2007年俄罗斯数学奥林匹克试题1

第33届俄罗斯数学奥林匹克

九年级试题

（第一天 2007年4月24日 9:00~14:00 迈科普）

9.1 设()f x 与()g x 都是首项系数为1的二次三项式。如果方程()()0f g x =与()()0g f x =都没有实根，证明：方程()()0f f x =与()()0g g x =中至少有一个没有实根。

9.2 在黑板上写有100个分数。在它们的分子中整数1至100恰好各出现一次；在它们的分母中整数1至100也恰好各出现一次。如果这100个分数的和可以化为分母为2的最简分数，证明：可以交换某两个分数的分子，使所得到的100个分数的和可以化为分母为奇数的最简分数。

9.3 给定一个正(21)n +边形(1)n >。甲、乙两人按如下规则做游戏：甲先乙后，轮流在该正多边形内画对角线；每人每次画一条新的（以前没有画过的）对角线，且它恰与偶数条已画出的对角线相交（交点在多边形内部）；凡无法按照要求画出对角线者即为负方。问：谁有必胜策略？

9.4 在ABC +中，1BB 是角平分线。

由点1B 作BC 的垂线交ABC +的外接圆上p BC

于点K ，由点B 作AK 的垂线交AC 于点L 。证明：点K 、点L 以及p AC （不含点B ）的中点在同一条直线上。