第3章扭转1讲课稿
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材料力学课件第3章 扭转
i 1
n
6366 N· m
即：任一截面上的扭矩等于截面 一侧所有外力偶矩的代数和。
M ei
+ _
指向所求截面时代负 背离所求截面时代正
4774.5 N· m 9549 N· m
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D 轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作
M e 2 M e 3 4774.5 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值.
由平衡方程
Me2 B Me2
Me3 2 C 2 Me3 T 2 C
Me1
Me4 D
Mx 0
M e 2 M e 3 T2 0
A x
T2 M e 2 M e 3 9549N m
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 扭转内力的计算 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件 §3-5 圆轴在扭转时的变形 ·刚度条件 §3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-7 非圆截面杆的扭转 §3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
二、受力特点
杆件的两端作用两个大小相等、方向相
P—轴传递的功率(kW)
二、内力的计算
1.求内力 截面法 在n-n 截面处假想将轴截开， 取左侧为研究对象 Me Me
Mx 0
T Me
Me T
2.扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负. 3.扭矩图 用平行于杆轴线的坐标 x 表示
Me
n
Me • x
应力的分布规律
n
6366 N· m
即：任一截面上的扭矩等于截面 一侧所有外力偶矩的代数和。
M ei
+ _
指向所求截面时代负 背离所求截面时代正
4774.5 N· m 9549 N· m
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D 轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作
M e 2 M e 3 4774.5 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值.
由平衡方程
Me2 B Me2
Me3 2 C 2 Me3 T 2 C
Me1
Me4 D
Mx 0
M e 2 M e 3 T2 0
A x
T2 M e 2 M e 3 9549N m
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 扭转内力的计算 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件 §3-5 圆轴在扭转时的变形 ·刚度条件 §3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-7 非圆截面杆的扭转 §3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
二、受力特点
杆件的两端作用两个大小相等、方向相
P—轴传递的功率(kW)
二、内力的计算
1.求内力 截面法 在n-n 截面处假想将轴截开， 取左侧为研究对象 Me Me
Mx 0
T Me
Me T
2.扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负. 3.扭矩图 用平行于杆轴线的坐标 x 表示
Me
n
Me • x
应力的分布规律
材料力学第三章 扭转 讲课用
dy
三、剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear)
由图所示的几何关系得到
Me
Me
r l
式中, r 为薄壁圆筒的外半经.
l
薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时, 扭 转角与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
T 2 πr 2
的线性关系.
r l
T
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间
G
该式称为材料的剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear) G –剪切弹性模量 O O
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ 对于各向同性材料,可以证明: E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
τ
dx
τ
x
z
3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
T
d1
16
3
T
D3
16
(1 0.5 )
2
4
A空 A实
D
4
0.8
D 得： 1022 . d1 1.192
2
(1 0.5 )
0.8
2
d1
4
0.783
0.512
例6：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心 圆管，承受扭矩T=180 kN·m 。试求管中的最大 切应力，使用： (1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。
材料力学 电子课件 第三章 扭转
扭转实验技术
探索弹性复合材料的扭转试验、微型扭转试验，以及反复扭转试验。
扭转的应用
展示扭转在应用领域和对象中的应用，以及其在设计、制造、研究和开发中的应用。
扭转的挑战和前景
探讨扭转对材料力学学科的挑战和发展，未来的前景和应用趋势，以及其对 材料科学的贡献和价值。
材料力学 电子课件 第三章 扭 转
扭转概述
定义和描述扭转，扭矩和角位移的关系，扭转变形和应变的特点。
立方体的扭转
探讨立方体的基本几何形状、方程，扭转实验和几何形状、方程，扭转实验和现象，以及圆柱的切应力和张应力。
圆棒的扭转
研究圆棒的几何形状、方程，扭转实验和现象，以及圆棒的切应力和张应力。
第3章 扭转《材料力学》教学课件
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第3章 扭转
T M e A rd A 0 2 πrr td 2 π r2 t
由此得到，薄壁圆筒扭转的切应力公式为
Me 2πr 2t
(3-4)
3.3 薄壁圆筒的扭转
图3-8
3.3 薄壁圆筒的扭转
【例1-3】
3.3 薄壁圆筒的扭转
3.3.2 切应力与互等定理
用相邻的两个横截 面和直径截面取出边长分 别为dx、d y和厚度为d z 的微小单元体，如图所示。
3.4 圆轴扭转时的应力
在图3-12(a)中，用相邻横截面m1—m1和n1—n1从轴中 截取长为dx的微段。设两截面间的相对扭转角为dφ，则根据
平面假设，横截面n1—n1像刚性平面一样，相对于m1—m1绕 轴线旋转角度dφ，半径O2C转至O2C′，如图3-12(b)所示。于
是，表面小矩形ABCD的CD边相对于AB边发生微小错动，错
(1)圆周线的形状、大小、间距不变，两圆周线发生相对 转动。
(2)各纵向线仍然平行，但都倾斜了一个微小角度，所有 微小矩形均变为同样大小的平行四边形，如图3-8（b）所示。
3.3 薄壁圆筒的扭转
这些现象表明，当薄壁圆筒发生扭转时，横截面上没 有正应力σ，只有切应力τ。由于筒壁很薄，可认为切应力 沿壁厚均匀分布。又因同一圆周上各点的情况相同，故应力 也相同，如图3-8（c)所示。横截面上所有切应力τ组成力系 的合效果为该截面的扭矩T，即
3.3 薄壁圆筒的扭转
3.3.3 切应变与剪切胡克定律
纯剪切单元体的相对两侧面将 发生微小的相互错动［见图3-10］， 使原来互相垂直的两棱边的夹角改 变了一个微量γ，即 切应变 。从图 3-8(b)可以看出，γ就是表面纵向线 变形后的倾角。若φ为圆筒两端的相 对扭转角，l为圆筒长度，则切应变 的计算公式为
材料力学课件扭转
用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。
但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，
还要注意加上成本和构造上的要求等因素。
§3-5 扭转变形 扭转刚度计算
Ⅰ. 扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭
转角(相对角位移) 来度量。
Me
AD BC
Me
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单 位长度扭转角)为 d T 可知，杆的相距 l
Wp1
πd13 16
,
Wp2
πD23 16
14
1,max
T1 Wp1
Me Wp1
16Me πd13
2,max
T2 Wp2
Me Wp2
16Me
πD23 1 4
2. 求D2/d1和二轴重量之比。
由1,max=2,max，并将 ＝0.8代入得
D2 d1
3
1 1 0.84
1.194
因为两轴的长度l 和材料密度 分别相同，所
斜截面 ef (如图)上的应力。
分离体上作用力的平衡方程为
F 0,
d A d Acos sin d Asin cos 0
F 0,
d A d Acos cos d Asin sin 0
利用 = '，经整理得
sin 2 , cos 2
sin 2 , cos 2
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得
r0 即
材力讲稿第3章扭转1-2
内外径之比
Wp =
Ip D/2
=
π
16
D 3 (1 − α 4 )
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形
Tρ τ ρ = Gρθ = Ip
T
由两种不同材料组成的圆轴， 讨论 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材 料的剪切弹性模量分别为G 料的剪切弹性模量分别为 1和G2，且G1＝2G2。圆轴 尺寸如图中所示。 尺寸如图中所示。 圆轴受扭时， 外层之间无相对滑动。 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于 横截面上的切应力分布，有图中( 、 横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、(D) 、 、 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
T
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 观察到的变形现象 （1）A ） B C D A B C ∴横截面上存在切应力！ 横截面上存在切应力！ D
（2）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相 圆周线大小、位置、形状、间距保持不变， 对转动。 对转动。 ∴横截面上不存在正应力！ 横截面上不存在正应力！
薄壁圆轴的扭转 扭 转/薄壁圆轴的扭转
薄壁圆轴两端截面之间相对 转动的角位移， 转动的角位移，称为 相对扭
m
A B
γ
D C
m
ϕ
转角 ，用ϕ 表示。 表示。
薄壁圆轴表面上每个格子的直 角的改变量，称为 切应变。 角的改变量， 用 γ 表示 。
(c)
A D
横截面上没有正应力，只有切应力。 横截面上没有正应力，只有切应力。 且横截面上的切应力的方向是沿着 B 圆周的切线方向， 圆周的切线方向，并设沿壁厚方向 是均匀分布的(壁厚较小 。 是均匀分布的 壁厚较小)。 壁厚较小
材料力学第3章 扭转
第3章 扭转
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
材料力学刘鸿文第六版最新课件第三章 扭转3.1-3.3
T T
318N.m 795N.m
x
x
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵 向平行线和圆周线划分； 两端施以大小相等方向相 反一对力偶矩。
观察到：
圆周线大小形状不变， 各圆周线间距离不变；纵 向平行线仍然保持为直线 且相互平行，只是倾斜了 一个角度。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
P M e 9 5 5 0 (N m) n M 如果输出功率的单位是马力
第三章
扭 转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切
§3.4 圆轴扭转时的应力
§3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 圆非圆截面扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例
b
1 1 dW (dzdy)( dx ) dV 2 2
由剪切胡克定律
G
´
c z dx d
x dz 应变能密度：
dW 1 1 2 1 2 v G dV 2 2 2 G
例题
传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,三 个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的 扭矩图.
318N.m 795N.m
x
x
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵 向平行线和圆周线划分； 两端施以大小相等方向相 反一对力偶矩。
观察到：
圆周线大小形状不变， 各圆周线间距离不变；纵 向平行线仍然保持为直线 且相互平行，只是倾斜了 一个角度。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
P M e 9 5 5 0 (N m) n M 如果输出功率的单位是马力
第三章
扭 转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切
§3.4 圆轴扭转时的应力
§3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 圆非圆截面扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例
b
1 1 dW (dzdy)( dx ) dV 2 2
由剪切胡克定律
G
´
c z dx d
x dz 应变能密度：
dW 1 1 2 1 2 v G dV 2 2 2 G
例题
传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,三 个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的 扭矩图.
扭转 课1
Me
主动力偶
阻抗力偶
§3-1扭转的概念和工程实例
汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
§3-1扭转的概念和工程实例
§3-1扭转的概念和工程实例
§3-1扭转的概念和工程实例
二、概念:
扭转的受力特点和变形特点
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
[ ]
s
ns
屈 服 极 限
强 度 极 限
对于铸铁，整个扭转过程，都没有明显 的线弹性阶段和塑性阶段，最后发生脆 性断裂。其强度极限用τb表示。
[ ]
b
nb
强 度 极 限
谢
谢 ！
练习题
例：画轴力图与扭矩图(m：单位长度的力偶矩， q：单位长度 的轴力)。
M 3ml
m
A B
C
D
q
表明：
横截面上无正应力，只有切应力； （为什么？） 切应力方向垂直半径或与圆周相切. （为什么？）
圆周各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等，近似的认 为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。
§3-3薄壁圆筒的扭转—纯剪切
横截面上的切应力和外力扭矩构成平衡力系：
2 R0d R0 m T
§3-3薄壁圆筒的扭转—纯剪切
二、剪应力互等定理
dz dy z
y
O
dx
x
单元体转动平衡 SMz = 0 dxdzdy dydzdx = 0 = 剪应力互等定理
§3-3薄壁圆筒的扭转—纯剪切
在相互垂直的两个平面上的剪应力的数值大小相 等，方向：同时指向（同时背离）两截面的交 线。——剪应力互等定理
材料力学第3章扭转部分课件详解
Me
Me
扭转(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算
(Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
已知:轴转速－n 转/分钟；输出功率－P 千瓦，计算：力偶矩Me
电机每秒输入功：W P1000(N.m)
E
O1 ρ
a
的一个角度.
ρ
b
D
G
T
d
D' G' O2
b
dx
经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度
r ,也就是横截面半径上任一点E处的切应变
r
tan r
GG' EG
rd
dx
扭转(Torsion)
二、物理关系(Physical Relationship)
由剪切胡克定律
G
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
扭转(Torsion)
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
解: 计算外力偶矩
A
D
Me
9
549
p kw
n r / min
Me1 15915 N m
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
扭转(Torsion)
计算 CA 段内任横一截面 2-2
dy
τ
τx
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶. z
dx
其矩为( dy dz) dx
扭转(Torsion)
《材料力学》课件——第三章 扭转
F
Me
F
M'e
汽车的转向操纵杆
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
A
B
B'
Me
扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于 直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将 绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线， 而轴线仍维持直线。
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
M2
M3
M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
M2
M3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78
(kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37
(kN m)
n D
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 , C
T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
M2 1 M2
A1 M2
M3
M1
2
3M4
n B 2 C 3D
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3
A
(4.78 4.78)
9.56kN m
T3-M4=0
T3=M4=6.37KN·m
T1
T2
T3
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
代入上式得：
G g
第三章扭转轴(1-4节)
§3-1 扭转的概念和实例
工 程 实 例
工 程 实 例
攻丝丝锥
工 程 实 例
对称扳手拧紧镙帽
一、扭转的概念
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线 的平面内作用一对大小相 等，方向相反的外力偶。
2．变形特征：横截面形状大小未变，只 是绕轴线发生相对转动。
轴：以扭转为主要变形的构件称为轴
Me
Me
计算简图：
二轴长度相同。
求: 实心轴的直径 d1和空心轴的外直 径D2；确定二轴的 重量之比。
计算外力偶矩
P＝7.5kW, n=100r/min，最大切应力不
得超过40MPa, = 0.5。二轴长度相同。
z 纯剪切单元体
dy dz
y
τ
τx
dx
单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，则称为 纯剪切单元体.
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
A
D
B
C
dx δ
四、剪切胡克定律
由图所示的几何关系得到
Me
tan r
五、剪切应变能
若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的
a
´ b
单元体，由于变形的相对性，可 设单元体左侧面不动，右侧面上
dy
的剪力由零逐渐增至
´
dydz
c
右侧面因错动沿切应力向下错动的距离 z
d t
dx
dx
因此剪力总共完成的功为
dW 1dydz ddx 0
单位体积内的剪切变形能密度
Me
Me
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
工 程 实 例
工 程 实 例
攻丝丝锥
工 程 实 例
对称扳手拧紧镙帽
一、扭转的概念
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线 的平面内作用一对大小相 等，方向相反的外力偶。
2．变形特征：横截面形状大小未变，只 是绕轴线发生相对转动。
轴：以扭转为主要变形的构件称为轴
Me
Me
计算简图：
二轴长度相同。
求: 实心轴的直径 d1和空心轴的外直 径D2；确定二轴的 重量之比。
计算外力偶矩
P＝7.5kW, n=100r/min，最大切应力不
得超过40MPa, = 0.5。二轴长度相同。
z 纯剪切单元体
dy dz
y
τ
τx
dx
单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，则称为 纯剪切单元体.
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
A
D
B
C
dx δ
四、剪切胡克定律
由图所示的几何关系得到
Me
tan r
五、剪切应变能
若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的
a
´ b
单元体，由于变形的相对性，可 设单元体左侧面不动，右侧面上
dy
的剪力由零逐渐增至
´
dydz
c
右侧面因错动沿切应力向下错动的距离 z
d t
dx
dx
因此剪力总共完成的功为
dW 1dydz ddx 0
单位体积内的剪切变形能密度
Me
Me
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
南航材料力学第7讲(第3章 扭转)讲课稿
有效挤压面面积等于实际挤压面面积沿总挤压 力作用线方向的投影。
5
自我评价：2008年材料力学A卷考题
6
§3.1 扭转的概念和实例
扭转工程实例
自行车，中轴受扭转
7
扭转工程实例
8
扭转工程实例
传动轴
9
扭转工程实例
10
扭转工程实例 扭转工程实例多多 机械传动有大量受扭转构件
11
受力特点
受扭转构件的受力特点
18
例 3.1
已知： 主动轮A的输入功率PA＝36kW，从动轮
B、C、D输出功率分别为PB＝PC＝11kW，PD
＝14kW，转速n＝300 r/min。 求：扭矩图。 解：1) 由功率计算力偶矩
19
解：1) 由功率计算力偶矩
MeA
9549
PA n
9549
36 300
1146Nm
MeB MeC350Nm, M eD 446Nm
2) 求各段的扭矩
1-1 截面，取左段
T1 MeB 350Nm
20
2) 求各段的扭矩 1-1 截面，取左段
T1 MeB350Nm
2-2 截面，取左段
T2(MeBMeC) 700Nm
21
2-2 截面，取左段
T2(MeBMeC) 700Nm
3-3 截面，取右段
T3 MeD 446Nm
画出扭矩图
22
若功率的单位为马力时，则公式为
2 扭矩和M扭e矩Nm 图M 7e0/2N4m nPr/H m 7Pi0n24n/Pr//H mPin
求内力的方法 截面法
16
2 扭矩和扭矩图 求内力的方法
截面法
T 扭矩
大学课程材料力学第三章_扭转(上)课件
一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
电机
联轴器
A
B
P M
角速度 2 n 60
n : 转速 ( r m i n ) 功率：K W 力偶矩：N . m
P 103 M 2 n 60
P
M 9549 kW
N m
n
r / min
6
材料力学 第三章 扭转
16
材料力学 第三章 扭转
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？
17
材料力学 第三章 扭转
例：如图已知d面上切应力大小和方向，求a, b, c面上的切应 力，并标明方向。
切应力互等定理：在微体互垂截面上，垂直于交线的切应 力数值相等，方向均指向或离开交线。
a b
c
d
450 450
2 2
2 2
2
d
2
2
2
b d
2 2
2
2d
2 2 2
2
d
2 2
2 2
18T1 ( x)ຫໍສະໝຸດ xT mlO
2ml
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
D
AB段： T 1 x m x
BC段： T 2 m l
CD段： T 3 2 m l
画扭矩图
x
•以右段作为研究对象时，不要忘 记约束反力!
9
材料力学 第三章 扭转
扭矩图对应的轴力图
m
A
M 3ml
切应力 与切应变 成正比：
G
切变模量：G 钢：G=75～80GPa 铝：G=26～30GPa
各向同性材料：G=E/2(1+)
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
电机
联轴器
A
B
P M
角速度 2 n 60
n : 转速 ( r m i n ) 功率：K W 力偶矩：N . m
P 103 M 2 n 60
P
M 9549 kW
N m
n
r / min
6
材料力学 第三章 扭转
16
材料力学 第三章 扭转
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？
17
材料力学 第三章 扭转
例：如图已知d面上切应力大小和方向，求a, b, c面上的切应 力，并标明方向。
切应力互等定理：在微体互垂截面上，垂直于交线的切应 力数值相等，方向均指向或离开交线。
a b
c
d
450 450
2 2
2 2
2
d
2
2
2
b d
2 2
2
2d
2 2 2
2
d
2 2
2 2
18T1 ( x)ຫໍສະໝຸດ xT mlO
2ml
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
D
AB段： T 1 x m x
BC段： T 2 m l
CD段： T 3 2 m l
画扭矩图
x
•以右段作为研究对象时，不要忘 记约束反力!
9
材料力学 第三章 扭转
扭矩图对应的轴力图
m
A
M 3ml
切应力 与切应变 成正比：
G
切变模量：G 钢：G=75～80GPa 铝：G=26～30GPa
各向同性材料：G=E/2(1+)
材料力学课件三章扭转
r
令
Wp =
τmax
Ip R
称为抗扭截面 系数(模量 模量)， 系数 模量 ， 单位： 单位：mm3。
Nm mm
3
MT = W p
=10 MPa
3
五、Ip和Wp公式
π D4
32
Ip =
W = p
π D3
16
Ip =
π D4
32
1−α 4 ) (
Wp =
π D3
16
1−α4 ) (
d α= D
应力分布
GIp
供 参 考
rad=
N·m·mm GPa·mm4
二、刚度条件
单位长度 扭转角
dϕ MT = θ= （ rad/m ） d x GIp
度/米（°/m） 米 ）
dϕ MT 180 θ= = ⋅ ≤ [θ ] d x GIp π
[θ] 值 一 般 为 精密机器的轴 一般传动轴 较低精度的轴
( 0.25～0.5)°/m ～ ° (0.5 ～1.0)°/m ° (1.0 ～2.5)°/m °
横截面上各点处， 横截面上各点处，只 产生垂直于半径的均匀分 布的切应力τ ，沿周向大 小不变， 小不变，方向与该截面的 扭矩方向一致。 扭矩方向一致 横截面上分布力的合成为扭矩
τ
τ
∫
∴ ∴
A
τ ⋅ dA ⋅ r0 = M T
τ ⋅ r0 ⋅ ∫ AdA = τ ⋅ r0 ⋅ 2π r0 ⋅ t = M T
例:
功率为200 1200转 功率为200kW，转速为1200转/分钟的电动机转子轴如 200 ，转速为1200
试校核其强度。 图，许用切应力[τ]=30 Pa, 试校核其强度。 许用切应力[ =30M Me Me C D2=75 D1=70 解：①求扭矩
令
Wp =
τmax
Ip R
称为抗扭截面 系数(模量 模量)， 系数 模量 ， 单位： 单位：mm3。
Nm mm
3
MT = W p
=10 MPa
3
五、Ip和Wp公式
π D4
32
Ip =
W = p
π D3
16
Ip =
π D4
32
1−α 4 ) (
Wp =
π D3
16
1−α4 ) (
d α= D
应力分布
GIp
供 参 考
rad=
N·m·mm GPa·mm4
二、刚度条件
单位长度 扭转角
dϕ MT = θ= （ rad/m ） d x GIp
度/米（°/m） 米 ）
dϕ MT 180 θ= = ⋅ ≤ [θ ] d x GIp π
[θ] 值 一 般 为 精密机器的轴 一般传动轴 较低精度的轴
( 0.25～0.5)°/m ～ ° (0.5 ～1.0)°/m ° (1.0 ～2.5)°/m °
横截面上各点处， 横截面上各点处，只 产生垂直于半径的均匀分 布的切应力τ ，沿周向大 小不变， 小不变，方向与该截面的 扭矩方向一致。 扭矩方向一致 横截面上分布力的合成为扭矩
τ
τ
∫
∴ ∴
A
τ ⋅ dA ⋅ r0 = M T
τ ⋅ r0 ⋅ ∫ AdA = τ ⋅ r0 ⋅ 2π r0 ⋅ t = M T
例:
功率为200 1200转 功率为200kW，转速为1200转/分钟的电动机转子轴如 200 ，转速为1200
试校核其强度。 图，许用切应力[τ]=30 Pa, 试校核其强度。 许用切应力[ =30M Me Me C D2=75 D1=70 解：①求扭矩
chap3-扭转 PPT课件
由
T
Ip
知：当
R
d 2
,
max
max
T
d 2
Ip
T Ip
d 2
T Wt
(令W I p
d 2
)
max
T Wt
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面：Wt Ip R D3 16 0.2D3 对于空心圆截面：Wt Ip R D3(14) 16 0.2D3(1-4)
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
，沿周向大小不变，方向与
该截面的扭矩方向一致。
4 ． 与 的关系：
´
a
b
dy
´
c
d
dx
L R
RL
材料力学 第三章 扭 转
5 ．薄壁圆筒剪应力 大小：
A dA r T
r AdA r 2 r T
式中， [l]代表许用拉应力。
轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切 状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。
材料力学 第三章
强度计算三方面：
扭转
① ②
校核强度：
max
Tm a x Wt设计截面尺寸： NhomakorabeaWt
Tm a x
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
电机每秒输入功： W Pk 1000(N.m)
外力偶作功完成： W
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微体既无轴向正应变， 也无径向切应变
薄壁圆筒扭转
薄壁圆筒扭转时的应力
假设：切应力沿壁厚均匀分布
T
2π
0R0dR0d
2πR02d
2
T πR02δ
适用范围：适用于所有匀质薄
壁杆，包括弹性、非弹性、线
性与非线性等情况
精度：线弹性情况下,当d R0/10 时,误
差 4.53%
薄壁圆筒扭转
切应力互等定理
薄壁圆筒扭转时的应变
L
A
C
C′
B
D
D′
: 截面扭转角
剪切应变(直角改变量) :
tan CC'
AC
R0
L
扭转剪切应变
薄壁圆筒扭转
L
T
2
R
2 0
d
R 0 L
关系? 实验!
m
剪切胡克定律:
= G
G
Gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ切变模量
E, G, 关系:
G E
2 (1 )
在剪切比例极限内
薄壁圆筒扭转
剪切应变能
T = Me
扭转的概念和内力计算 扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
扭转的概念和内力计算
试分析轴的扭矩 （m－轴单位长度内的扭力偶矩）
MAml TMAmx Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图 Tmax ml
扭转的概念和内力计算
左侧固定，右侧面 做的功:
dW 1dydzddx 0
dW和单元体内储存的应变能相等:
dV=dW01dydzddx
( ) 1d dV 0
=v 应变能密度
= G
v
1 2
2 2G
d
d
薄壁圆筒扭转
例 图示板件, 边宽为a, 已知 Ds = a/1000, G = 80 GPa,
试求 板边切应力 = ?
面大都是圆形的。本章主要介绍圆轴扭转。
扭转的概念和内力计算
F F
扭转的概念和内力计算
M
扭转的概念和内力计算
扭转的概念和内力计算 扭转的内力计算
1.外力偶矩
直接计算
扭转的概念和内力计算
按输入功率和转速计算
已知： 1马力=735.5W 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
谢谢！
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
y dx
dz
dy O
x
z
M z 0 , 'd x d z d y d y d z d x 0
'
在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相 等，方向则均指向或离开该交线－切应力互等定理
微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态－纯剪切 截面上存在正应力时，互等定理仍成立？
薄壁圆筒扭转
例：传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率 PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩
由公式 Me9549P/n
扭转的概念和内力计算
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
T
637Nm
+
x
318Nm 795Nm
6
5
6
2
3
2
5
6
3
2
3
5
6
§2 薄壁圆筒扭转
薄壁圆筒扭转试验 薄壁圆筒扭转时的应力 薄壁圆筒扭转时的应变
薄壁圆筒扭转
薄壁圆筒扭转试验
R0 ：平均半径
d ：壁厚 (d R0 /10)
薄壁圆筒扭转
• 各圆周线的大小、形状与间距均不变,仅绕轴线作相对转动 • 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度 • 方格错动为菱形
解：
tanΔas11000
为一很小的量，所以
ta n1.010 3rad
G
(8 0 19P 0)a 1 (.01 3 0 ra )d 80MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
薄壁圆筒扭转
作业： 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为d，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
扭转的概念和内力计算
MB
MC
MD
MA
B
C
D
A
T3
MA
T 3M A1432Nm
Tmax1432Nm
T
传动轴上主、从动轮安
装的位置不同，轴所承受 318N.m 的最大扭矩也不同。
795N.m
A
x
1432N.m
扭转的概念和内力计算 分析与讨论
从轴的扭转强度考虑，哪一种布置最合理？（单位：kNm）
3
5
2
功率 P dW dt
M eddtM eM e2n
P (K )W 10 P (N 0 m /s 0 ) P
M e 2n (r/m i2 n n (r )/s )60 95 n (N 4 m )9
P－kW，n－转／分
Me 702P n4(Nm) P－马力，n－转／分
扭转的概念和内力计算
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
第3章扭转1
扭转的概念和内力计算 扭转受力特点及变形特点:
m
m
杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂 直于杆件轴线的力偶作用
杆件轴线保持不变，但杆件的横截面绕轴线 产生相对转动
扭转的概念和内力计算
φ
扭转角()：截面间绕轴线转动的相对角位移
扭力偶矩：使杆件产生扭转变形的外力偶，称为 扭力偶。
轴： 以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。 受扭转变形的杆件通常为轴类零件，其横截
薄壁圆筒扭转
薄壁圆筒扭转时的应力
假设：切应力沿壁厚均匀分布
T
2π
0R0dR0d
2πR02d
2
T πR02δ
适用范围：适用于所有匀质薄
壁杆，包括弹性、非弹性、线
性与非线性等情况
精度：线弹性情况下,当d R0/10 时,误
差 4.53%
薄壁圆筒扭转
切应力互等定理
薄壁圆筒扭转时的应变
L
A
C
C′
B
D
D′
: 截面扭转角
剪切应变(直角改变量) :
tan CC'
AC
R0
L
扭转剪切应变
薄壁圆筒扭转
L
T
2
R
2 0
d
R 0 L
关系? 实验!
m
剪切胡克定律:
= G
G
Gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ切变模量
E, G, 关系:
G E
2 (1 )
在剪切比例极限内
薄壁圆筒扭转
剪切应变能
T = Me
扭转的概念和内力计算 扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
扭转的概念和内力计算
试分析轴的扭矩 （m－轴单位长度内的扭力偶矩）
MAml TMAmx Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图 Tmax ml
扭转的概念和内力计算
左侧固定，右侧面 做的功:
dW 1dydzddx 0
dW和单元体内储存的应变能相等:
dV=dW01dydzddx
( ) 1d dV 0
=v 应变能密度
= G
v
1 2
2 2G
d
d
薄壁圆筒扭转
例 图示板件, 边宽为a, 已知 Ds = a/1000, G = 80 GPa,
试求 板边切应力 = ?
面大都是圆形的。本章主要介绍圆轴扭转。
扭转的概念和内力计算
F F
扭转的概念和内力计算
M
扭转的概念和内力计算
扭转的概念和内力计算 扭转的内力计算
1.外力偶矩
直接计算
扭转的概念和内力计算
按输入功率和转速计算
已知： 1马力=735.5W 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
谢谢！
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y dx
dz
dy O
x
z
M z 0 , 'd x d z d y d y d z d x 0
'
在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相 等，方向则均指向或离开该交线－切应力互等定理
微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态－纯剪切 截面上存在正应力时，互等定理仍成立？
薄壁圆筒扭转
例：传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率 PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩
由公式 Me9549P/n
扭转的概念和内力计算
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
T
637Nm
+
x
318Nm 795Nm
6
5
6
2
3
2
5
6
3
2
3
5
6
§2 薄壁圆筒扭转
薄壁圆筒扭转试验 薄壁圆筒扭转时的应力 薄壁圆筒扭转时的应变
薄壁圆筒扭转
薄壁圆筒扭转试验
R0 ：平均半径
d ：壁厚 (d R0 /10)
薄壁圆筒扭转
• 各圆周线的大小、形状与间距均不变,仅绕轴线作相对转动 • 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度 • 方格错动为菱形
解：
tanΔas11000
为一很小的量，所以
ta n1.010 3rad
G
(8 0 19P 0)a 1 (.01 3 0 ra )d 80MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
薄壁圆筒扭转
作业： 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为d，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
扭转的概念和内力计算
MB
MC
MD
MA
B
C
D
A
T3
MA
T 3M A1432Nm
Tmax1432Nm
T
传动轴上主、从动轮安
装的位置不同，轴所承受 318N.m 的最大扭矩也不同。
795N.m
A
x
1432N.m
扭转的概念和内力计算 分析与讨论
从轴的扭转强度考虑，哪一种布置最合理？（单位：kNm）
3
5
2
功率 P dW dt
M eddtM eM e2n
P (K )W 10 P (N 0 m /s 0 ) P
M e 2n (r/m i2 n n (r )/s )60 95 n (N 4 m )9
P－kW，n－转／分
Me 702P n4(Nm) P－马力，n－转／分
扭转的概念和内力计算
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
第3章扭转1
扭转的概念和内力计算 扭转受力特点及变形特点:
m
m
杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂 直于杆件轴线的力偶作用
杆件轴线保持不变，但杆件的横截面绕轴线 产生相对转动
扭转的概念和内力计算
φ
扭转角()：截面间绕轴线转动的相对角位移
扭力偶矩：使杆件产生扭转变形的外力偶，称为 扭力偶。
轴： 以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。 受扭转变形的杆件通常为轴类零件，其横截