2013年新课标2理科数学试卷及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）理科数学

1、已知集合M=｛x|(x-1)²< 4,x∈R｝，N=｛-1,0,1,2,3｝，则M ∩N=（）.

(A)｛0,1,2｝(B)｛-1,0,1,2｝(C)｛-1,0,2,3｝(D)｛0,1,2,3｝

解析：M=｛x|(x-1)²< 4R｝=｛x|-1＜x< 3｝，N=｛-1,0,1,2,3｝

∴M∩N=｛0,1,2｝，选A.

2、设复数z满足(1-i)z=2i，则z=( )

(A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i

解析：由(1-i)z=2i，

得z=2i/(1-i)=2i(1+i)/[(1-i)(1+i)]=2(i+i²)/(1-i²)=2(i-1)/(1+1)=-1+i

3、等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1,a5=9，则a1=( )

(A) 1/3 (B) -1/3 (C) 1/9 (D) -1/9

解析：∵S3=a1+a2+a3=a2+10a1

∴a3=9a1，即a1·q²=9a1，q²=9

又a5=9，即a1·（q²）²=9

∴a1=1/9，选C.

4、已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l￠α，l￠β，则（）

(A) α∥β且l∥α (B) α⊥β且l⊥α

(C) α与β相交，且交线垂直于l (D)α与β相交，且交线平行于l

解析：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，

又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．

由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，

与m，n异面矛盾．

故α与β相交，且交线平行于l．

故选D．

5、已知(1+ax)(1+x)^5的展开式中x²的系数为5，则a=

(A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1

解析：(1+ax)(1+x)^5的展开式中x²的系数为C5²+aC51=5，即10+5a=5，∴a=-1，选D 6、执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=

解析：k=1，S=0，T=1

T=T/k，S=S+T，K=K+1

————————————

① T=1/1=1， S=0+1=1， K=1+1=2

② T=1/2=1/2=1/2！， S=1+1/2！， K=2+1=3

③ T=（1/2！）/3=1/3！， S=1+1/2！+1/3！， k=3+1=4

④ T=（1/3！）/4=1/4！， S=1+1/2！+1/3！+1/4！， k=4+1=5

……

⑩ T=1/10！， S=1+1/2！+1/3！+……+1/10！， k=10+1=11＞10=N

∴输出的S=1+1/2！+1/3！+……+1/10！，选B.

7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(1,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）

（A）（B）（C）

（D）

解析：选A.

8、

（A）c＞b＞a，（B）b＞c＞a，（C）a＞c＞b，（D）a＞b＞c.

解析：a=1+lg2/lg3，b=1+lg2/lg5，c=1+lg2/lg7，

∵lg3＜lg5＜lg7

∴1+lg2/lg3＞1+lg2/lg5＞1+lg2/lg7

即a＞b＞c，选D

9、已知a＞0，x、y满足约束条件x≥1，x+y≤3，y≥a（x-3）.若z=2x+y的最小值为1，则a=

（A）1/4 （B）1/2 （C）1 （D）2

解析：如图，当目标方程z=2x+y的最小值为1时，A（1，-2a）在直线2x+y=1上

∴2-2a=1，a=1/2，选B.

10、已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是

（A）

（B）函数y = f (x)的图像是中心对称图形

（C) 若x0是f (x)的极小值点，则f (x)在区间（-∞，x0）单调递减

（D）若是f (x)的极值点，则f'(x0)=0.

解析：选C.

11、设抛物线C：y²=3px（p≥0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,3)，则C的方程为

(A) y²=4x或y²=8x (B) y²=2x或y²=8x

(C) y²=4x或y²=16x (D)y²=2x或y²=16x

解析：如图，设A（0，3） F（3p/4，0） M（5-3p/4，√[3p（5-3p/4）]）∵A在以MF为直径的圆上

∴AM⊥AF

即向量AM·向量AF=0

∴（5-3p/4，√[3p（5-3p/4）]-3）·（3p/4，-3）=0

（5-3p/4）·3p/4 = 3{√[3p（5-3p/4）]-3}

令√[3p（5-3p/4）]=t

则 t²/4 = 3（t-3）

t²-12t+36=0

（t-4）（t-9）=0

解得t=4，或t=9

当t=4时，√[3p（5-3p/4）]=4

9p²-60p+64=0

（3p-4）（3p-16）=0

解得p=4/3，或p=16/3

当t=9时，√[3p（5-3p/4）]=9

9p²-60p+324=0

△＜0，方程无解

∴p=4/3，或p=16/3，C的方程为y²=4x 或y²=16x，选C.