电磁场的边界条件
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令Δh→0，则由
媒质1 媒质2
S
en
D1
S P h
D2
S D dS V ρdV
(D1 D2 ) enS SS
即
en (D1 D2 ) S 或 D1n D2n S
同理 ，由
3
S B dS 0
en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n
（2）电磁场量的切向边界条件
→ 在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh 0，则由
C H dl
S (J
D ) dS t
(H1 H2 ) l JS Nl
l N enl
(H1 H2 ) l (H1 H2 ) (N en )l
)0 2) 0
D的法向分量连续 B的法向分量连续 E的切向分量连续
H的切向分量连续
5
2. 理想导体表面上的边界条件
• 理想导体：电导率为无限大的导电媒质 • 特征：电磁场不可能进入理想导体内 • 理想导体表面上的边界条件
设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故
D
H
JS
理想导体
en
E2 (0,t) ex Acos(15108t) V/m
7
利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件
E1(0,t) E2 (0,t)
得到
A 80 V/m
（2）由
E1
1
H1 t
,有
H1 t
1
1
E1
ey
1
1
E1x z
ey
1
0
[300 sin(15 108 t
则得
D1z z0 D2z z0 0 (3 z) z0 30
最后得到
E1z
z0
D1z
1
z0
3 0 5 0
3 5
ED11((xx,,yy,0,0) )exe2x1y0e0yy5xeeyz2535
0
x
ez
3
0
11
例2.7.3 在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电场强度
5z)
100 sin(15 108 t
5z)]
将上式对时间 t 积分，得
H1 ( z, t )
ey
1
0
[2 107
cos(15 108 t
5z)
2 3
107
cos(15 108 t
5z)]
A/m
8
同样，由
E2
2
H 2 t
得
H2 (z, t)
试求:（1）磁场E强度ey；E（0 s2Hi）n(导d体表z面) c的o电s(流密t 度
k
x
x)
。
解 （1）由
H
E
, 有0
H t
1
E
z
t
0
V/m JS
y
d
1
0
(ex
E y z
ez
E y x
)
o
x
E0
0
[ex
z,
t
)
ex
A
cos(15108
t
50
z)
V/m
（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 H1 H1(z, t)和 H 2 (z, t)满足边界条件。
(
z,
t
)和
H
2
(
z
,
t
)
； （3）验证
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0处，有
E1(0,t) ex[60cos(15108t) 20cos(15108t)] ex80cos(15108t) V/m
E0 0d
sin( t
kxx)
A/m
13
D
S
en
B
0
en en
E H
0
JS
理想导体表面上的电荷密度等于 的法向分D量 理想导体表面上 B的法向分量为0 理想导体表面上 E的切向分量为0 理想导体表面上的电流密度等于 H的切向分量
6
例2.3.1 z < 0的区域的媒质参数为
2.3 电磁场的边界条件
• 什么是电磁场的边界条件?
en
媒质1
• 为什么要研究边界条件?
媒质2
实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，
•该不同物空同媒理：间媒质如中质分由数生何可的界于发突数能分面在生变讨学是界上分突。：论解由面电界变麦麦是多上磁面，克边克不种的场两场斯斯界确不电的侧在韦韦定同磁基介界方方条的媒场本质面程程，件质矢属的两组组边组量性特侧的是?界成满。性也微微条的足参发分分件。的方起边关程定界系组解条，，的件是其就在是不 形式在分作界用面。两侧失去意义，必 须采麦用克边斯界韦条方件程。组的积分形式在不同媒质的分界面上
en
界条件
媒质1
en
媒质1
在两种理想介质分界面上，
通常没有电荷和电流分布，即JS ＝0、ρS＝0，故
媒质2
E、H的切向分量连续
媒质2
D、B的法向分量连续
en
(D1
D 2
)
0
en (B1 B2 ) 0
en en
(E1 E2 (H1 H
媒质1
en
l
H1
N
h
媒质2
H2
4
[en (H1 H2)] Nl
故得
en (H1 H2) JS
或 同理得
H1t H2t JS
en (E1 E2 ) 0
或
E1t E2t
2.3.2 两种常见的情况
1. 两种理想介质分界面上的边
d
cos(
d
z) cos(t
kx x) ezkx
sin(
d
z)sin( t
kx x)]
12
将上式对时间 t 积分，得
H (x,z,t)
H (x,z,t) dt
t
z
ex
E0 0d
cos(
d
z) sin( t ykx xe)n
d
仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上
的边界条件。
1
2.3.1 边界条件一般表达式
D
Βιβλιοθήκη BaiduC H
CSBE
dl S (
dl S
dS 0
J
B t
t
dS
)
dS
S D dS V ρdV
en
cos(15 108 t )
A/m
可见，在z = 0处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面上（z = 0）不存在面 电流。
9
为
例 2.7.2
如图所示，12区。的若媒0已、质知参自2数由为空间0、的电2场强0度为1
5
0
,
2, 区1的媒质0参,数1
0
E2 ex 2y ey 5z ez (3 z) V/m
2区
o
试问关于1区中的 和 E能1 求得D出1 吗？
x
和
解。由根e据nE边1界(条E1件D，1 E只2能)，求有得0边界面z＝0 处的
1区 y
z
电介质与自由空间的 分界面
ez {ex E1x eyE1y ez E1z [ex 2 y ey 5x ez (3 z)]}z0
ez
kx E0 sin(
0
d
z) cos(t kx x)
A/m
x
（2） z = 0 处导体表面的电流密度为
JS
ez
H
z0
ey
E0 0d
sin( t
kxx)
z = d 处导体表面的电流密度为
A/m
JS
(ez ) H
zd
ey
ey
4
30
107
cos(15 108 t
5z)
A/m
（3）z = 0时
H1 (0, t )
ey
1
0
[2 107
cos(15108t)
2 107 3
cos(15 108 t)]
ey
4
30
107
cos(15 108 t )
A/m
H2 (0,t)
ey
4
30
107
媒质1
en
(H 1
H
2
)
JS
en (E1 E2 ) 0
en en
( (
B1 D1
B2 ) 0
D2 )
S
分界面上的电荷面密度
媒质2
分界面上的电流面密度
2
边界条件的推证 （1） 电磁场量的法向边界条件
在两种媒质的交界面上任取一点P，作一 个包围点P的扁平圆柱曲面S，如图表示。
数为 2 50、2 200、 2
1 0、1 0、1 0 , z > 0 0 。若媒质1中的电场强度为
区域的媒质参
E1(z,t) ex[60cos(15108t 5z) 20cos(15108t 5z)] V/m
媒质2中的电场强度为
E2
(
ey (E1x 2 y) ex (E1y 5x) 0
则得
E1x 2 y, E1y 5x
10
D1x 1E1x 100 y, D1y 1E1y 250 x
又由
en
(
D1
D2，) 有
0
ez [ex D1x ey D1y ez D1z (ex D2x ey D2 y ez D2z ]z0 0
媒质1 媒质2
S
en
D1
S P h
D2
S D dS V ρdV
(D1 D2 ) enS SS
即
en (D1 D2 ) S 或 D1n D2n S
同理 ，由
3
S B dS 0
en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n
（2）电磁场量的切向边界条件
→ 在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh 0，则由
C H dl
S (J
D ) dS t
(H1 H2 ) l JS Nl
l N enl
(H1 H2 ) l (H1 H2 ) (N en )l
)0 2) 0
D的法向分量连续 B的法向分量连续 E的切向分量连续
H的切向分量连续
5
2. 理想导体表面上的边界条件
• 理想导体：电导率为无限大的导电媒质 • 特征：电磁场不可能进入理想导体内 • 理想导体表面上的边界条件
设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故
D
H
JS
理想导体
en
E2 (0,t) ex Acos(15108t) V/m
7
利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件
E1(0,t) E2 (0,t)
得到
A 80 V/m
（2）由
E1
1
H1 t
,有
H1 t
1
1
E1
ey
1
1
E1x z
ey
1
0
[300 sin(15 108 t
则得
D1z z0 D2z z0 0 (3 z) z0 30
最后得到
E1z
z0
D1z
1
z0
3 0 5 0
3 5
ED11((xx,,yy,0,0) )exe2x1y0e0yy5xeeyz2535
0
x
ez
3
0
11
例2.7.3 在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电场强度
5z)
100 sin(15 108 t
5z)]
将上式对时间 t 积分，得
H1 ( z, t )
ey
1
0
[2 107
cos(15 108 t
5z)
2 3
107
cos(15 108 t
5z)]
A/m
8
同样，由
E2
2
H 2 t
得
H2 (z, t)
试求:（1）磁场E强度ey；E（0 s2Hi）n(导d体表z面) c的o电s(流密t 度
k
x
x)
。
解 （1）由
H
E
, 有0
H t
1
E
z
t
0
V/m JS
y
d
1
0
(ex
E y z
ez
E y x
)
o
x
E0
0
[ex
z,
t
)
ex
A
cos(15108
t
50
z)
V/m
（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 H1 H1(z, t)和 H 2 (z, t)满足边界条件。
(
z,
t
)和
H
2
(
z
,
t
)
； （3）验证
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0处，有
E1(0,t) ex[60cos(15108t) 20cos(15108t)] ex80cos(15108t) V/m
E0 0d
sin( t
kxx)
A/m
13
D
S
en
B
0
en en
E H
0
JS
理想导体表面上的电荷密度等于 的法向分D量 理想导体表面上 B的法向分量为0 理想导体表面上 E的切向分量为0 理想导体表面上的电流密度等于 H的切向分量
6
例2.3.1 z < 0的区域的媒质参数为
2.3 电磁场的边界条件
• 什么是电磁场的边界条件?
en
媒质1
• 为什么要研究边界条件?
媒质2
实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，
•该不同物空同媒理：间媒质如中质分由数生何可的界于发突数能分面在生变讨学是界上分突。：论解由面电界变麦麦是多上磁面，克边克不种的场两场斯斯界确不电的侧在韦韦定同磁基介界方方条的媒场本质面程程，件质矢属的两组组边组量性特侧的是?界成满。性也微微条的足参发分分件。的方起边关程定界系组解条，，的件是其就在是不 形式在分作界用面。两侧失去意义，必 须采麦用克边斯界韦条方件程。组的积分形式在不同媒质的分界面上
en
界条件
媒质1
en
媒质1
在两种理想介质分界面上，
通常没有电荷和电流分布，即JS ＝0、ρS＝0，故
媒质2
E、H的切向分量连续
媒质2
D、B的法向分量连续
en
(D1
D 2
)
0
en (B1 B2 ) 0
en en
(E1 E2 (H1 H
媒质1
en
l
H1
N
h
媒质2
H2
4
[en (H1 H2)] Nl
故得
en (H1 H2) JS
或 同理得
H1t H2t JS
en (E1 E2 ) 0
或
E1t E2t
2.3.2 两种常见的情况
1. 两种理想介质分界面上的边
d
cos(
d
z) cos(t
kx x) ezkx
sin(
d
z)sin( t
kx x)]
12
将上式对时间 t 积分，得
H (x,z,t)
H (x,z,t) dt
t
z
ex
E0 0d
cos(
d
z) sin( t ykx xe)n
d
仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上
的边界条件。
1
2.3.1 边界条件一般表达式
D
Βιβλιοθήκη BaiduC H
CSBE
dl S (
dl S
dS 0
J
B t
t
dS
)
dS
S D dS V ρdV
en
cos(15 108 t )
A/m
可见，在z = 0处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面上（z = 0）不存在面 电流。
9
为
例 2.7.2
如图所示，12区。的若媒0已、质知参自2数由为空间0、的电2场强0度为1
5
0
,
2, 区1的媒质0参,数1
0
E2 ex 2y ey 5z ez (3 z) V/m
2区
o
试问关于1区中的 和 E能1 求得D出1 吗？
x
和
解。由根e据nE边1界(条E1件D，1 E只2能)，求有得0边界面z＝0 处的
1区 y
z
电介质与自由空间的 分界面
ez {ex E1x eyE1y ez E1z [ex 2 y ey 5x ez (3 z)]}z0
ez
kx E0 sin(
0
d
z) cos(t kx x)
A/m
x
（2） z = 0 处导体表面的电流密度为
JS
ez
H
z0
ey
E0 0d
sin( t
kxx)
z = d 处导体表面的电流密度为
A/m
JS
(ez ) H
zd
ey
ey
4
30
107
cos(15 108 t
5z)
A/m
（3）z = 0时
H1 (0, t )
ey
1
0
[2 107
cos(15108t)
2 107 3
cos(15 108 t)]
ey
4
30
107
cos(15 108 t )
A/m
H2 (0,t)
ey
4
30
107
媒质1
en
(H 1
H
2
)
JS
en (E1 E2 ) 0
en en
( (
B1 D1
B2 ) 0
D2 )
S
分界面上的电荷面密度
媒质2
分界面上的电流面密度
2
边界条件的推证 （1） 电磁场量的法向边界条件
在两种媒质的交界面上任取一点P，作一 个包围点P的扁平圆柱曲面S，如图表示。
数为 2 50、2 200、 2
1 0、1 0、1 0 , z > 0 0 。若媒质1中的电场强度为
区域的媒质参
E1(z,t) ex[60cos(15108t 5z) 20cos(15108t 5z)] V/m
媒质2中的电场强度为
E2
(
ey (E1x 2 y) ex (E1y 5x) 0
则得
E1x 2 y, E1y 5x
10
D1x 1E1x 100 y, D1y 1E1y 250 x
又由
en
(
D1
D2，) 有
0
ez [ex D1x ey D1y ez D1z (ex D2x ey D2 y ez D2z ]z0 0