第11章 机械振动

弹性回复力和惯性是产生机械振动的两个基本因素
①受力特征
F = − kx
F -弹性回复力 k - 劲度系数（stiffness）
②微分方程 d 2 x 2 +ω x = 0 2 dt
其解为： x
其中ω =
k m
ω — 角频率（圆频率）
= A cos( ω t + ϕ )
5
积分常数，根据初始条件确定
F
以 o为 原点旋转矢
ωt + ϕ
ϕ
t=0
量 A 的端点 在
o
x x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
17
x = A cos(ωt + ϕ )
x = A cos(ω t + ϕ )
由旋转矢量法看出:
v=
dx π = ω A cos(ω t + ϕ + ) dt 2
d2 x a = 2 = ω 2 A cos(ω t + ϕ + π) dt
表达式为：
x = A cos(ω t + ϕ )
其中 ω = 2π f = π rad s
由初始条件t=0时， x0 =+0.12m可求初相 ϕ
x0 1 cos ϕ = = A 2
ϕ =±
π
3
19
这两个值中取哪个？要看初始速度条件。由于 ？
v = −ωA sin(ωt + ϕ)
v0 = −ωA sin ϕ >0
求导得：
m
o
x
x
dx π v = = − Aω sin(ωt + ϕ ) = Aω cos(ω t + φ + ) 2 dt
dx 2 2 a = 2 = − Aω cos( t + ϕ) = Aω cos(ω t +φ + π) ω dt
6
2
x = A cos(ωt + ϕ )
T= 2π
A −A
Aω
∵ v0 = − Aω sin ϕ < 0
π ϕ =± 2
x
o
x
T
t
T 2
14 P86 例题 11.2， 11.3， 11.4
四、 简谐振动的旋转矢量描述法
①解析式
x = A cos(ω t + ϕ ) dx π v= = ωA cos(ω t + ϕ + ) dt 2 d2 x a= = ω 2 A cos(ω t + ϕ + π) dt2 x ϕ=0 ϕ = π/2
x
x−t图
T
ω
取
ϕ =0
o
t
t
v = − A ω sin( ω t + ϕ )
v
v−t 图
T
π = Aω cos(ωt + ϕ + ) 2 a = − Aω 2 cos(ωt + ϕ )
2
o
− Aω
Aω 2
a
a − t图
T
7
= Aω cos(ωt + ϕ + π ) − Aω 2
o
t
分析
①微分方程
∴ϕ = −
π
3
o
x0
−
v0
π
3
x
此简谐振动的表达式为: π x = 0.12 cos(πt − ) 3 （2） 此简谐振动的速度
2 加速度为 a = −ω A cos(ω t + ϕ )
A
ω
t=0
旋转矢量法
π
3
v = −ωA sin(ωt + ϕ) = −0.24π sin(π t − )
= −0.24π cos(π t − ) 3
第十一章
机械振动
1
第十一章 机械振动
振动有各种不同的形式：机械振动 电磁振动 … 广义振动：任一物理量(如位移、电 流等)， 在某一数值附近反复变化。 振动分类： 受迫振动 阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动 自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动 (简谐振动)
机械振动
物体围绕一固定位置往复运动.
2
x
§11.1 简谐振动的描述
一、 简谐振动的特征：
定义：物体振动时，若决定其位置的坐标按正弦或余弦 函数规律随时间变化的振动，称为简谐振动 （Simple Harmonic Motion） 数学定义式：
x = A cos(ω t + ϕ )
x 可作广义理解（位移、电流、场强、温度…）
简谐振动是最简单、最基本的振动，可用来研 4 究复杂的振动。
π 3π π v = A ω cos( ω t + φ + ) 超前 或落后 2 2 2 a = Aω 2 cos( t + φ + π) 超前 π 或落后 π ω
x = A cos( ω t + φ )
(超前、落后以 < π 的相位角来判断) x φ = π/2 超前和落后 A 振动曲线如图 在半个周期里看， 谁先达到最大值, 就说谁领先。 蓝领先于红，红领先于绿。 o -A
5π kπ + 6 t=
o
x0
−
π
3
x
A
ω
π
3
2
π
5π +ϕ = + = 2 2 3 6
π
ω 5 t = = 0.83( s ) 6
取k = 0,
5π ∴ω t = 6
t = 0.83( s )
21
例2：一质点作简谐振动, 速度最大值 V = 5 cm s 振幅A=2cm, 若令速度具有正最大值的那一时 刻为t=0，则振动表达式为？
x/ m
o
0.05
25
解 ：（1）
k 0.72 N ⋅ m −1 ω= = = 6.0s −1 m 0.02kg
A= x +
2 0
v
ω
2 0 2
= x0 = 0.05m
− v0 tan ϕ = =0 ωx0
o
A
x
ϕ =0 或 π ϕ =0 x = A cos( ω t + ϕ ) = (0.05m) cos[(6.0s −1 )t ]
= 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
24
例4 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹 −1 簧的劲度系数 k = 0.72 N ⋅ m ，物体的质量 m = 20g . （1）把物体从平衡位置向右拉到 x = 0.05m 处停 下后再释放，求简谐运动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度； （3）如果物体在 x = 0.05m 处时速度不等于零， −1 而是具有向右的初速度 v0 = 0.30m ⋅ s ，求其运动方程.
− v0 ϕ = arctan( ) ω x0
的正负号确定
ϕ 的取值由 x0 和 v0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 13 振幅和初相由初始条件决定.
讨论
已知 t
= 0, x = 0, v < 0 求 ϕ
x = A cos(ω t + ϕ )
0 = A cosϕ
v
π A ∴ sin ϕ > 0 取 ϕ = 2 o π −A x = A cos(ωt + ) 2
Δϕ =ϕ 2 - ϕ 1 （初相差）
同相 和反相
当Δϕ = ± 2kπ , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相
x1
反相
T t
当Δϕ =± (2k+1)π , ( k 两振动步调相反 , 称反相 。
A2 o =0,1,2,…),- A2 -A1
x2
11
相位可以比较简谐振动不同物理量的步调: 作简谐振动的物体，其速度，加速度也作简谐振动:
x
23
3π ∴ϕ = − 4 由图还可看出:
O
M
A
x
t = 0 .5 s , x = 0 , v > 0
P
从M点转到P点经历时间为0.5s,转过的角 度为：π 4 π π ω = rad / s ωΔt = 2 4 π 3 −2 ∴ x = 4 × 1 0 co s( t − π )( S I 制 ) 2 4
其运动形式有直线、平面和空间振动.
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以 及晶体中原子的振动等. 本章重点：简谐振动（理想化模型） 1.简谐振动 是某些实际振动的近似 2.简谐振动 可用来研究复杂振动
简谐运动 简谐运动 谐振子 最简单、最基本的振动. 合成 分解 复杂振动
F
作简谐运动的物体.
m
oБайду номын сангаас
x3
量值 (ωt + ϕ )叫振动的相位 （决定运动状态的物理量）
初相------- 当 t = 0 时的相位ϕ
10
相位可以比较两个同频率的简谐振动的步调:
. 相位差： Δϕ =(ω 2 t+ϕ 2)-(ω1 t+ϕ 1)
x A1 A2 o - A2 -A1 x A1
x2
x1
同相
T t
对两同频率的谐振动
π 3π ϕ＇ − 或 = 4 4
o
−π 4
x
A＇ ω
π x = A cos(ωt + ϕ ) = (0.0707 m ) cos[( 6.0s )t − ] 28 4
−1
因为 v 0
= > 0 ，由旋转矢量图可知 ϕ ＇ − π 4
一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x = 0.04m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 例5 （1） t
由旋转矢量图可知
26
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
解：
x = A cos(ωt + ϕ ) = A cos( ω t )
A
x 1 cos( ω t ) = = A 2 π 5π ωt = 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 ω t = 3
ω
Ax
o
v = − A ω sin ω t
φ=0
ωt
T 2 T 2
x = A cos(ω t + φ )
12
三、常数 A 和 ϕ 的确定
x = A cos( ω t + ϕ ) v = − Aω sin(ωt + ϕ )
初始条件
t = 0 x = x0 v = v0
A=
2 x0 +
x0 = Acosϕ
ω
2 v0 2
v0 = −ωAsinϕ
x : O M 矢 量 , O M = x m ax = A ; v : O N 矢 量 , O N = v m ax = A ω ; a : O P 矢 量 , O P = a m ax = A ω 2
N
M
ωt + ϕ
a
p
v
O
x
18
例1 :一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.24m, 频率 f = 0.5Hz , 质点对平衡位置的位移 x0 =+0.12m， 此时刻质点向x轴正向运动。求： （1）此简谐振动的表达式； （2）t=T/4时，质点的位置、速度、加速度； （3）从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。 解 :（1）取平衡位置为坐标原点。设简谐振动的数学
m
【解】： x = A c o s ( ω t + ϕ )
dx v = = − A ω s in (ω t + ϕ ) dt
t = 0, v → "+ vm "
− 2ω s in ϕ = 5
ϕ =π
2
O
M
由旋转矢量法得：
5 ∴ sin ϕ = - 1 ,ω = 2 5 π ) ∴ x = 2 cos( t − 2 2
2
π
20
将 t=T/4=0.5s 代入得 x = 0.208m
由旋转矢量法：
v = −0.376 m s a = −2.06 m s
（3） 通过平衡位置时， x=0, 由位移表达式得： π 0 = 0.24cos(ω t − ) 3 π π ω t − = kπ + , k = 0， 2, 3 1,
A 2
= −0.26 m ⋅ s
−1
（负号表示速度沿 Ox 轴负方向） 27
（3）如果物体在 x = 0.05m 处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度 v0 = 0.30m ⋅ s −1 ，求其运动方程. 解：
2 v0 1 2 A' = x0 + 2 = = 0.0707m ω 200
− v0 x0 2 tan ϕ＇ = = −1 或： ϕ' = = cos ωx0 A' 2
A
x
P
22
例题3：已知某物体作简谐振动的振动曲线如 图示，求其振动方程? 由图知，A=4，设振动方程为： 【解】：
x/cm
4
0 .5
x = A cos(ωt + ϕ )
t=0时,
x = −2 2
3π ϕ =− 4 3π ϕ= 4
−2
2
t /s
−4
2 ∴ cos ϕ = − 2
{
O
M
由旋转矢量法：
A P
d2x + ω2x = 0 dt 2
d 2x a = 2 = −ω 2 x dt
表明：作谐振动的加速度总是与其离开平衡位置的位 移大小成正比，而方向相反。 ------谐振动的运动学特征
②受力特征
F = − kx
------谐振动的动力学特征
振动系统具有以上任一特征即可判定为简谐振动。
其运动方程都有： x = A cos( ω t + φ )
8
二、描述简谐振动的物理量 x = A cos( ω t + ϕ ) ①角频率 ω =
k m
—由系统本身决定（固有） 频率（frequency） ν = ω 周期（period）
1
2π
2π = 2π m k
T =
ν
=
ω
9
②振幅 （amplitude） A 表示振动物体离开ο点（平衡位置）的最大距 离，表明振动的幅度或振动的范围，恒取正值。 — 由初始条件和系统本身情况决定 ③相位（phase）
A o -A
-ϕ
②振动曲线
ωt ωT=2π
15
ϕ>0
★③旋转矢量法 ------定ϕ ，研究振动合成很方便
t
ω
t=0 x
A 亦称振幅矢量
ω t+ϕ
A ϕ
o x = A cos(ω t + ϕ )
· x
A = A
参考圆 (circle of reference)
16
ω
A
t=t时
x 0 = A cos ϕ