8第八章 拉丁方设计.
拉丁方设计
拉丁方设计--——--—--——-—----————--——-—--———-—--——---———--------—-———-——-———-“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制,使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中,每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小,试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计.这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出,每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
第八章 单因素拉丁方设计
为2×2阶拉丁方，2×2阶拉丁方只有这两 个。 A B C B C A C A B 为3×3阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排 列的拉丁方，叫标准型拉丁方。3×3阶标准型 拉丁方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉 丁方有4种，5×5阶标准型拉丁方有56种。若 变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。 在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁 方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机 改变其行列顺序后再使用。
第八章 单因素拉丁方设计
第一节 拉丁方实验设计的基本原理
一、 拉丁方实验设计
拉丁方设计是从横行和直列两个方向进行双 重局部控制，使得横行和直列两向皆成区组的设 计。在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一 个完全区组，而每一处理在每一行或每一列都只 出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，实验处 理数=横行区组数=直列区组数=实验处理的重复 数。即拉丁方是一个含有n行、n列、把n个字母 分配给方格的管理方案，其中每个字母在每行、 每列中各出现一次，处理数等于行数和列数，且 实行双重局部控制的设计。
3) 无关变量（纵列）的总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
第二步：平方和及自由度的计算
SS总变异 = SS处理间 +SS处理内
= SS处理间 +（SSb+ SSc+SSe）
d f总变异 = d f处理间 + d f处理内
= d f A +（d f B + d f C +d fe）
F0.01(3 , 6)=9.78
方差分析结论表明：
实验中的自变量——啤酒品牌的效应在统 计上是极显著的，表明不同品牌的啤酒对于消 费者的确存在不同的差异； 实验中的无关变量——不同年龄段饮用者 区组B的效应统计上也是极显著的，说明来自 四个不同的人群对啤酒的口感和喜好有极其显 著的差异； 实验中的另一无关变量即饮用顺序的效应 统计上是不显著的，表明饮用顺序的不同并未 对实验的结果产生影响。
拉丁方课件
4、举例练习
拉丁方设计常被用于平衡实验安排的 时空顺序，也可被用于平衡机体变量 的影响。我们再以下面这个例子对拉 丁方做进一步说明。
（1）问题模式：
• 为了研究生字密度对学生阅读理解的 影响，研究者同时考虑到试验时间和 不同班级可能对阅读理解具有明显影 响，为了将这两个因素的影响从变异 的残差项中分离出去，研究者采用了 拉丁方实验设计。
（2）拉丁方格的组成：
• 拉丁方格是由实验中明显存在的两个额 外变量即实验时间和班级组成，其中班 级分为四档：b1,b2,b3,b4。从四个时间 段的被试中筛选出四个班级的被试各2人， 这样就有共计32名被试参加这一实验。 根据组成拉丁方格，拉丁方格中的每一 个格子中可以有时间段、班级相同的两 名被试，如表3所示。
②事先假设处理水平与无关变量水平间 没有交互作用。如果这个假设不能满足， 对实验中的一个或多个效应的检验可能有偏差
③随机分配处理水平给P2个方格单元 每个处理水平仅在每行每列中出现一次。 每个方格单元中分配一个或多个被试 因此总共需要的被试数量N=np2(n≥1)
拉 丁 方 实 验 设 计
随二 机、 区 组 实 验 设 计
表1 四种实验处理的随机区组实验设计
区组 A1 A2 A3 A4
星期一
星期二
星期三 星期四
3、拉丁方实验设计
• 现在我们进一步设想： 假如，在每天的实验中，一次只能测试一人， 每天参加实验的四名被试只能分别在 下午2～3点、3～4点、4～5点和5～6点 的四个时段接受测试，而测试时段不同也 可能会造成结果变化。这样一来， 每一种实验处理条件安排的时段就 也要取得平衡才行，你不能每天都 在2点钟安排所有被试接受A1处理条件， 或3点钟接受A1处理条件。
拉丁方设计
拉丁方设计-----------------------------------------------------------------“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
第八章 单因素拉丁方设计
第三节 拉丁方设计的优缺点 （一）拉丁方设计的主要优点
1、精确性高
拉丁方设计在不增加实验单位的情况下，
比随机单位组设计多设置了一个区组因素，能
将横行和直列两个单位组间的变异从实验误差
中分离出来，因而实验误差比随机区组设计小，
实验的精确性比随机区组设计高。 2、实验结果的分析简便
（二）拉丁方设计的主要缺点
b4
∑
a2
9 48
a3
15 44
a4
19 48
a1
12 52
a1 35
a2 31
a3 56
a4 70
第一步：作统计假设
1) 处理水平总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
2) 无关变量（横行）的总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
五、实验工具
拉丁方格 标准型拉丁方 拉丁方块随机化
（一） 拉丁方 以 n 个 拉 丁 字 母 A， B， C……，为元素，列出一个 n阶方阵，若这 n个 拉丁方字母在这 n 阶方阵的每一行、 每一列都 出现、且只出现一次，则称该 n阶方阵 为n×n 阶 拉 丁方。
例如： A B B A B A A B
3) 无关变量（纵列）的总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
第二步：平方和及自由度的计算
SS总变异 = SS处理间 +SS处理内
= SS处理间 +（SSb+ SSc+ d f处理内
= d f A +（d f B + d f C +d fe）
在选定拉丁方之后，若是非标准型，则可 直接由拉丁方中的字母获得实验设计。若是标 准型拉丁方，还应按下列要求对直列、横行和 实验处理的顺序进行随机排列。
8第八章 拉丁方设计
产 C1 蛋 C2 期 C3
蛋鸡组 B1 B2 B3 A1 A2 A3 A2 A3 A1 A3 A1 A2 蛋
左边的拉丁方表是一个标 准拉丁方，将其进行行变 换和列变换，得到普通方 （这里的变换仅是表内的 A因子，B和C是不动的）
得：
B1 产 C1 A2： 6.8 蛋 C2 A1： 7.9 期 C3 A3：11.2 纵列和： 25.9
各自由度为： dfT＝3×3－1＝8 dfA＝dfB＝dfC＝dfe＝3－1＝2 列方差分析表：
方差分析表
course
饲料间 蛋鸡组 产蛋阶段 误差项 T
SS
22.34 1.70 1.42 1.06 26.52
df
2 2 2 2 8
MS
11.17 0.85 0.71 0.53
F
21.08** 1.60 1.34
A B C B C A C A B A B C D B A D C C D B A D C A B A B C D B D A C C A D B D C B A A B C D E B C D A D E E B A C E B D A C 5×5 E C D A B
3×3
4 ×4
上一页所显示的是几个标准拉丁方，在实际 使用中，标准方是不能使用的，必须经过 行随机变换和列随机变换化成普通方后才 能使用，如： 3×3 4×4 5×5
当然也可以是3个或以上的因子每一因子有多个水平进行组合但因子和水平太多将会使得拉丁方很庞大以至于无法进行正常的拉丁方试验上页k变异来源自由度处理间a因子e因子p生产周期c误差项e与回归分析的结合当所使用的拉丁方较大如k4而试验主因子a和指标又是定量的可将试验结果与因子a的水平结合起来建立一回归方程进行回归分析在进行回归分析时一般可不考虑b因子和c因子仅求出a因子各个水平的和根据试验结果的走向来进行回归分析回归分析既可以是简单回归分析又可以是多项式回归分析这需要根据具体情况来加以判断正交拉丁方试验设计当两个同阶的拉丁方迭合时一个拉丁方中的每一字母与另一拉丁方中的每一字母相遇且仅相遇一次这样的两个拉丁方称为互为正交如下面的两个拉丁方即为正交拉丁方
第八九章 拉丁方设计、裂区设计、正交设计教学内容与组织安排
教学内容与组织安排：第四节：拉丁方设计(latin square design)“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
一、拉丁方简介（一）拉丁方以n个拉丁字母A，B，C……，为元素，作一个n阶方阵，若这n个拉丁方字母在这n阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n阶方阵为n×n 阶拉丁方。
例如：A B B AB A A B为2×2阶拉丁方，2×2阶拉丁方只有这两个。
A B CB C AC A B为3×3阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。
3×3阶标准型拉丁方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉丁方有4种，5×5阶标准型拉丁方有56种。
若变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。
在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机改变其行列顺序后再使用。
（二）常用拉丁方在动物试验中，最常用的有3×3，4×4，5×5，6×6阶拉丁方。
下面列出部分标准型拉丁方，供进行拉丁方设计时选用。
其余拉丁方可查阅数理统计表及有关参考书。
3×3 4 × 4（1）（2）（3）（4）A B C A B C D A B C D A B C D A B C DB C CAABBCDADCDBACABBCDCDADABABCBCDDACADBCBABCDADCDABCBA5 × 5（1）（2）（3）（4）A B C D EBADECCEABDDCEABEDBCAABCDEBAECDCDBEADEABCECDABABCDEBAECDCEDBADCAEBEDBACABCDEBADECCDEBADEACBECBAD6 × 6ABCDEFBFDACECDEFABDCFEBAEABCFDFEABDC二、拉丁方设计方法在畜牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差，且试验动物的数量又较少，则常采用拉丁方设计。
《拉丁方设计》课件
稳定性：拉丁方设计 可以保证实验组和对 照组的稳定性，避免 实验结果受到实验组 稳定性的影响。
03
拉丁方设计的原理
拉丁方的构成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ素
拉丁方：一种数学结构，由n个元素组成，每个元素都有唯一的位置 拉丁方性质：每个元素在每行、每列、每个子方中只出现一次 拉丁方分类：根据元素排列方式，可以分为标准拉丁方、非标准拉丁方等 拉丁方应用：在密码学、组合数学、计算机科学等领域有广泛应用
拉丁方在实验设计中的作用
平衡性：拉丁方设计 可以平衡实验组和对 照组的数量，避免实 验结果受到实验组数 量的影响。
随机性：拉丁方设计 可以保证实验组和对 照组的随机性，避免 实验结果受到实验组 选择的影响。
重复性：拉丁方设计 可以保证实验组和对 照组的重复性，避免 实验结果受到实验组 重复次数的影响。
拉丁方在医学研究中的应用
临床试验设计：拉丁方设计可以 提高临床试验的效率和准确性
疾病诊断和治疗：拉丁方设计可 以用于疾病的诊断和治疗，提高 诊断和治疗的准确性
添加标题
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药物疗效评估：拉丁方设计可以 帮助评估药物的疗效和安全性
医学研究数据分析：拉丁方设计 可以用于医学研究数据的分析和 解释，提高研究结果的可靠性和 准确性
拉丁方的设计原则
拉丁方设计是基于拉丁字母的排列组合，通过改变字母的位置和顺序来形成不同的图案。
拉丁方设计的原则之一是保持图案的对称性和平衡性，使得图案看起来更加美观。
拉丁方设计的另一个原则是保持图案的连续性和流动性，使得图案看起来更加自然。
拉丁方设计的最后一个原则是保持图案的多样性和创新性，使得图案看起来更加有趣和 吸引人。
拉丁方的元素可以是数字、字母或其他符号，但通常用数字表示。
拉丁方设计
拉丁方的应用注意事项一：当实验的动物数量较少的时候二：当需要排除单位组因素所产生的系统误差对实验造成的影响的时候。
（在后面有详细的例子会对该问题就行阐述）。
三;主要是为了消除单位组内的实验单位之间的差异而对于拉丁方的定义是什么呢？如果有n个字母排列起来，将他们分成一个矩阵，这n个字母在n排和n列当中只能出现一次，我们称之为n阶方程为n×n阶拉丁方。
第一行第一列都是按照顺序来排列的拉丁方叫做基本拉丁方或标准拉丁方。
拉丁方实验的优点①精确度高:他比随即组多设置了一个单位组因素，因此横列和竖列两个单位组的变异则从实验误差当中分离了出来，误差小，而且精确度较高，在动物较少的情况下可以选择。
②实验结果的分析非常的方便③尤其是适合做大型动物或者成本比较高，数量较少的一些动物实验，因此反刍动物的实验用的比较多。
拉丁方实验设计可用于处理三因素的实验，行因素和列因素考虑在内，而不考虑其他的外来因素时所使用的方法。
拉丁方实验的缺点①因为在处理的过程当中，横列、竖列、实验处理数等都必须要相等，因此在处理数这一环节收到了比较大的影响，处理数多了工作量大，处理数少了影响检验的灵敏性。
因此此实验设计就缺乏灵活性，实验空间缺乏延展性，而且重复过多。
②注意是否有交互影响，例如做钙与磷对泌乳的影响时，他们都会对奶牛的泌乳量产生影响，但是还可能会产生交互影响，发挥1+1＞2的效果。
还有就是例如前一阶段做的奶牛的泌乳实验，用的某种微量元素或者添加剂，在做下一阶段实验时还要考虑到是否有残留效应。
为了研究夏季蛋鸭圈舍当中不同的温度对蛋鸭的生产性能的影响，我们将温度分为了A、B、C、D、E，5个，这5种温度分别在5个圈舍内起作用，对应的圈舍为1、2、3、4、5，由于鸭群和温度对于它的产蛋量都有非常大的影响，因此采用拉丁方实验设计，这样可以更好的消除这几组因素对于实验当中所产生的系统误差。
那么根据上面的一些内容以及定义我们在对鸭子进行实验的时候，有可能会遇到以下的一些情况。
拉丁方实验设计例子
拉丁方实验设计例子【篇一：拉丁方实验设计例子】一、拉丁广场2。
标准拉丁方3。
n阶拉丁方数4。
正交拉丁方5。
拉丁方在安排实验中的应用6。
几种解释7。
拉丁方视觉分析实验8。
拉丁方实验1的方差分析。
拉丁方1定义：使用列的平方矩阵，使每行和每列中的每个字母只能出现一次。
这样的方阵称为r阶拉丁方或RR拉丁方。
2.n阶拉丁方格二、标准拉丁方格1。
定义：方格的第一行和第一列按拉丁字母顺序排列。
44.标准拉丁方有四个biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao bi。
方法：每个拉丁方可以随机排列标准拉丁方的行号或列号，以获得满足要求2的其他拉丁方。
操作：1.选择一个标准的拉丁方，用行号或列号对其进行编号；2.通过不同的排列获得固定的行号和列号。
有n！物种3修复在第二步中获得的N！每个正方形的列号和第一行号由其他行（n-1）的不同排列生成！3阶和N阶的拉丁方数为4计算总的s（N-1）！K是标准拉丁方的数量。
示例：3=576个3阶和3:12（12）4阶拉丁方。
正交拉丁方各出现一次）4。
正交拉丁方定理：在NxN平方中，当n （>2）是素数或素数的幂时，有n-1个正交拉丁方。
特殊情况：当n=2时，没有n=3，当n-1=2，当n=4时，有n-1=3：当2n=5时，有n-1=4，当n=6时，没有：当n=7时，有n-1=4，当n-1=6和n=8时，n-1=7:23x3，4x4正交拉丁方系统3x4x4iiii12312341234112342312214324321323134124321343212143412 v.拉丁方在安排试验中的应用示例1：为了研究三种不同的ABC水稻品种对亩产量的影响，有必要安排“单因素三水平”试验，在相同精度下减少实验次数；在相同的测试次数下，可以提高结论的准确性。
生物统计-拉丁方设计
牛只
区 组 一
1 2 3 4 5
1 E30 D42 B35 A28 C40
泌 2 A32 C39 E36 D40 B38
乳 阶 3 B39 E28 D40 C39 A35
段 4 C39 B37 A26 E28 D43
5 D38 A27 C40 B37 E32
区 组 二 区 组 组 合
选用 5 头同一胎次且产犊日期相近的母牛， 考察 5 个泌乳阶段，每头牛在不同的泌乳阶 段饲喂不同配方的饲料
对试验结果作作三因素的方差分析。
例5只吸管内装有5头奶牛的血样，5名兽医对5份血样的 血色素进行测定，问：5名兽医的测定是否有差异？ 三因素：5位兽医是处理因素；5头奶牛和5只吸管分别是 两个区组。 将奶牛作为行区组，吸管作为列区组，5位兽医师编号为 1、 2、 3、 4、 5。
1AB C D E 4D EBAC BCEDA ABDCE DAC E B 2 B A E C D 行随机 3 C D A E B 列随机 3C DAE B 5EC D BA
问题：
有A、B、C三种饲料，实验材料取自三头母猪
所生的小猪，而每胎小猪的体重又有明显得差
异，分为重、中、轻三种。 因此，需要安排两个区组。
双向随机区组设计— 拉丁方设计 随机化完全区组设计的方法适用于存在一个干扰 因子的单因子试验，作双因素（干扰因子+实验因 子）的方差分析。
若存在两个干扰因子，可采用双向随机区组设计， 将试验单元从两个方向（横行和直列）划分区组， 每个区组组合中安排一个试验单元，每个试验单 元（根据拉丁方）随机地接受一种处理。
牛只 1 E30 D42 B35 A28 C40 泌 2 A32 C39 E36 D40 B38 乳 阶 3 B39 E28 D40 C39 A35 段 4 C39 B37 A26 E28 D43 5 D38 A27 C40 B37 E32
拉丁方设计-统计学
3. 4列对调
D C B A E A E D C B B A E D C
E D C B A
4.
随机分配处理因素(字母) 如读取5个两位随机数10，28，81，47，20， 则R=1，3，5，4，2
A B C D E 1 3 5 4 2 甲 丙 戊 丁 乙 按随机排列后的拉丁方的行、列、字母分别 安排家兔、部位和药物，实验方案如下:
拉丁方设计
(Latin-square design)
拉丁方设计与分析
一、基本概念
用 r 个拉丁字母排成 r 行 r 列的方阵，使每行每 列中每个字母都只能出现一次，这样的方阵叫r阶 拉丁方或r×r拉丁方。
A B C B C A C A B 3 阶或3 ×3 拉丁方
A B C D
B C D A
C D A B
如读取四个两位数的随机数，设为53，85，39，97， 13则R=3，4，2，5，1。可做如下变换： C D A B E D E B C A E A C D B A B D E C B C E A D C D A E B D E B A C A B D C E B C E D A E A C B D C B A E D
B0.77 A0.31
浓度小计
Ⅳ
D0.50 2.33
⑵ 0.030
⑶ 0.050 ⑷ 0.075
A0.32
D0.33 B0.47
D0.45
A0.31 C0.26
C0.17
B0.37 D0.17
B0.30
C0.37 A0.18
1.24
1.38 1.08
成分小计
平方和 瘤 株 瘤株小计
1.87
0.99 A 1.12
拉丁方设计
▪
Ｃ×Ｄ
Ｂ×Ｄ Ａ×Ｄ
2021/4/9
11
按正交表Ｌ８ (２７)安排试验，各处理的组合为
处理 编号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
A因素 B因素
１列 １ １ １ １ ２ ２ ２ ２
２列 １ １ ２ ２ １ １ ２ ２
３列 １ １ ２ ２ ２ ２ １ １
C因素
４列 １ ２ １ ２ １ ２ １ ２
５列 １ ２ １ ２ ２ １ ２ １
６列 １ ２ ２ １ １ ２ ２ １
D因素
７列 １ ２ ２ １ ２ １ １ ２
观察 指标
###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.#
8
选择正交表的几个原则
⑴、各实验因素的水平数最好相等。当ｍ＝２时，可 选选LL49（（2334））、 、LL81（ 8（23117））、、LL1267（（231153））等等；；当当ｍ ｍ＝ ＝３ ４时 时， ，可 可 选（４L16×（２454））、、LL3126（（4４9）2×等２。4当）水、平L18数（不2×等3时7），等则。可选L8
⑵、试验的操作简单或希望得到较多的信息，可选择 Ｎ较大的正交表。反之，操作复杂或成本较高的试验， 可选择Ｎ较小的正交表。
⑶、分析交互作用（主要是两因素之间的交互作用）， 选ｋ较大的正交表。若已知因素间的交互作用很小，则 选ｋ较小的正交表。
2021/4/9
9
正交设计
▪ 例5：有研究者为研究某种呼吸机的四个参数 选择对通气量的影响，这四个参数分别为频 率（Ａ因素）、驱动压（Ｂ因素）、呼吸比 （Ｃ因素）和管径（Ｄ因素），每个参数分 高、低两个水平。按析因设计，有２４ ＝１ ６种处理分组，如选择正交表Ｌ８(２７) 进 行试验，只需８种处理分组。
拉丁方设计资料的方差分析
下面是一个6×6基本拉丁方，做实验时，应随机抽
取拉丁方的一种组合，即在基本拉丁方（第一行、
第一列的字母按顺序排列的拉丁方）的形式上随机 变换行、列。应用时，根据水平数g来选定拉丁方 大小。
具体过程如下：
由此可得到本例的拉丁方设计，可把行和列 对调（表4-11）。至此，研究者可依表4-11
安排实验，其试验结果（皮肤疱疹大小， mm2）记录于表4-11中。
家兔编号 （行区组）
注射部位编号（列区组） X ikj
1
2
3
4
5
行区组 合计（Rj）
6
1
A(73) B(75) C(67) E(61) D(69) F(79)
变异来源
总变异 药物间 家兔间 部位间 误差
自由度 SS
35
3036.00
5
268.67
5
383.33
5
1283.33
20
1100.67
MS
53.73 76.67 256.67 55.03
F
P
0.98
>0.05
1.39
>0.05
4.66
<0.01
按水准，ν处理=ν行间=ν列间=5， ν误差=20 查附表3的F界 值表，F0.05(5，20)= 2.71，F0.01(5，20)= 4.10。
－2)
SS列
2
C
X ijk
N
MS
SS处理 /ν 处
理
SS行 /ν 行
SS列 /ν 列 SS误差 /ν 误
生物统计学课件ch8考虑交互作用的实验设计
Model: Full factorial
Tests of Between-Subj ects Effects Dep enden tV ariable: 丝裂霉素浓度 Type III Sum Source of Squares df Corrected Model 45.899a 11 Intercept 23.622 1 drug 5.026 1 time 9.855 2 organ 4.660 1 drug * time 4.847 2 drug * organ 9.843 1 time * organ 5.791 2 drug * time * organ 5.876 2 Error .066 48 Total 69.586 60 Corrected Total 45.964 59 a. R Squared = .999 (Adjusted R～ 15
泸白种
24 ～ 25
13 ～ 15
完全随机的三因素2×2×2析因设计
实例3：研究小鼠在不同注射剂量和不同注射频次下 药剂ACTH对尿总酸度的影响。问①A、B各自的主效 应如何？②二者间有无交互作用？
配伍组编号 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 日注射量 A A1 注射次数 B B1 （少） B2 （多） 33.6 33.0 37.1 30.5 34.1 33.3 34.6 34.4 33.0 28.5 29.5 31.8 29.2 29.9 30.7 28.3 31.4 30.7 28.3 28.2 28.9 28.4 28.6 30.6
1. 两个或以上处理因素的各处理水平间的均 数有无差异？即主效应有无统计学意义？ 2. 两个或以上处理因素之间有无交互作用？
析因设计的实例
实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固 醇降低值mg），问①甲乙两药是否有降低胆固醇 的作用（主效应）？②两种药间有无交互作用
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B1 产 C1 A2： 6.8 蛋 C2 A1： 7.9 期 C3 A3：11.2 纵列和： 25.9
因此，区组 B（场、畜舍、家系）和区组 C（试验 时期）与主效应 A应同时得到考虑
但显然，在整个试验中，因子A是主效应，而因子B 和因子C的设置，其作用主要是为了消除系统误 差，其效应的显著性在试验中不是主要的
例如，设计了3种饲料，比较其对产奶量的影响， 由于牛的产奶量不仅受饲料的影响，而且还受牛 场（血统）和不同产犊时期的影响，因此要在牛 场里找到条件十分相似的母牛会很不容易；且泌 乳量是呈曲线变化的，单纯用交叉设计也不十分 理想
4×4
C B A D B D C A D A B C
5×5
C A E B D E B D A C D E A C B B D C E A A C B D E
以上经行和列的变换后的拉丁方称为普通方，在实 际使用中，一般不这样表示
随着k的变大，每一种k2的标准方急速增加，每一标 准方所能变换得到的普通方也随着增多：
在随机区组设计中，一整套试验，即因子 A的所有 水平都在每一个区组中得到反映，每一个区组都 是相互独立的
拉丁方有两个因子：B和 C，因此，因子 A的所有 水平都既要在 B因子的每一区组中得到反映，又 要在 C因子的每一区组中得到反映 上例中 A因子的3种饲料必须均匀、随机地分配到 奶牛的所有血统 B中，同时又必须均匀、随机地 分配到试验所有的泌乳阶段 C中
第八章 拉丁方设计
在随机区组设计中，试验仅考虑一个区组，这个区 组可能是试验时期，也有可能是试验地域，如果 试验时期或试验地域同时出现并影响试验结果的 话，则随机区组设计将不合用
在交叉设计中，考虑了两个区组：B和C，B往往是 动物体，C往往是试验时期，但在统计分析时总 将B和C设计成效应相互抵消，因而在方差分析时 其作用反映不出来 在许多情况下，区组 B和区组 C的效应不可能这样 刚好相互抵消，它可能会产生系统误差，因而应 该从总误差中将其剔除，即在统计分析中应将这 种差异反映在方差分析表中，分析其显著性
将B和C搭配起来，形成3×3共9个组合，B和C是 正交的 将A因子3个水平随机地分配到这些组合中，使得B 因子的每一水平中都包含有A因子的所有水平，C 因子的每一水平中也都包含有A因子的所有水平
即A因子与B因子正交，A因子与C因子也正交
以B因子为列，C因子为行，A因子嵌入其中：
蛋鸡组
B1 B2 B3 产 C1 A1 A2 A3 蛋 C2 A2 A3 A1 期 C3 A3 A1 A2
拉丁方是以拉丁字母（A、B、C、D、…）排列的 方阵，每一字母在每一列、每一行出现且仅出现 一次；拉丁方的第一行、第一列按字母自然顺序 排列的拉丁方称为标准拉丁方；一个拉丁方有 k 行 k 列，一般称为 k×k 拉丁方，也称为 k 阶拉 丁方，也表示为 k2拉丁方：
A B C B C A C A B
因此，可以将饲料作为主要因素 A，牛场或血统作 为因子 B，泌乳阶段作为因子 C，在试验中同时 考虑因子 A即饲料的作用、因子 B即血统的作用、 因子 C即泌乳阶段的作用；这里，由于因子 B和 因子 C的作用无法相互抵消，且它们可能产生系 统误差，因此，有必要将 B和 C的作用在统计分 析中反映出来；但显然，因子 B和因子C的效应 在方差分析中不是主要的，它们仅仅是为了消除 系统误差而设立的
也就是说，因子 A必须与因子 B均匀地搭配，同时 因子 A又必须与因子 C均匀地搭配，而因子 B与 因子 C已经均匀地搭配了，这就是说，3个因子必 须两两正交，这就是拉丁方设计的思想
事实上，观测指标随试验时间或试验阶段呈曲线变 化或不均匀变化的试验都可以采用拉丁方设计
拉丁方的基本概念
随机区组设计是将试验处理从一个方向排成区组或 重复，拉丁方设计是从两个方向排成区组或重复 并配置成两个区组因素和一个试验因素
三、由于经费和试验条件的限制，可采用的试验单 元数较少，或不容易找到 满足以上三个条件的试验都可考虑采用拉丁方试验 设计
设计方法
以实际例子来说明拉丁方的设计方法
例：设计了3种饲料：A1、A2与A3，比较这3种饲料 对产蛋的影响；随机选取条件基本一致的3羽母鸡 （或3个鸡场、或3个家系）B1、B2及B3；选取3 个产蛋期C1、C2及C3
上页的拉丁方表是一个标准拉丁方，将其进行行变
换和列变换，得到普通方（这里的变换仅是表内的
A因子，B和C不动）
得： 蛋 鸡 组 B2 B3 横行和 A1：10.0 A3：9.7 26.5 A3：10.8 A2：6.1 24.8 A2： 7.3 A1：9.2 27.7 28.1 25.0 T＝79.0
A B C D
B A D C
C D B A
D C A B
A B C D
B D A C
C A D B
D C B A
3×3拉丁方 A B C D E B A D C F C E A F B D C F E A E F B A D F D E B C 6×6拉丁方 F E D B C A
4×4拉丁方 A B C D E F G B C D E F G A C D E F G A B D E F G A B C E F G A B C D F G A B C D E
k2 22 32 42 52 标准方个数 每一标准方变换的普通方个数 1 1 4 96 2 12 144 288000
3628800
应用条件:
一、试验仅考察一个因素
二、已知存在两个对试验指标可能产生较大影响的 干扰因素（如家系或场地、试验时间），这种干 扰因素可能会产生一定的系统误差，且干扰因素 之间、干扰因素与试验因素之间不存在交互作用
A B C D E B A D E C C E B A D D C E B A E D A C B 5×5拉丁方
G A B C D E F 7×7拉丁方
上一页所显示的是几个标准拉丁方，在实际使用中， 标准方是不能使用的，必须经过行随机变换和列
随机变换化成普通方后才能使用，如：
3×3
C A B A B C B C A A C D B