2019人教版 高中数学【选修 2-1】专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色专题训练
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a ba bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y <<（00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
抛物线椭圆双曲线知识点总结知乎
抛物线椭圆双曲线知识点总结知乎抛物线、椭圆和双曲线是三种常见的二次曲线形状，它们在数学和物理学中具有重要的应用。
下面是对这三种曲线的知识点总结： 1. 抛物线：定义，抛物线是一个平面曲线，其定义为到一个定点（焦点）和一条直线（准线）的距离之比等于一个常数（离心率）。
方程形式，一般的抛物线方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
特点，抛物线是对称的，关于焦点和准线都具有对称性。
焦点和准线的位置和形状取决于抛物线方程中的参数。
2. 椭圆：定义，椭圆是一个平面曲线，其定义为到两个定点（焦点）之和等于一定距离（长轴）的点的集合。
方程形式，一般的椭圆方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标，a 和 b 是长轴和短轴的长度。
特点，椭圆是对称的，关于中心点具有对称性。
长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状和大小。
3. 双曲线：定义，双曲线是一个平面曲线，其定义为到两个定点（焦点）之差等于一定距离（距离焦点的距离）的点的集合。
方程形式，一般的双曲线方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 (y-k)^2/b^2 = 1，其中 (h, k) 是双曲线的中心坐标，a 和 b 是与中心有关的参数。
特点，双曲线有两个分支，分别向外延伸。
焦点和中心之间的距离决定了双曲线的形状和大小。
这些是抛物线、椭圆和双曲线的基本知识点总结。
它们在数学中有广泛的应用，例如物体的运动轨迹、光学系统的焦点和镜面反射等。
深入了解这些曲线的性质和特点，对于数学和物理学的学习都具有重要意义。
高中数学选修2-1-抛物线的方程及性质
抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|＝＝＝，∴当x＝，即P（）时，|PQ|取最小值．故答案为：．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．'例2.'平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．'例3.'点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？'抛物线的标准方程知识讲解1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y 2＝2px ，焦点在x 轴上，焦点坐标为F（，0），（p 可为正负）（2）x 2＝2py ，焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，），（p 可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y 2＝2px （p ＞0），焦点在x 轴上x 2＝2py （p ＞0），焦点在y 轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e ＝1e ＝1准线x ＝﹣y ＝﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q（1，1）是抛物线x2=2py（p>0）上一点，过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A，B．在点A处作抛物线的切线l1，在点B处作抛物线的切线l2，直线l1、l2交于P 点．（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；（Ⅱ）求证PA⊥PB．'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）；（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。
双曲线椭圆抛物线知识总结
双曲线椭圆抛物线知识总结双曲线、椭圆和抛物线是二次曲线的三种特殊情况。
它们在数学和物理等领域中有广泛应用，下面是它们的一些基本特点和公式总结。
1. 双曲线：- 定义：双曲线是平面上一组点，使得到两个固定点的距离之差等于一个常数的点的轨迹。
- 方程：标准方程为(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，其中a和b为正常数。
- 焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的两条无限远直线。
- 对称轴和顶点：双曲线有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：双曲线是关于对称轴对称的，即左右对称。
2. 椭圆：- 定义：椭圆是平面上一组点，使得到两个固定点的距离之和等于一个常数的点的轨迹。
- 方程：标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b为正常数。
- 焦点和准线：椭圆有两个焦点和两条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的两条无限远直线。
- 对称轴和顶点：椭圆有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：椭圆是关于对称轴对称的，即左右对称。
3. 抛物线：- 定义：抛物线是平面上一组点，使得到一个固定点的距离与到一条固定直线的距离相等的点的轨迹。
- 方程：标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a ≠ 0。
- 焦点和准线：抛物线有一个焦点和一条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的无限远直线。
- 对称轴和顶点：抛物线有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：抛物线是关于对称轴对称的，即左右对称。
以上是双曲线、椭圆和抛物线的基本知识总结，它们的性质和公式还有更多深入的内容，如离心率、焦距、直径等，可作为进一步学习的参考。
椭圆双曲线抛物线知识点
椭圆,双曲线,抛物线知识点- 椭圆、双曲线和抛物线是三种重要的圆锥曲线，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是关于这三种曲线的一些主要知识点：1.椭圆：定义：椭圆是平面上到两个固定点(焦点)的距离之和等于常数(大于两个焦点间的距离)的点的轨迹。
这个常数称为椭圆的焦距。
性质：•椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和是常数（2a）。
•在椭圆长轴的顶点处，短轴的半径最小。
•在短轴顶点处，长轴的半径最大。
•椭圆的离心率是数学中一个重要的概念，定义为e=c/a，其中a是半长轴，c是半短轴。
椭圆的离心率越接近1，椭圆的形状就越扁。
2.双曲线：定义：双曲线是平面上到两个固定点(焦点)的距离之差的绝对值等于常数(小于两个焦点间的距离)的点的轨迹。
这个常数称为双曲线的实轴长度。
性质：•双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差是常数（2a）。
•双曲线的两个分支是无限延伸的，它们不会相交。
•双曲线的离心率是数学中一个重要的概念，定义为e=c/a，其中a是半实轴长度，c是半虚轴长度。
双曲线的离心率越大，双曲线的形状就越扁。
3.抛物线：定义：抛物线是平面上到定点(焦点)和直线(准线)的距离相等的点的轨迹。
定点(焦点)和直线(准线)的距离d称为抛物线的焦距。
性质：•抛物线上的点到定点(焦点)的距离等于到直线(准线)的距离。
•抛物线的开口大小由焦距决定，焦距越大，开口越小。
•抛物线可以被认为是圆锥曲线的一种特殊形式，因为它可以看作是由一个平面切割圆锥体得到的。
在数学中，这三种曲线都有广泛的应用，包括解决各种几何问题、优化问题、微分方程等。
它们也是很多科学和工程学科的基础，如物理学、天文学、经济学等。
此外，在计算机图形学、动画制作、摄影等领域，这三种曲线也经常被用到。
在求解具体问题时，需要根据具体的问题选择合适的曲线。
例如，在解决航天工程中的轨道问题时，可能需要使用椭圆；在解决一些需要快速下降或者远离某一点的运动问题时，可能需要使用双曲线；在解决一些需要速度最大或者最小的问题时，可能需要使用抛物线。
椭圆、双曲线与抛物线深入解析
02
双曲线的基本概念及其性质
双曲线的定义及其标准方程
双曲线的定义
• 到两个定点（焦点）的距离之差等于常数（实轴的两端点）的点的集合
• 实轴为通过椭圆中心且与两个焦点所在的直线垂直的线段，虚轴为与实轴垂直且通过椭圆
中心的线段
双曲线的标准方程
• 一般方程：$(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}) = 1$，其中$a > b$，实轴在x轴上，长
双曲线的基本方程求解
• 转换方程为关于x或y的一元二次方程，使用求根公式
抛物线的基本方程求解
• 整理方程，使其成为标准形式，使用顶点公式或对称轴求解
椭圆、双曲线与抛物线的极坐标方程求解
01
02
03
椭圆的极坐标方程求解
双曲线的极坐标方程求解
抛物线的极坐标方程求解
• 将直角坐标方程转换为极坐标方
• 将直角坐标方程转换为极坐标方
切线
离无限接近于0
• 双曲线两侧的直线，无限接近双
曲线
双曲线的对称性及其基本性质
对称性
基本性质
• 双曲线关于x轴、y轴、原点
• 实轴等于虚轴的两倍：$2a =
分别对称，也关于经过焦点的
2b$
直线对称
• 对称轴交点为椭圆中心：
F1(c, 0)，F2(c, 0)，c为焦点到
中心的距离，$c^2 = a^2 +
• 方程为$x = -\frac{1}{4a}$
抛物线的对称性及其基本性质
对称性
基本性质
01
02
• 抛物线关于对称轴对称
• 顶点为抛物线的最低点（开
口向上）或最高点（开口向下）
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_抛物线的方程与性质_提高
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人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习抛物线的方程与性质【学习目标】1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】 要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点诠释:(1) 上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值(2) 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上，若F 在l 上，抛物线变为过F 且垂直与l 的一条直线.(3) 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。
选修2-1椭圆、双曲线、抛物线经典解析(含详细答案)
选修2-1椭圆、双曲线、抛物线经典解析知识点一 定义和性质的应用设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．解 由题意知，a ＝3，b ＝2，则c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝ 5. 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. (1)若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2， |PF 1|2－|PF 2|2＝20.即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43. 所以|PF 1||PF 2|＝72.(2)若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2. 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去)．所以|PF 1||PF 2|＝2.二 圆锥曲线的最值问题已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最值．解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(-4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA ′|=10.如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|+|MB|-|MA ′|=10+|MB|-|MA ′|≤10+|A ′B|. 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A ′B|=10+210.又如图所示，|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|-|MA ′|+|MB|=10- (|MA ′|-|MB|)≥10-|A ′B|，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10-|A ′B|=10- 210.三 轨迹问题抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF ，BF 为邻边作平行四边形F ARB ，求顶点R 的轨迹方程．解 设直线AB ：y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x ，y )，由题意F (0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2＝4y ，可得x 2－4kx ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k .又AB 和RF 是平行四边形的对角线， ∴x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y ＋1.而y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝4k 2－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k y ＝4k 2－3，消去k 得x 2＝4(y ＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2－16>0， ∴k >1或k <－1，∴x >4或x <－4.∴顶点R 的轨迹方程为x 2＝4(y ＋3)，且|x |>4.四 直线与圆锥曲线的位置关系已知直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当k ＝0,0<b <1时，求△AOB 的面积S 的最大值；(2)⊥OB →，求证直线l 与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．解 (1)把y ＝b 代入x 22＋y 2＝1，得x ＝±2－2b 2.∴∴S △AOB=21× b22·22122b b +-= ，当且仅当b 2 =21，即b =2 时取等号．∴△AOB 的面积S 的最大值为2.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由 得(1+2k 2)x 2+4kbx+2b 2-2=0，∴x 1+x 2=-241kbk+，x 1·x 2= 222212b k -+. 又∵OA ⊥OB ，∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)=0， 即x 1x 2+y 1y 2=0.又x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2 +( k x 1+b)(k x 2+b) =(k 2+1)·x 1x 2+kb(x 1 + x 2) +b 2=(k 2+1) 222212b k -+-kb 241kbk ++b 2 =222322012b k k--=+， ∴3b 2 = 2k 2+2.又设原点O 到直线l 的距离为d ，则d ===.∴l与以原点为圆心，以3为半径的定圆相切， 该圆的方程为x 2 + y 2 =32 高考分析1．如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的一个焦点为F (1,0)，且过点(2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ， (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值．解 方法一 (1)由题设a=2，c=1，从而b 2=a 2-c 2=3，所以椭圆C 的方程为22143x y += (2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)．设A(m ，n)，则B(m ，-n)(n ≠0)，22143m n +=.① AF 与BN 的方程分别为：n (x －1)－(m －1)y ＝0，n (x －4)＋(m －4)y ＝0.设M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n (x 0－1)－(m －1)y 0＝0， ②n (x 0－4)＋(m －4)y 0＝0， ③由②③得x 0＝5m －82m －5，y 0＝3n2m －5.由于x 204＋y 203＝(5m －8)24(2m －5)2＋3n 2(2m －5)2＝(5m －8)2＋12n 24(2m －5)2＝(5m －8)2＋36－9m 24(2m －5)2＝1.所以点M 恒在椭圆C 上．(ⅱ)设AM 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0.设A (x 1，y 1)、M (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－6t3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝43·3t 2＋33t 2＋4.令3t 2＋4＝λ (λ≥4)，则|y 1－y 2|＝43·λ－1λ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ2＋1λ ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ－122＋14，因为λ≥4,0<1λ≤14，所以当1λ＝14，即λ＝4，t ＝0时，|y 1－y 2|有最大值3，此时AM 过点F .△AMN 的面积S △AMN ＝12|NF |·|y 1－y 2|有最大值92.方法二 同方法一．(2)(ⅰ)由题意得F (1,0)、N (4,0)，设A (m ，n )，则B (m ，－n ) (n ≠0)，m 24＋n 23＝1.①AF 与BN 的方程分别为n (x －1)－(m －1)y ＝0，② n (x －4)＋(m －4)y ＝0.③由②③得：当x ≠52时，m ＝5x －82x －5，n ＝3y2x －5.④把④代入①，得x 24＋y 23＝1 (y ≠0)．当x ＝52时，由②③得⎩⎨⎧32n －(m －1)y ＝0，－32n ＋(m ＋4)y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，y ＝0，与n ≠0矛盾．所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (y ≠0)，即点M 恒在椭圆C上．随堂练习一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1C ．－1020 D.102答案 A解析 化双曲线的方程为x 21m －y 23m＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1m ＝4，即－4m ＝4，∴m ＝－1.2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 答案 B解析 由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．则抛物线的准线方程为y ＝p2，由抛物线的定义知|PF |＝p 2－(－2)＝p2＋2＝4，所以p ＝4，抛物线方程为x 2＝－8y ，将y ＝－2代入，得x 2＝16，∴k ＝x ＝±4.3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B. 5 C.52D ．5 答案 B解析 由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2， ∴c 2＝5a 2， ∴c 2a 2＝5.∴e ＝ca＝ 5. 4．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0 答案 A解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.由x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴(x 1－x 2)＋2(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝－12.∴弦所在的方程为y －1＝－12(x －1)即x ＋2y －3＝0.5．以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析 方程可化为y 212－x 24＝1，该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．由题意知椭圆方程可设为x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c 2＝a 2－b 2＝12，∴b 2＝a 2－12＝16－12＝4.∴所求方程为x 24＋y 216＝1.6．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2cos θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 答案 C解析 由于没有x 或y 的一次项，方程不可能是抛物线，故选C.7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 答案 B解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4.又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k4<4，解得－12<k <0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意知在双曲线上存在一点P ， 使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ， 即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ， ∴c ≤3a .又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<ca≤3，即1<e ≤3.9．已知A 为椭圆x 216＋y 212＝1的右顶点，P 为椭圆上的点，若∠POA ＝π3，则P 点坐标为( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫455，±4155 C.⎝⎛⎭⎫12，±32 D ．(4，±83)答案 B解析 由y ＝±3x 及x 216＋y 212＝1 (x >0)得解．10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( )A.65B.125C.32 D ．3 答案 D解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412.可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2. ∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32.11．过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(0<b <a )中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是( )A ．abB ．acC ．bcD ．b 2 答案 C解析 S △ABF 2＝S △OAF 2＋S △OBF 2 ＝12c ·|y 1|＋12c ·|y 2|(y 1、y 2分别为A 、B 两点的纵坐标)，∴S △ABF 2＝12c |y 1－y 2|≤12c ·2b ＝bc . 12．抛物线x 2＝ay (a <0)的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒π12弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由已知得准线方程为y ＝－a4，∴P 点坐标为(0，－a4)．设抛物线的切线l 1的方程为y ＝kx －a 4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －a 4x 2＝ay，得x 2－akx ＋a 24＝0，由题意得Δ＝a 2k 2－4×a 24＝0，解得k 2＝1，∴y ＝x －a4，∴∠MPN ＝π4，∴π4π12＝3，∴t ＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，则AB 的长为________．答案 8解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．则直线方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1.得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1， |AB |＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(36－4)＝8.14．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．答案 x 2＋4y 2＝1解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)由题意知 x 0＝x ，y 0＝2y ，∵P (x 0，y 0)在圆上，有x 20＋y 20＝1，∴x 2＋4y 2＝1.即为所求的轨迹方程．15．F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，P 为抛物线上任意一点，以PF 为直径作圆，则该圆与y 轴的位置关系是__________．答案 相切解析 设P (x 0，y 0)，PF 中点为M ，则M 到y 轴距离d ＝x 0＋p 22＝12|PF |.16．椭圆x 225＋y29＝1上一点P 到两焦点的距离积为m ，则当m 最大时，点P 的坐标是________．答案 (0,3)或(0，－3)解析 设椭圆的两焦点分别为F 1、F 2由椭圆定义知： |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 由基本不等式知：m ＝|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号． 即|PF 1|＝|PF 2|＝5，m 取最大值． 所以P 点为椭圆短轴的端点．三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a (a>0)，|CD|=2b (b>0)，动点P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．解 以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立坐标系，设P(x ，y)是曲线上的任意一点，则A(-a,0)，B(a,0)，C(0，- b)，D(0，b)． 由题意知：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，化简得：x 2-y 2= 222a b -即动点P 的轨迹方程为x 2-y 2=222a b - .18．(12分)k 代表实数，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线．解 当k <0时，曲线y 24－x 2－8k＝1为焦点在y 轴的双曲线；当k ＝0时，曲线2y 2－8＝0为两条平行于x 轴的直线y ＝2或y ＝－2；当0<k <2时，曲线x 28k＋y 24＝1为焦点在x 轴的椭圆；当k ＝2时，曲线x 2＋y 2＝4为一个圆；当k >2时，曲线y 24＋x 28k＝1为焦点在y 轴的椭圆．19．(12分)已知椭圆x 29＋y 24＝1及点D (2,1)，过点D 任意引直线交椭圆于A ，B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36. ② ①－②，得4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，因为M (x ，y )为AB 中点，所以x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y .所以4×2x (x 1－x 2)＋9×2y (y 1－y 2)＝0.当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2＝－4x9y .又y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，所以y －1x －2＝－4x9y .化简得4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.因为当x 1＝x 2时，中点M (2,0)满足上述方程，所以点M 的轨迹方程为4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.20．(12分)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线的隧道，已知拱口AB 的宽恰好为拱高CD 的4倍，若|AB |＝a 米，求能使卡车通过的a 的最小整数的值．解以拱顶为原点，拱高所在的直线为y 轴建立坐标系，如图，点B 的坐标为(,)24a a -，设抛物线方程为x 2=-2py (p>0)，将点B 的坐标代入得2()2a =-2p ·()4a-，解得p = 2a ，所以抛物线方程为x 2=-ay.将点E(-0.8，y)代入抛物线方程得y=-0.64a，依题意点E 到拱底AB 的距离为4a -|y| =4a -0.64a≥3，解得a ≥12.21. 所以能使卡车通过的a 的最小整数值为13.。
椭圆双曲线抛物线知识点
椭圆双曲线抛物线知识点椭圆、双曲线和抛物线是常见的曲线形状，它们在数学和物理中有广泛的应用。
本文将介绍椭圆、双曲线和抛物线的基本定义、性质、方程和常见应用。
一、椭圆（ellipse）椭圆是一个平面上的闭合曲线，该曲线的各点到两个定点（称为焦点）的距离之和是一个常数。
椭圆有两个焦点和两个短轴，两个短轴的中点称为椭圆的中心。
椭圆的长轴是通过焦点的直线，长轴的一半称为椭圆的半长轴，短轴的一半称为椭圆的半短轴。
椭圆的数学表达式为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别是椭圆半长轴和半短轴的长度。
椭圆的性质：1.椭圆是轴对称的，关于x轴和y轴都有对称性。
2.椭圆的离心率0<e<1，离心率越接近0，椭圆越圆。
3.椭圆的周长可以用椭圆的长轴和半短轴的长度计算。
椭圆的应用：1.椭圆的几何性质使它在图形设计和艺术中有广泛的应用。
2.椭圆的光学性质使它在透镜和镜面的设计中有应用。
3.椭圆在天体力学中用来描述行星的轨道。
4.椭圆在密码学中用来生成加密算法的公钥和私钥。
二、双曲线（hyperbola）双曲线是一个平面上的开放曲线，该曲线的各点到两个焦点的距离之差是一个常数。
双曲线有两个焦点和两个短轴，两个短轴的中点称为双曲线的中心。
双曲线的长轴是通过焦点的直线，长轴的一半称为双曲线的半长轴，短轴的一半称为双曲线的半短轴。
双曲线的数学表达式为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a和b分别是双曲线半长轴和半短轴的长度。
双曲线的性质：1.双曲线有两条渐进线，它们与双曲线的轴相切。
2.双曲线是非对称的，关于x轴和y轴没有对称性。
3.双曲线的离心率e>1，离心率越大，双曲线越扁。
4.双曲线的焦点和顶点与轴的关系可以用双曲线的方程来确定。
双曲线的应用：1.在物理学中，双曲线用来描述光学中的反射和折射现象。
2.在工程学中，双曲线用于设计天线的形状，以提高信号接收和发送的效果。
3.在经济学中，双曲线用来描述供求曲线和价格变动趋势。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总椭圆、双曲线和抛物线是解析几何中常见的二次曲线，它们在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
以下是这三种曲线的知识点汇总：1. 椭圆的定义与标准方程椭圆是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的集合。
椭圆的标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 分别是椭圆的半长轴和半短轴。
2. 椭圆的性质- 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是一个常数。
- 椭圆的长轴和短轴互相垂直，且长轴是椭圆上最长的直径。
- 椭圆的面积为 \(\pi \times a \times b\)。
3. 双曲线的定义与标准方程双曲线是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的集合。
双曲线的标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1\)（水平开口）或 \(\frac{y^2}{b^2} -\frac{x^2}{a^2} = 1\)（垂直开口），其中 \(a\) 和 \(b\) 分别是双曲线的实半轴和虚半轴。
4. 双曲线的性质- 双曲线的焦点到双曲线上任意一点的距离之差是一个常数。
- 双曲线的两个分支分别位于两个焦点的两侧。
- 双曲线的面积无法用简单的公式表示，但可以通过积分计算。
5. 抛物线的定义与标准方程抛物线是平面上所有点到一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点的集合。
抛物线的标准方程为 \(y^2 = 4ax\)（水平开口）或 \(x^2 = 4ay\)（垂直开口），其中 \(a\) 是抛物线的参数。
6. 抛物线的性质- 抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
- 抛物线是对称的，且对称轴是抛物线的顶点所在的直线。
- 抛物线的面积可以通过积分计算，公式为 \(\frac{1}{4} \times a \times \text{弧长}\)。
2019届高考数学专题五解析几何1.5.2椭圆、双曲线、抛物线课件文
4
=1
=1
x 2 y2 B. =1 13 4 2 2 x y D. =1 18 9
【解析】选D.因为椭圆的两个焦点是(-3,0),(3,0),
2 2 x y 且过点(0,3),所以设椭圆方程为 2 2 a b
=1(a>b>0),
且c=3,b=3,解得a=3 2 ,
x 2 y2 所以椭圆的标准方程为: =1. 18 9
解得c2=8,b2=4.
x 2 y2 所以椭圆m的方程为 1. 12 4
(2)由条件D(0,-2),当k=0时,显然-2<t<2;
x 2 y2 1， 消去y得 当k≠0时,设l:y=kx+t,由 12 4 y kx t， 2 2 2
(1+3k )x +6ktx+3t -12=0,
2.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于
A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2, 则此抛物线方程是 ( )
A.y2=12x
C.y2=6x
B.y2=8x
D.y2=4x
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定 义,x1+x2+p=8,
【解析】根据题意,椭圆的左、右焦点为F1(- 5 ,0),
F2( 5 ,0),由于点M的不确定性,不妨令其为椭圆的 左顶点(-3,0),线段MN的中点为椭圆的上顶点H(0,2),
则M关于C的焦点的对称点分别为A(-2 5 +3,0),
B(2 5 +3,0),而点N(3,4),
据两点间的距离公式得
(1)求椭圆m的方程.
(2)过点(0,t)的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两
高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点
高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点知识点是知识、理论、道理、思想等的相对独立的最小单元，以下是店铺为大家整理的高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点，希望对你有所帮助。
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义：1、到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2、到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0|F1F2|)的点的轨迹3、与定点和直线的距离之比为定值e的点的'轨迹.(02.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形方程标准方程(0,b0)y2=2px参数方程(t为参数)范围─a￡x￡a，─b￡y￡b|x| 3 a，y Rx30中心原点O(0，0)原点O(0，0)顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴;长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(c,0), F2(─c,0)焦距2c (c=)2c (c=)离心率e=1准线x=x=渐近线y=x焦半径通径2p焦参数P数学椭圆知识点双曲线⑴集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2—2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2注：（a，b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2—4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=—2p_2=2pyx2=—2py直棱柱侧面积S=c_h斜棱柱侧面积S=c'_h正棱锥侧面积S=1/2c_h'正棱台侧面积S=1/2（c+c'）h'圆台侧面积S=1/2（c+c'）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi_r2 圆柱侧面积S=c_h=2pi_h圆锥侧面积S=1/2_c_l=pi_r_l弧长公式l=a_ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2_l_r 锥体体积公式V=1/3_S_H圆锥体体积公式V=1/3_pi_r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中，S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s_h圆柱体V=p_r2h乘法与因式分a2—b2=（a+b）（a—b）a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）a3—b3=（a—b（a2+ab+b2）三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a—b|≤|a|+|b||a|≤b<=>—b≤a≤b|a—b|≥|a|—|b|—|a|≤a≤|a|一元二次方程的解—b+√（b2—4ac）/2a—b—√（b2—4ac）/2a根与系数的关系X1+X2=—b/aX1_X2=c/a注：韦达定理判别式b2—4ac=0注：方程有两个相等的实根b2—4ac>0注：方程有两个不等的实根b2—4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根两角和公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A—B）=sinAcosB—sinBcosAcos（A+B）=cosAcosB—sinAsinBcos（A—B）=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=（tanA+tanB）/（1—tanAtanB）tan（A—B）=（tanA—tanB）/（1+tanAtanB）ctg（A+B）=（ctgActgB—1）/（ctgB+ctgA）ctg（A—B）=（ctgActgB+1）/（ctgB—ctgA）倍角公式tan2A=2tanA/（1—tan2A）ctg2A=（ctg2A—1）/2ctgacos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a半角公式sin（A/2）=√（（1—cosA）/2）sin（A/2）=—√（（1—cosA）/2）cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=—√（（1+cosA）/2）tan（A/2）=√（（1—cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=—√（（1—cosA）/（（1+cosA））ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1—cosA））ctg（A/2）=—√（（1+cosA）/（（1—cosA））和差化积2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A—B）2cosAsinB=sin（A+B）—sin（A—B）2cosAcosB=cos（A+B）—sin（A—B）—2sinAsinB=cos （A+B）—cos（A—B）sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A—B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A—B）/2）tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA—tanB=sin（A—B）/cosAcosBctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB—ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB【高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点】。
2019-2020年高中数学专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色训练新人教A版选修
2019-2020年高中数学专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色训练新人教A 版选修一、选择题1．【四川省绵阳南山中学xx 学年高二上学期期中】已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）A .B .C . 2D .【答案】D2．【吉林省舒兰一中xx 学年高二上学期期中】如图，已知椭圆内有一点是其左、右焦点， 为椭圆上的动点，则的最小值为（ ）A .B .C .D .【答案】B【解析】()122MF MB a MF MB +=-- 当且仅当共线时取得最小值 故答案选3．【北京朝阳垂杨柳中学xx 学年高二上学期期中】已知经过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，则的周长等于（ ）A .B .C .D .【答案】A【解析】因为椭圆的方程为，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A .4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中xx 学年高二下学期期中】设为定点，动点满足|，则动点的轨迹是（ ）A . 椭圆B . 直线C . 圆D . 线段【答案】D5．【福建省闽侯第六中学xx 届高三上学期第一次月考】已知椭圆： ，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（ ）A . 1B .C .D .【答案】D【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段长度达最小值时， 有最大值．当垂直于轴时， 222min ||222b b AB b a =⨯=⨯=，所以的最大值为，所以，即，故选D ． 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定义进行求解．点在椭圆上，则点一定满足椭圆的定义，同时点的坐标适合方程；（2）过焦点的所有弦中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而它的长为把这个弦叫作椭圆的通径．6．【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学xx 届高三下学期第四次联合模拟考】是双曲线左支上一点，直线是双曲线的一条渐近线， 在上的射影为是双曲线的右焦点，则的最小值为（ ）A .B .C .D .【答案】C【解析】点睛：本题主要考查双曲线的标准方程和渐近线方程．关键在于利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值．作出图形，利用双曲线的对称性可知在何位置时取最小值．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.．7．【重庆市巴蜀中学xx届高三9月高考适应月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为（）A. 26B.C. 52D.【答案】D本题选择D选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．8．【北京市平谷区xx高三第二学期质量监控】已知点及抛物线上一动点，则的最小值为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，设抛物线的焦点为，连，由抛物线的定义可得。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
（2）焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
（2）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
（3）顶点：焦点在$x$轴上时，顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上时，顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），反映了椭圆的扁平程度。
4、椭圆中的重要结论（1）过椭圆焦点的弦长：若弦过焦点$F_1$，则弦长$｜AB| ＝ 2a e(x_1 ＋ x_2)＄。
（2）椭圆上一点到焦点的距离：设椭圆上一点$P(x_0, y_0)＄，两焦点为$F_1$，＄F_2$，则$｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0$，＄｜PF_2| ＝ aex_0$。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。
高二数学选修2-1抛物线知识点总结
高二数学选修2-1抛物线知识点总结抛物线在高二数学中占有非常重要的地位，下面是店铺给大家带来的高二数学选修2-1抛物线知识点总结，希望对你有帮助。
高二数学选修2-1抛物线知识点高二数学学习方法课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。
在平时要养成良好的解题习惯。
让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。
实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。
如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。
调整心态，正确对待考试。
首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。
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2019人教版精品教学资料·高中选修数学一、选择题1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点()0,2A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）A .92B C . 2 D . 2【答案】D2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆2213216x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ）A .B .C . 4D . 6【答案】B【解析】()122MF MB a MF MB +=-- 22BF a ≥-→ ==当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值故答案选B3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆2212516x y +=右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1AF B 的周长等于（ ）A . 20B . 10C . 16D . 8【答案】A【解析】因为椭圆的方程为2212516x y +=，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 1ABF ∴∆周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A .4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满足|，则动点的轨迹是（ ）A . 椭圆B . 直线C . 圆D . 线段【答案】D5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆：2221(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ）A . 1BC .32D 【答案】D【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时，22BF AF +有最大值．当AB 垂直于x 轴时， 222min ||222b b AB b a =⨯=⨯=，所以22BF AF +的最大值为285b -=，所以23b =，即b =D ．考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定义进行求解．点P 在椭圆上，则点P 一定满足椭圆的定义，同时点P 的坐标适合方程；（2）过焦点的所有弦中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而它的长为22b a把这个弦叫作椭圆的通径．6．【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考】P 是双曲线22:2C x y -=左支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线， P 在l 上的射影为2,Q F 是双曲线C 的右焦点，则2PF PQ +的最小值为（ ）A .2 B C . D . 22+ 111111 【答案】C【解析】点睛：本题主要考查双曲线的标准方程和渐近线方程．关键在于利用双曲线的定义将2PF PQ +｜ 的最小值转化为1PF PQ +的最小值．作出图形，利用双曲线的对称性可知P 在何位置时取最小值．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.． 7．【重庆市巴蜀中学2018届高三9月高考适应月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为（ ）A . 26B .C . 52D .【答案】D本题选择D 选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,0＜2a ＜|F 1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．8．【北京市平谷区2016—2017高三第二学期质量监控】已知点(M 及抛物线24y x =上一动点(),N x y ，则x MN +的最小值为（ ）．A B . C . 3 D . 4【答案】C【解析】如图，设抛物线的焦点为()10F ，，连NF ，由抛物线的定义可得||1NF x =+。
∵||4NF NM MF +≥=，当且仅当三点共线时等号成立，即14x NM ++≥， ∵3x NM +≥。
因此x MN +的最小值为3。
答案：C 。
点睛：（1）对于抛物线的有关问题，若出现了曲线上的点到焦点的连线，则应考虑抛物线的定义，将曲线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离解决，这样会给解题带来方便。
（2）解析几何中的最值问题，可考虑平面几何图形的特点，运用几何法求解。
9．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知拋物线()220y px p =>的焦点F ，点A和B 分别为拋物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作拋物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ）ABCD【答案】D得到|ABa +b ）． 所以MN AB()1ba +MN AB故选：D点睛：本题重点考查了抛物线定义以及余弦定理，，借助重要不等式明确了|AB |与a +b 的不等关系，再结合|MN |与a +b 的等量关系，问题迎刃而解.10．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】已知F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上的一个动点，P (3，1)是一个定点，则的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C故选C【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当三点共线时最小，是解题的关键．11．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】如图所示，设|连接由抛物线定义，得|在梯形中，由余弦定理得，配方得又得到|所以 ，即的最大值为【点评】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等.在抛物线中，利用定义和余弦定理（或正弦定理）是解决之一类问题的基本思路．12．【江西省抚州市南城县第二中学2016-2017学年高二下学期第一次月考】已知点P 是抛物线x =y 2上的一个动点，则点P 到点A （0，2）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ）A . 2B .C . ﹣1D . +1【答案】C【点睛】对圆锥曲线中距离和或差的最值问题，一般有两种处理方法，一种是利用圆锥曲线的定义把到准线（或与准线平行的直线）的距离转化到焦点，把到焦点的距离转化到准线，二种是利用函数思想，把最值问题转化为函数问题。
一般优先考虑第一种，本题采用的是第一种。
13．【江西赣中南五校2017-2018学年高二上学期第一次联考】已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A . 2B . 3C .115 D . 3716【答案】A【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为F （1,0），准线方程是1x =-，根据抛物线定义，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和可以看成抛物线24y x =上一动点P 到焦点和直线2l 的距离之和，其最小值为焦点F 到直线1:4360l x y -+=的距离，d =。
故选A 。
【点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离互相转化。
14．【2016-2017学年河南省新乡市高二上学期期末】抛物线24y x =上有两点,A B 到焦点的距离之和为7，则,A B 到y 轴的距离之和为 （ ）A . 8B . 7C . 6D . 5【答案】D【解析】依题意，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，准线与y 轴的距离是1，故,A B 到y 轴的距离之和为725-=.点睛：本题主要考查抛物线的定义.对于圆锥曲线的定义，往往是解圆锥曲线小题的关键.如本题中的抛物线，由于抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，而准线与y 轴的为1，这样的话两个点到y 轴的距离就比到准线的距离少112+=.熟记圆锥曲线的定义，还需要熟练画出图像，结合图像来解题也是很重要的方法.15．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(6， 172)，则|PA |＋|PM |的最小值是 ( )A . 8B .192 C . 10 D. 212【答案】B16．【四川省成都外国语学校2016-2017学年高二下学期期中】已知P 为抛物线24y x =上一个动点， Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A 1B . 2C . 1D 2【答案】A 【解析】【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将p 到准线的距离转化为到焦点的距离，再根据几何意义解题的.二、填空题17．【辽宁省大连渤海高级中学2017-2018学年高二上学期期中】1F 是椭圆22195x y +=的左焦点， P 是椭圆上的动点， ()1,1A 为定点，则1PA PF +的最小值是_______________。
【答案】6【解析】椭圆22195x y +=的a =3，b c =2，当P 不在直线AF ′上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，||PA |﹣|PF ′||＜|AF ′；∴当P 在F 'A 的延长线上时，|PA |﹣|PF ′|，∴|PA |+|PF |的最小值为6故答案为：6．18．【2017－2018学年高中数学（苏教版）课时跟踪训练(七)】已知椭圆上一点P 到两焦点F 1、F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________． 【答案】100【解析】根据椭圆的定义可知： 12220PF PF a +==结合基本不等式有： 221212101002PF PF PF PF +⎛⎫⋅≤== ⎪⎝⎭当且仅当： 1210PF PF ==时， 12PF PF ⋅取得最大值100 故12PF PF ⋅的最大值为10019．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为_____________. 【答案】54,4-或【解析】试题分析：当焦点在x 轴时， 2891c k k =+-=-，所以21184k e k -==+，解得4k =，当焦点在y 轴时， ()2981c k k =-+=-，所以21194k e -==，解得54k =-，所以答案应填： 54,4-或． 考点：1、椭圆的离心率；2、分类讨论．20．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为________． 【答案】21．【湖南省长郡中学2017-2018学年高二上学期第一次模块检测】椭圆22221(0)43x y a a a+=>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A B 、，则FAB ∆的周长的最大值是__________．【答案】8α【解析】如图，设椭圆的右焦点为M ，椭圆的长轴为2×2a =4a ，△FAB 的周长AF +FB +AB ≤FA +AM +FB +BM =2×2a +2×2a =8a ，故答案为：8a点睛：本题充分体现了解析几何的思想方法：数形结合，利用椭圆的定义结合三角形的基本性质得到周长的最值.22．【2017届河南省安阳市高三第一次模拟考】已知抛物线1C ： 2y ax =（0a >）的焦点F 也是椭圆2C ： 22214y x b +=（0b >）的一个焦点，点M ， 3,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别为曲线1C ， 2C 上的点，则MP MF +的最小值为__________．【答案】2211:4C y x =的交点即为所求M 点，所以MP MF MP d +=+的最小值为()112--=. 点睛：此题主要考查抛物线方程、定义、焦点，椭圆的方程、焦点，以及它们与直线的位置关系等有关方面的知识，属于中档题型，也是高频考点.经过审题，可由点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得椭圆方程，算出焦点F 的坐标，从而求出抛物线方程，并可求出其准线:1l y =-，由抛物线定义可求出MP MF +最小值，有必要可画出草图.。