综合法与分析法分析法教学设计
2.2.综合法与分析法-人教B版选修1-2教案
2.2.综合法与分析法-人教B版选修1-2教案
1. 教学目标
1.了解综合法与分析法的概念和特点；
2.掌握综合法与分析法在数学问题中的应用；
3.培养学生的分析问题和解决问题的能力。
2. 教学内容
1.综合法的概念和特点；
2.分析法的概念和特点；
3.综合法与分析法在数学问题中的应用。
3. 教学重点和难点
3.1 教学重点
1.综合法与分析法的应用；
2.解决实际问题的能力。
3.2 教学难点
1.综合法与分析法的区别和联系；
2.培养学生的解决实际问题的能力。
4. 教学方法
4.1 教学过程
本节课主要采用讲授和练习相结合的教学方法。
1.引入（5分钟）
首先让学生回顾前面学习的知识点，了解综合法和分析法的概念，为本节课的学习做好铺垫。
2.讲授（30分钟）
具体讲解综合法与分析法的概念和特点，并通过案例演示在数学问题中的应用方法。
3.练习（25分钟）
让学生在教师的指导下，针对综合法和分析法的应用问题进行练习。
4.课堂小结（10分钟）
本节课的学习重点、难点和解决方法进行总结。
4.2 教学手段
采用黑板、PPT和实物演示等多种教学手段，深入浅出地讲解综合法和分析法的应用。
5. 教学资源
1.讲义和PPT；
2.实物演示材料。
6. 作业
1.完成教师布置的相关题目练习；
2.思考如何将综合法与分析法运用到实际生活中。
7. 教学评估
1.课堂练习成绩；
2.作业完成情况；
3.学生思维能力提高情况。
综合法与分析法分析法教学设计
综合法与分析法分析法教学设计Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】综合法与分析法——分析法一、教材分析1教材背景生活中存在这样那样的推理，证明的过程离不开推理；而合情推理所得的结论是需要证明的，数学结论的正确性也必须通过逻辑推理的方式加以证明。
本节的证明方法，蕴含着解决数学问题常用的思维方式，也是培养训练学生分析问题，解决问题能力的重要内容。
2地位与作用《综合法与分析法》是直接证明的两类基本方法。
是在学习了合情推理与演绎推理的基础上，学习证明数学结论的两种常见方法，它不是孤立存在的，这种证明的方法渗透到函数，三角函数，数列，立几，解析几何等等。
可见，直接证明的方法在中学数学里占有重要地位的。
现在的高考中不会单独命制直接证明的试题，而是把它与函数、数列、解析几何等问题相结合命制成综合性考题，重在考察学生的逻辑思维能力，这类问题立意新颖，抽象程度高，更能体现高观点、低起点，深入浅出的高考命题特点。
二、学情分析1．有利因素学生在数学的学习中已经初步形成了一定的证明思想，例如初中阶段的几何证明；高一学习了一元二次不等式，初步证明了一些不等式的问题；在本节课前，学习了合情推理与演绎推理，都为本节课的学习打下了基础。
2．不利因素学生对已学知识的应用意识不强；三角代换，代数式的变形没有目的性，随意性较大。
特别是与其他章节知识的交汇存在很大障碍。
三、目标分析根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，我制定本节课的教学目标如下：1知识目标了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分和综合法的思考过程、特点．能运用综合法，分析法证题。
2能力目标通过分析法与综合法的学习，提升分析解决问题的能力。
3德育目标通过分析法与综合法的学习，体会数学思维的严密性。
四、重点：了解分析法的思考过程、特点。
综合法和分析法教学设计
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例2 已 知a1,a2 , ,an R , 且a1a2 an 1, 求 证(1 a1 )(1 a2 ) (1 an ) 2n 证明: a1 R,1 a1 2 a1 ,
只需证( 2 7 )2 ( 3 6)2 ,
展开得9 2 14 9 2 18 ,
只需证 14 18 ,
只需证14 18,14 18成立,
所以 2 7 3 6成立.
(2)分析法
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证 的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执 果索因的思考和证明方法.
(1)a2 0;
(2) a 0;
(3)a2 b2 2ab;它的变形形式又有
(a
b)2
a2 4ab;
b2
a
b
2
2 2
(4) a b ab;它的变形形式又有 2
a b 2(ab 0); a b 2(ab 0)
ba
ba
例3 求证 2 7 3 6
证明 : 2 7和 3 6都是正数, 所以要证 7 3 6,
由于a,b,c不全相等, 所以上述三个式子中至少有一个不 取 等 号, 把 它 们 相 加 得 a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
二、综合法与分析法 (1)综合法
在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的 性质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要 证明的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、 定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题 成立,这种证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因 导果法.
【参考教案】《综合法和分析法》(人教A版)
《综合法和分析法》（人教A版）第一章：综合法的概念与运用1.1 教学目标1. 理解综合法的定义及特点；2. 学会运用综合法进行问题的解决。
1.2 教学内容1. 综合法的定义及特点；2. 综合法在实际问题中的应用。
1.3 教学步骤1. 引入综合法的概念，让学生了解综合法的定义及特点；2. 通过实例讲解，让学生学会运用综合法进行问题的解决；3. 练习题：让学生巩固所学内容。
第二章：分析法的概念与运用2.1 教学目标1. 理解分析法的定义及特点；2. 学会运用分析法进行问题的解决。
2.2 教学内容1. 分析法的定义及特点；2. 分析法在实际问题中的应用。
2.3 教学步骤1. 引入分析法的概念，让学生了解分析法的定义及特点；2. 通过实例讲解，让学生学会运用分析法进行问题的解决；第三章：综合法与分析法的比较3.1 教学目标1. 理解综合法与分析法的区别与联系；2. 学会根据实际情况选择合适的方法进行问题的解决。
3.2 教学内容1. 综合法与分析法的区别与联系；2. 实际问题中综合法与分析法的选择。
3.3 教学步骤1. 通过对比实例，让学生了解综合法与分析法的区别与联系；2. 讲解如何在实际问题中选择合适的方法进行问题的解决；3. 练习题：让学生巩固所学内容。
第四章：综合法与分析法在几何中的应用4.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在几何中的应用；2. 学会运用综合法与分析法解决几何问题。
4.2 教学内容1. 综合法与分析法在几何中的应用；2. 几何问题中综合法与分析法的选择。
4.3 教学步骤1. 通过几何实例，让学生了解综合法与分析法在几何中的应用；2. 讲解如何在几何问题中选择合适的方法进行问题的解决；第五章：综合法与分析法在代数中的应用5.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在代数中的应用；2. 学会运用综合法与分析法解决代数问题。
5.2 教学内容1. 综合法与分析法在代数中的应用；2. 代数问题中综合法与分析法的选择。
综合法和分析法公开课教案课件
图形语言等. 还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.
回顾
《必修五》中,我们如何证明基本不等式 的 ,指出其中的证明方法的特点.
ab 2
ab(a 0,b 0)
证明 要证 a b ab
证明: a b ab 2
2
只需证 a b 2 ab
这种证a思明考b方:2法2 ab
只需证 a b 2 ab 0
一.综合法 (由因导果法,顺推法)
1.定义:一般地, 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 及运算法则等, 经过一系列的推理论证, 最后推导出 所要证明的结论成立.
2.思维特点: 由因导果，从“已知”看“可知”，逐步 推向“未知”，其逐步推理 ，实际是寻找 它的必要条件.
3.框图表示:(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)
有什么特点呢?
( a b
)
2
0
2
只需证( a b)2 0
a b ab
2
因为上式显然成立,所以原不等式成立.
二.分析法 (执果索因法,逆推证明法)
1.定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,
把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
明的问题归结为一个明显成立的条件. (3)对于解答证明来说, 综合法表现为由因导果, 分析法表现为执果索因, 它们是寻求解题
思路的两种基本思考方法, 应用十分广泛.
作业布置
1．必做题：教材P89 练习1、2题． 2．选做题：教材习题2.2 B组2.3题．
感谢各位领导和老师的 莅临指导!!!
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综合法与分析法教案
2、2、1综合法与分析法教案年级：高二 学科：数学一、授课时间：2006年2月二、授课地点：胶州一中三、执教教师：纪淑燕四、研究课题：综合法五、教学目标结合已学过的数学实例，了解直接证明的基本方法----综合法了解综合法的思考过程、特点；培养学生逻辑推理能力六、教学内容分析：本节课是选修1—2中第二章第一课时，本章是重点，可以和其他知识联系在一起。
学习重点：综合法证明数学问题七、教学对象分析：学生是普通文科班的学生，基础较差，应以讲练结合的方法为主八、教学用品：多媒体电脑与投影仪九、教学过程：一. 引入合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。
若要证明下列问题：已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥ 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。
教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义二.新知探索1、综合法的定义2、框图表示()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论三、典型例题1、证明不等式教师活动：由引入的例子的证明方法，让学生思考应该如何证明本题 学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：应用不等式证明不等式问题)(2:,,,,,1222zx yz xy z c b a y b a c x a c b Rc b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证、已知：例222222c c a a b x x y y z z a b b c c+++++若不等式左边分解成b a变式训练学生活动：自主练习，个别学生到黑板做。
设计意图：规范解题步骤，充分体会综合法证明不等式的方法，体会综合法证明数学问题的思想证明有关三角问题教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：应用综合法证明三角问题教师活动：老师分析题目，引导学生找到解题思路学生活动：自主练习，个别学生到黑板做。
综合法和分析法(公开课教案)
综合法和分析法(公开课教案)第一章：综合法的介绍1.1 教学目标：了解综合法的定义和应用范围。
掌握综合法的步骤和技巧。
1.2 教学内容：综合法的定义和意义。
综合法的应用领域，如科学研究、工程设计等。
综合法的步骤，包括问题定义、信息收集、方案设计等。
综合法的技巧，如图表制作、数据分析等。
1.3 教学方法：讲授法：介绍综合法的定义、应用领域和步骤。
案例分析法：分析实际案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论综合法的技巧和难点。
1.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第二章：分析法的介绍2.1 教学目标：了解分析法的定义和应用范围。
掌握分析法的步骤和技巧。
2.2 教学内容：分析法的定义和意义。
分析法的应用领域，如企业管理、市场研究等。
分析法的步骤，包括问题定义、数据收集、因素分析等。
分析法的技巧，如数据可视化、假设验证等。
2.3 教学方法：讲授法：介绍分析法的定义、应用领域和步骤。
案例分析法：分析实际案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论分析法的技巧和难点。
2.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第三章：综合法和分析法在科学研究中的应用3.1 教学目标：了解综合法和分析法在科学研究中的具体应用。
掌握相应的应用技巧和注意事项。
3.2 教学内容：综合法和分析法在科学研究中的常见应用场景。
具体的应用技巧，如数据整合、信息提炼等。
应用过程中的注意事项，如数据准确性、逻辑严密性等。
3.3 教学方法：讲授法：讲解综合法和分析法在科学研究中的应用。
案例分析法：分析具体案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论应用过程中的技巧和难点。
3.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第四章：综合法和分析法在工程设计中的应用4.1 教学目标：了解综合法和分析法在工程设计中的具体应用。
分析法和综合法区别高二数学《综合法和分析法》教学设计
分析法和综合法区别高二数学《综合法和分析法》教学设计学生探究过程：证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条。
综合法则是从数学题的已知条出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写)要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。
(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2 ＞0成立。
而由已知条可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab由题设条知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证例2、若实数，求证：证明：采用差值比较法：例3、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
讨论：若题设中去掉这一限制条，要求证的结论变换？2.2二项分布及其应用教案三（新人教A版选修2-3）2．2．2事的相互独立性目标：知识与技能：理解两个事相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
人教版高中选修(B版)1-22.2.1综合法与分析法课程设计
人教版高中选修(B版)1-22.2.1综合法与分析法课程设计1. 课程简介本课程是人教版高中选修(B版)的综合法与分析法课程设计，主要涉及的内容为综合法与分析法的基本概念、原理、方法和应用，具体包括概括法、对比法、分类法、差异法、联系法、统计法、因果法、逻辑法等，通过课程的学习，学生将能够掌握综合法与分析法的基本理论和方法，运用综合法与分析法解决实际问题，提高综合分析和解决问题的能力。
2. 教学目标1.理解综合法与分析法的基本概念、原理、方法和应用；2.掌握综合法与分析法的具体方法和步骤；3.运用综合法与分析法解决实际问题；4.培养学生的综合分析和解决问题的能力。
3. 教学内容1.综合法与分析法的基本概念、原理和分类；2.综合法的具体方法和步骤，包括概括法、对比法、分类法、差异法、联系法等；3.分析法的具体方法和步骤，包括统计法、因果法、逻辑法等；4.运用综合法与分析法解决实际问题的案例分析。
4. 教学方法本课程采用讲授、案例分析、讨论、实践等多种教学方法相结合，重点采用案例分析和实践教学，以实际问题为载体，让学生通过思考和实践来熟悉和掌握综合法与分析法的具体方法和步骤。
5. 教学进度安排本课程分为5个教学单元，预计需要5周时间完成：教学单元教学内容教学时间第一单元综合法与分析法的基本概念、原理和分类1周第二单元综合法的具体方法和步骤1周第三单元分析法的具体方法和步骤1周第四单元运用综合法与分析法解决实际问题的案例分析1周第五单元综合复习和综合评价1周6. 主要参考教材1.《综合法与分析法》，人民出版社，2015年2.《综合分析与决策》，北京大学出版社，2017年7. 作业和评分方法1.完成课堂笔记，撰写一份课程学习笔记，重点总结课程内容和思考；2.完成一份小组作业，选择一个实际问题进行综合分析和解决；3.完成一份个人作业，选择一个自己感兴趣的课题进行综合分析和解决；4.参加课堂讨论和交流，积极发表意见和提问；5.最终成绩评定：笔记和作业占70%；课堂表现和参与度占30%。
综合法与分析法.-教案
综合法与分析法一、教材分析：《综合法与分析法》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．二、教学目标：1、知识与技能：(1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．(2)了解综合法和分析法的思维过程和特点．2、过程与方法：(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3、情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生 活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．三、教学重点： 综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤。
四、教学难点： 综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题。
五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：本节知识点数学是证明中的一种特别方法，它需要学生具备一定的方向思维，执果索因，具备一定的逻辑推理能力，由于逻辑的转换存在困难，大部分学生对于本节课要学习的证明方法还存在一定逻辑推理上的欠缺，还需要老师逐步讲解和引导。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究、讲练结合法七、教学过程一， 1、自主导学： 复习引入回顾不等式：⑴(),02a a b b ≥>+的证明过程；证明：因为222a b a b ab +=+≥=所以2a b +≥=a b =等号成立⑵222a b ab +≥，(,)a b R ∈的证明过程；因为2222()0a b ab a b +-=-≥所以 222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立。
2、合作探究（1）分组探究： 例1．已知 ,,0,a b c ＞且不全相等，求证：222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++＞证明：222,0b c bc a +≥＞，所以22()2a b c abc +≥ ①因为222,0c a ac b +≥＞，所以 22()2b c a abc +≥ ②因为222,0a b ab c +≥＞，所以 22()2c a b abc +≥ ③由于，,,a b c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得 222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++＞（2）教师点拨：观察上述证明方法我们可以得到综合法的概念：所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证明的不等式。
教学设计8：2.2.1 综合法与分析法
2.2.1 综合法与分析法教学目标1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． 知识链接1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？ 答 要证a ＋b 2≥ab ， 只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．教学导引1．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：用P 表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q3．分析法(1)定义：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明方法叫做分析法．(2)框图表示：用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件课堂讲义要点一 综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4. 证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b＋1≥2＋2b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法．跟踪演练1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形． 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证． 规律方法 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪演练2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明 要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )．由SA ⊥平面ABC 可知上式成立，所以AF ⊥SC .要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明 要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立． 规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.当堂检测1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2<y 【答案】D【解析】∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14， 则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2【答案】C【解析】根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明 因为1log b a＝log a b ，所以 左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋lo g 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)． 证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3， 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．。
人教课标版高中数学选修4-5：《综合法与分析法》教案-新版
2.2 课时6 综合法与分析法一、教学目标（一）核心素养通过对综合法与分析法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路.（二）学习目标1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的综合法.2.了解直接证明分析法，注意格式规范.2.了解分析法和综合法的思考过程.（三）学习重点会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.（四）学习难点根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第23页至第25页，思考：什么是综合法？什么是分析法？（2）想一想：两种方法有什么区别与联系？2．预习自测（1）综合法又叫顺推证法，它的特点是.【知识点】综合法【数学思想】【解题过程】由因到果【思路点拨】了解综合法的原理【答案】由因到果（2）分析法的特点是.【知识点】分析法【数学思想】【解题过程】执果索因.【思路点拨】了解分析法的原理【答案】执果索因（32+<，最好用什么方法？ 【知识点】分析法 【数学思想】2+<，只需证22(2<+，只需证<<，只需证1820<，显然成立，原命题成立. 【思路点拨】分析法由果寻因，证明问题很方便 【答案】分析法 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）如果,a b ∈R ，那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.（2）如果,0a b >，那么2a b+≥，当且仅当a b =时，等号成立. （3）如果,a b c d >>，那么a c b d +>+；如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >. 2．问题探究探究一 综合法与分析法 ●活动① 综合法与分析法的定义综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法.由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点.所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中.前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”.打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”.以前得到的结论，可以作为证明的根据.特别的，AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式.例1 b a ,都是正数，求证：.2≥+abb a【知识点】综合法；基本不等式 【数学思想】【解题过程】证明：由重要不等式AB B A 222≥+可得.22=≥+ab b a a b b a 【思路点拨】基本不等式：一正二定三取等 【答案】见解析同类训练 证明：当1x >时, 1+31x x ≥-. 【知识点】综合法；基本不等式 【数学思想】【解题过程】证明：因为1x >，所以11+(1)++11)+1=3111x x x x x =-≥---. 【思路点拨】配凑定值，用基本不等式可证 【答案】见解析例2 设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+ 【知识点】综合法；分析法 【数学思想】【解题过程】证法一 综合法ab b ab a b ab a b a ≥+-⇒≥+-⇒≥-22222020)(，注意到0,0>>b a ，即0>+b a ，由上式即得)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+，从而2233ab b a b a +≥+成立.证法二 分析法要证2233ab b a b a +≥+成立.只需证)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+成立， 又因0>+b a ，只需证ab b ab a ≥+-22成立，又需证0222≥+-b ab a 成立， 即需证0)(2≥-b a 成立.而0)(2>-b a 显然成立. 由此命题得证. 【思路点拨】因式分解化简不等式. 【答案】见解析同类训练 求证2252(2)a b a b ++≥- 【知识点】综合法；分析法【数学思想】【解题过程】证法一 综合法因为22(2)(1)0a b -++≥,所以224250a b a b +-++≥,所以2252(2)a b a b ++≥-. 证法二 分析法要证2252(2)a b a b ++≥-，只需证22542a b a b ++≥-,只需证224250a b a b +-++≥，只需证22(2)(1)0a b -++≥，显然成立，所以原不等式成立.【思路点拨】一元二次，配方. 【答案】见解析议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 【设计意图】理解和掌握综合法与分析法. 探究二 综合法与分析法的特点 ●活动① 综合法与分析法的特点如果用Q P ⇒或P Q ⇐表示命题P 可以推出命题Q （命题Q 可以由命题P 推出），那么采用综合法的证法一就是).1()2()3()4(⇒⇒⇒采用分析法的证法二就是).4()3()2()1(⇐⇐⇐如果命题P 可以推出命题Q ，命题Q 也可以推出命题P ，即同时有P Q Q P ⇒⇒,，那么我们就说命题P 与命题Q 等价，并记为.Q P ⇔例3 证明：ca bc ab c b a ++≥++222. 【知识点】综合法；分析法 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证法一 因为ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+ 所以三式相加得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++， 两边同时除以2即得ca bc ab c b a ++≥++222. 证法二 因为,0)(21)(21)(21)(222222≥-+-+-=++-++a c c b b a ca bc ab c b a 所以ca bc ab c b a ++≥++222成立.【思路点拨】基本不等式，不等式的可加性. 【答案】见解析同类训练 求证：222222222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++. 【知识点】综合法；分析法 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：因为222222a b b c ab c +≥，222222b c c a abc +≥，222222c a a b a bc +≥ 所以三式相加得2222222222()2()a b b c c a a bc ab c abc ++≥++， 两边同时除以2即得222222222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++. 【思路点拨】基本不等式，不等式的可加性. 【答案】见解析例4 证明：.)())((22222bd ac d c b a +≥++ 【知识点】分析法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】证明 要证.)())((22222bd ac d c b a +≥++只需证0)())((22222≥+-++bd ac d c b a只需证0)2(222222222222≥++-+++d b abcd c a d b d a c b c a 只需证022222≥-+abcd d a c b 只需证 0)(2≥-ad bc ，显然成立，原不等式成立. 此时显然成立.因此.)())((22222bd ac d c b a +≥++成立. 【思路点拨】化简，配方. 【答案】见解析同类训练 已知1m n >>,求证：2m n mn m +>+. 【知识点】分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 要证2m n mn m +>+,只需证2()()0m m n mn -+->,只需证(1)(1)0m m n m -+->,只需证(1)()0m m n -->,因为1m n >>，所以(1)()0m m n -->.【思路点拨】化简，因式分解. 【答案】见解析【设计意图】体会综合法与分析法在证明不等式时的异同． 探究三 巩固提升 ●活动① 巩固提升例5 已知c b a ,,都是正数，求证.3333abc c b a ≥++并指出等号在什么时候成立？ 【知识点】综合法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 abc c b a 3333-++=))((222ca bc ab c b a c b a ---++++ =].)()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++由于c b a ,,都是正数，所以.0>++c b a 而0)()()(222≥-+-+-a c c b b a ，可知03333≥-++abc c b a ，即abc c b a 3333≥++（等号在c b a ==时成立）【思路点拨】本题可以考虑利用因式分解公式))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++着手. 【答案】见解析同类训练 已知0,0,0a b c >>>,且1abc =,111+a b c≤+. 【知识点】综合法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 由1abc =，得111+=ab bc ac a b c +++，又由基本不等式及0,0,0a b c >>>得ab bc +≥=bc ac +≥=,ab ac +≥=,111+a b c+≤+ 【思路点拨】基本不等式. 【答案】见解析同类训练 如果将不等式abc c b a 3333≥++中的333,,c b a 分别用c b a ,,来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a ，其中c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc .【知识点】基本不等式；综合法 【数学思想】【解题过程】,,0)3a b c a b c ++≥>，当且仅当a b c ==时取等号. ,31,31,31333ac a c bc c b ab b a ≥++≥++≥++三式相乘的，得 127)1)(1)(1(32=>++++++）（abc a c c b b a ，所以27)1)(1)(1(≥++++++a c c b b a ，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧======c a c b b a 111，即1===c b a 时取等号，因为c b a ,,是互不相等的正数，所以27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a .【思路点拨】注意取等三个正数的均值不等式的条件 【答案】见解析【设计意图】掌握用综合法与分析法证明不等式． 3. 课堂总结 知识梳理(1)解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。
人教A版选修1《综合法和分析法》教案及教学反思
人教A版选修1《综合法和分析法》教案及教学反思一、教案设计1.1 教学背景本课程是人教A版选修1中的《综合法和分析法》。
主要涉及到综合法的概念、特点和适用条件；分析法的概念、特点和适用条件；以及在实际生活中如何运用综合法和分析法进行问题的解决等。
本课程旨在让学生了解法律的多元性，提高学生的实践能力和解决问题的能力。
1.2 教学目标1.理解综合法和分析法的概念、特点和适用条件。
2.学会在实际生活中使用综合法和分析法解决问题。
3.培养学生的实践能力和解决问题的能力。
1.3 教学内容综合法的概念、特点和适用条件1.什么是综合法？2.综合法的特点有哪些？3.综合法适用的条件是什么？分析法的概念、特点和适用条件1.什么是分析法？2.分析法的特点有哪些？3.分析法适用的条件是什么？综合法和分析法在实际生活中的应用1.综合法和分析法的区别是什么？2.如何运用综合法和分析法解决生活中的问题？1.4 教学方法本课程注重理论与实践相结合，采用讲授和案例分析相结合的教学方法。
通过引导学生运用综合法和分析法解决实际问题，帮助学生深入理解和掌握知识内容。
1.5 教学流程时间教学内容教学方法第一课时课程介绍和前置知识讲授第二课时综合法的概念、特点和适用条件讲授第三课时综合法案例分析案例分析第四课时分析法的概念、特点和适用条件讲授第五课时分析法案例分析案例分析第六课时综合法和分析法在实际生活中的应用讲授+案例分析第七课时实例综合分析案例分析第八课时总结和评估讲授二、教学反思本次教学中，我注重了理论与实践相结合，让学生能够深入理解和掌握综合法和分析法的概念、特点和适用条件，并能够在实际生活中运用这些知识解决问题。
同时，在案例分析环节，我对学生进行了引导和点拨，使得他们能够以正确的思路和方法分析问题，从而得出正确的结论。
教学效果较好，学生们的实践能力和解决问题的能力得到了较大的提高。
当然，也存在一些不足之处。
比如，在某些案例分析环节，学生的思维启发不足，导致分析结果不够充分和准确。
综合法和分析法(公开课教案)
综合法和分析法课时安排：每章25分钟，共125分钟教学目标：1. 让学生理解综合法和分析法的概念及应用。
2. 培养学生运用综合法和分析法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维和判断能力。
教学方法：1. 讲授法：讲解综合法和分析法的原理及运用。
2. 案例分析法：分析实际案例，让学生深入理解综合法和分析法。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
教学内容：第一章：综合法概述1.1 综合法的定义1.2 综合法的应用领域1.3 综合法的优势和局限性第二章：分析法概述2.1 分析法的定义2.2 分析法的应用领域2.3 分析法的优势和局限性第三章：综合法与分析法的区别与联系3.1 综合法与分析法的区别3.2 综合法与分析法的联系3.3 综合法与分析法在实际应用中的选择第四章：综合法在解决问题中的应用4.1 综合法解决问题的步骤4.2 综合法在案例中的应用4.3 综合法解决问题的注意事项第五章：分析法在解决问题中的应用5.1 分析法解决问题的步骤5.2 分析法在案例中的应用5.3 分析法解决问题的注意事项教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。
2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，检验学生对综合法和分析法的理解程度。
3. 课堂问答：通过提问，了解学生对教学内容的掌握情况。
教学资源：1. PPT课件：展示综合法和分析法的原理、案例及应用。
2. 案例材料：提供实际案例，供学生分析和讨论。
3. 参考书籍：为学生提供更多的学习资料，加深对综合法和分析法的理解。
教学建议：1. 在讲解综合法和分析法时，举例生动、贴近实际，激发学生的兴趣。
2. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。
3. 注重课后作业的布置和批改，及时了解学生对教学内容的掌握情况。
4. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
第六章：综合法在自然科学中的应用6.1 自然科学中综合法的典型应用案例6.2 综合法在自然科学研究中的作用与意义6.3 综合法在自然科学中的局限性与挑战第七章：分析法在社会科学中的应用7.1 社会科学中分析法的典型应用案例7.2 分析法在社会科学研究中的作用与意义7.3 分析法在社会科学中的局限性与挑战第八章：综合法与分析法在工程领域的应用8.1 工程领域中综合法的应用案例8.2 工程领域中分析法的应用案例8.3 综合法与分析法在工程领域的结合应用第九章：综合法与分析法在医学领域的应用9.1 医学领域中综合法的应用案例9.2 医学领域中分析法的应用案例9.3 综合法与分析法在医学领域的结合应用第十章：综合法与分析法在商业领域的应用10.1 商业领域中综合法的应用案例10.2 商业领域中分析法的应用案例10.3 综合法与分析法在商业领域的结合应用教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。
2.2.1综合法与分析法(2)分析法(教学设计)
2. 2 .1 综合法和分析法（2）--分析法（教学设计）教学目标：知识与技能目标：（1）理解分析法证明的概念；（2）能熟练地运用分析法证明数学问题；（3）综合法与分析法结合使用证明数学问题。
过程与方法目标:（1）通过实例引导学生理解分析法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出分析法证明的操作流程图；（3）通过实例引导学生灵活选用证明的方法。
情感、态度与价值观：（1）通过分析法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。
（2）通过分析法的学习，养成审慎思维的习惯；（3）通过证明方法的选择，与两种证明方法的结合使用，培养学生综合解决问题的能力。
教学重点：了解分析法思考过程、特点教学难点：对分析法的思考过程、特点概括教学过程:一、复习回顾：1、综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。
用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒2、综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
二、创设情境，新课引入证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P 1，为了证明P 1成立，再去寻求P 1成立的充分条件P 2，为了证明P 2成立，再去寻求P 2成立的充分条件P 3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。
三、师生互动，新课讲解：例1（课本P87例如）：求证：ab b a ≥+2（a >0，b >0） 证明：要证 ab b a ≥+2， 只需证 ab b a 2≥+，只需证02≥-+ab b a ，只需证0)(2≥-b a 由于0)(2≥-b a 显然成立，因此原不等式成立。
1[1].2综合法与分析法 教案(北师大版选修2-2)
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§2 综合法与分析法2．1综合法2．2分析法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生分析综合法和分析法的思考过程与特点；(2)简单运用综合法与分析法解决具体的数学问题．2．过程与方法结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程．3．情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯；(2)通过本节的学习和运用实践，体会数学问题解决过程中的思维方式．●重点难点重点：(1)了解综合法与分析法的思考过程和特点；(2)运用综合法与分析法证明数学问题．难点：对综合法与分析法的思考过程和特点的概括．教学时要结合学生已学过的数学知识，通过实例充分暴露学生解决问题时的思维过程及形成原因，再通过不同实例概括两种方法的思考特点，从而揭示综合法与分析法的含义，使重点突出，难点化解．(教师用书独具)●教学建议在以前的学习中，学生已积累了较多的综合法、分析法证明数学问题的经验，但这些经验是零散的，不系统的．由此，借助学生熟悉的数学实例，引导学生归纳总结两种方法的特点，促使他们形成对两种方法的较完整认识．所以本节课宜采取自主探究与师生交流相结合的教学模式，充分暴露学生思维，总结共性，形成规律．●教学流程创设问题情境，引出问题：证明以下命题，并归纳思考过程和特点(给出例1、例2)⇒学生探究后，师生交流，通过分析、比较归纳、概括，得出综合法、分析法的定义.⇒进一步引导学生揭示综合法与分析法的操作流程.⇒通过例1及变式训练完善综合法.⇒通过例2及互动探究完善分析法.⇒通过例3及变式训练巩固两种方法，并理清两种方法的区别与联系.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题．已知实数x ，y 满足x ＋y ＝1，求证：2x ＋2y ≥2 2.证明：因为x ＋y ＝1，所以2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ＝22，故2x ＋2y ≥22成立． 1．本题的条件和结论是什么？【提示】 条件：x ＋y ＝1；结论：2x ＋2y ≥2 2. 2．本题的证明顺序是什么？【提示】 从已知利用基本不等式到待证结论．从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接【问题导思】证明不等式：3＋22<2＋7成立，可用下面的方法进行． 证明：要证明3＋22<2＋7， 由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7， 显然6<7成立．∴3＋22<2＋7成立． 1．本题证明从哪里开始？【提示】 从结论开始． 2．证题思路是什么？【提示】 从结论开始，寻求每一步成立的充分条件． 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法.设a ，b ，c >0，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .【思路探究】 注意到不等式左、右两边的特征，只需利用“bc a ＋ac b ≥2bc a ·acb＝2c ”，就可将左、右两边的形式化异为同．【自主解答】 因为bc a ＋ac b ≥2bc a ·acb＝2c ，ac b ＋ab c ≥2ac b ·ab c ＝2a ，ab c ＋bc a ≥2ab c ·bc a＝2b ，将以上三个不等式左、右分别相加，得：2(bc a ＋ac b ＋ab c )≥2a ＋2b ＋2c ，即bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .1．应用综合法解决问题时，应充分分析条件和结论之间的异同点，然后合理选择相关定义、定理、公式等已知结论化异为同将条件向结论转化．2．综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到问题的解决．综合法广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法．一般说来，当题目已知条件中因果关系较清晰时，可正向思考，由因索果，用综合法解决．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.【证明】 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 ∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．【自主解答】 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，故只需证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即证a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a)＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a )，只需证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a 2)，即证a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．1．本题观察到已知条件简单(a >0)，而证明的结论 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2比较复杂，这时我们一般采用分析法．2．分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．将本例的条件改为“a ＋b >0”，结论改为“a 2＋b 2≥22(a ＋b )”．【证明】 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥[22(a ＋b )]2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，所以a 2＋b 2≥2(a ＋b )成立.，B ，C的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【思路探究】 本题可从结论入手用分析法求解，也可从条件入手用综合法证明． 【自主解答】 法一 (分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 法二 (综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°.所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边加ab ＋bc ，得 c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以(c a ＋b ＋1)＋(ab ＋c ＋1)＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法和分析法各有优缺点．从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长．也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lg c . 【证明】 因为a >1，b >1，故要证log a c ＋log b c ≥4lg c ，则只需证lg c lg a ＋lg clg b≥4lg c .又因为c >1，所以lg c >0，故只需证1lg a ＋1lg b ≥4，即lg a ＋lg b lg a ·lg b≥4，又因为ab ＝10，所以lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝1，故只需证1lg a ·lg b≥4，(*)又因为lg a >0，lg b >0，所以0<lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b 2)2＝(12)2＝14，即(*)式成立．所以原不等式成立，即log a c ＋log b c ≥4lg c .化归与转化思想在证明题中的应用(12分)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形.【思路点拨】 将A 、B 、C 成等差数列，转化为符号语言就是2B ＝A ＋C ；A 、B 、C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A ＋B ＋C ＝π；a 、b 、c 成等比数列，转化为符号语言就是b 2＝ac .再结合余弦定理进行求解即可．【规范解答】 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①2分 ∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，∴A ＋B ＋C ＝π.②由①②得，B ＝π3.③4分由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④6分 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .8分 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac . 即(a －c )2＝0，因此a ＝c .9分 从而有A ＝C .⑤10分由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形.12分1．本题中欲判断△ABC 的形状，可考虑从三角形中的角(或边)入手分析，这就要将条件中的边角相互转化，从而使问题得以解决．2．解答数学问题时，应充分分析题目的条件和结论，并在此基础上找到条件与结论的差异，然后展开联想，联想有关的数学定理、公式等，最后选择合理的依据和手段化异为同．1．综合法证明问题的步骤第一步：分析条件、选择方向，仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件、组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：统览全题，要点检查，解题后注意对整个题的检查，反思总结解题方法的选取． 2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略.1．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a ＋1a >b ＋1b D.2a ＋b a ＋2b >a b【解析】 ∵a >b >0，∴1b >1a >0，∴a ＋1b >b ＋1a.【答案】 A2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2【解析】 欲证2－3<6－7，即证2＋7<3＋6，因两边皆为正数，故只需证(2＋7)2<(3＋6)2.【答案】 C3．已知a ，b ，x 均为正数，且a >b ，则b a 与b ＋xa ＋x的大小关系为________．【解析】 ∵b (a ＋x )－a (b ＋x )＝ab ＋bx －ab －ax ＝x (b －a )，∵a ，b ，x 均为正数，a >b ， ∴x (b －a )<0.∴b (a ＋x )<a (b ＋x )．即b a <b ＋xa ＋x.【答案】 b a <b ＋xa ＋x4．设a >0，b >0且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 【证明】 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2， 只需证a 3＋b 3－a 2b －ab 2>0， 只需证a 2(a －b )＋b 2(b －a )>0， 只需证(a －b )·(a 2－b 2)>0， 只需证(a －b )2(a ＋b )>0， 又a >0，b >0，a ≠b ， 故(a －b )2>0，a ＋b >0， 不等式显然成立.一、选择题 1．(2013·济南高二检测)若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( ) A ．x >0，y >0 B ．x <0，y <0 C ．x >0，y <0 D ．x <0，y >0【解析】 ∵xy >1>0，∴x ，y 同号，又x ＋y ≥0，故x >0，y >0. 【答案】 A2．在不等边三角形中，a 为最长边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2【解析】 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0知b 2＋c 2－a 2<0，即a 2>b 2＋c 2.【答案】 C3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 ∵a 2＋b 2－1－a 2b 2＝(a 2－a 2b 2)＋(b 2－1) ＝a 2(1－b 2)＋(b 2－1)＝(a 2－1)(1－b 2) ＝－(a 2－1)(b 2－1) 故选D.【答案】 D4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定 【解析】 要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a (a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小， 即比较0与12的大小，而0＜12. 故P ＜Q 成立． 【答案】 C5．已知函数f (x )＝(12)x ，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b)，(a ＞0，b ＞0)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A【解析】 由于a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b，又函数f (x )＝(12)x 在R 上为减函数，故f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)．【答案】 A 二、填空题6．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证______，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．【解析】 分析法就是要证结论成立的充分条件．即应填：a 2＋b 2－2ab ≥0，(a －b )2≥0，(a －b )2≥0.【答案】 a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥07．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log 2xy＝________.【解析】 原等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝(x －2y )2，即(x y )2－5(x y )＋4＝0，解得xy＝4或1(舍)， 故log 2xy＝log 24＝4.【答案】 48．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________．【解析】 由题意得a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b )＝10＋(9a b ＋b a )≥10＋29＝16，当且仅当9a b ＝ba且1a ＋9b＝1，即a ＝4，b ＝12时，等号成立． ∴a ＋b 的最小值为16，∴要使a ＋b ≥μ恒成立，只需μ≤16. 【答案】 0＜μ≤16 三、解答题9．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y)≥9.【证明】 法一 ∵x ＋y ＝1，∴(1＋1x )(1＋1y )＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy)＝5＋2(y x ＋x y)． 又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＞0，xy＞0.∴y x ＋xy≥2， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝12时取等号．则有(1＋1x )(1＋1y)≥5＋2×2＝9成立．法二 ∵x ＞0，y ＞0,1＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立，∴xy ≤14.则有(1＋1x )(1＋1y )＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy≥1＋8＝9成立．10．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－aca< 3.【证明】 ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0，要证原不等式成立，只需证b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，即证(a ＋c )2－ac <3a 2，即证(a －c )(2a ＋c )>0，∵a －c >0,2a ＋c ＝(a ＋c )＋a ＝a －b >0， ∴(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．11．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 【证明】 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)． 既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立.(教师用书独具)已知：a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .【思路探究】 先利用对数的运算将不等式化简后，再结合基本不等式证明．【自主解答】 要证明log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x [(a ＋b )2·(b ＋c )2·(a ＋c )2]<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式知a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.∵a ，b ，c 不全相等，上面三式相乘， a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2> a 2b 2c 2＝abc ， 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．1．解决本题的关键是分析出结论中不等式的复杂之处在于带有对数符号，故应先将其化去．2．在具体问题的解答中，能否合理分析条件、结论，并将条件与结论之间沟通联系起来，是解题的关键．是否存在常数c ，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤c ≤x x ＋2y ＋y2x ＋y对任意正数x ，y 恒成立？试证明你的结论．【证明】 令x ＝y ＝1，得23≤c ≤23，∴c ＝23.先证明x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23，因为x >0，y >0，要证x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23，只需证3x (x ＋2y )＋3y (2x ＋y )≤2(2x ＋y )(x ＋2y )， 即x 2＋y 2≥2xy ，这显然成立，∴x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23. 再证x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23，只需证3x (2x ＋y )＋3y (x ＋2y )≥2(x ＋2y )(2x ＋y )， 即2xy ≤x 2＋y 2，这显然成立．∴x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23. ∴存在常数c ＝23，使对任何正数x ，y 都有x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23≤x x ＋2y ＋y2x ＋y成立．。
【参考教案】《综合法和分析法》(人教A版)
《综合法和分析法》（人教A版）第一章：综合法的概念与特点1.1 教学目标1. 了解综合法的定义和基本特点2. 掌握综合法在数学问题中的应用1.2 教学内容1. 综合法的定义与基本原理2. 综合法在数学问题求解中的应用案例1.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法的应用2. 讲解：详细阐述综合法的定义、特点及应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些应用综合法的问题1.4 教学评价1. 判断学生对综合法定义和特点的理解程度2. 评估学生在实际问题中应用综合法的熟练程度第二章：分析法的概念与特点2.1 教学目标1. 了解分析法的定义和基本特点2. 掌握分析法在数学问题中的应用2.2 教学内容1. 分析法的定义与基本原理2. 分析法在数学问题求解中的应用案例1. 引入：通过实例让学生感受分析法的应用2. 讲解：详细阐述分析法的定义、特点及应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些应用分析法的问题2.4 教学评价1. 判断学生对分析法定义和特点的理解程度2. 评估学生在实际问题中应用分析法的熟练程度第三章：综合法与分析法的区别与联系3.1 教学目标1. 理解综合法与分析法的区别与联系2. 能够根据问题特点选择合适的方法求解3.2 教学内容1. 综合法与分析法的区别与联系2. 不同类型问题中综合法与分析法的应用选择3.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法的不同应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法的区别与联系3. 练习：让学生自主尝试解决一些需要选择合适方法的问题3.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法区别与联系的理解程度2. 评估学生在实际问题中选择合适方法的熟练程度第四章：综合法与分析法在几何问题中的应用1. 掌握综合法与分析法在几何问题中的应用2. 能够解决一些常见的几何问题4.2 教学内容1. 几何问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见几何问题求解方法的探讨4.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在几何问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在几何问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些几何问题4.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在几何问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际几何问题中应用综合法与分析法的熟练程度第五章：综合法与分析法在代数问题中的应用5.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在代数问题中的应用2. 能够解决一些常见的代数问题5.2 教学内容1. 代数问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见代数问题求解方法的探讨5.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在代数问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在代数问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些代数问题5.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在代数问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际代数问题中应用综合法与分析法的熟练程度第六章：综合法与分析法在物理问题中的应用6.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在物理问题中的应用2. 能够解决一些常见的物理问题6.2 教学内容1. 物理问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见物理问题求解方法的探讨6.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在物理问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在物理问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些物理问题6.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在物理问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际物理问题中应用综合法与分析法的熟练程度第七章：综合法与分析法在化学问题中的应用7.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在化学问题中的应用2. 能够解决一些常见的化学问题7.2 教学内容1. 化学问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见化学问题求解方法的探讨7.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在化学问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在化学问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些化学问题7.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在化学问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际化学问题中应用综合法与分析法的熟练程度第八章：综合法与分析法在生物问题中的应用8.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在生物问题中的应用2. 能够解决一些常见的生物问题8.2 教学内容1. 生物问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见生物问题求解方法的探讨8.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在生物问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在生物问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些生物问题8.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在生物问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际生物问题中应用综合法与分析法的熟练程度第九章：综合法与分析法在实际生活中的应用9.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在实际生活中的应用2. 能够解决一些实际生活中的问题9.2 教学内容1. 实际生活中综合法与分析法的应用案例2. 常见实际问题求解方法的探讨9.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在实际生活中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在实际问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些实际问题9.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在实际生活中应用的理解程度2. 评估学生在实际生活中应用综合法与分析法的熟练程度第十章：总结与拓展10.1 教学目标1. 总结综合法与分析法的应用及其重要性2. 拓展学生对综合法与分析法在不同领域中应用的认识10.2 教学内容1. 回顾本节课所学内容，总结综合法与分析法的应用2. 探讨综合法与分析法在不同领域的拓展应用10.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生回顾所学内容，总结综合法与分析法的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在不同领域的拓展应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些涉及不同领域的实际问题10.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法应用的总结理解程度2. 评估学生在实际问题中应用综合法与分析法的熟练程度重点解析本文主要介绍了综合法和分析法的概念、特点以及在数学、几何、代数、物理、化学、生物等领域的应用。
综合法与分析法精品教案
只需证明 B1 为真，从而有……
这只需证明 B2 为真，从而又有……
…… 这只需证明 A 为真． 而已知 A 为真，故命题 B 必为真． 要理解上述格式中蕴含的逻辑关系． [投影] 例 3 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下
同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．
【字幕】练习 1．求证 (ac bd )2 (a2 b2 )(c2 d 2 )
2．求证：
1
a2 a2
1 1
1.
设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学． 【分析归纳、小结解法】 （教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方 法． （学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记． 1．分析法是证明不等式的一种常用基本方法．当证题不知从何入手时，有时可以运用 分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的． 2．用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证 题格式． 设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法． （三）小结 （教师活动）教师小结本节课所学的知识． （学生活动）与教师一道小结，并记录笔记． 本节课主要学习了用分析法证明不等式．应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技 巧： 通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等．在使用这些技巧变形 时，要注意遵循不等式的性质．另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中 的灵活运用．理解分析法和综合法是对立统一的两个方面．有时可以用分析法思索，而用 综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程． 设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识． （四）布置作业 1．课本作业： 4、5．
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综合法与分析法分析法教
学设计
Final approval draft on November 22, 2020
综合法与分析法——分析法
一、教材分析
1教材背景
生活中存在这样那样的推理，证明的过程离不开推理；而合情推理所得的结论是需要证明的，数学结论的正确性也必须通过逻辑推理的方式加以证明。
本节的证明方法，蕴含着解决数学问题常用的思维方式，也是培养训练学生分析问题，解决问题能力的重要内容。
2地位与作用
《综合法与分析法》是直接证明的两类基本方法。
是在学习了合情推理与演绎推理的基础上，学习证明数学结论的两种常见方法，它不是孤立存在的，这种证明的方法渗透到函数，三角函数，数列，立几，解析几何等等。
可见，直接证明的方法在中学数学里占有重要地位的。
现在的高考中不会单独命制直接证明的试题，而是把它与函数、数列、解析几何等问题相结合命制成综合性考题，重在考察学生的逻辑思维能力，这类问题立意新颖，抽象程度高，更能体现高观点、低起点，深入浅出的高考命题特点。
二、学情分析
1．有利因素
学生在数学的学习中已经初步形成了一定的证明思想，例如初中阶段的几何证明；高一学习了一元二次不等式，初步证明了一些不等式的问题；在本节课前，学习了合情推理与演绎推理，都为本节课的学习打下了基础。
2．不利因素
学生对已学知识的应用意识不强；三角代换，代数式的变形没有目的性，随意性较大。
特别是与其他章节知识的交汇存在很大障碍。
三、目标分析
根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，我制定本节课的教学目标如下：
1知识目标
了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分和综合法的思考过程、特点．能运用综合法，分析法证题。
2能力目标
通过分析法与综合法的学习，提升分析解决问题的能力。
3德育目标
通过分析法与综合法的学习，体会数学思维的严密性。
四、重点：了解分析法的思考过程、特点。
难点：分析法的思考过程、特点
五、学习方法：探析归纳，讲练结合
六、学习过程
(一)、复习：直接证明的方法：综合法。
（二）、引入新课
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们
是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。
分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法
用分析法证明不等式的逻辑关系是：
分析法的思维特点是：执果索因
分析法 的书写格式：
要证明命题B 为真，
只需要证明命题C 为真，从而有……
这只需要证明命题D 为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A 为真
而已知A 为真，故命题B 必为真
（三）、例题讲解：
例1：已知BE ，CF 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的高，G 为EF 的中点，H 为BC 的中点.求证：HG ⊥EF.
证明：考虑待证的结论“HG ⊥EF ” .
根据命题的条件：G 为EF 的中点，连接EH ，HF ，
只要证明△EHF 为等腰三角形，即EH=HF.
根据条件CF ⊥AB ，且H 为BC 的中点，可知FH 是Rt △BCF
斜边上的中线. 所以BC FH 21=. 同理BC HE 21=.
这样就证明了△EHF 为等腰三角形.
所以 HG ⊥EF.
例2、已知：a ，b 是不相等的正数。
求证：2233ab b a b a +>+ 。
证明：要证明2233ab b a b a +>+
只需证明
)())((22b a ab b ab a b a +>+-+， 只需证明
0)())((22>+-+-+b a ab b ab a b a ， 只需证明
0)2)((22>+-+b ab a b a ， 只需证明
0))((2>-+b a b a ， 只需证明
0)(0)(2>->+b a b a 且。
由于命题的条件“a ，b 是不相等的正数”，它保证上式成立。
这样就证明了命题的结论。
例3、求证 5273<+ 证明：因为5273和+都是正数，所以为了证明5273<+ 只需证明22)52()73(<+
展开得 2021210<+
即 2521,10212<<
因为2521<成立，所以
22)52()73(<+成立 即证明了5273<+
设计意图：选择三个例题的目的是一是为了让学生了解分析法的思考过程及特点，二是提高学生分析法的运用能力。
培养学生思考，分析，归纳的习惯，以及提高学生合作交流的能力。
（四）、小结：综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看 ，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效，就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.
（五）课堂练习
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．等价条件
2．下列表述：
①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )
A ．2ab －1－a 2b 2≤0
B ．a 2＋b 2－1－
a 4＋
b 42≤0 C.a ＋b 22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
4．欲证2－3<6－7成立，只需证( )
A ．(2－3)2<(6－7)2
B ．(2－6)2<(3－7)2
C ．(2＋7)2<(3＋6)2
D ．(2－3－6)2<(－7)2
设计意图：通过这一组很基础的训练题，让学生感受到直接证明与不等式知识相结合的考察。
由于这组题选题比较简单，学生会积极参与，再结束之后老师给予肯定和一些指正，起到了活跃了课堂气氛，提高学生的自信心，激发学生学习的兴趣。