，
6
所以 tan( ) tan(k ) 3 .
63
点评：应用函数的图象来解决有 关交点问题或方程解的问题，体现了 “以形助数”.三角函数的图象综合了 周期性和对称性，注意周期性和对称 性的应用，如本题就是应用周期性来 解决的.
拓展练习已知函数 f (x) 3sinx的图象上 R
(2)y= 1
sinx 右移 2 个单位长度
2
y= 1 sin(x- ) 纵坐标伸长到原来的4倍
2
y=2sin(x-
2
)
横坐标缩短到原来的
1 2
2
y=2sin(2x- )=-2cos2x.
2
所以f(x)=-2cos2x.
点评：图象的变换有平移、伸缩、翻 折等，其中平移是最常见的变换.在进行左 右平移变换时，一是注意方向：按“左加 右减”，即由f(x)的图象变为f(x+a)(a>0)的 图象，是由“x”变为“x+a”，是加a，所以 是左移a个单位长度；由“x”变为“x-a”是 右移a个单位长度；二是注意x前面的系数 是不是1，如果不是1，左右平移时，要先 化为1，再来观察.
象向左平移
2
4
个单位长度，得曲线y= 1
2
sinx，
求函数f(x)的解析式.
解：(1)y=sin(2x+
) 右移 8 个单位长度
3
y=sin［2(x- )+ ］
8
3
Hale Waihona Puke =sin(2x+ ) 横坐标缩短
y=sin(6x+1 2 ).
12
到原来的 1
3
故所求的函数解析式是y=sin(6x+ 1 2 ).
各点的横坐标变为原来的
1
倍
纵坐标不变
(2)先周期变换后相位变换：
y=sin(ωx+φ);
y=sinx
各点的横坐标变为原来的
1
倍
y=sinωx
纵坐标不变
向左平移φ(φ＞0)个单位长度 y=sin［ω(x+φ)］.