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P BAn
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乘法公式
PB
P A1 P B A1 P A2 P B A2 P An P B An
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划分
所求事件的所有来源 前一阶段所有可能结果
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全概率公式
例：有甲乙两个外形相同的盒子, 每盒10个 球. 其中甲盒中有红球6个、白球4个, 乙盒中有 红球8个、 白球2个. 从中任取一球, 求取到红 球的概率. 提示:
6红4白 8红2白
先取盒子
甲
乙
红=甲红或乙红
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分析： 求 P R .
A {取到甲盒}, B {取到乙盒}, R {取到红球}, W {取到白球},
1 Ai Aj , i j i, j 1, 2,
, n ;
2 A1
A2
An
则称 A1 , A2 , , An 为样本空间的一个划 分或完备事件组.
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二、全概率公式
定理（全概率公式）
设试验E的样本空间为, B为E的事件, A1, A2 , , An 为样本空间的一个划分, 且 P Ai 0 i 1,2, , n 则
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练习：某电子厂所用的节能灯是由三家元件 制造厂提供的，根据以往的记录有如下数据：
元件制造厂
1 2
次品率
0.02 0.01
提供节能灯的分额
0.15 0.80
3
0.03
0.05
设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的,且 无区别的标志.现在在仓库随机地取一只节能 灯,求它是次品的概率.
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例：在 n 张彩票中有两张10万的大奖， 现甲、乙、丙依次参加抽奖，问每人抽到大 奖的概率.
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解：记 A 甲抽到大奖
B 乙抽到大奖 C 丙抽到大奖
2 P A n
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分析：乙抽奖时，其抽到大奖的概率受甲抽奖 结果的影响 第一步，甲抽奖有两种可能，甲中奖 A 和甲没中奖 A 第二步，乙参加抽奖,分别也有两种可能
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小结
全概率公式问题的精髓是将复杂问题简单化 全概率公式问题的关键是找到划分(完备事件组) 在实际应用中, 这个划分 A1, A2 , , An 是导致B发 生的各种可能原因, P B 是事件B分别在这些原 因下发生的条件概率的加权平均
P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P An P B An
P A P B A P C AB P A P B A P C AB


2 1 n2 2 1 0 n n 1 n n 1 n 2 2 2 n2 1 n2 n3 2 n n 1 n 2 n n 1 n 2 n 2 P A P B P C n
A
第一步 第二步
B
B B
B AB
AB
A
B
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P B P AB
AB
P AB P AB
P A P B A P A P B A


2 1 n2 2 n n 1 n n 1
2 n
A
第二步
B
R P R A 0.6
W
P A 0.5 P B 0.5
第一步
R P R B 0.8 W
P W A 0.4
P W B 0.2
R AR BR
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解：A {取到甲盒}, B {取到乙盒}, R {取到红球}, W {取到白球},
P B P A1 P B A1 P A2 P B A2
n i 1
P Ai P B Ai
P An P B An
此公式称为全概率公式.
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定理（全概率公式）
P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P An P B An
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同理：
A
第一步
第二步
C
B
C
B
C
C
第三步
B
C
C C
A
B
C
C ABC
ABC
ABC
ABC
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C ABC
ABC
ABC
ABC
P C P ABC P ABC P ABC P ABC
P A P B A P C AB P A P B A P C AB
P A 0.5
P R A 0.6
P R B 0.8
P B 0.5
P R P RA P RB
P A P R A P B P R B 0.7
用本题的方法, 将其一般化, 可得到全概率公式.
A 1
B
A2
A4
A3
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证：B B B( A1 A2 An ) BA BA2 BAn 1 因为 P Ai 0 i 1, 2, , n , 且 BAi BAj , i j 所以 P B P BA1 P BA2
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全概率公式
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抽奖模型: 摸球问题
古典概型
7红3白
所求事件的样本点数 7 P(取到红球) 样本空间中的样本点数 10
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6红4白
8红2白
甲
乙
红=甲红或乙红
关键：红球的来源--- A, B 1 AB 2 A B
划分
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一、样本空间的划分
A 1 A4
A2
A3

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一、样本空间的划分
定义1
设为试验E的样本空间,A1 , A2 , , An 为E的一组事件, 若